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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024） 册、章 上册第二章
课标要求 无理数与实数：理解无理数和实数的概念；理解实数与数轴上的点一一对应； 能对实数进行分类。掌握算术平方根、平方根的区别，理解平方根和算术平方根的概念；理解立方根的概念；会用根号表示平方根和立方根；了解平方根和立方根的性质； 能求某些非负数的平方根和算术平方根，能求某些数的立方根。3、理解二次根式和最简二次根式的含义，能把非最简二次根式化简成最简二次根式，能进行简单的实数运算，能运用实数的运算解决简单的实际问题。
内容分析 具体内容包括：1、认识无理数和实数，实数与数轴上的点一一对应，能对实数进行分类（有理数、无理数）。2、认识算术平方根、平方根、立方根， 能用平方运算求某些非负数的平方根，用立方运算求某些数的立方根；能估计无理数的大小，并进行简单的比较。3、理解二次根式和最简二次根式的含义，能进行简单的实数运算，能运用实数的运算解决简单的实际问题。
学情分析 一、 学生已有的知识基础与经验：1、有理数基础： 学生已经掌握了有理数的概念（整数、分数），以及有理数的加、减、乘、除、乘方运算。这是学习实数的前提，特别是对于平方根和立方根的理解，需要借助乘方的逆运算。2、数的开方初步接触： 在学习乘方时，学生可能已经接触过简单的平方运算，3、估算能力： 学生具备一定的估算能力，例如估算一个较大的数的近似值，这有助于他们理解无理数的无限不循环小数特性，并进行实数的近似计算。4、数轴概念： 学生已经学习过数轴，理解数轴上的点与有理数的对应关系，这有助于他们理解实数与数轴上的点的一一对应关系。二、 学生可能遇到的困难与挑战：1、对无理数的理解： 无理数中无限不循环小数特性是学生认知上的一个难点。他们难以想象一个数的小数部分会无限延伸且没有规律，这与他们熟悉的有理数（有限小数或无限循环小数）形成鲜明对比。2、平方根与算术平方根的区别： 学生容易混淆一个正数的平方根（两个，互为相反数）和算术平方根（只有一个，是正的那个）。3、立方根的理解： 负数也有立方根，这与平方根（负数在实数范围内没有平方根）不同，学生可能对此感到困惑。4、虽然实数运算在有理数运算的基础上进行，但当涉及到无理数时，学生可能在运算规则的理解和应用上出现困难，尤其是在精确值与近似值的处理上。5估算的准确性： 虽然有估算基础，但对于更复杂的无理数的估算，学生可能缺乏有效的方法，导致估算结果偏差较大。6、从有理数到实数的思维跨越： 学生习惯了有理数的“完备性”（在数轴上似乎“填满了”），理解到数轴上还有“缝隙”（无理数）需要填补，需要一个认知上的突破。三、 学生的学习兴趣与动机：1、好奇心驱动： 无理数的“神秘”特性（无限不循环）可能会激发部分学生的好奇心，特别是当结合勾股定理等几何背景时。2、学生可能已经意识到，仅用有理数无法精确表示边长为1的正方形的对角线长度，这会促使他们思考数的范围的扩展。3、对于学有余力的学生，理解无理数、实数的概念以及进行相关的精确运算和估算，具有一定的挑战性，可以激发他们的学习兴趣。4、对于基础较弱或空间想象能力、抽象思维能力不足的学生，可能会因为概念抽象、运算复杂而产生畏难情绪，导致学习兴趣下降。
单元目标 教学目标本章节的教学旨在帮助学生构建完整的实数体系，掌握实数的基本运算和性质，并能运用所学知识解决相关问题，同时在此过程中培养学生的逻辑思维能力、运算能力、问题解决能力以及积极的情感态度。一、 知识与技能目标：1、理解数的扩展： 使学生理解有理数不足以表示所有度量结果，认识到引入无理数的必要性，从而理解实数的概念及其分类（有理数、无理数）。2、掌握平方根与立方根： 理解平方根、算术平方根和立方根的概念，会用根号表示；了解平方根和立方根的性质；能利用平方或立方运算进行简单的开方运算，并借助计算器进行更复杂的开方运算。3、理解实数运算： 理解实数范围内加减乘除乘方及开方运算的可行性，掌握实数运算的法则和运算律，并能进行简单的实数混合运算。4、理解实数与数轴： 理解实数与数轴上的点是一一对应的，能在数轴上大致表示一些简单的无理数，体会数形结合的思想。二、 过程与方法目标：1、经历概念形成过程： 通过实例（如开方运算、几何图形的度量）和探究活动，让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的过程，理解无理数和实数的概念。2、体验数系扩充的必要性： 通过解决具体问题（如求正方形对角线长度）时遇到有理数无法满足需求的情况，体验数系扩充的必要性和数学发展的过程。3、培养运算能力： 通过多样化的练习，提高学生进行实数运算的准确性和熟练度，特别是对平方根、立方根的估算和计算能力。4、渗透数学思想方法： 在教学中渗透数形结合（实数与数轴）、分类讨论（实数的分类）、估算（无理数的近似值）等数学思想方法。5、提升问题解决能力： 能运用实数的知识解决简单的实际问题，如计算几何图形的边长、面积、体积等。三、 情感态度与价值观目标：1、感受数学的严谨性： 通过对无理数存在的探究，感受数学概念的严谨性和逻辑性。2、激发学习兴趣： 通过有趣的实例和探究活动，激发学生对数学的好奇心和求知欲。3、培养科学态度： 在近似计算中，体会数学的精确性与近似性的统一，培养实事求是的科学态度。4、建立自信心： 通过克服学习中的困难（如理解无理数的抽象性），体验成功的喜悦，建立学习数学的自信心。5、体会数学文化： （可选）适当介绍有关实数发展的历史背景，体会数学在人类文明发展中的作用。教学重点、难点重点在于掌握核心概念（平方根、立方根、无理数、实数）及其基本性质和运算。难点则更多地在于对抽象概念（如无限不循环、一一对应）的深入理解，以及概念之间细微差别的辨析（如平方根与算术平方根），还有实际运算中近似处理的能力。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数2.1认识实数（1）12.2认识实数（2）12.3平方根12.4立方根12.5二次根式（1）12.6二次根式（2）12.7回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识实数（1）1、探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力。2．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力。1、利用思维导图对有理数进行分类。2、学生带着问题思考：如圆周率，0.02；，中的a，b到底是什么数？3、小组共同合作，动手操作，通过剪、拼的过程，共同合作寻找更多拼法。尝试找更多的拼法。3、思考边长可能的取值。4、利用计算器活动一和活动二正方形的边长。5、学生总结无理数的概念、相互补充，学会进行概括总结。6、试着对实数进行分类。7、自学例题。8、学生完成课堂练习，关注学困生环节一：知识链接环节二：问题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结认识实数（2）理解实数、有理数、无理数三者之间的关系.掌握有理数的运算法则、运算定律对于实数任然适应.掌握无理数在数轴上的表示方法。了解数轴上的任何点多可以用实数来表示充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力.发展学生的数感.1、学生思考学过的数并举例说明。2、检查数的分类预习题。3、活动探究1：有理数和无理数的区别，4、实数的分类。5、活动探究2，无理数和计算法则和方法和有理数相同6、用数轴上的点表示无理数。7、阅读数学资料《无理数的发现》8、学生自学例题9、完成课堂练习。环节一：知识链接环节二：复习导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结平方根掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别。能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开方运算和乘方运算的互逆关系。1、展示预习单2、根据勾股定理出X,Y,ZW.3、合作探究完成课本例题1的学习。2、引导学生小结算术平方根的含义和性质。4、合作探究完成课本例题3的学习。引导学生小结平方根的含义和性质。学生自学例题，思考为什么这里取算术平方根。学生完成课堂练习回顾本节课内容，畅所欲言，相互补充，完成本节课的总结。环节一：知识链接环节二：问题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结立方根了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，能用立方运算求某些数的立方根。2、学生通过对实际问题的解决，体会数学的实用价值。1、回顾旧知，并学生完成课前检测题。2、思考课本第34页问题。3、情境引入，明晰立方根的概念。4、计算一个数的立方根。5、由平方根性质类比立方根性质。6、自学例题7、学生完成课堂作业。8、课堂总结、小组交流，汇报交流结果。展示交流成果。环节一：回顾旧知并完成课前检测题。环节二：思考课本第34页问题，导入新课。环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二次根式（1）1.认识二次根式概念.2.探索二次根式的乘除法计算法则．二次根式的简单计算。 3.在小组的合作和探讨中，培养学生的合作能力和创新能力1、回顾算术平方根和平方根的概念。2、找出一组根式的共同特点，归纳出二次根式的概念。3、理解和掌握判断二次根式的方法。4、根据二次根式被开方数大于或等于0完成x取何值时,下列二次根式有意义 5、探究二次根式乘除法的计算法则。6、自学例题7、完成课堂练习。环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结二次根式（2）认识最简二次根式和二次根式的化简。熟练掌握二次根式的加、减、乘、除法运算。3.在小组的合作和探讨中，培养学生的合作能力和创新能力。1、回顾旧知。2、完成例题3的学习，然后归纳出最简二次根式的概念及最简二次根式具备的条件。3、学习课本例题4，明晰怎样进行二次根式的化简。4、学习例题5，理解二次根式的四则运算和实数的四则运算法则、运算定律同样适用。5、学习例题6，掌握非最简二次根式的计算，首先化简成最简二次根式，然后按照实数的四则运算法则进行计算。6、小组交流讨论怎样求格点梯形的面积和周长。7、学生独立完成课堂练习。8、引导学生对本课知识进行回顾总结。环节一：回顾旧知环节二、问题导入环节三：探究新知环节四：拓展延伸环节五：课堂练习环节六：课堂总结回顾与思考1.熟练掌握算术平方根,平方根,立方根的相关概念及简单的运算。2.熟练掌握实数的分类、无理数的概念，会用数轴表示无理数。3.理解最简二次根式的含义，能熟练地进行实数的化简和计算。4.学生体会类比的思想，提高学生归纳整理的能力，让学生学会倾听学会交流。1、展示预习题（章节思维导图）。2、梳理实数的相关概念，完成习题。3、梳理平方根和立方根相关知识，完成相应习题。4、梳理二次根式相关知识，完成相应习题。5、学生完成课堂练习。6、对照思维导图复述相应的概念。环节一：知识架构环节二、知识梳理环节三：课堂练习环节四：课堂总结
《实数》单元教学设计
活动一：知识链接
活动二：问题导入
活动三：探究新知
任务一：认识实数(1)
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：课堂总结
活动一：知识链接
活动二：复习导入
活动三：探究新知
任务二：认识实数(2)
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
实数
活动六：课堂总结
活动一：知识链接
活动二：问题导入
任务三：平方根
活动三：探究新知
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动一：复习旧知
活动二：问题导入
活动三：探究新知
活动四：典例精析
任务四：立方根
活动五：课堂练习
活动六：课堂总结
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
任务五：二次根式(1)
活动三：典例精析
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动一：知识回顾
活动二：问题导入
实数
任务六：二次根式(2)
活动三：探究新知
活动四：拓展延伸
活动五：课堂练习
活动六：课堂总结
活动一：知识架构
任务七：回顾与思考
活动二：知识梳理
活动三：课堂练习
活动四：课堂总结
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北师大版（2024）第二章《实数》2.1认知实数(2)教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 二
课题 认识实数（2） 课时 1
课标要求 理解实数的分类，掌握辨别有理数、无理数的方法。理解每一个实数都可以有数轴上的点表示，反过来数轴上的每一个都可以表示一个实数。并会用数轴的点表示无理数。
教材分析 认识无理数是义务教育课程标准北师大版（2024）八年级（上）第二章《实数》的第一节。本节内容安排了2个课时完成，第2课时让学生感受实数的分类，掌握在实数运算中，无理数计算方法与有理数方法相同。解每一个实数都可以有数轴上的点表示，反过来数轴上的每一个都可以表示一个实数。并会用数轴的点表示无理数。
学情分析 对学生上节课接触了无理数，对无理数有了初步的认识，本节课是上节课的延伸和提炼。学起来不会困难。学生有了数轴的认识和对勾股定理的掌握，对于学习实数用数轴上的点表示实数奠定了基础。
核心素养目标 理解实数、有理数、无理数三者之间的关系.掌握有理数的运算法则、运算定律对于实数任然适应.掌握无理数在数轴上的表示方法。了解数轴上的任何点多可以用实数来表示充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力.发展学生的数感.
教学重点 无理数用数轴上的点来表示
教学难点 提高学生的辨别能力，发展学生的数感。
教学准备 预习单、课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1、到目前为止,我们认识了哪些数 2、试一试:请把下列各数进行分类，填入相应的地方:按数的大小来分：正数：0.35, 1, 5.34，π，，负数：-12，-3.14，-58，，、非正非负数:0按数的概念来分整数：0, 12, 1，-58，分数：0.35， -3.14, 5.34 ，，，有理数;0, 12, 1，-58，，0.35， -3.14, 5.34 ，，，无理数:π， 1、学生思考学过的数并举例说明。2、检查数的分类预习题。 通过提问和检查预习题完成情况。引入新课。
二、探究 合作探究，活动领悟探究1：实数下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数有理数无理数知识要点1方法点拔: 判定一个数是否无理数: (1)是看它是不是无限小数,(2)看它是不是不循环小数.具体从以下几方面来判断:(1)开方开不尽的数是无理数;(2)π是无理数;(3)无理数与有理数的和、差一定是无理数；(4）无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数；思考：实数、有理数、无理数的关系？探究2：无理数的大小比较知识要点21、在实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内相反数、倒数、绝对值完全一样。2、实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方等运算，有理数的运算法则、运算定律对于实数任然适应.3、在实数运算中，无理数求近似数的方法与有理数求近似数的方法相同。探究三；无理数在数轴表示 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 知识要点31、每一个实数都可以有数轴上的点表示，反过来数轴上的每一个都可以表示一个实数。2、用数轴上的点来表示无理数时，构建一个直角三角形，以原点为圆心，以斜边为半径，与数轴的交点就是斜边的长度。与正半轴相交就是正无理数，与负半轴相交就是负无理数。阅读课本第29页，无理数的发现希伯索斯第一次发现边长为1的正方形的对角线并不能用整数比来表达，出现了无理数。他的发现引起了第一次数学危机。毕达哥拉斯学派最终建立了无理数，扩大了数域，为数学的发展做出了贡献。而希伯索斯为此献出了年轻的生命。第二次数学危机，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻。第三次数学危机发生在1902年,罗素悖论的产生震撼了整个数学界,号称天衣无缝,绝对正确的数学出现了自相矛盾. 活动探究1：有理数和无理数的区别，实数的分类。活动探究2，无理数和计算法则和方法和有理数相同用数轴上的点表示无理数。阅读数学资料《无理数的发现》 通过探究一的过程，使学生能正确的判别一个数数有理数还是无理数，并对实数进行分类。完成知识体系。通过探究2、3，使学生体验无理数的计算法则和方法相同。每一个实数都可以有数轴上的点表示，反过来数轴上的每一个都可以表示一个实数。在数轴上表示无理数时关键是构成直角三角形以原点为圆心，以斜边为半径，与数轴的交点就是斜边的长度。与正半轴相交就是正无理数，与负半轴相交就是负无理数。
三、典例精析 例1 把下列各数填入相应的集合. 学生自学例题 通过例题的学生巩固有理数和无理数的概念。正确区别有理数和无理数
四、课堂练习 基础达标：1．一个正方形的边长为a，面积为20，则( D )A．a可能是整数 B．a可能是分数C．a可能是有理数 D．a不是有理数2．下列各数中，是有理数的是( B )A．面积为3的正方形的边长B．体积为8的正方体的棱长C．两直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长D．长为3，宽为2的长方形的对角线长3．已知正数m满足条件m2＝40，则m的整数部分为( D )A．9 B．8 C．7 D．64．下列各数：，0，0.2，，0.303 003 000 3…(每个3后增加1个0)中，无理数的个数有( A )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则AB的取值范围是( B )A．3.0＜AB＜3.1 B．3.1＜AB＜3.2C．3.2＜AB＜3.3 D．3.3＜AB＜3.46．如图，在数轴上点A和点B之间的整数是（ B ）A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5能力提升：7.请用直尺与圆规在下面的数轴上画出表示的点(不写作法，但要保留清晰的作图痕迹)．解：如图，点A即为所求．8．已知直角三角形的两条直角边长分别是9 cm和5 cm，斜边长是x cm.(1)估计x在哪两个整数之间；(2)如果把x的结果精确到十分位，估计x介于哪两个数之间．如果精确到百分位呢？用计算器验证你的估计值． 解：(1)∵∴在整数10和11之间 x精确到十分位时，x在10.2与10.3之间，x精确到百分位时，x在10.29与10.30之间.拓展迁移9.如图，数轴上从左到右依次有A，B，C，D四个点，A，B之间的距离为a＋b，B，C之间的距离为2a－b，B，D之间的距离为5a＋2b，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动．(1)若圆形纸片从点A处滚动到点C处，恰好滚动了n(n为正整数)圈，则a＝__________(用含n的代数式表示)，a是__________(填“有理数”或“无理数”)；(2)若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好到达点B处，求C，D之间的距离(结果保留π)；. 解：(1)；无理数(2)由题意得a＋b＝π，所以CD＝(5a＋2b)－(2a－b)＝3a＋3b＝3(a＋b)＝3π，故C，D之间的距离为3π. 学生完成课堂作业。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
五、总结提升 1、实数的分类，判定一个数是无理数的方法:无限不循环的小数 2、实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方等运算，有理数的运算法则、运算定律对于实数任然适应.3、每一个实数都可以有数轴上的点表示，反过来数轴上的每一个都可以表示一个实数，方法：构建直角三角形，以原点为圆心，以斜边为半径画弧. 回顾本节课主要内容，学生畅所欲言，谈自己的收获 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1.把，，0，3.14，－，－，7.151 551 555 1…(每相邻两个1之间依次多一个5)这些数填入下面的集合中．整数集合：（0， ）分数集合：（，3.14，）无理数集合：（， ，7.151 551 555(每相邻两个1之间依次多一个5)）从-2,0,π，0.101001每相邻2个1之间依次多一个0)， ，这五个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是( B ) 3.下列结论正确的是( A )A. 无限不循环小数叫做无理数 B. 有理数包括正数和负数
C. 0除以任何数都得0 D. 两个有理数的和一定大于每一个加数4.下列说法：带根号的数是无理数；不含根号的数一定是有理数；无理数是开方开不尽的数；无限小数是无理数；⑤π是无理数，其中正确的有( D )A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个5.下列说法中：①有理数都是有限小数，②有限小数都是有理数③无理数都是无限不循环小数④无限小数都是无理数正确的是( C )A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④能力提升：6．如图，数轴上的点A所表示的实数为( B )A．－ B．－1－C．－1＋ D．1－7.如图所示，数轴上点A所表示的数为: ()拓展迁移：8．2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“π(Day)”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年，以下对于圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．其中表述正确的序号是( A )②③ B．①③ C．①④ D．②④9.如图，数轴上从左到右依次有A，B，C，D四个点，A，B之间的距离为a＋b，B，C之间的距离为2a－b，B，D之间的距离为5a＋2b，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动．若点A表示的数为π，圆形纸片从点A处滚动到点B，C，D处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点A处滚动3圈后，恰好到达点C处，求点D表示的数解：∵AB=a+b; BC=2a-b; BD=5a+2b∴ AC=AB+BC=3a, CD=BD-BC=3a+3b=3（a+b)）=3AB因为圆形纸片从点A处滚动到点B，C，D处的圈数均为整数，且从点A处滚动到点C处滚动了3圈，因此①当A，B之间的距离为π时，B，C之间的距离为2π，C，D之间的距离为3π，所以A，D之间的距离为π＋2π＋3π＝6π.又因为点A表示的数为π，所以点D表示的数为π＋6π＝7π；②当A，B之间的距离为2π时，B，C之间的距离为π，C，D之间的距离为2π×3＝6π，所以A，D之间的距离为2π＋π＋6π＝9π.又因为点A表示的数为π，所以点D表示的数为π＋9π＝10π.故点D表示的数为7π或10π.
教学反思
0, -12 , 0.35 , 1 , -3.14 ,5.34 ,-58 ,
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第二章 实数
1.1 认识实数（2）导学案
学习目标与重难点
学习目标：
理解实数、有理数、无理数三者之间的关系.
掌握有理数的运算法则、运算定律对于实数任然适应.
掌握无理数在数轴上的表示方法。了解数轴上的任何点多可以用实数来表示
4、充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力.发展学生的数感.
学习重点：无理数用数轴上的点来表示
学习难点：提高学生的辨别能力，发展学生的数感。
预习自测
一、知识链接
到目前为止,我们认识了哪些数
。
自学自测
2、试一试:请把下列各数进行分类，填入相应的地方:
按数的大小来分：
正数： 。
负数： 。
非正非负数: 。
按数的概念来分
整数： 。
分数： 。
有理数; 。
无理数： 。
教学过程
合作交流、新知探究
探究1：实数
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数
有理数 。
无理数 。
知识要点1
方法点拔:
判定一个数是否无理数:
(1)是看它是不是无限小数,(2)看它是不是不循环小数.
具体从以下几方面来判断:
(1)开方开不尽的数是无理数;
(2)π是无理数;
(3)无理数与有理数的和、差一定是无理数；
(4）无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数；
思考：实数、有理数、无理数的关系？完善思维导图
探究2：无理数的大小比较
知识要点2
1、在实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内相反数、倒数、绝对值完全一样。
2、实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方等运算，有理数的运算法则、运算定律对于实数任然适应.
3、在实数运算中，无理数求近似数的方法与有理数求近似数的方法相同。
探究三；无理数在数轴表示
知识要点3
1、每一个实数都可以有数轴上的点表示，反过来数轴上的每一个都可以表示一个实数。
2、用数轴上的点来表示无理数时，构建一个直角三角形，以原点为圆心，以斜边为半径，与数轴的交点就是斜边的长度。与正半轴相交就是正无理数，与负半轴相交就是负无理数。
阅读课本第29页，无理数的发现
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1．一个正方形的边长为a，面积为20，则( )
A．a可能是整数 B．a可能是分数C．a可能是有理数 D．a不是有理数
2．下列各数中，是有理数的是( )
A．面积为3的正方形的边长 B．体积为8的正方体的棱长
C．两直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长
D．长为3，宽为2的长方形的对角线长
3．已知正数m满足条件m2＝40，则m的整数部分为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
4．下列各数：，0，0.2，，0.303 003 000 3…(每个3后增加1个0)中，无理数的个数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则AB的取值范围是( )
A．3.0＜AB＜3.1 B．3.1＜AB＜3.2 C．3.2＜AB＜3.3 D．3.3＜AB＜3.4
6．如图，在数轴上点A和点B之间的整数是（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
能力提升：
7.请用直尺与圆规在下面的数轴上画出表示的点(不写作法，但要保留清晰的作图痕迹)．
8．已知直角三角形的两条直角边长分别是9 cm和5 cm，斜边长是x cm.
(1)估计x在哪两个整数之间；
(2)如果把x的结果精确到十分位，估计x介于哪两个数之间．如果精确到百分位呢？用计算器验证你的估计值．
拓展迁移
9.如图，数轴上从左到右依次有A，B，C，D四个点，A，B之间的距离为a＋b，B，C之间的距离为2a－b，B，D之间的距离为5a＋2b，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动．
(1)若圆形纸片从点A处滚动到点C处，恰好滚动了n(n为正整数)圈，则a＝__________(用含n的代数式表示)，a是__________(填“有理数”或“无理数”)；
(2)若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好到达点B处，求C，D之间的距离(结果保留π)；
.
总结反思、拓展升华
1、实数的分类，判定一个数是无理数的方法:无限不循环的小数
2、实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方等运算，有理数的运算法则、运算定律对于实数仍然适应.
3、每一个实数都可以有数轴上的点表示，反过来数轴上的每一个都可以表示一个实数，方法：构建直角三角形，以原点为圆心，以斜边为半径画弧.
五、【作业布置】
基础达标：
1.把，，0，3.14，－，－，7.151 551 555 1…(每相邻两个1之间依次多一个5)这些数填入下面的集合中．
整数集合：（ ）
分数集合：（ ）
无理数集合：（ ）
从-2,0,π，0.101001每相邻2个1之间依次多一个0)， ，这五个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是( )
3.下列结论正确的是( )
A. 无限不循环小数叫做无理数 B. 有理数包括正数和负数
C. 0除以任何数都得0 D. 两个有理数的和一定大于每一个加数
4.下列说法：带根号的数是无理数；不含根号的数一定是有理数；无理数是开方开不尽的数；无限小数是无理数；⑤π是无理数，其中正确的有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
5.下列说法中：①有理数都是有限小数，②有限小数都是有理数③无理数都是无限不循环小数④无限小数都是无理数正确的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④
能力提升：
6．如图，数轴上的点A所表示的实数为( )
A．－ B．－1－
C．－1＋ D．1－
7.如图所示，数轴上点A所表示的数为: ( )
拓展迁移：
8．2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“π(Day)”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年，以下对于圆周率的四个表述：
①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；
③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；
④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．
其中表述正确的序号是( )
②③ B．①③ C．①④ D．②④
9.如图，数轴上从左到右依次有A，B，C，D四个点，A，B之间的距离为a＋b，B，C之间的距离为2a－b，B，D之间的距离为5a＋2b，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动．若点A表示的数为π，圆形纸片从点A处滚动到点B，C，D处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点A处滚动3圈后，恰好到达点C处，求点D表示的数
课堂作业参考答案
D
B
D
A
B
B
7.解：如图，点A即为所求．
8. 解：(1)∵
∴在整数10和11之间
x精确到十分位时，x在10.2与10.3之间，
x精确到百分位时，x在10.29与10.30之间.
9. 解：(1)；无理数
(2)由题意得a＋b＝π，
所以CD＝(5a＋2b)－(2a－b)＝3a＋3b＝3(a＋b)＝3π，
故C，D之间的距离为3π.
课外作业参考答案
1.整数集合：（0， ）
分数集合：（，3.14，）
无理数集合：（， ，7.151 551 555(每相邻两个1之间依次多一个5)
2.B
3.A
4.D
5.C
6.B
7.
8.A
9解：∵AB=a+b; BC=2a-b; BD=5a+2b
∴ AC=AB+BC=3a, CD=BD-BC=3a+3b=3（a+b)）=3AB
因为圆形纸片从点A处滚动到点B，C，D处的圈数均为整数，且从点A处滚动到点C处滚动了3圈，
因此①当A，B之间的距离为π时，B，C之间的距离为2π，C，D之间的距离为3π，
所以A，D之间的距离为π＋2π＋3π＝6π.
又因为点A表示的数为π，
所以点D表示的数为π＋6π＝7π；
②当A，B之间的距离为2π时，B，C之间的距离为π，C，D之间的距离为2π×3＝6π，
所以A，D之间的距离为2π＋π＋6π＝9π.
又因为点A表示的数为π，
所以点D表示的数为π＋9π＝10π.
故点D表示的数为7π或10π.
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第二章实数
2.1认识实数(2)
01
教学目标
02
复习旧知
03
探究新知
04
典例精析
05
课堂小结
06
课堂小结
05
课堂练习
07
作业布置
01
教学目标
理解实数、有理数、无理数三者之间的关系.
01
掌握有理数的运算法则、运算定律对于实数仍然适应.
02
掌握无理数在数轴上的表示方法。理解数轴上的任何点多可以用实数来表示。
03
充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力.发展学生的数感.
04
02
复习旧知
到目前为止,我们认识了哪些数
试一试:请把下列各数进行分类，填入相应的地方:
按数的大小来分：
正数的有：( )
负数的有:( )
非正非负数：( )
0, -12 , 0.35 , 1 , -3.14 ,5.34 ,-58 ,
0.35 ,1,5.34 ,
-12 , -3.14 , -58 ,
0
02
复习旧知
试一试:请把下列各数进行分类，填入相应的地方:
0, -12 , 0.35 , 1 , -3.14 ,5.34 ,-58 ,
按数
的概
念来
分：
整数有：( )
分数有:( )
有理数的有 :( )
上述各数中除了有理数，还剩下的数有:( )
0, -12 , 1 ,-58
0.35 , -3.14 ,5.34,
0, -12 , 1 ,-58,
0.35 , -3.14 ,5.34,
03
新知探究
探究一
实数
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
知识要点1
方法点拔:
判定一个数是否无理数:
(1)是看它是不是无限小数,(2)看它是不是不循环小数.
具体从以下几方面来判断:
(1)开方开不尽的数是无理数;
(2)π是无理数;
(3)无理数与有理数的和、差一定是无理数；
(4）无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数；
03
新知探究
实数、有理数、无理数的关系？
整数
有理数
无理数
实数
分数
有限小数或无限循环小数
：无限不循环小数
03
新知探究
探究二
无理数的大小比较
解：5.232232223≈5.23223
2π≈2×3.1415962=6.2831852
由于5.23223＜5.47225＜6.2831852
∴
知识要点2
1、在实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内相反数、倒数、绝对值完全一样。
2、实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方等运算，有理数的运算法则、运算定律对于实数任然适应.
3、在实数运算中，无理数求近似数的方法与有理数求近似数的方法相同。
03
新知讲解
探究三
无理数在数轴表示
知识要点3
1、每一个实数都可以有数轴上的点表示，反过来数轴上的每一个都可以表示一个实数。
2、用数轴上的点来表示无理数时，构建一个直角三角形，以原点为圆心，以斜边为半径，与数轴的交点就是斜边的长度。与正半轴相交就是正无理数，与负半轴相交就是负无理数。
03
新知讲解
阅读课本第29页，无理数的发现
希伯索斯第一次发现边长为1的正方形的对角线并不能用整数比来表达，出现了无理数。他的发现引起了第一次数学危机。毕达哥拉斯学派最终建立了无理数，扩大了数域，为数学的发展做出了贡献。而希伯索斯为此献出了年轻的生命。
第二次数学危机，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻。
第三次数学危机发生在1902年,罗素悖论的产生震撼了整个数学界,号称天衣无缝,绝对正确的数学出现了自相矛盾.
03
典例精析
例1 把下列各数填入相应的集合.
0.351 3.14159 6
有理数集合
无理数集合
0.351
3.14159
6
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．一个正方形的边长为a，面积为20，则( )
A．a可能是整数 B．a可能是分数
C．a可能是有理数 D．a不是有理数
2．下列各数中，是有理数的是( )
A．面积为3的正方形的边长
B．体积为8的正方体的棱长
C．两直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长
D．长为3，宽为2的长方形的对角线长
D
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3．已知正数m满足条件m2＝40，则m的整数部分为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
4．下列各数：，0， ， ，0.303 003 000 3…(每个3后增加1个0)中，无理数的个数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则AB的取值范围是( )
A．3.0＜AB＜3.1 B．3.1＜AB＜3.2 C．3.2＜AB＜3.3 D．3.3＜AB＜3.4
D
A
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
6．如图，在数轴上点A和点B之间的整数是（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
7.请用直尺与圆规在下面的数轴上画出表示 的点(不写作法，但要保留清晰的作图痕迹)．
解：如图，点A即为所求．
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
8．已知直角三角形的两条直角边长分别是9 cm和5 cm，斜边长是x cm.
(1)估计x在哪两个整数之间；
(2)如果把x的结果精确到十分位，估计x介于哪两个数之间．如果精确到百分位呢？用计算器验证你的估计值．
解：(1)∵ ∴x在整数10和11之间
x精确到十分位时，x在10.2与10.3之间，
x精确到百分位时，x在10.29与10.30之间.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
9.如图，数轴上从左到右依次有A，B，C，D四个点，A，B之间的距离为a＋b，B，C之间的距离为2a－b，B，D之间的距离为5a＋2b，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动．(1)若圆形纸片从点A处滚动到点C处，恰好滚动了n(n为正整数)圈，则a＝__________(用含n的代数式表示)，a是__________(填“有理数”或“无理数”)；
(2)若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好到达点B处，求C，D之间的距离(结果保留π)；
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：(1) ；无理数
(2)由题意得a＋b＝π，
所以CD＝(5a＋2b)－(2a－b)＝3a＋3b＝3(a＋b)＝3π，
故C，D之间的距离为3π.
05
课堂小结
1、实数的分类，判定一个数是无理数的方法:无限不循环的小数
2、实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方等运算，有理数的运算法则、运算定律对于实数任然适应.
3、每一个实数都可以有数轴上的点表示，反过来数轴上的每一个都可以表示一个实数，方法：构建直角三角形，以原点为圆心，以斜边为半径画弧.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.把 ， ，0，3.14， ， ，7.151 551 555 1…(每相邻两个1之间依次多一个5)这些数填入下面的集合中．
整数集合：（ ）
分数集合：（ ）
无理数集合：
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
从-2,0,π，0.101001---每相邻2个1之间依次多一个0)， ，这五个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是( )
B
3.下列结论正确的是( )
A. 无限不循环小数叫做无理数, B. 有理数包括正数和负数,
C. 0除以任何数都得0, D. 两个有理数的和一定大于每一个加数.
A
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4.下列说法：①带根号的数是无理数；②不含根号的数一定是有理数；③无理数是开方开不尽的数；④无限小数是无理数；⑤π是无理数，其中正确的有（ ）个
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D.1个
5.下列说法中：①有理数都是有限小数，②有限小数都是有理数③无理数都是无限不循环小数④无限小数都是无理数正确的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④
D
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
6．如图，数轴上的点A所表示的实数为( )
B
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
7.如图所示，数轴上点A所表示的数为: ( )
06
作业布置
【综合拓展类作业】
8．2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“π(Day)”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年，以下对于圆周率的四个表述：
①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；
③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；
④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．
其中表述正确的序号是( )
②③ B．①③ C．①④ D．②④
A
06
作业布置
【综合拓展类作业】
9.如图，数轴上从左到右依次有A，B，C，D四个点，A，B之间的距离为a＋b，B，C之间的距离为2a－b，B，D之间的距离为5a＋2b，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动．若点A表示的数为π，圆形纸片从点A处滚动到点B，C，D处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点A处滚动3圈后，恰好到达点C处，求点D表示的数.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解：∵AB=a+b; BC=2a-b; BD=5a+2b
∴ AC=AB+BC=3a, CD=BD-BC=3a+3b=3（a+b)）=3AB
因为圆形纸片从点A处滚动到点B，C，D处的圈数均为整数，且从点A处滚动到点C处滚动了3圈，
因此①当A，B之间的距离为π时，B，C之间的距离为2π，C，D之间的距离为3π，
所以A，D之间的距离为π＋2π＋3π＝6π.
又因为点A表示的数为π，
所以点D表示的数为π＋6π＝7π；
06
作业布置
【综合拓展类作业】
②当A，B之间的距离为2π时，B，C之间的距离为π，C，D之间的距离为2π×3＝6π，
所以A，D之间的距离为2π＋π＋6π＝9π.
又因为点A表示的数为π，
所以点D表示的数为π＋9π＝10π.
故点D表示的数为7π或10π.
Thanks!
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