第一章 整式的乘除（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版（2024）数学七年级下册

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第一章 整式的乘除
一．选择题（共10小题）
1．20a7b6c÷（﹣4a3 b2）÷（ab）的值（　　）
A．﹣5a5b2 B．﹣5a5b5 C．5a5b2 D．﹣5a3b3c
2．下列计算正确的是（　　）
A．a a＝2a B．（x3）2＝x5
C．﹣（x4）3＝﹣x12 D．（﹣2x3）4＝8x12
3．下面的计算，不正确的是（　　）
A．5a3﹣a3＝4a3 B．2m×3n＝6m+n
C．（﹣am）2＝a2m D．﹣a2×（﹣a）3＝a5
4．下列运算正确的是（　　）
A．2x x3＝2x4 B．（x﹣2）2＝x2﹣4
C．x2+x3＝x5 D．（x3）4＝x7
5．下列计算正确的是（　　）
A．4x2﹣2x2＝2 B．（2x）3＝6x3
C．﹣（a﹣b）＝﹣a+b D．2a3b﹣ab3＝a3b
6．下列计算正确的是（　　）
A．（3a2）2＝6a4 B．a2 a3＝a5
C．a6÷a2＝a3 D．（a3）2＝a9
7．如图分割的正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（　　）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
8．下列运算结果正确的是（　　）
A．a5﹣a3＝a2 B．a5 a3＝a15
C．a6÷a3＝a2 D．（﹣a5）2＝a10
9．下列计算正确的是（　　）
A．a6÷a3＝a2 B．（﹣a2b3）2＝a4b9
C．3b3 2b2＝6b5 D．2a2﹣a2＝2
10．如果计算（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）的结果不含x5项，那么m的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．
二．填空题（共6小题）
11．计算：（2a2b﹣2）2 （a﹣1b）3＝　 　．
12．已知（x+m）（x﹣n）＝x2﹣4x﹣2，则m+n＝　 　．
13．已知关于x的多项式ax﹣b与4x2﹣3x+8的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为﹣8，则a+b的值为 　 　．
14．计算：（π﹣2023）0+（﹣2）﹣1＝　 　．
15．已知a+b＝﹣5，ab＝6，则a2+b2＝　 　．
16．计算：（π﹣3）0﹣2﹣2＝　 　．
三．解答题（共9小题）
17．计算：
（1）；
（2）2042﹣198×202．
18．计算：
（1）（2x2y3）2 （﹣3x3y）；
（2）（3x﹣2y）（﹣2y﹣3x）﹣（x﹣2y）2．
19．计算：
（1）（4a3﹣6a2）÷2a；
（2）4（a+1）2﹣（2a+1）（2a﹣1）．
20．计算：
（Ⅰ）（2x+5y）2﹣（2x﹣3y）（3y+2x）；
（Ⅱ）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x2y））+3x2y．
21．已知，先化简多项式，再求它的值．
22．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
（1）模拟练习，如图，写出一个我们熟悉的数学公式：　 　；
（2）解决问题：如果a+b＝10，ab＝16，求a2+b2的值；
（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝22，求这个长方形的面积．
23．[挑战题]数学活动课上，老师准备了如图①所示的长为2a，宽为2b的长方形纸片沿着长方形纸片内部的虚线剪开得到4个面积相等的小长方形，按图②的形状拼成一个大正方形，其中阴影部分为一个小正方形．
（1）请你观察图形，写出（a﹣b）2，（a+b）2，4ab之间的等量关系；
（2）如图③，为两个大小不同的正方形，面积分别是S1和S2，已知面积之和为36，连接点A，F与边AC，CF构成Rt△ACF，若AB＝10，求S△ACF．
24．某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如，等式（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图（1）的面积关系来解释：图（1）的面积为（2a+b）（a+b），各部分的面积之和为2a2+3ab+b2，故（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．
（1）根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为 　 　；
（2）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以解释．
25．如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形．
（1）分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是 　 　．
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2
D．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用这个公式完成下列各题．
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，求2m﹣n的值；
②计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．
第一章 整式的乘除
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】D
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：20a7b6c÷（﹣4a3 b2）÷（ab）
＝﹣5a4b4c÷ab
＝﹣5a3b3c．
故选：D．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可解答．
【解答】解：A、a a＝a2，故A不符合题意；
B、（x3）2＝x6，故B不符合题意；
C、﹣（x4）3＝﹣x12，故C符合题意；
D、（﹣2x3）4＝16x12，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．【答案】B
【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，逐项判定即可
【解答】解：A、5a3﹣a3＝4a3，正确，不符合题意；
B、2m×3n≠6m+n，原计算错误，符合题意；
C、（﹣am）2＝（﹣1）2 （am）2＝a2m，正确，不符合题意；
D、﹣a2×（﹣a）3＝﹣a2×（﹣a3）＝a5，正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法法则，熟知以上知识是解题的关键．
4．【答案】A
【分析】根据单项式乘法、完全平方公式、合并同类项法则、幂的乘方的运算方法，利用排除法求解．
【解答】解：A、2x x3＝2x4，正确，符合题意；
B、（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，原计算错误，不符合题意；
C、x2与x3不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
D、（x3）4＝x12，原计算错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，完全平方公式，幂的乘方的性质，单项式的乘法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．【答案】C
【分析】利用合并同类项法则，积的乘方法则，去括号法则逐项判断即可．
【解答】解：4x2﹣2x2＝2x2，则A不符合题意；
（2x）3＝8x3，则B不符合题意；
﹣（a﹣b）＝﹣a+b，则C符合题意；
2a3b与ab3不是同类项，无法合并，则D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6．【答案】B
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、（3a2）2＝9a4，原计算错误，不符合题意；
B、a2 a3＝a5，正确，符合题意；
C、a6÷a2＝a4，原计算错误，不符合题意；
D、（a3）2＝a6，原计算错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．【答案】D
【分析】图1的面积可表示为（a+b）（a﹣b），图2阴影部分面积可表示为a2﹣b2，即可求解．
【解答】解：图1的面积可表示为（a+b）（a﹣b），
图2阴影部分面积可表示为a2﹣b2，
∴可以验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故选：D．
【点评】本题考查了图形面积的求法，平方差公公式的几何背景，解题关键是数形结合的解题思想．
8．【答案】D
【分析】根据幂的乘方，合并同类项的方法，以及同底数幂的乘除法的运算方法，逐项判断即可．
【解答】解：A、a5与a3不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、a5 a3＝a8≠a15，原计算错误，不符合题意；
C、a6÷a3＝a3≠a2，原计算错误，不符合题意；
D、（﹣a5）2＝a10，正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．
9．【答案】C
【分析】分别根据同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方法则，单项式乘单项式法则和合并同类项法则判断即可．
【解答】解：A、应为a6÷a3＝a3，故本选项不符合题意；
B、（﹣a2b3）2＝a4b6，故本选项不符合题意；
C、3b3 2b2＝6b5，故本选项符合题意；
D、2a2﹣a2＝a2，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方法则，单项式乘单项式法则和合并同类项法则，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
10．【答案】A
【分析】先计算单项式乘以多项式，再结合x5项的系数为零即可得出答案．
【解答】解：∵（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）
＝﹣8x2+4nx3﹣12x4﹣4mx5，
又∵计算的结果不含x5项，
∴﹣4m＝0．
∴m＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握单项式乘以多项式的法则是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】．
【分析】根据单项式乘单项式的法则计算即可．
【解答】解：（2a2b﹣2）2 （a﹣1b）3
＝4a4b﹣4 a﹣3b3
＝4ab﹣1
，
故答案为：．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，负整数指数幂，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握单项式乘单项式的法则是解题的关键．
12．【答案】．
【分析】先利用多项式乘多项式法则计算已知条件中等式的左边，然后根据右边得到m﹣n＝﹣4，mn＝2，再灵活利用完全平方公式求出m+n即可．
【解答】解：（x+m）（x﹣n）
＝x2﹣nx+mx﹣mn
＝x2+（m﹣n）x﹣mn，
∵（x+m）（x﹣n）＝x2﹣4x﹣2，
∴m﹣n＝﹣4，mn＝2，
∴（m﹣n）2＝16，
m2+n2﹣2mn＝16，
m2+n2﹣2×2＝16，
m2+n2＝20，
∴（m+n）2
＝m2+n2+2mn
＝20+2×2
＝20+4
＝24，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握完全平方公式和灵活运用完全平方公式解决问题．
13．【答案】．
【分析】根据多项式乘以单项式进行计算，根据题意，令x2项的系数为0，且常数项为﹣8，得出a，b的值，进而即可求解．
【解答】解：∵（ax﹣b）（4x2﹣3x+8）＝4ax3﹣3ax2+8ax﹣4bx2+3bx﹣8b＝4ax3﹣（3a+4b）x2+（8a+3b）x﹣8b，不含x的二次项，且常数项为﹣8，
∴，
解得，
∴a+b1．
故答案为：．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
14．【答案】．
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算即可．
【解答】解：（π﹣2023）0+（﹣2）﹣1
＝1
，
故答案为：．
【点评】本题考查了零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】根据完全平方公式，即可解答．
【解答】解：∵a+b＝﹣5，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+2ab+b2＝25．
∵ab＝6，
∴a2+b2+12＝25，
∴a2+b2＝13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
16．【答案】见试题解答内容
【分析】根据负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数），零指数幂：a0＝1（a≠0）进行计算即可．
【解答】解：原式＝1，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂和零次幂，关键是掌握计算公式．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】（1）；
（2）1620．
【分析】（1）根据实数整数幂的性质和逆用积的乘方法则先算乘方，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先把204写成200+4，198写成200﹣2，202写成200+2的形式，然后利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式＝（200+4）2﹣（200﹣2）（200+2）
＝2002+2×4×200+16﹣2002+4
＝2002﹣2002+1600+16+4
＝1620．
【点评】本题主要考查了实数的有关运算，解题关键是熟练掌握实数整数幂的性质、积的乘方法则和完全平方公式与平方差公式．
18．【答案】（1）﹣12x7y7；
（2）﹣10x2+4xy．
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，即可解答；
（2）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）（2x2y3）2 （﹣3x3y）
＝4x4y6 （﹣3x3y）
＝﹣12x7y7；
（2）（3x﹣2y）（﹣2y﹣3x）﹣（x﹣2y）2
＝4y2﹣9x2﹣（x2﹣4xy+4y2）
＝4y2﹣9x2﹣x2+4xy﹣4y2
＝﹣10x2+4xy．
【点评】本题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．【答案】（1）2a2﹣3a；（2）8a+5．
【分析】（1）用多项式的每一项去除以单项式，即可得到答案；
（2）先用完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可得到答案．
【解答】解：（1）（4a3﹣6a2）÷2a
＝4a3÷2a﹣6a2÷2a
＝2a2﹣3a；
（2）4（a+1）2﹣（2a+1）（2a﹣1）
＝4（a2+2a+1）﹣（4a2﹣1）
＝4a2+8a+4﹣4a2+1
＝8a+5．
【点评】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是运用公式法和合并同类项的方法解答．
20．【答案】（Ⅰ）20xy+34y2；
（Ⅱ）2x3y2+x2y．
【分析】（Ⅰ）先用完全平方公式和平方差公式运算，再合并同类项即可；
（Ⅱ）先用单项式乘以多项式法则计算括号内的多项式，再由多项式除以单项式法则计算求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）（2x+5y）2﹣（2x﹣3y）（3y+2x）
＝4x2+20xy+25y2﹣（2x+3y）（2x﹣3y）
＝4x2+20xy+25y2﹣（4x2﹣9y2）
＝4x2+20xy+25y2﹣4x2+9y2
＝20xy+34y2；
（Ⅱ）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x2y）]+3x2y
＝（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2）+3x2y
＝2x3y2﹣2x2y+3x2y
＝2x3y2+x2y．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式、单项式乘以多项式、多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
21．【答案】a2b+1，﹣7．
【分析】根据整式的加减混合运算法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出a、b的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝3ab2﹣[5a2b+（2ab2﹣1）+ab2]+6a2b
＝3ab2﹣（5a2b+2ab2﹣1+ab2）+6a2b
＝3ab2﹣5a2b﹣2ab2+1﹣ab2+6a2b
＝a2b+1，
∵（a+4）2+|b|＝0，
∴a+4＝0，b0，
∴a＝﹣4，b，
∴原式＝（﹣4）2×（）+1＝﹣7．
【点评】本题考查的是整式的化简求值、非负数的性质，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键．
22．【答案】（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab；（2）68；（3）7．
【分析】（1）用两种方法表示同一个图形面积即可．
（2）用（1）中得到的公式计算．
（3）将8﹣x，x﹣2当成两个字母后用公式．
【解答】解：（1）图中大正方形的面积可以表示为：（a+b）2，
还可以表示为：a2+b2+2ab．
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab．
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．
（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab．
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×16＝100﹣32＝68．
（3）设a＝8﹣x，b＝x﹣2，
则a+b＝6，a2+b2＝22．
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab．
∴36＝22+2ab．
∴ab＝7．
∴这个长方形的面积为：（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝7．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景及其应用，用两种方法表示同一个图形面积，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键．
23．【答案】（1）（a﹣b）2，（a+b）2，4ab之间的等量关系为（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（2）S△ACF＝16．
【分析】（1）阴影部分的面积可以看作边长（a+b）的正方形的面积减去4个小长方形的面积；
（2）设大正方形的边长为m、小正方形的边长n，根据m+n＝10，m2+n2＝36，以及完全平方公式求出mn＝32，从而得出结论．
【解答】解：（1）小正方形的边长为（a﹣b），因此面积为（a﹣b）2，
∵大正方形的面积为（a+b）2，
小长方形的面积为ab，
∴（a﹣b）2，（a+b）2，4ab之间的等量关系为（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（2）设大正方形的边长为m、小正方形的边长n，
则m+n＝10，m2+n2＝36，
由（m+n）2＝m2+n2+2mn得，
102＝36+2mn，
即mn＝32，
∴S△ACFmn＝16．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．本题更需注意要根据所找到的规律做题．
24．【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）详见解答．
【分析】（1）根据图形中正方形面积的不同计算方法即可得出答案；
（2）利用长为x+p，宽为x+q的长方形的面积加以解释即可．
【解答】解：（1）图2中，从“整体”上看是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，
组成“整体”的四部分的面积和为a2+2ab+b2，
因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）如图3，“整体”上是长为x+p，宽为x+q的长方形，因此面积为（x+p）（x+q），而组成大长方形的四部分的面积和为＝x2+（p+q）x+pq，
因此有（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq．
【点评】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的几何意义是正确解答的关键．
25．【答案】（1）A；（2）①3；②264﹣1．
【分析】（1）根据拼图过程，可用代数式表示图①、图②阴影部分的面积即可；
（2）①应用平方差公式将4m2﹣n2转化为（2m+n）（2m﹣n）再代入计算即可；
②先利用平方差公式进行计算，然后再从数字上找规律进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）图①中阴影部分的面积为a2﹣b2，图②阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
由图①，图②中阴影部分的面积相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A；
（2）①∵4m2﹣n2＝12，
∴（2m+n）（2m﹣n）＝12，
又∵2m+n＝4，
∴2m﹣n＝12÷4＝3；
②（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（216﹣1）（216+1）（232+1）
＝（232﹣1）（232+1）
＝264﹣1．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，根据拼图过程用代数式表示拼图前后阴影部分的面积是正确解答的关键．
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