第四章 三角形（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版（2024）数学七年级下册

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第四章 三角形
一．选择题（共10小题）
1．用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（　　）
A．1cm、2cm、3cm B．4cm、4cm、8cm
C．2cm、6cm、5cm D．3cm、5cm、9cm
2．如图，将两块相同的三角板（含30°角）按图中所示位置摆放，若BE交CF于D，AC交BE于M，AB交CF于N，则下列结论中错误的是（　　）
A．∠EAC＝∠FAB B．∠EAF＝∠EDF C．△ACN≌△ABM D．AM＝AN
3．现有长度分别是30cm和25cm的两根木棒，如果不改变木棒的长度，要将木棒首尾顺次相接钉成一个三角形木架，那么在下列长度的木棒中不能选取的是（　　）
A．10cm的木棒 B．30cm的木棒
C．50cm的木棒 D．70cm的木棒
4．在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高线，∠ABD＝30°，则∠C的度数为（　　）
A．30° B．90° C．30°或90° D．30°或60°
5．如图，AB＝AC，BD＝CD．若∠B＝70°，则∠DAC＝（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
6．如图，OB平分∠AOC，D，E，F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D，E，F与O点都不重合，连接ED，EF．若添加下列条件中的某一个，使△DOE≌△FOE．下列条件不一定成立的是（　　）
A．OD＝OF B．DE＝FE C．∠OED＝∠OEF D．∠ODE＝∠OFE
7．如图在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是4，则△BEF的面积是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．3.5
8．如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，再以点E为圆心，以EF长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD．若∠AOB＝32°，则∠BOD的度数为（　　）
A．32° B．54° C．64° D．68°
9．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）
A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m
10．如图所示的三个图是三个基本作图的作图痕迹，关于弧①②．③有以下三种说法：（1）弧①是以点O为圆心，以任意长为半径所作的弧；（2）弧②是以点A为圆心，以任意长为半径所作的弧；（3）弧③是以点O为圆心，以大于DE的长为半径所作的弧．其中正确说法的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共6小题）
11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，在BC上截取BD＝BA，连接AD，作△BAC的平分线与AD相交于点P，连接CP．则△BPC的面积为 　 　cm2．
12．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAD+∠ADC＝　 　．
13．当三角形中一个内角β是另外一个内角a的0.5时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角a“的度数为 　 　．
14．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是 　 　．
15．如图，BD是△ABC的中线，G是BD上的一点，且BG＝2GD，连接AG，若△ABC的面积为6，则图中阴影部分的面积是 　 　．
16．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝3，b＝4，若三边长为连续整数，则c＝　 　．
三．解答题（共8小题）
17．如图，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠ABC交AD于点E，若∠C＝65°，∠BED＝68°，求∠ABC和∠BAC的度数．
18．已知如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，求证：AC与BD互相平分．
19．如图，在△ABC和△AEF中，点E在BC边上，∠C＝∠F，AC＝AF，∠CAF＝∠BAE，EF与AC交于点G．
（1）试说明：△ABC≌△AEF；
（2）若∠B＝55°，∠C＝20°，求∠EAC的度数．
20．如图，在△ABC中，DE∥BC交AB，AC于点D，E．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠B的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的角平分线与DE的延长线交于点F，试判断△DBF的形状并说明理由．
21．已知线段a，b，点A，P位置如图所示．
（1）画射线AP，请用圆规在射线AP上依次截取AB＝a，BC＝b；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作图形中，若M，N分别为AB，BC的中点，在图形中标出点M，N的位置，再求出当a＝4，b＝2时，线段MN的长．
22．小明利用一根3m长的竿子来测量路灯的高度．他的方法是这样的：在路灯前选一点P，使BP＝3m，并测得∠APB＝70°，然后把竖直的竿子CD（CD＝3m）在BP的延长线上移动，使∠DPC＝20°，此时量得BD＝11.2m．根据这些数据，小明计算出了路灯的高度．你知道小明计算的路灯的高度是多少？为什么？
23．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．
24．如图，已知∠BAD，用直尺和圆规在射线AD的右侧作∠DCP，使得∠DCP＝∠BAD．（不写作法，只需保留作图痕迹）
第四章 三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】C
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【解答】解：A、1+2＝3，长度是1cm、2cm、3cm的三根木棒不能做成三角形框架，故A不符合题意；
B、4+4＝8，长度是4cm、4cm、8cm的三根木棒不能做成三角形框架，故B不符合题意；
C、2+5＞6，长度是5cm、2cm、6cm的三根木棒能做成三角形框架，故C符合题意；
D、3+5＜9，长度是3cm、5cm、9cm的三根木棒不能做成三角形框架，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
2．【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定和性质判断即可．
【解答】解：∵△ABE≌△AFC，
∴∠EAB＝∠CAF，AC＝AB，∠C＝∠B，
∴∠EAC＝∠FAB，故A正确；
在△ACN与△ABM中，
∴△ACN≌△ABM，故C正确；
∴AM＝AN，故D正确；
故选：B．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是综合利用全等三角形的判定和性质进行解答．
3．【答案】D
【分析】设第三根木棒的长为l，再根据三角形的三边关系得出l取值范围即可．
【解答】解：设第三根木棒的长为l，
则30cm﹣25cm＜l＜30cm+25cm，即5cm＜l＜55cm．
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
4．【答案】D
【分析】分两种情况，当BD在△ABC内部时，由三角形高线定义求出∠A＝90°﹣30°＝60°，即可得到∠ABC＝∠C60°；当BD在△ABC外部时，求出∠BAD＝90°﹣30°＝60°，由三角形外角的性质即可得到∠ABC＝∠C∠BAD＝30°，因此∠C的度数为60°或30°．
【解答】解：如图，当BD在△ABC内部时，
∵BD是AC边上的高线，∠ABD＝30°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ABC＝∠C（180°﹣60°）＝60°；
如图，当BD在△ABC外部时，
∵BD是AC边上的高线，∠ABD＝30°，
∴∠BAD＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ABC+∠C＝∠BAD，
∴∠ABC＝∠C∠BAD＝30°，
∴∠C的度数为60°或30°．
故选：D．
【点评】本题考查三角形内角和定理，关键是要分两种情况讨论．
5．【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠BAC＝40°，利用SSS证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝70°，
∴∠B＝∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝40°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠DAB＝∠DAC，
∵∠DAB+∠DAC＝∠BAC，
∴∠DAC＝20°，
故选：B．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
6．【答案】B
【分析】由全等三角形的判定，即可判断．
【解答】解：∵OB平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠FOE，
A、由SAS判定△DOE≌△FOE，故A不符合题意；
B、∠DOE和∠FOE分别是DE和FE的对角，不能判定△DOE≌△FOE，故B符合题意；
C、由ASA判定△DOE≌△FOE，故C不符合题意；
D、由AAS判定△DOE≌△FOE，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
7．【答案】A
【分析】依据三角形的面积公式及点D、E、F分别为边BC，AD，CE的中点，推出S△BEFS△ABC，从而求得△BEF的面积．
【解答】解：∵点D、E、F分别为边BC，AD，CE的中点，
∴S△ABDS△ABC、S△BDES△ABD、S△CDES△ADC、S△BEFS△BEC，
∴S△BEFS△ABC；
∵△ABC的面积是4，
∴S△BEF＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形面积问题，关键是根据三角形的面积公式：S底×高解答．
8．【答案】C
【分析】根据题意得出OF＝OD，EF＝DE证△DOE≌△EOF即可求解．
【解答】解；根据作图过程可知：OF＝OD，EF＝DE，
在△EOF和△DOE中，
，
∴△EOF≌△DOE（SSS），
∴∠DOE＝∠AOB＝32°，
∴∠BOD＝∠DOE+∠AOB＝64°，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，作图﹣复杂作图，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定．
9．【答案】D
【分析】由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出CE＝OD，OE＝BD，求出DE的长则可得出答案．
【解答】解：由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．
∴∠COE＝∠OBD，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD、CE分别为1.4m和1.8m，
∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝1.8﹣1.4＝0.4（m），
∵AD＝1m，
∴AE＝AD+DE＝1.4（m），
答：爸爸是在距离地面1.4m的地方接住小丽的．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，证明△COE≌△OBD是解题的关键．
10．【答案】A
【分析】根据作图痕迹判断即可．
【解答】解：（1）弧①是以点O为圆心，以任意长为半径所作的弧，错误，应该是以点C为圆心，半径等于第一个角画的弧的半径；
（2）弧②是以点A为圆心，以任意长为半径所作的弧，错误，应该是②是以点A为圆心，大于AB长为半径所作的弧；
（3）弧③是以点O为圆心，以大于DE的长为半径所作的弧，错误，应该是弧③是以点E为圆心，以大于DE的长为半径所作的弧；
故选：A．
【点评】本题考查作图—基本作图，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】12．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可得出AP＝PD，即得出△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形，即可推出S△BPCS△ABC，即可求出答案．
【解答】解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的角平分线，
∴AP＝PD，
∴△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形，
∴S△ABP＝S△DBP，S△ACP＝S△DCP．
∵S△ABC＝S△ABP+S△DBP+S△ACP+S△DCP，S△BPC＝S△DBP+S△DCP，
∴S△BPCS△ABC，
∵S△ABCAB AC8×6＝24（cm2），
∴S△BPC24＝12（cm2）．
故答案为：12．
【点评】本题考查等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”是解答本题的关键．
12．【答案】90°．
【分析】证明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE＝∠BAD，根据直角的定义和等量关系可得结论．
【解答】解：在△DCE和△ABD中，
，
∴△DCE≌△ABD（SAS），
∴∠CDE＝∠BAD，
∴∠BAD+∠ADC＝∠CDE+∠ADC＝90°．
故答案为：90°．
【点评】本题是网格型问题，考查了全等三角形的判定与性质，本题构建全等三角形是关键．
13．【答案】54°或108°或84°．
【分析】当a＝54°时，当β＝54°时，当54°既不是a也不是β时，分类讨论得结论．
【解答】解：（1）当三角形中一个内角α＝54°时，
“友好角a“的度数为54°；
（2）当三角形中一个内角β＝54°时，
由题意：a＝54°÷0.5＝108°．
∴“友好角a“的度数为108°；
（3）当54°角既不是a也不是β时，
∵α+β+54°＝180°，
∴α54°＝180°，
∴a＝84°．
∴“友好角a“的度数为84°．
故答案为：54°或108°或84°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理、分类讨论的思想方法及理解“友好三角形”的定义是解决本题的关键．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE＝DC，就可以求出DE的值．
【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC＝1，CE＝AD＝3．
∴DE＝EC﹣CD＝3﹣1＝2
故选答案为2．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】根据BD是△ABC的中线，可得，再由BG＝2GD，可得，即可求解．
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，△ABC的面积为6，
∴，
∵BG＝2GD，
∴，
∴，
即图中阴影部分的面积是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形的面积问题．其中根据三角形的中线的性质进行解答是解决本题的关键．
16．【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，进一步确定第三边的长，由此得出答案即可．
【解答】解：∵a＝3，b＝4，
∴根据三角形的三边关系，得4﹣3＜c＜4+3．
即1＜c＜7，
∵若三边长为连续整数，
∴c＝2或5
故答案为：2或5．
【点评】本题主要考查三角形三边关系，注意掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
三．解答题（共8小题）
17．【答案】∠ABC＝44°，∠BAC＝71°．
【分析】分析题意，根据AD是BC边上的高可得∠ADB＝∠ADC＝90°，∠BED+∠EBD＝90°，再根据∠BED＝68°可求得∠EBD＝22°，根据BE平分∠ABC，可得∠ABD＝2∠EBD＝44°，根据∠ABD+∠BAC+∠C＝180°，∠C＝65°可得∠BAC＝71°．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠BED+∠EBD＝90°，
∵∠BED＝68°，
∴∠EBD＝22°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBD＝44°；
∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180°，
∵∠C＝65°，
∴∠BAC＝71°．
【点评】此题考查了三角形内角和定理，利用角平分线和直角三角形的性质，熟知三角形内角和是180°是解题关键．
18．【答案】见试题解答内容
【分析】先证△ABE≌△DFC得∠B＝∠D，再证△ABO≌△COD，根据全等三角形的性质即可证明AC与BD互相平分．
【解答】证明：∵BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF
即BE＝DF，
在△ABE和△DFC中，
∴△ABE≌△DFC（SSS），
∴∠B＝∠D．
在△ABO和△CDO中，
∴△ABO≌△CDO（AAS），
∴AO＝CO，BO＝DO，
即AC与BD互相平分．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及互相平分的定义，解题关键是通过证明△ABE≌△DFC得∠B＝∠D，为证明△ABO≌△COD提供条件．
19．【答案】（1）见解答；
（2）35°．
【分析】（1）由∠CAF＝∠BAE得到∠BAC＝∠EAF，利用ASA即可证明△ABC≌△AEF；
（2）由三角形内角和定理求出∠BAC＝105°，由全等的性质得AB＝AE，则∠B＝∠AEB＝55°，由三角形内角和定理求出∠BAE＝70°，即可得到∠EAC的度数．
【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠CAF+∠EAC＝∠BAE+∠EAC，
即∠BAC＝∠EAF，
在△ABC和△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（ASA）；
（2）解：∵∠B＝55°，∠C＝20°，
∴∠BAC＝180°﹣55°﹣20°＝105°，
∵△ABC≌△AEF，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB＝55°，
∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝70°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝105°﹣70°＝35°．
【点评】此题考查了三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
20．【答案】（1）见解答．
（2）△DBF为等腰三角形，理由见解答．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）根据角平分线的定义可得∠ABF＝∠CBF，由平行线的性质可得∠DFB＝∠CBF，则∠ABF＝∠DFB，进而可得DB＝DF，则△DBF为等腰三角形．
【解答】解：（1）如图，BF即为所求．
（2）△DBF为等腰三角形．
理由：∵BF为∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠DFB，
∴DB＝DF，
∴△DBF为等腰三角形．
【点评】本题考查作图—基本作图、平行线的性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定是解答本题的关键．
21．【答案】（1）见解答；
（2）3．
【分析】（1）利用作一线段等于已知线段的尺规作图求解即可；
（2）先由AB＝4，BC＝2，且M，N分别为AB，BC的中点，知MBAB＝2，BNBC＝1，再结合MN＝MB+BN可得答案．
【解答】解：（1）如图所示，线段AB、BC即为所求．
（2）∵a＝4，b＝2，即AB＝4，BC＝2，且M，N分别为AB，BC的中点，
∴MBAB＝2，BNBC＝1，
∴MN＝MB+BN＝2+1＝3．
【点评】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握作一线段等于已知线段的尺规作图及线段中点的性质．
22．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB＝DP＝DB﹣PB求出即可．
【解答】解：∵∠CPD＝20°，∠APB＝70°，∠CDP＝∠ABP＝90°，
∴∠DCP＝∠APB＝70°，
在△CPD和△PAB中
∵，
∴△CPD≌△PAB（ASA），
∴DP＝AB，
∵DB＝11.2，PB＝3，
∴AB＝11.2﹣3＝8.2（m），
答：路灯的高度AB是8.2米．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD≌△PAB是解题关键．
23．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由平行线的性质得出∠BAE＝∠FCD，根据SAS可得出△ABE≌△CDF；
（2）求出∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝100°，可得出∠CFD＝∠AEB＝100°．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠FCD，
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
又∵AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，
∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°，
∵△ABE≌△CDF，
∴∠CFD＝∠AEB＝100°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的外角和等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．【答案】见解答．
【分析】利用基本作图，作一个角等于已知角．
【解答】解：如图，∠DCP为所作．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
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