1.1.3幂的乘除 幂的乘方与积的乘方（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版（2024）数学七年级下册

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幂的乘除 幂的乘方与积的乘方
一．选择题（共10小题）
1．下列运算正确的是（　　）
A．x3+x3＝2x6 B．（x2）4＝x6
C．x2 x4＝x6 D．（﹣2x）3＝﹣6x3
2．已知x，y，z均为正整数，且满足2x×3y×4z＝1152，则x+y+z取值不可能是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．代数式63×63×63×63×63可表示为（　　）
A．5×63 B．63+5 C．（63）5 D．（5×6）3
4．下面的计算，不正确的是（　　）
A．5a3﹣a3＝4a3 B．2m×3n＝6m+n
C．（﹣am）2＝a2m D．﹣a2×（﹣a）3＝a5
5．已知2x+4y﹣3＝0，则4x 16y﹣8的值为（　　）
A．3 B．8 C．0 D．4
6．计算（﹣2a3b）2的正确结果是（　　）
A．4a6b2 B．4a5b3 C．4a5b2 D．﹣2a3b2
7．下列运算中，正确的是（　　）
A．（﹣3a2）2＝6a4 B．（﹣a3）2＝﹣a6
C．（﹣x2）3＝﹣x5 D．x3 x2＝x5
8．下列运算中，结果正确的是（　　）
A．2a2+a2＝3a4 B．a2 a4＝a8
C．（a2）4＝a6 D．（﹣ab3）2＝a2b6
9．下列运算正确的是（　　）
A．（3a）2＝9a2 B．a2 a3＝a6
C．（a3）2＝a5 D．2a2+3a2＝5a4
10．下列运算正确的是（　　）
A．5m3﹣4m2＝m B．m4 m5＝m20
C．（﹣m3n2）2＝﹣m6n4 D．（﹣m2）3＝﹣m6
二．填空题（共6小题）
11．已知2x＝a，16y＝b，x，y为正整数，则23x+8y＝　 　（用a，b表示）．
12．已知：m+2n+3＝0，则2m 4n的值为　 　．
13．已知x﹣3y+2＝0，则2x+y 4y﹣x＝　 　．
14．已知3x 3y＝3，则 22x+2y的值为 　 　．
15．已知4×8m×16m＝29，则m的值是　 　．
16．已知：xm﹣n＝4，xn，则x2m＝　 　．
三．解答题（共8小题）
17．化简：x3 x2 x+（x3）2+（﹣2x2）3．
18．已知：2x＝8y+1，9y＝3x﹣9，求xy的值．
19．计算：
（1）x x3+x2 x2；
（2）（﹣pq）3；
（3）a3 a4 a+（a2）4﹣（﹣2a4）2．
20．计算：x （x2）3 （x3）2．
21．计算
（1）a3 a5+（a2）4+（﹣2a4）2；
（2）0.256×212﹣（）4×（﹣3）5．
22．（1）已知xn＝2，求（3xn）2﹣4（x2）n的值；
（2）已知x＝2n﹣1，y＝3+8n，则用含x的代数式表示y．
23．（1）已知am＝3，an＝4，求a2m+3n的值；
（2）已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．
24．我们规定一种运算，如果ac＝b，则（a，b）＝c，例如若23＝8，则（2，8）＝3．
（1）根据上述规定填空（3，27）＝　 　，（﹣2，　 　）＝5．
（2）小明在研究这种运算时发现一种现象：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下证明过程：
解：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，
所以3x＝4，
所以（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4），
请你用这种方法证明（3，4）+（3，5）＝（3，20）．
幂的乘除 幂的乘方与积的乘方
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】C
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方法则进行判断便可．
【解答】解：A．原式＝2x3，选项错误，不符合题意；
B．原式＝x8，选项错误，不符合题意；
C．原式＝x2+4＝x6，选项正确，符合题意；
D．原式＝﹣8x3，选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，关键是熟记合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方法则．
2．【答案】A
【分析】利用幂的乘方的法则对条件进行整理，再分类讨论即可．
【解答】解：∵2x×3y×4z＝1152，
∴2x×3y×22z＝9×128，
2x+2z×3y＝32×27，
∴y＝2，x+2z＝7，
∵x，y，z均为正整数，
∴当x＝1时，z＝3，则x+y+z＝6；
当x＝2时，z＝2.5（不符合题意）；
当x＝3时，z＝2，则x+y+z＝7；
当x＝4时，z＝1.5（不符合题意）；
当x＝5时，z＝1，则x+y+z＝8；
当x＝6时，z＝0.5（不符合题意）；
故x+y+z不可能的值为5．
故选：A．
【点评】本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．【答案】C
【分析】利用乘方的意义求解．
【解答】解：63×63×63×63×63＝（63）5．
故选：C．
【点评】本题考查了乘方运算，掌握乘方的意义是解决本题的关键．
4．【答案】B
【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，逐项判定即可
【解答】解：A、5a3﹣a3＝4a3，正确，不符合题意；
B、2m×3n≠6m+n，原计算错误，符合题意；
C、（﹣am）2＝（﹣1）2 （am）2＝a2m，正确，不符合题意；
D、﹣a2×（﹣a）3＝﹣a2×（﹣a3）＝a5，正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法法则，熟知以上知识是解题的关键．
5．【答案】C
【分析】根据幂的乘方与积的乘方将原式化为22x+4y﹣8，再整体代入计算即可．
【解答】解：∵2x+4y﹣3＝0，即2x+4y＝3，
∴原式＝22x 24y﹣8
＝22x+4y﹣8
＝23﹣8
＝8﹣8
＝0，
故选：C．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的计算方法是正确解答的前提，将原式化为22x+4y﹣8是正确解答的关键．
6．【答案】A
【分析】根据积的乘方法则和幂的乘方法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣2）2 （a3）2 b2
＝4a6b2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握积的乘方和幂的乘方法则．
7．【答案】D
【分析】根据幂的运算法则逐一计算即可判断．
【解答】解：A、（﹣3a2）2＝9a4，此选项错误；
B、（﹣a3）2＝a6，此选项错误；
C、（﹣x2）3＝﹣x6，此选项错误；
D、x3 x2＝x5，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方的运算法则．
8．【答案】D
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方进行计算，再根据求出的结果找出选项即可．
【解答】解：A．2a2+a2＝3a2，故本选项不符合题意；
B．a2 a4＝a6，故本选项不符合题意；
C．（a2）4＝a8，故本选项不符合题意；
D．（﹣ab3）2＝a2b'6，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方等知识点，能正确运用并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则进行计算是解此题的关键．
9．【答案】A
【分析】分别根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可．
【解答】解：A、（3a）2＝9a2，正确，符合题意；
B、a2 a3＝a5，原计算错误，不符合题意；
C、（a3）2＝a6，原计算错误，不符合题意；
D、2a2+3a2＝5a2，原计算错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟知运算法则是解题的关键．
10．【答案】D
【分析】利用合并同类项法则，同底数幂乘法法则，幂的乘方及积的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：5m3与4m2不是同类项，无法合并，则A不符合题意；
m4 m5＝m9，则B不符合题意；
（﹣m3n2）2＝m6n4，则C不符合题意；
（﹣m2）3＝﹣m6，则D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方及积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】a3b2．
【分析】将原式利用幂的乘方法则及同底数幂乘法法则变形后即可求得答案．
【解答】解：∵2x＝a，16y＝b，
∴24y＝b，
∴23x+8y
＝（2x）3 （24y）2
＝a3b2，
故答案为：a3b2．
【点评】本题考查幂的乘方法及同底数幂乘法，将原式进行正确的变形是解题的关键．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】根据：m+2n+3＝0，可得：m+2n＝﹣3，据此求出2m 4n的值为多少即可．
【解答】解：∵m+2n+3＝0，
∴m+2n＝﹣3，
∴2m 4n
＝2m 22n
＝2m+2n
＝2﹣3
故答案为：．
【点评】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及同底数幂的乘法的运算方法，要熟练掌握．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】由x﹣3y+2＝0可得x﹣3y＝﹣2，再根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【解答】解：由x﹣3y+2＝0得x﹣3y＝﹣2，
∴3y﹣x＝2，
∴2x+y 4y﹣x
＝2x+y 22y﹣2x
＝2x+y+2y﹣2x
＝23y﹣x
＝22
＝4．
故答案为：4
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
14．【答案】4．
【分析】先根据同底数幂的乘法法则求出x+y的值，再由幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可．
【解答】解：∵3x 3y＝3，
∴3x+y＝3，
∴x+y＝1，
∴22x+2y＝（22）x+y＝4x+y＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的乘法法则，先根据题意得出x+y的值是解题的关键．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】先将4×8m×16m变形为22×23m×24m，再根据同底数幂的乘法和对应项相等即可求解．
【解答】解：∵4×8m×16m＝22×23m×24m＝22+7m＝29，
∴2+7m＝9，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】考查了幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法，关键是根据题意得到关于m的方程求解即可．
16．【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则化简，进而结合幂的乘方运算法则求出答案．
【解答】解：∵xm﹣n＝4，
∴xm÷xn＝4，
∵xn，
∴xm＝2，
则x2m＝（xm）2＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
三．解答题（共8小题）
17．【答案】﹣6x6．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝x6+x6﹣8x6
＝﹣6x6．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．【答案】见试题解答内容
【分析】首先利用幂的乘方运算法则得出关于x，y的等式，进而求出x，y的值，求出即可．
【解答】解：∵2x＝8y+1，9y＝3x﹣9，
∴2x＝23y+3，32y＝3x﹣9，
∴，
解得：，
则xy186＝6+3＝9．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及积的乘方运算，正确把握运算法则是解题关键．
19．【答案】（1）2x4；
（2）﹣p3q3；
（3）﹣2a8．
【分析】（1）根据同底数幂相乘，底数不变指数相加和合并同类项的法则进行解答即可；
（2）根据积的乘方法则即可得出答案；
（3）根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方与积的乘方法则即可得出答案．
【解答】解：（1）原式＝x4+x4＝2x4；
（2）原式＝﹣p3q3；
（3）原式＝a8+a8﹣4a8＝﹣2a8．
【点评】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】首先利用幂的乘方运算法则结合同底数幂的乘法运算法则化简求出即可．
【解答】解：x （x2）3 （x3）2
＝x x6 x6
＝x13．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
21．【答案】（1）6﹣（﹣3）4×（﹣3）
（2）4．
【分析】（1）先算同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，再合并同类项即可；
（2）利用积的乘方的法则进行运算较简便．
【解答】解：（1）a3 a5+（a2）4+（﹣2a4）2
＝a8+a8+4a8
＝6a8；
（2）0.256×212﹣（）4×（﹣3）5
＝0.256×46﹣（）4×（﹣3）4×（﹣3）
＝（0.25×4）6﹣（﹣3）4×（﹣3）
＝16﹣（﹣1）4×（﹣3）
＝1﹣1×（﹣3）
＝1+3
＝4．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
22．【答案】（1）20；
（2）y＝3+（x+1）3．
【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可；
（2）利用幂的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：（1）当xn＝2时，
（3xn）2﹣4（x2）n
＝9（xn）2﹣4（xn）2
＝9×22﹣4×22
＝9×4﹣4×4
＝36﹣16
＝20；
（2）∵x＝2n﹣1，y＝3+8n，
∴x+1＝2n，
∴y＝3+8n
＝3+（2n）3
＝3+（x+1）3．
即y＝3+（x+1）3．
【点评】本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
23．【答案】（1）576；
（2）1．
【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法求解即可；
（2）利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法求解即可．
【解答】解：（1）a2m+3n
＝a2m a3n
＝（am）2 （an）3
＝32×43
＝576；
（2）∵9n+1﹣32n＝72，
∴9n×9﹣9n＝72，
8×9n＝72，
∴n＝1．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，做题关键是掌握幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则．
24．【答案】（1）3，﹣32；
（2）证明见解答过程．
【分析】（1）根据定义即可得到答案；
（2）设（3，4）＝a，（3，5）＝b，根据同底数幂的乘法法则即可得证．
【解答】（1）解：∵33＝27，
∴（3，27）＝3，
∵（﹣2）5＝﹣32，
∴（﹣2，﹣32）＝5，
故答案为：3，﹣32；
（2）证明：设（3，4）＝a，（3，5）＝b，则3a＝4，3b＝5，
∴3a×3b＝20，
∴3a+b＝20，
∴（3，20）＝a+b，
∴（3，4）+（3，5）＝（3，20）．
【点评】本题考查整式运算，解题的关键是读懂定义，掌握幂的乘方计算公式．
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