1.1.1幂的乘除 同底数幂的乘法（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版（2024）数学七年级下册

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幂的乘除 同底数幂的乘法
一．选择题（共10小题）
1．计算x3 x3的结果是（　　）
A．2x3 B．x6 C．2x6 D．x9
2．若xm＝2，xm+n＝6，则xn＝（　　）
A．2 B．3 C．6 D．12
3．计算x3 （﹣x2）的结果是（　　）
A．x5 B．﹣x5 C．x6 D．﹣x6
4．计算a3 a4的结果是（　　）
A．a6 B．a7 C．a8 D．a12
5．计算：﹣x4 （﹣x5）的结果是（　　）
A．x9 B．﹣x9 C．x20 D．﹣x20
6．若a×am×a3m+1＝a10，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列各式中，计算结果等于a9的是（　　）
A．a3+a6 B．a10﹣a C．a3 a6 D．a18+a2
8．若2a＝3，2b＝4，则2a+b等于（　　）
A．7 B．12 C．48 D．32
9．下列计算错误的是（　　）
A．x+x+x+x＝4x B．x﹣x﹣x﹣x＝﹣2x
C．x x x x＝x4 D．x÷x÷x÷x＝1
10．计算 a3 a2 的结果是（　　）
A．a B．a5 C．a6 D．a9
二．填空题（共6小题）
11．若5m＝8，5n＝4，则5m+n＝　 　．
12．ax＝2，ay＝3，则ax+y的值为 　 　．
13．若am＝﹣3，an＝5，则am+n＝　 　．
14．若5a+5a+5a+5a+5a＝510，则a＝　 　．
15．若3m＝5，3n＝6，则3m+n的值是 　 　．
16．若3a＝6，3b＝2，则3a+b＝　 　．
三．解答题（共9小题）
17．已知4x＝8，4y＝2，求x+y的值．
18．先阅读下列材料，再解答后面的问题：
材料：一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．
问题：（1）计算：log216＝　 　，（log39）281＝　 　．
（2）log55、log525、log5125之间满足怎样的关系式，请说明理由．
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
logaM+logaN＝　 　（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0）．
根据幂的运算法则：an am＝an+m以及对数的含义证明上述结论．
19．阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为an．如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．
一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，
则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．
（1）计算以下各对数的值：log24＝　 　，log216＝　 　，log264＝　 　．
（2）写出（1）log24、log216、log264之间满足的关系式 　 　；
（3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：logaM+logaN＝　 　；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
20．若“*”是我们定义的一种新的运算符号，且规定a*b＝2a×2b．
（1）求2*3的值；
（2）若2*（x+1）＝16，求x的值．
21．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
（5，125）＝　 　，（﹣2，4）＝　 　，（﹣2，1）＝　 　；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），他给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n
∴3x＝4，即（3，4）＝x，
∴（3n，4n）＝（3，4）．
请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．
（4，7）+（4，8）＝（4，56）．
22．规定m*n＝3m×3n，求：
（1）1*2；
（2）如果2*（x﹣1）＝81，求x的值．
23．已知（a+b）a （b+a）b＝（a+b）5，且（a﹣b）a+4 （a﹣b）4﹣b＝（a﹣b）7，求aabb的值．
24．（1）若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝　 　．
（2）已知ax＝5，ax+y＝25，求ax+ay的值．
（2）已知x2a+b x3a﹣b xa＝x12，求﹣a100+2101的值．
25．材料：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式23＝8可以转化为对数式3＝log28，对数式2＝log636可以转化为指数式62＝36．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）计算：log24＝　 　，log216＝　 　，log264＝　 　；
（2）观察（1）中的三个数，猜测：logaM+logaN＝　 　（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并加以证明这个结论；
（3）已知：loga3＝5，求loga9和loga27的值（a＞0且a≠1）．
幂的乘除 同底数幂的乘法
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】B
【分析】根据同底数幂的运算法则计算．
【解答】解：x3 x3＝x6，
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键．
2．【答案】B
【分析】根据同底数幂除法的计算法则进行求解即可．
【解答】解：∵xm＝2，xm+n＝6，
∴xn＝xm+n÷xm＝6÷2＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂除法，熟知同底数幂除法的计算法则是解题的关键，注意同底数幂除法指数是相减．
3．【答案】B
【分析】利用同底数幂的乘法的法则对式子进行运算即可．
【解答】解：x3 （﹣x2）＝﹣x5．
故选：B．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是熟记同底数幂的乘法的法则．
4．【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法法则am an＝am+n（m与n为整数）解决此题．
【解答】解：a3 a4＝a7．
故选：B．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．
5．【答案】A
【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
【解答】解：﹣x4 （﹣x5）
＝x4+5
＝x9．
故选：A．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．【答案】B
【分析】先利用同底数幂的乘法法则计算a×am×a3m+1，再根据值相等得关于m的方程，求解即可．
【解答】解：∵a×am×a3m+1
＝a1+m+3m+1
＝a4m+2
＝a10，
∴4m+2＝10．
∴m＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了整式的运算，掌握同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．
7．【答案】C
【分析】A．应用整式加减法则进行求解即可得出答案；
B．应用整式加减法则进行求解即可得出答案；
C．应用整式乘法法则进行求解即可出答案；
D．应用整式加减法则进行求解即可出答案．
【解答】解：A．因为a3与a6不是同类项，所以不能合并，故A选项不符合题意；
B．因为a10﹣a＝a（a9﹣1），所以B选项结果等于a（a9﹣1），故B选项符合题意；
C．a3 a6＝a9，计算结果等于a9，故C选项符合题意；
D．因为a18+a2＝a2（a16+1），所以D选项结果不等于a9，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了同底数幂乘除法，整式加减，熟练掌握同底数幂乘除法，整式加减运算法则进行求解是解决本题的关键．
8．【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行解题即可．
【解答】解：2a+b＝2a×2b＝3×4＝12．
故选：B．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．
9．【答案】D
【分析】根据合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、x+x+x+x＝4x，故本选项正确，不符合题意；
B、x﹣x﹣x﹣x＝﹣2x，故本选项正确，不符合题意；
C、x x x x＝x4，故本选项正确，不符合题意；
D、x÷x÷x÷x＝1÷x÷x，故本选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，熟练掌握合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除法则是解题的关键．
10．【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：a3 a2＝a5，
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟记法则是解题的关键，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】32．
【分析】把5m+n化为5m 5n，然后把已知条件代入计算即可．
【解答】解：∵5m＝8，5n＝4，
∴5m+n＝5m 5n＝8×4＝32，
故答案为：32．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．
12．【答案】6．
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：∵ax＝2，ay＝3，
∴ax+y＝ax ay，
＝ax ay，
＝2×3，
＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了幂的有关运算．幂的乘方法则：底数不变指数相乘．同底数幂的乘法法则：底数不变指数相加．
13．【答案】﹣15．
【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案．
【解答】解：∵am＝﹣3，an＝5，
∴am+n＝am an＝﹣15，
故答案为：﹣15．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
14．【答案】9．
【分析】先利用合并同类项法则计算，再利用同底数幂相乘法则进行计算即可．
【解答】解：∵5a+5a+5a+5a+5a＝510，
∴5×5a＝510，
51+a＝510，
∴1+a＝10，a＝9，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，解题关键是熟练掌握合并同类项法则和同底数幂相乘法则．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】逆向运用同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：∵3m＝5，3n＝6，
∴3m+n＝3m×3n＝5×6＝30．
故答案为：30．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
16．【答案】12．
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵3a＝6，3b＝2，
∴原式＝3a 3b
＝6×2
＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法，本题属于基础题型．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵4x＝8，4y＝2，
∴4x×4y＝8×2＝16＝42，
∴x+y＝2．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
18．【答案】（1）4；；（2）log55+log525＝log5125，证明见解答；（3）loga（MN），证明见解答．
【分析】（1）根据对数的概念，结合有理数的乘方运算法则进行分析计算；
（2）根据对数的概念，结合有理数的乘方运算法则进行分析计算；
（3）根据对数的概念，结合同底数幂的乘方运算法则进行分析推理．
【解答】解：（1）∵24＝16，
∴log216＝4，
∵32＝9，34＝81，
∴log39＝2，log381＝4，
∴（log39）281
＝224
＝4
，
故答案为：4；；
（2）log55+log525＝log5125，理由如下：
根据题意，log55＝1，log525＝2，log5125＝3，
∴log55+log525＝log5125；
（3）logaM+logaN＝loga（MN），证明如下：
设logaM＝b1，logaN＝b2
则，，
∴，
又∵an am＝an+m，
∴，
即logaM+logaN＝loga（MN），
故答案为：loga（MN）．
【点评】本题属于新定义内容，理解有理数乘方的运算法则，应用同底数幂的乘法运算法则是解题关键．
19．【答案】（1）2，4，6；
（2）log24+log216＝log264；
（3）loga（MN）．
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，即可找到规律：4×16＝64，log24+log216＝log264；
（3）由特殊到一般，得出结论：logaM+logaN＝loga（MN）．
【解答】解：（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6，
故答案为：2，4，6；
（2）∵4×16＝64，log24＝2，log216＝4，log264＝6，
∴log24+log216＝log264，
故答案为：log24+log216＝log264；
（3）logaM+logaN＝loga（MN），
故答案为：loga（MN）．
【点评】本题是开放性的题目，难度较大．借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
20．【答案】（1）32；
（2）x＝1．
【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可；
（2）把相应的值代入运算即可．
【解答】解：（1）2*3＝22×23＝4×8＝32；
（2）∵2*（x+1）＝16，
∴22×2x+1＝16，
22+x+1＝24，
∴2+x+1＝4，
解得：x＝1．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
21．【答案】（1）3；2；0；（2）理由见解答．
【分析】（1）根据新定义运算结合有理数乘方运算法则进行分析求解；
（2）根据新定义运算，结合同底数幂的乘法运算法则进行分析计算．
【解答】解：（1）∵53＝125，（﹣2）2＝4，（﹣2）0＝1，
∴（5，125）＝3，（﹣2，4）＝2，（﹣2，1）＝0，
故答案为：3、2、0；
（2）设（4，7）＝x，（4，8）＝y，
∴4x＝7，4y＝8，
∴4x 4y＝7×8＝56，
∵4x 4y＝4x+y，
∴4x+y＝56，
∴（4，56）＝x+y，
即（4，7）+（4，8）＝（4，56）．
∴等式成立．
【点评】本题考查有理数的乘方运算，同底数幂的乘法，理解同底数幂的乘法运算法则（底数不变，指数相加）是解题关键．
22．【答案】（1）27；
（2）3．
【分析】（1）根据定义新运算法则，同底数幂乘法法则即可求解；
（2）根据定义新运算法则，同底数幂乘法法则，解方程的方法即可求解．
【解答】解：（1）∵m*n＝3m×3n，
∴1*2＝3×32＝3×9＝27．
（2）根据定义新运算的规则可得，在2*（x﹣1）＝81中，2*（x﹣1）＝32×3x﹣1＝32+x﹣1＝3x+1，81＝34，
∴x+1＝4，解得x＝3，
∴x的值为3．
【点评】本题主要考查定义新运算与同底数幂的乘法的综合，理解定义新运算的规则，掌握同底数幂的运算法则，求方程的解是解题的关键．
23．【答案】见试题解答内容
【分析】已知等式利用同底数幂的乘法法则变形，列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：已知等式整理得：（a+b）a+b＝（a+b）5，且（a﹣b）a﹣b+8＝（a﹣b）7，
∴，
解得：a＝2，b＝3，
则原式＝4×27＝108．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．【答案】（1）15．
（2）10．
（3）2100．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则解决此题．
（2）根据同底数幂的乘法法则解决此题．
（3）根据同底数幂的乘法法则解决此题．
【解答】解：（1）∵2x＝3，2y＝5，
∴2x+y＝2x 2y＝3×5＝15．
故答案为：15．
（2）∵ax＝5，
∴ax+y＝ax ay＝5ay＝25．
∴ay＝5．
∴ax+ay＝5+5＝10．
（3）∵x2a+b x3a﹣b xa＝x12，
∴x6a＝x12．
∴6a＝12．
∴a＝2．
∴﹣a100+2101＝﹣2100+2101＝﹣2100+2×2100＝2100．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．
25．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据22＝4，24＝16，26＝64写成对数式；
（2）设logaM＝x，logaN＝y，根据对数的定义可表示为指数式为：ax＝M，ay＝N，据此计算即可；
（3）由loga3＝5，得a5＝3，再根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：（1）∵22＝4，24＝16，26＝64，
∴log24＝2；log216＝4；log264＝6
故答案为：2；4；6；
（2）设logaM＝x，logaN＝y，
则ax＝M，ay＝N，
∴M N＝ax ay＝ax+y，
根据对数的定义，x+y＝logaMN，
即logaM+logaN＝logaMN；
故答案为：logaMN．
（3）由loga3＝5，得a5＝3，
∵9＝3×3＝a5 a5＝a10，27＝3×3×3＝a5 a5 a5＝a15
∴根据对数的定义，loga9＝10，loga27＝15．
【点评】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
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