1.1.2幂的乘除 同底数幂的除法（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版（2024）数学七年级下册

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幂的乘除 同底数幂的除法
一．选择题（共10小题）
1．利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染，苏云金杆菌就是其中一种，其长度大约为0.0000046m，将0.0000046用科学记数法表示应为（　　）
A．46×10﹣7 B．4.6×10﹣7 C．0.46×10﹣6 D．4.6×10﹣6
2．下列各式中，计算结果等于a6的是（　　）
A．a3 a3 B．（a2）4 C．a8﹣a2 D．a12÷a2
3．下列计算正确的是（　　）
A．m3 m3＝2m3 B．m2+m6＝m8
C．（m2）3＝m5 D．m5÷m3＝m2（m≠0）
4．1张新版百元的人民币厚约为0.00009米，数据“0.00009米”用科学记数法可表示为（　　）
A．9×10﹣5米 B．9×10﹣4米
C．0.9×10﹣6米 D．90×10﹣3米
5．下列运算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．（ab）3＝a3b
C．（﹣a）3 （﹣a）＝a4 D．a6÷a3＝a2
6．某科学家研究发现人类头发的直径是0.0008分米．将0.0008用科学记数法表示为（　　）
A．0.8×102 B．8×10﹣3 C．8×104 D．8×10﹣4
7．已知32m＝10，3n＝2，则92m﹣n的值为（　　）
A．25 B．96 C．5 D．3
8．若2x＝5，8y＝7，则2x﹣3y的值为（　　）
A． B． C．35 D．﹣2
9．下列各式计算正确的是（　　）
A．a2 a4＝a8 B．a8÷a2＝a4
C．（﹣3a3）2＝﹣9a6 D．（2ab）﹣2
10．下列运算正确的是（　　）
A．（﹣2023）0＝0 B．2023﹣1＝﹣2023
C． D．
二．填空题（共6小题）
11．某花粉粒子的直径约为0.000015m，把数0.000015用科学记数法表示为 　 　．
12．数0.000301用科学记数法表示为　 　．
13．目前科学家发现一种新型病毒的直径为0.0000251米，用科学记数法表示该病毒的直径为　 　米．
14．﹣0.000000105用科学记数法表示为 　 　．
15．若xm＝3，xn＝2，则x2m﹣n的值为 　 　．
16．地球是人与自然共同生存的家园，在这个家园中还住着许多常常被人们忽略的微小生命，在冰岛海岸的黄铁矿粘液池中的古菌身上．科学家发现了基因片段，并提取出了小的生命体，它的直径仅为0.0000002米．将数字0.0000002用科学记数法可表示为 　 　．
三．解答题（共8小题）
17．已知ax ay＝a5，ax÷ay＝a，求x2﹣y2的值．
18．计算：．
19．计算：（﹣2x2）3÷2x﹣（﹣x）4 x．
20．计算：a2 a3+（﹣a4）3÷a7．
21．计算：．
22．计算：a3 a+a6÷a2．
23．如图，有4个小圆，自左向右分别标记为①、②、③、④，在每个小圆中分别填写一个有理数，且后一个小圆中填写的数是前一个小圆中填写的数的．
（1）若第④个小圆中填写的数是3240，请用科学记数法表示第①个小圆中所填写的数．
（2）若第①个小圆中填写的数是，请用科学记数法表示第④个小圆中所填写的数．
24．（新定义）探究应用：用“∪”“∩”定义两种新运算：对于两个数a，b，规定a∪b＝10a×10b，a∩b＝10a÷10b．例如：3∪2＝103×102＝105；3∩2＝103÷102＝10．
（1）求（1040∪983）的值；
（2）求（2023∩2021）的值；
（3）当x为何值时，（x∪5）的值与（23∩17）的值相等．
幂的乘除 同底数幂的除法
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】D
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 004 6＝4.6×10﹣6．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．【答案】A
【分析】根据同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方等法则依次判断即可．
【解答】解：A、a3 a3＝a6，正确，符合题意；
B、（a2）4＝a8≠a6，不符合题意；
C、a8﹣a2不是同类项，不能合并，不符合题意；
D、a12÷a2＝a10≠a6，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题主要考查的是同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方法则，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
3．【答案】D
【分析】A．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
B．先判断m2，m6是不是同类项，然后判断能否合并即可；
C．根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；
D．根据同底数幂的除法法则进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵m3 m3＝m6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B．∵m2，m6不是同类项，并能合并，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵（m2）3＝m6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D．∵m5÷m3＝m2（m≠0），∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘除法则、幂的乘方法则和同类项的定义．
4．【答案】A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00009＝9×10﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：A、（a2）3＝a6，故选项A错误，不符合题意；
B、（ab）3＝a3b3，故选项B错误，不符合题意；
C、（﹣a）3 （﹣a）＝（﹣a）4＝a4，故选项C正确，符合题意；
D、a6÷a3＝a3，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：将0.0008用科学记数法表示为8×10﹣4．
故选：D．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7．【答案】A
【分析】逆用同底数幂的除法法则把所求幂写成两个同底数幂相除的形式，然后再逆用幂的乘方法则把它们写成底数分别是32m和3n的形式，再整体代入进行计算即可．
【解答】解：∵32m＝10，3n＝2，
∴92m﹣n
＝92m÷9n
＝（32）2m÷（32）n
＝34m÷32n
＝（32m）2÷（3n）2
＝102÷22
＝100÷4
＝25，
故选：A．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
8．【答案】B
【分析】由题意易得23y＝7，然后根据同底数幂除法的逆用可进行求解．
【解答】解：∵2x＝5，8y＝23y＝7，
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查同底数幂除法，熟练掌握同底数幂除法的逆用是解题的关键．
9．【答案】D
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：A．a2 a4＝a6，故此选项不合题意；
B．a8÷a2＝a6，故此选项不合题意；
C．（﹣3a3）2＝9a6，故此选项不合题意；
D．（2ab）﹣2，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算、负整数指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
10．【答案】D
【分析】根据负整数指数幂，零指数幂进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、（﹣2023）0＝1，故A不符合题意；
B、2023﹣1，故B不符合题意；
C、（﹣2）﹣2，故C不符合题意；
D、（﹣2）﹣3，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】1.5×10﹣5．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000015＝1.5×10﹣5．
故答案为：1.5×10﹣5．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000301＝3.01×10﹣4．
故答案为：3.01×10﹣4
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000251＝2.51×10﹣5．
故答案为：2.51×10﹣5．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．【答案】1.05×10﹣7．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：﹣0.000000105用科学记数法表示为1.05×10﹣7，
故答案为：1.05×10﹣7．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
15．【答案】．
【分析】根据同底数幂的除法法则和幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【解答】解：x2m﹣n＝x2m÷xn＝（xm）2÷xn＝9÷2．
故答案为：．
【点评】本题考查同底数幂的除法和幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
16．【答案】2×10﹣7．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：将数字0.0000002用科学记数法可表示为2×10﹣7．
故答案为：2×10﹣7．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
三．解答题（共8小题）
17．【答案】见试题解答内容
【分析】根据幂的运算法则即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：ax+y＝a5；
ax﹣y＝a，
∴x﹣y＝1，x+y＝5
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝5；
【点评】本题考查幂的运算法则，解题的关键是熟练运用幂的运算法则，本题属于基础题型．
18．【答案】4．
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方运算求解即可．
【解答】解：
＝﹣1+1+4
＝4．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，有理数的混合运算，熟练掌握这些知识是解题的关键．
19．【答案】﹣5x5．
【分析】根据积的乘方，同底数幂的除法，单项式除以单项式进行计算，最后合并同类项，即可求解．
【解答】解：（﹣2x2）3÷2x﹣（﹣x）4 x
＝﹣8x6÷2x﹣x5
＝﹣5x5．
【点评】本题考查了积的乘方，同底数幂的除法，单项式除以单项式，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
20．【答案】0．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝a5+（﹣a12）÷a7
＝a5+（﹣a5）
＝0．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算、同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
21．【答案】6．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质等分别化简得出答案．
【解答】解：
＝1﹣1+8﹣2
＝6．
【点评】本题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．
22．【答案】2a4．
【分析】先算同底数幂的乘法，同底数幂的除法，再合并同类项即可．
【解答】解：a3 a+a6÷a2
＝a4+a4
＝2a4．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
23．【答案】（1）3.24×106；（2）2×10﹣6．
【分析】（1）先列算式，再根据科学记数法求解；
（2）先列算式，再根据科学记数法求解．
【解答】解：（1）由题意得：第①个小圆中所填写的数为：3240×10×10×10＝3240000＝3.24×106；
（2）由题意得：第④个小圆中所填写的数为：．
【点评】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法的定义是关键．
24．【答案】（1）102023；（2）100；（3）x＝1．
【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入式子中，再利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可；
（2）根据新定义的运算，把相应的值代入式子中，再利用同底数幂的除法的法则进行运算即可；
（3）根据题意列出相应的式子进行运算即可．
【解答】解：（1）（1040∪983）
＝101040×10983
＝102023；
（2）（2023∩2021）
＝102023÷102021
＝102
＝100；
（3）由题意得：（x∪5）＝（23∩17），
则10x×105＝1023÷1017，
∴105+x＝106，
即5+x＝6，
解得：x＝1．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
考点卡片
1．有理数的加减混合运算
（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．
（2）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
2．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
3．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
4．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
5．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法
a的取值
n的取值
|x|≥10
a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1
|x|＜1
a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
6．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
7．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
8．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
9．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
10．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
11．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
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