第二章 相交线与平行线（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版（2024）数学七年级下册

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第二章 相交线与平行线
一．选择题（共10小题）
1．如图1为“钓鱼神器”马扎，图2为抽象出的几何模型，若AB∥CD，∠ABE＝125°，∠ADC＝50°，则∠COD＝（　　）
A．70° B．75° C．60° D．65°
2．如图，直线l1∥l2，含有30°的直角三角板的一个顶点C落在l2上，直角边交l1于点D，连接BD，使得BD⊥l2，若∠1＝72°，则∠2的度数是（　　）
A．48° B．58° C．42° D．18°
3．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，下列不能判定DE∥AC的条件是（　　）
A．∠3＝∠C B．∠1+∠4＝180°
C．∠1＝∠AFE D．∠1+∠2＝180°
4．若∠α＝30°30'，则它的余角的度数是（　　）
A．59°10' B．59°30' C．149°10' D．60°10'
5．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4； ③∠2+∠4＝90°；④∠4+∠5＝180°，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．将一副三角板按如图所示摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（　　）
A． B．
C． D．
7．一把直尺和一个含30°，60°角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于F，A两点，另一边与三角板的两直角边分别交于D，E两点，且∠CED＝50°，那么∠BAF的大小为（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
8．如图，点O是直线AB上一点，OC平分∠AOE，∠DOE＝90°，则以下结论：①∠AOD与∠BOE互为余角；②∠AOD∠COE；③∠BOE＝2∠COD；④若∠BOE＝58°，则∠COE＝61°．其中正确的是（　　）
A．只有①④ B．只有①③④ C．只有③④ D．①②③④
9．如图，a∥b，c⊥d，∠1＝25°，则∠2的度数为（　　）
A．45° B．55° C．65° D．75°
10．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，，下列判断：
①射线OF是∠BOE的角平分线；
②∠BOC是∠3的补角；
③∠COD＝∠BOE；
④∠3的余角有∠BOE和∠COD．
其中正确的是（　　）
A．①③④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④
二．填空题（共6小题）
11．25°37′的补角为 　 　．
12．若一个角的度数为52°18'，则它的补角的度数为 　 　．
13．如图，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近C处搭顺风车．他选择了第②条路线，这其中蕴含的数学道理是 　 　．
14．已知∠α和∠β互余，∠α＝30°，则∠β＝　 　°．
15．如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B＝72°，则∠D＝　 　度．
16．已知一个角的余角比这个角的补角的一半还小12°，则这个角的度数为 　 　．
三．解答题（共9小题）
17．已知O是直线AB上一点，∠BOC＜180°，OD在∠BOC内，OE平分∠BOC．
（1）如图1，当∠AOC＝40°，∠COD＝60°时，∠DOE的度数是 　 　；
（2）OF平分∠BOD．
①如图2，试说明∠COD＝2∠EOF；
②若∠COF与∠DOE互为补角，求∠COD的度数．
18．计算：
（1）一出租车司机一天下午以希望小学为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：+10，﹣6，﹣4，+7，﹣8，+5，﹣3，+3，﹣4，+10．若每千米收费2.8元，求司机这个下午的营业额．
（2）若一个角的补角比它的余角的2倍还多70°，求这个角的度数？
19．如图所示，已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OD，使得∠AOC＝5∠AOD，请你求出∠COD的度数．
20．将一直角三角板的直角顶点放在直线AB上的点O处，过点O作射线OC．
（1）已知∠BOC＝60°，
①如图1，当ON在射线OB上时，∠COM的度数为 　 　；
②如图2，当ON在∠BOC内部时，若，求∠BON的度数；
（2）如图3，∠BOC＝α（60°＜α＜90°），ON在∠BOC内部，∠CON＜30°，在图中画射线OH，使OC为∠HON的三等分线，且∠CON＜∠COH．当5∠COM﹣∠BOC＝270°时，探究∠MOH与∠BON的数量关系，并说明理由．
21．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，求此时扶手AB与支架OE的夹角∠AOE和扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数．
22．【探索与解决】
课本原型
如图（1），点A、O、B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC．
（1）写出与∠AOD互余的角是 　 　；
（2）写出与∠AOD互补的角是 　 　；
（3）∠DOE度数是多少度？请简单写出理由．
【拓展与延伸】
如图（2），点A、O、B不在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC．
请你直接写出∠DOE与∠AOB的数量关系．
23．如图，已知∠AOB的补角等于它的余角的10倍．
（1）求∠AOB的度数；
（2）若OD平分∠BOC，∠AOC＝3∠BOD，求∠AOD的度数．
24．（1）将一副直角三角板ABC，ADE按如图1所示位置摆放，∠BAC＝45°，∠EAD＝60°．分别作∠BAE，∠CAD的平分线AM，AN．试求∠MAN的度数；
（2）将三角板ADE从图1位置开始绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，AM、AN仍然是∠BAE，∠CAD的平分线．试求∠MAN的度数；
（3）将三角板ADE从图1位置开始绕点A顺时针旋转α°（0°＜α＜360°），AM、AN仍然是∠BAE，∠CAD的平分线．在旋转的过程中，∠MAN的度数会发生改变吗？请说明理由．
25．综合与探究
问题情境：
数学活动课上，老师以直线AB上一点O为端点作射线OC，OD，OM，ON，使OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，若∠COD＝α，求∠MOC+∠DON的度数．
特例探究：
（1）从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图2，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点O处，即当∠COD＝90°时，则∠MOC+∠DON的度数为 　 　；（直接写出答案，不写过程）
（2）受“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺60°角的顶点放在点O处，即当∠COD＝60°时，请你在图3中求∠MOC+∠DON的度数；
数学思考：
（3）请你在图1中，求∠MOC+∠DON的度数（用含有α的式子表示）．
第二章 相交线与平行线
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】B
【分析】根据两直线平行，内错角相等得出∠A的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠AOB的度数，最后根据对顶角的性质即可求出∠COD的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠ADC＝50°，
∴∠A＝∠ADC＝50°，
∵∠ABE是△AOB的外角，∠ABE＝125°，
∴∠AOB＝∠ABE﹣∠A＝125°﹣50°＝75°，
∴∠COD＝∠AOB＝75°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
2．【答案】A
【分析】根据平行的性质可得∠DEB＝∠1＝72°，根据三角形的外角的定义可得∠ADC＝42°，再根据平角进行计算即可得到答案．
【解答】解：如图，设AB与l1相交于点E，
∵l1∥l2，∠1＝72°，
∴∠DEB＝∠1＝72°，
∵∠A+∠ADC＝∠DEB＝72°，∠A＝30°，
∴∠ADE＝42°，
∵∠ADC+∠BDE+∠2＝180°，BD⊥l2，
∴∠2＝48°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的定义，平角的定义，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的定义，平角的定义是解题的关键．
3．【答案】D
【分析】利用平行线的判定方法分别分析得出答案．
【解答】解：A、当∠C＝∠3时，DE∥AC，故不符合题意；
B、当∠1+∠4＝180°时，DE∥AC，故不符合题意；
C、当∠1＝∠AFE时，DE∥AC，故不符合题意；
D、当∠1+∠2＝180°时，EF∥BC，不能判定DE∥AC，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
4．【答案】B
【分析】互余两角的和等于90°，90°与∠α的差，就是它的余角．
【解答】解：90°﹣∠α＝90°﹣30°30′＝59°30′．
故答案为：B．
【点评】本题考查了两角互为余角的定义，度分秒换算，关键是两角减法，1°＝60′．
5．【答案】D
【分析】根据平行线的性质，直角三角板的性质对各小题进行验证即可得解．
【解答】解：∵纸条的两边互相平行，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠4+∠5＝180°，故①，②，④正确；
∵三角板是直角三角板，
∴∠2+∠4＝180°﹣90°＝90°，故③正确．
综上所述，正确的个数是4．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角板的性质，熟记性质与概念并准确识图是解题的关键．
6．【答案】A
【分析】根据每个图形中∠α与∠β的关系进行判断，即可找出一定互余的图形．
【解答】解：A中的∠α与∠β的和等于平角减去一个直角，是90°，故A中的∠α与∠β一定互余；
B中的∠α与∠β是同一个角的余角，一定相等，但是不一定互余，故B排除；
C中∠α与∠β都是钝角，不可能互余，故C排除；
D中∠α与∠β互为邻补，不可能互余，故D排除．
故选：A．
【点评】本题主要考查余角，熟练掌握互为余角的定义是解决问题的关键．
7．【答案】A
【分析】先根据∠CED＝50°，DE∥AF，即可得到∠CAF＝50°，最后根据∠BAC＝60°，即可得出∠BAF的大小．
【解答】解：∵DE∥AF，∠CED＝50°，
∴∠CAF＝∠CED＝50°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝60°﹣50°＝10°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质的运用，解题解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
8．【答案】B
【分析】根据补角以及角平分线的定义解决此题．
【解答】解：①由∠DOE＝90°，得∠AOD+∠BOE＝180°﹣∠DOE＝90°，那么∠AOD与∠BOE互为余角，故①正确．
②由OC平分∠AOE，得∠AOC＝∠COE，无法推断得到∠AOD∠COE，故②错误．
③设∠COD＝x，由∠DOE＝90°，得∠COE＝90°﹣x．由OC平分∠AOE，得∠AOC＝∠COE，那么∠AOD＝90°﹣2x，进而推断出∠BOE＝2x，也就是说∠BOE＝2∠COD，故③正确．
④由∠BOE＝58°，得∠AOE＝180°﹣∠BOE＝122°．由OC平分∠AOE，得∠COE61°，故④正确．
综上：正确的有①③④．
故选：B．
【点评】本题主要考查角平分线、补角，熟练掌握角平分线的定义以及补角的定义是解决本题的关键．
9．【答案】C
【分析】先利用垂直性质求∠3度数，再利用平行线性质求∠2度数．
【解答】解：如图：
∵c⊥d，
∴∠1+∠3＝90°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝65°，
∵a∥b，
∠2＝∠3＝65°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题关键．
10．【答案】C
【分析】根据角平分线的定义和互为余角、互为补角的定义判断即可．
【解答】解：①∵∠1＝∠2，∴射线OF是∠BOE的角平分线，故正确；
②∵∠BOC+∠4＝180°，又∵∠3＝∠4，∴∠BOC+∠3＝180°，即∠BOC是∠3的补角，故正确；
③∵，∴∠AOD＝90°，∠BOE+∠3＝90°，∴∠4+∠COD＝90°，∵∠3＝∠4，∴∠COD＝∠BOE，故正确；
④∠3的余角有∠BOE和∠COD，故正确．
正确的是①②③④，
故选：C．
【点评】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，正确识别图形是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】154°23′．
【分析】根据互为补角的定义，列出算式，进行计算即可．
【解答】解：25°37′的补角为：
180°﹣25°37′
＝179°60′﹣25°37′
＝154°23′，
故答案为：154°23′．
【点评】本题主要考查了互为补角定义和度分秒的换算，解题关键是熟练掌握互为补角的两个角的和为180°．
12．【答案】127°42'．
【分析】如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角；由此计算即可．
【解答】解：若一个角的度数为52°18'，
则它的补角的度数为180°﹣52°18'＝179°60'﹣52°18'＝127°42'，
故答案为：127°42'．
【点评】本题考查了余角和补角，度分秒的换算，熟知互为补角的定义是解题的关键．
13．【答案】两点之间，线段最短．
【分析】根据两点之间，线段最短进行判断即可．
【解答】解：在点P与点C之间所有的连线中，线段最短，即两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
【点评】本题考查线段的性质，掌握两点之间，线段最短是正确判断的关键．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】根据余角的定义计算．
【解答】解：已知∠α和∠β互余，∠α＝30°，
则∠β＝90°﹣∠α＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查余角的定义：如果两个角的和为90°，则这两个角互为余角．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】先根据AB∥CD求出∠C的度数，再由BC∥DE即可求出∠D的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝72°，
∴∠C＝∠B＝72°，
∵BC∥DE，
∴∠D＝180°﹣∠C＝180°﹣72°＝108°．
故答案为：108．
【点评】本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．
16．【答案】24°．
【分析】设这个角为x，则它的余角是90°﹣x，它的补角是180°﹣x，列方程求解即可．
【解答】解：设这个角为x，
则它的余角是90°﹣x，它的补角是180°﹣x，
由题意，得：90°﹣x+12°（180°﹣x），
解得：x＝24°，
即这个角的度数是24°．
故答案为：24°．
【点评】本题考查了余角和补角，掌握互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】（1）10°；
（2）①证明见解析；
②120°．
【分析】（1）根据平角定义和已知条件，求出∠BOC，再根据角平分线的定义先求出∠COE的度数，再减去∠COD的度数即可；
（2）①先根据角平分线的定义证明∠COE＝∠DOB，∠DOF＝∠BOF，然后根据∠COD＝∠COE+∠DOF，最后代换成2（∠DOE+∠DOF）进行解答即可；
②先根据已知条件得到∠COF+∠DOE＝180°，从而得到∠COD+∠DOF+∠DOE＝180°，根据①的结论，得到关于∠EOF的方程，求出∠EOF，再求出∠COD即可．
【解答】解：（1）∵O是直线AB上一点，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE，
∵∠COD＝60°，
∴∠DOE＝∠COE﹣∠COD＝70°﹣60°＝10°，
故答案为：10°；
（2）证明：①∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠DOB，
∵OF平分∠BOD，
∴∠DOF＝∠BOF，
∵∠COD＝∠COE+∠DOE，
∴∠COD＝∠BOE+∠DOE
＝∠DOE+∠DOF+∠BOF+∠DOE，
＝∠DOE+∠DOF+∠DOF+∠DOE
＝2∠DOE+2∠DOF
＝2（∠DOE+∠DOF）
＝2∠EOF；
②∵∠COF与∠DOE互为补角，
∴∠COF+∠DOE＝180°，
∴∠COD+∠DOF+∠DOE＝180°，
∠COD+∠EOF＝180°，
2∠EOF+∠EOF＝180°，
3∠EOF＝180°，
∴∠EOF＝60°，
∴∠COD＝2∠EOF＝120°．
【点评】本题主要考查了角的有关运算，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的和差倍分关系．
18．【答案】（1）168元；
（2）70°．
【分析】（1）把每次行车里程相加求出这天下午的总里程，然后乘单价即可求出司机这个下午的营业额；
（2）设这个角为x，分别表示出其补角和余角，根据题意列出方程然后解方程即可求出这个角的度数．
【解答】解：（1）10+6+4+7+8+5+3+3+4+10＝60（km），
2.8×60＝168（元）．
答：司机这个下午的营业额为168元．
（2）设这个角为x，则其补角度数为180°﹣x，余角度数为90°﹣x，
由题意得：180°﹣x＝2（90°﹣x）+70，
解得：x＝70°，
∴这个角的度数为70°．
【点评】本题主要考查正数和负数以及余角和补角，熟练掌握正负数的意义和求一个角余角、补角的方法是解决问题的关键．
19．【答案】（1）∠AOC＝80°；
（2）64°或96°．
【分析】（1）设∠BOC＝x，则∠AOC＝2x，根据，∠AOC的余角比∠BOC小30°列方程求解即可；
（2）分两种情况：①当射线OD在∠AOC内部②当射线OD在∠AOC外部，分别求出∠COD的度数即可．
【解答】解：（1）设∠BOC＝x，则∠AOC＝2x，
依题意列方程90°﹣2x＝x﹣30°，
解得：x＝40°，
即∠AOC＝40°×2＝80°．
（2）由（1）得，∠AOC＝80°，
①当射线OD在∠AOC内部时，∠AOD＝16°，
则∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝80°﹣16°＝64°；
②当射线OD在∠AOC外部时，∠AOD＝16°，
则∠COD＝∠AOC+∠AOD＝80°+16°＝96°．
【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°．
20．【答案】（1）①30°；
②55°；
（2）∠BON＝2∠HOM．理由见解析．
【分析】（1）①根据余角的定义即可得到结论；
②设∠CON＝α，∠AOM＝6α，求得∠BON＝60°﹣α，列方程得到α＝5°，于是得到∠BON＝60°﹣5°＝55°；
（2）根据OC为∠HON的三等分线，设∠CON＝β，∠COH＝2β，得到∠BON＝α﹣β，∠COM＝90°﹣β，列方程得到α＝180°﹣5β，于是得到∠BON＝2∠HOM．
【解答】解：（1）①∵∠BOM＝90°，∠BOC＝60°，
∴∠COM＝90°﹣60°＝30°；
故答案为：30°；
②∵，
∴设∠CON＝α，∠AOM＝6α，
∵∠BOC＝60°，
∴∠BON＝60°﹣α，
∴∠AOM＝180°﹣90°﹣（60°﹣α）＝6α，
∴α＝5°，
∴∠BON＝60°﹣5°＝55°；
（2）∠BON＝2∠HOM．
理由：如图，
∵OC为∠HON的三等分线，
∴设∠CON＝β，∠COH＝2β，
∵∠BOC＝α，
∴∠BON＝α﹣β，
∴∠COM＝90°﹣β，
∵5∠COM﹣∠BOC＝270°，
∴5（90°﹣β）﹣α＝270°，
∴α＝180°﹣5β，
∴∠BON＝∠BOC﹣∠CON＝180°﹣6β＝2（90°﹣3β），
∵∠HOM＝90°﹣∠COH﹣∠CON＝90°﹣3β，
∴∠BON＝2∠HOM．
【点评】本题考查了余角与补角，一元一次方程的应用，正确的识别图形是解题的关键．
21．【答案】122°．
【分析】先根据平行线的性质，得出∠ODC＝∠BOD＝32°，再根据∠EOF＝90°，即可得到∠AOE＝58°，再根据平行线的性质，即可得到∠AND的度数，进而得出∠ANM的度数．
【解答】解：∵扶手AB与底座CD都平行于地面，
∴AB∥CD，
∴∠ODC＝∠BOD＝32°，
又∵∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝58°，
∵DM∥OE，
∴∠AND＝∠AOE＝58°，
∴∠ANM＝180°﹣∠AND＝122°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等是解题的关键．
22．【答案】【探索与解决】（1）∠COE，∠BOE；
（2）∠BOD；
（3）∠DOE＝90°；
理由见解析；
【拓展与延伸】∠COD∠AOB．
【分析】【探索与解决】（1）根据角平分线的定义得到∠COD＝∠AOD∠AOC，∠COE＝∠BOE∠BOC，于是得到∠AOD与∠COE互为余角，∠AOD与∠BOE互为余角；
（2）根据互为补角的定义即可得到结论；
（3）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
【拓展与延伸】根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论．
【解答】解：【探索与解决】（1）∵点A，O，B在同一条直线上，
∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COD＝∠AOD∠AOC，∠COE＝∠BOE∠BOC，
∴∠COD+∠COE∠AOC∠BOC180°＝90°．
∴∠AOD与∠COE互为余角，∠AOD与∠BOE互为余角；
故答案为：∠COE，∠BOE；
（2）∠AOD与∠BOD分别互为补角，
故答案为：∠BOD；
（3）∠DOE＝90°；
理由：∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COD＝∠AOD∠AOC，∠COE＝∠BOE∠BOC，
∴∠COD+∠COE∠AOC∠BOC180°＝90°，
∴∠DOE＝90°；
【拓展与延伸】∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COD＝∠AOD∠AOC，∠COE＝∠BOE∠BOC，
∴∠COD+∠COE∠AOC∠BOCAOB．
【点评】本题主要考查补角与余角、角平分线，熟练掌握补角与余角、角平分线的定义是解决本题的关键．
23．【答案】（1）80°．
（2）160°．
【分析】（1）利用设元法列方程求解即可．
（2）设∠BOD＝y，利用题目条件列出关于y的方程求解即可．
【解答】解：（1）设∠AOB＝x，
由题意得：180°﹣x＝10（90°﹣x），
解得x＝80°．
所以∠AOB的度数为80°．
（2）设∠BOD＝y，则∠AOC＝3y，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠BOD＝2y，
由题意得：2y+80°＝3y°，
解得y＝80°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝80°+80°＝160°．
【点评】本题考查角度的计算、补角和余角的概念，熟练掌握设元法求角的方法是解题关键．
24．【答案】（1）52.5°；（2）52.5°；（3）不变，理由见详解．
【分析】（1）根据题意求得∠MAE、∠NAE，再相加即可；
（2）用已知60°、45°、∠DAB来分别表示∠MAB、∠NAD，再减去∠DAB即可；
（3）通过画图考虑到∠BAE．∠CAD为钝角时的情况，根据（2）的思路解答即可．
【解答】解：（1）∵AM，AN是∠BAE，∠CAD的平分线，
∴∠MAE＝22.5°，∠NAE＝30°，
∴∠MAN＝∠MAE+∠NAE＝22.5°+30°＝52.5°．
（2）∠MAB；，
∠MAN＝∠MAB+∠NAD﹣∠BAD∠BAD＝30°+22.5＝52.5°；
（3）不变，在旋转过程中，∠BAE．∠CAD为钝角时，如图示：
∵∠MAE，，
∴∠MAN＝∠MAE+∠NAC﹣∠CAE∠CAE＝52.5°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解答本题的关键．
25．【答案】（1）45°；（2）60°；（3）．
【分析】（1）求得∠AOC+∠BOD＝90°，利用角平分线的定义得，据此求解即可；
（2）求得∠AOC+∠BOD＝120°，利用角平分线的定义得，据此求解即可；
（3）求得∠AOC+∠BOD＝180°﹣α，利用角平分线的定义得求解即可．
【解答】解：（1）因为∠COD＝90°，所以∠AOC+∠BOD＝90°，
因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
所以，，
所以
；
故答案为：45°；
（2）因为∠COD＝60°，所以∠AOC+∠BOD＝120°，
因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
所以，，
所以
；
（3）因为∠COD＝α，所以∠AOC+∠BOD＝180°﹣α，
因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
所以，，
所以
．
【点评】本题考查角度计算，涉及角平分线的定义，解题的关键是根据题意得到．
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