选择性必修第二册质量检测（含解析）

本册质量检测
(分值：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等差数列{an}中，a2＋a8＝16，a4＝1，则a6的值为(　　)
A．15 B．17
C．22 D．64
2．若直线y＝x＋b是曲线y＝的一条切线，则实数b＝(　　)
A．－1 B．
C．0 D．
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋k(k为常数)，那么下述结论正确的是(　　)
A．k为任意实数时，{an}是等比数列
B．k＝－1时，{an}是等比数列
C．k＝0时，{an}是等比数列
D．{an}不可能是等比数列
4．设奇函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)在区间(0，1)上存在极小值，则f′(x)的图象可能为(　　)
5．若正项等比数列{an}满足S3＝13，a2a4＝1，bn＝，则数列{bn}的前20项和是(　　)
A．－25 B．25
C．－150 D．150
6．若函数f(x)＝tan x－ax在区间(－1，1)上单调递增，则实数a的值不可能是(　　)
A．－1 B．
C．1 D．
7．在各项均为正数的等比数列{an} 中，a6＝3，则4a4＋a8(　　)
A．有最小值12 B．有最大值12
C．有最大值9 D．有最小值9
8．定义在上的函数f(x)满足f′(x)＋cos x<0，且f(0)＝1，则不等式f(x)＋sin x<1的解集为(　　)
A． B．
C． D．
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　)
A．f(x)在区间[－2，－1]上是增函数
B．x＝－1是f(x)的极小值点
C．f(x)在区间[－1，2]上是增函数，在区间[2，4]上是减函数
D．x＝1是f(x)的极大值点
10．已知函数f(x)＝ex－e－x－2cos x，则(　　)
A．f(0)＝－2
B．f′(x)＝ex＋e－x－2sin x
C．f(x)在R上单调递增
D．不等式f(x)＋2>0的解集为(0，＋∞)
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列的前n项和为Tn，n∈N*，则下列选项正确的是(　　)
A．数列{an＋1}是等差数列
B．数列{an＋1}是等比数列
C．数列{an}的通项公式为an＝2n－1
D．Tn<1
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．若函数f(x)＝(a>0)在区间(1，2)上的最小值为1，则a＝________．
13．已知各项均不相等的数列{an}满足2an＋1＝3an－an－1(n∈N*，n>1)则数列{an＋1－an}是公比为________的等比数列，若a2＝，则a1＝________．
14．设f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－ax在区间(0，4)上有三个零点，则实数a的取值范围是________________________________________________________________________．
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(13分)已知等差数列{an}的公差d＝2，且a1＋a2＝6.
(1)求a1及an；
(2)若等比数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a2，求数列{an＋bn}的前n项的和Sn.
16．(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an－2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.
17．(15分)已知数列{an}满足＝n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在①bn＝n！，②bn＝2n，③bn＝(－1)n这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：若____________，求数列的前n项和Sn.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．(17分)已知函数f(x)＝x(sin x＋1)＋2cos x和区间D＝，
(1)设函数f(x)的导函数为f′(x)，求f′(x)在区间D上零点的个数；
(2)若 x∈D，使得不等式ax≤f(x)成立，求实数a的取值范围．
19．(17分)设函数f(x)＝ex＋x2有两个极值点x1，x2，且x1(1)求实数a的取值范围；
(2)若f(x1)＝x1，求f(x)的极大值．
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1．解析：由等差数列的性质可得
2a5＝a2＋a8＝16，
∴a5＝8，
∴公差d＝a5－a4＝8－1＝7.
∴a6＝a5＋d＝8＋7＝15.
故选A.
答案：A
2．解析：设切点为，则由y′＝，可得＝1，解得x0＝，所以切点为，代入y＝x＋b得b＝.
故选B.
答案：B
3．解析：因为Sn＝3n＋k，所以当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝3n－3n-1＝2·3n-1，当n＝1时a1＝3＋k，
若{an}是等比数列，则a1＝3＋k＝2×30，∴k＝－1，
若k＝－1，则an＝2·3n-1(n≥1)，＝3，
∴{an}是等比数列．
故选B.
答案：B
4．解析：因为f(x)是奇函数，所以f′(x)是偶函数，排除C、D；f(x)在区间(0，1)上存在极小值，所以在(0，1)上f′(x)先负后正且有零点．故选A.
答案：A
5．解析：设正项等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由S3＝13，a2a4＝1，得，解得q＝，a1＝9.
∴an＝a1qn-1＝9·＝33-n，
bn＝log3an＝log3 33-n＝3－n，
则数列{bn}是以2为首项，以－1为公差的等差数列，
则S20＝20×2＋＝－150.
故选C.
答案：C
6．解析：依题意得，f′(x)＝－a≥0，即a≤在区间(－1，1)上恒成立，只需a≤＝1.故选D.
答案：D
7．解析：设数列{an}的公比为q(q>0)，
∵{an}是各项均为正数的等比数列，
∴4a4＋a8＝＝2×2a6＝12，
当且仅当＝a6q2即q＝时“＝”成立．
故选A.
答案：A
8．解析：构造函数g(x)＝f(x)＋sinx，则g′(x)＝f′(x)＋cos x<0，g(x)在单调递减．
又因为g(0)＝f(0)＋0＝1，
所以f(x)＋sin x<1等价于g(x)0.
故选C.
答案：C
9．解析：在[－2，－1]上f′(x)≤0，f(x)单调递减，A错误；f′(－1)＝0，且当－20，所以x＝－1是f(x)的极小值点，B正确；在[－1，2]上f′(x)≥0，f(x)单调递增，在[2，4]上f′(x)≤0，f(x)单调递减，C正确；f(x)在区间[－1，2]上是增函数，x＝1不是f(x)的极大值点，D错误．
故选BC.
答案：BC
10．解析：易知A正确；因为f′(x)＝ex＋e－x＋2sin x，故B错误；因为f′(x)＝ex＋e－x＋2sin x≥2＋2sin x＝2＋2sin x≥0，所以f′(x)>0，所以f(x)在R上单调递增，所以C正确；不等式f(x)＋2>0可化为f(x)>f(0)，解得x>0，故D正确．
故选ACD.
答案：ACD
11．解析：由Sn＋1＝Sn＋2an＋1即为
an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1，
可化为an＋1＋1＝2(an＋1)，由S1＝a1＝1，可得数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，
则an＋1＝2n，即an＝2n－1，
由，可得
Tn＝1－<1，
故A错误，B、C、D正确．
故选BCD.
答案：BCD
12．解析：因为a>0，所以f′(x)＝ax－在区间(1，2)上单调递增，设ax0－＝0，1答案：
13．解析：因为2an＋1＝3an－an－1(n∈N*，n>1)，所以2an＋1－2an＝an－an－1，则数列{an＋1－an}(n∈N*)是公比为的等比数列．令bn＝an＋1－an，则数列{bn}是公比为的等比数列，所以a8－a1＝b1＋b2＋b3＋…＋b7＝b1.因为b1＝a2－a1＝，所以，解得a1＝1.
答案：　1
14．解析：∵g(x)＝f(x)－ax在区间(0，4)上有三个零点，
∴|ln x|－ax＝0在区间(0，4)上有三个不同的解，
令a＝；
令h(x)＝，h′(x)＝
则当00，h(x)单调递增，a＝－h(x)单调递减，值域为(0，＋∞)；
当1≤x<4时，a＝＝h(x)在[1，e]上是增函数，
0≤，
在[e，4)上是减函数，
<；
故当a∈时，有三个不同的解．
答案：
15．解析：(1)由a1＋a2＝6，得2a1＋d＝6，
又d＝2，
∴a1＝2，
∴an＝2＋2(n－1)＝2n；
(2)由题意知b1＝2，b2＝2q＝4，即q＝2，
∴bn＝2n，
于是an＋bn＝2n＋2n，
故Sn＝(2＋4＋…＋2n)＋(2＋22＋…＋2n)＝n2＋n＋2n+1－2.
16．解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2，
当n>1时，由Sn＝2an－2，
可得Sn－1＝2an－1－2，n>1，
两式相减可得an＝2an－2an－1，即an＝2an－1，又因为a1＝2≠0，所以＝2，
所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2·2n-1＝2n
(2)由(1)知bn＝(2n－1)·2n，
Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，
则2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋L＋(2n－3)×2n＋(2n－1)×2n+1，
两式相减得－Tn＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)×2n+1
＝2＋－(2n－1)×2n+1＝2n+2－6－(2n－1)×2n+1＝－(2n－3)2n+1－6
所以Tn＝(2n－3)×2n+1＋6.
17．解析：(1)由＝n.①，
可得＝n－1(n>1)②，
①－②得＝1，解得an＝n－1(n>1)．
依题意可得＝1，解得a1＝0，又因为1－1＝0，所以a1适合an＝n－1.
所以数列{an}的通项公式为an＝n－1.
(2)若选①，则，
所以Sn＝.
若选②，则①，
所以②.
①－②得.
∴Sn＝1－.
若选③，则＝(－1)n(n－1)，
当n为偶数时，Sn＝(0＋1)＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋[－(n－2)＋(n－1)]＝；
当n为奇数时，则Sn＋1＝，所以Sn＝Sn＋1－(－1)n+1n＝.
所以Sn＝
18．解析：(1)f′(x)＝x cos x－sin x＋1，设g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝－x sin x.
所以当当π0，f′(x)在(π，2π]上单调递增．
又因为f′()＝0，f′(π)＝1－π<0，f′(2π)＝2π＋1>0，所以f′(x)在区间D上零点的个数为2.
(2)在区间D上，原不等式可等价转化为a≤sin x＋1＋.
设h(x)＝sin x＋1＋，则h′(x)＝cos x－＝.
设φ(x)＝(x2－2)cos x－2x sin x，则φ′(x)＝－x2sin x，所以当0，φ(x)在(π，2π]上单调递增．
所以φ(x)min＝φ(π)＝2－π2<0，又因为φ()＝－π<0，φ(2π)＝4π2－2>0，所以 x0∈(π，2π)，使得φ(x0)＝0，所以当0，h′(x)>0，h(x)在(x0，2π]上单调递增．
又因为h()＝2，h(2π)＝1＋<2，所以h(x)max＝2.
x∈D，使得不等式ax≤f(x)成立 a≤h(x)max，所以a≤2.
所以实数a的取值范围是(－∞，2].
19．解析：(1)当a＝0时，f(x)＝ex没有极值点，不适合题意，所以a≠0.
f′(x)＝ex＋ax，由f′(x)＝0，可得－＝ (x≠0).
令g(x)＝ (x≠0)，则g′(x)＝.
所以当x<1时，g′(x)>0，所以g(x)在(－∞，1)上单调递增；当x>1时，g′(x)<0，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递减．
所以当x＝1时，g(x)取得极大值，也是它的最大值，所以g(x)max＝g(1)＝.
又因为当x→－∞时，g(x)→－∞；当x→＋∞时，g(x)→0.
在同一坐标系中分别画出函数y＝－与y＝g(x)的图象，如图所示．
观察图象可知，当0<－<即a<－e时，二者有两个交点，即原函数有两个极值点．
所以实数a的取值范围是(－∞，－e).
(2)由(1)可知0所以f(x1)＝ex1＋＝ex1－＝x1，整理得－－＝0*.
设h(x)＝－－ (0又由(1)可知，当x，整理得f′(x)＝ex＋ax>0，所以f(x)在(－∞，x1)上单调递增；当x1所以当x＝x1时，f(x)取得极大值f(x1)＝×＝.