1.2整式的乘法（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版（2024）数学七年级下册

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1.4 整式的乘法
一．选择题（共10小题）
1．若（x﹣5）（x+3）＝x2+mx+n，则mn的结果是（　　）
A．15 B．﹣15 C．30 D．﹣30
2．已知x2﹣2x+1＝0，则代数式x（x﹣2）+3的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若（x+2）（x﹣5）＝x2﹣mx﹣10，则m值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．10
4．如果计算（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）的结果不含x5项，那么m的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．
5．若（x+a）（x+b）＝x2﹣5x+4，则a+b的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4
6．下列计算中，结果正确的是（　　）
A．x3 x3＝x6 B．x2 x4＝x8
C．3x 5x＝15x D．x2+2x2＝3x4
7．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（　　）
A．a（b﹣x）＝ab﹣ax
B．b（a﹣x）＝ab﹣bx
C．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx
D．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x2
8．计算（a﹣2）3（ab2）﹣2，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式为（　　）
A． B． C． D．
9．下列计算正确的是（　　）
A．2a2 3ab＝9a3b
B．（x2）3+（x3）2＝2x5
C．（﹣3a2b） （﹣3ab）＝﹣6a3b2
D．（ab）2 （﹣a2b）＝﹣a4b3
10．若等式（x+2）（x﹣3）＝x2+mx+n对于任意x都成立，则m+n＝（　　）
A．11 B．﹣7 C．5 D．﹣5
二．填空题（共6小题）
11．计算（x+3）（x﹣2）＝　 　．
12．计算：3a2 （﹣2ab3）＝　 　．
13．已知（x+4）（x﹣9）＝x2+mx﹣36，则m的值为　 　．
14．若单项式﹣3x3ya与xb﹣3y3是同类项，则这两个单项式的积是 　 　．
15．若多项式A与单项式2a2b的积是38a4b5﹣22a6b2，则多项式A为 　 　．
16．计算：　 　．
三．解答题（共9小题）
17．计算：．
18．已知2x+n与x2﹣3x+m的乘积中不含x2项，且一次项的系数为2，求m、n的值．
19．如图是一块长为（2a+3b）厘米，宽为（2a+b）厘米的长方形纸片，将长方形纸片的四个角剪去边长为a厘米的小正方形．（a＞0，b＞0）．
（1）试用含a，b的代数式表示长方形纸片剩余面积是多少平方厘米？
（2）若a＝5，b＝10，请求出长方形纸片剩余面积．
20．阅读下列材料，完成下列任务．
一个多项式A乘以一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”．
任务：
（1）若A＝x+3，B＝2x﹣1，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由．
（2）若A＝x+3，B是A的“特别友好多项式”．
①嘉嘉同学认为B可能是二项式，请你写出一个符合条件的二项式B2　 　；
②乐乐同学认为B也可能是三项式，例如：x2﹣3x+9，请判断乐乐同学的说法是否正确，并说明理由．
21．（1）计算：①（x+y）（x2﹣xy+y2），②（x﹣y）（x2+xy+y2）．
（2）上述计算所得的这两个等式是否可以作为因式分解的公式使用？用它可以分解有怎样特点的多项式？
（3）分解因式：①a3+b3；②m3﹣8．
22．计算：
（1）（﹣2a3）2 a6+（﹣a2）+a10；
（2）（3m+2n）（m﹣5n）+13mn．
23．甲、乙两个长方形，其边长如图所示（m＞0），其面积分别为S1，S2．
（1）用含m的代数式表示：S1＝　 　，S2＝　 　；（结果化为最简形式）
（2）用“＜”“＞”或“＝”填空：S1　 　S2；
（3）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为S3，试探究：S3与2（S1+S2）的差是否为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由．
24．计算：
（1）|﹣5|；
（2）2x2y+3xy﹣x2y﹣2xy（2x﹣3y）﹣2（x﹣y）．
25．当m、n为何值时，x[x（x+m）+nx（x+1）+m]的展开式中，不含有x2和x3的项？
1.4 整式的乘法
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】C
【分析】先根据多项式乘多项式法则，计算（x﹣5）（x+3），再根据计算结果和已知条件，求出m和n，然后代入mn进行计算即可．
【解答】解：（x﹣5）（x+3）
＝x2+3x﹣5x﹣15
＝x2﹣2x﹣15，
∵（x﹣5）（x+3）＝x2+mx+n，
∴m＝﹣2，n＝﹣15，
∴mn＝﹣2×（﹣15）＝30，
故选：C．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则．
2．【答案】C
【分析】由x2﹣2x+1＝0，得x2﹣2x＝﹣1，再代入x（x﹣2）+3＝x2﹣2x+3＝﹣1+3＝2．
【解答】解：∵x2﹣2x+1＝0，
∴x2﹣2x＝﹣1．
∴x（x﹣2）+3＝x2﹣2x+3＝﹣1+3＝2．
故选：C．
【点评】本题主要考查整体的思想，熟练掌握单项式乘多项式的乘法法则解决此题．
3．【答案】B
【分析】根据多项式乘以多项式后利用恒等关系即可求解．
【解答】解：（x+2）（x﹣5）
＝x2﹣3x﹣10＝x2﹣mx﹣10，
所以m＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是理解恒等式．
4．【答案】A
【分析】先计算单项式乘以多项式，再结合x5项的系数为零即可得出答案．
【解答】解：∵（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）
＝﹣8x2+4nx3﹣12x4﹣4mx5，
又∵计算的结果不含x5项，
∴﹣4m＝0．
∴m＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握单项式乘以多项式的法则是解题的关键．
5．【答案】A
【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而得出a+b的值．
【解答】解：∵（x+a）（x+b）＝x2﹣5x+4，
∴x2+（a+b）x+ab＝x2﹣5x+4，
∴a+b＝﹣5．
故选：A．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．
6．【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法法则，单项式乘以单项式，合并同类项分别计算即可．
【解答】解：x3 x3＝x6，正确；
x2 x4＝x6，错误；
3x 5x＝15x2，错误；
x2+2x2＝3x2，错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，单项式乘以单项式，合并同类项，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
7．【答案】D
【分析】要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解．
【解答】解：图1中，阴影部分＝长（a﹣x）宽（a﹣2b）长方形面积，
∴阴影部分的面积＝（a﹣x）（b﹣x），
图2中，阴影部分＝大长方形面积﹣长a宽x长方形面积﹣长b宽x长方形面积+边长x的正方形面积，
∴阴影部分的面积＝ab﹣ax﹣bx+x2，
∴（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x2．
故选：D．
【点评】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算，需要利用图形的一些性质得出式子，考查学生观察图形的能力．
8．【答案】D
【分析】根据幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂的运算法则计算即可．
【解答】解：（a﹣2）3（ab2）﹣2，
＝a﹣6 a﹣2b﹣4
＝a﹣8b﹣4
，
故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
9．【答案】D
【分析】直接利用积的乘方运算法则、单项式乘单项式运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：A．2a2 3ab＝6a3b，故此选项不合题意；
B．（x2）3+（x3）2＝2x6，故此选项不合题意；
C．（﹣3a2b） （﹣3ab）＝9a3b2，故此选项不合题意；
D．（ab）2 （﹣a2b）＝﹣a4b3，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了单项式乘单项式、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
10．【答案】B
【分析】利用多项式乘多项式的法则对（x+2）（x﹣3）进行运算，从而可确定相应的m，n的值，再代入运算即可．
【解答】解：（x+2）（x﹣3）
＝x2﹣3x+2x﹣6
＝x2﹣x﹣6，
∵（x+2）（x﹣3）＝x2+mx+n，
∴m＝﹣1，n＝﹣6，
∴m+n
＝﹣1+（﹣6）
＝﹣7．
故选：B．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对多项式乘多项式的运算法则的掌握．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】见试题解答内容
【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+3x﹣6＝x2+x﹣6．
故答案为：x2+x﹣6
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．【答案】﹣6a3b3．
【分析】利用单项式乘单项式法则计算即可．
【解答】解：3a2 （﹣2ab3）＝﹣6a3b3．
故答案为：﹣6a3b3．
【点评】本题考查了整式的运算，掌握单项式乘单项式法则是解决本题的关键．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵（x+4）（x﹣9）＝x2﹣5x﹣36，
∴m＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查多项式，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
14．【答案】﹣x6y6．
【分析】根据同类项的概念分别求出a、b，根据单项式乘单项式的运算法则计算，得到答案．
【解答】解：由题意得：a＝3，b﹣3＝3，
解得：b＝6，
则﹣3x3y3 x3y3＝﹣x6y6，
故答案为：﹣x6y6．
【点评】本题考查的是单项式乘单项式、同类项的概念，掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．
15．【答案】19a2b4﹣11a4b．
【分析】根据题意列式计算即可．
【解答】解：A＝（38a4b5﹣22a6b2）÷2a2b
＝19a2b4﹣11a4b，
故答案为：19a2b4﹣11a4b．
【点评】本题考查多项式除以单项式，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
16．【答案】．
【分析】根据多项式乘多项式运算法则，准确计算．
【解答】解：
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式运算法则是关键．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】．
【分析】先计算积的乘法，再利用单项式乘以多项式的乘法法则计算即可．
【解答】解：
．
【点评】本题考查单项式的乘法，熟练掌握积的乘方和单项式乘以多项式的乘法法则是解题的关键．
18．【答案】m＝10，n＝6．
【分析】先根据题意列出算式，再根据多项式乘多项式法则展开，合并同类项，根据题意得出n﹣6＝0且2m﹣3n＝2，再求出m、n即可．
【解答】解：根据题意得：（2x+n）（x2﹣3x+m）
＝2x3﹣6x2+2mx+nx2﹣3nx+mn
＝2x3+（n﹣6）x2+（2m﹣3n）x+mn，
∵2x+n与x2﹣3x+m的乘积中不含x2项，且一次项的系数为2，
∴n﹣6＝0且2m﹣3n＝2，
解得：m＝10，n＝6．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，能正确根据多项式乘多项式法则进行计算是解此题的关键．
19．【答案】（1）（8ab+3b2）；
（2）700平方厘米．
【分析】（　　）由题意可知：长方形纸片剩余面积＝长方形面积﹣4个边长为a的正方形的面积，列出算式，进行化简即可；
（2）把a＝5，b＝10代入（1）中所求的方形纸片剩余面积，进行计算即可．
【解答】解：（1）由题意得：
（2a+3b）（2a+b）﹣4a2
＝4a2+2ab+6ab+3b2﹣4a2
＝8ab+3b2（平方厘米），
答：长方形纸片剩余面积为（8ab+3b2）平方厘米；
（2）把a＝5，b＝10代入8ab+3b2得：
8×5×10+3×102
＝8×5×10+3×100
＝400+300
＝700（平方厘米），
答：当a＝5，b＝10，长方形纸片剩余面积为700平方厘米．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题根据是正确识别图形，列出算式，熟练掌握多项式乘多项式法则．
20．【答案】（1）是，理由见解析；
（2）①x﹣3；
②正确，理由见解析．
【分析】（1）先根据题意，理由多项式乘多项式法则，求出C，然后根据已知条件中的新定义进行判断即可；
（2）①根据C的项数与A的项数相同，利用平方差公式，写出一个二项式，进行判断即可；
②写出一个三项式，求出C，然后根据新定义进行判断即可．
【解答】解：（1）B是A的“友好多项式”，理由如下：
∵A＝x+3，B＝2x﹣1，
∴C＝（x+3）（2x﹣1）
＝2x2﹣x+6x﹣3
＝2x2+5x﹣3，
∴B是A的“友好多项式“；
（2）①B2＝x﹣3，理由如下：
∵A＝x+3，B2＝x﹣3，
∴C＝（x+3）（x﹣3）
＝x2﹣9，
∴C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”，
故答案为：x﹣3（答案不唯一）；
②乐乐的说法正确，理由如下：
当B＝x2﹣3x+9（答案不唯一）时，
∵A＝x+3，B＝x2﹣3x+9，
∴C＝AB
＝（x+3）（x2﹣3x+9）
＝x3﹣3x2+9x+3x2﹣9x+27
＝x3+27，
∴C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式“，
∴乐乐的说法正确．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式和新定义，解题关键是正确理解新定义的含义，熟练掌握多项式乘多项式法则．
21．【答案】（1）①x3+y3；
②x3﹣y3；
（2）可以，立方和或立方差；
（3）①（a+b）（a2﹣ab+b2）；
②（m﹣2）（m2+2m+4）．
【分析】（1）两个小题均利用多项式乘多项式法则和合并同类项法则进行计算即可；
（2）根据（1）中计算的结果进行解答即可；
（3）把（1）中计算的等式左右两边交换，进行分解因式即可．
【解答】解：（1）①（x+y）（x2﹣xy+y2）
＝x3﹣x2y+xy5+x2y﹣xy2+y3
＝x3+y3；
②原式＝x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3
＝x2y﹣x2y+xy2﹣xy2+x3﹣y3
＝x3﹣y3；
（2）可以，利用它们从右到左的变形，就可以对立方和或立方差的多项式因式分解；
（3）由（1）得：a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；
②m3﹣8＝m3﹣23＝（m﹣2）（m2+2m+4）．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．
22．【答案】（1）4a12+a10﹣a2；
（2）3m2﹣10n2．
【分析】（1）先根据积的乘方和幂的乘方法则计算乘方，再按照同底数幂相乘法则计算乘法，然后再算加减即可；
（2）先根据多项式乘多项式法则计算乘法，再根据合并同类项法则进行化简即可．
【解答】解：（1）原式＝4a6 a6﹣a2+a10
＝4a12+a10﹣a2；
（2）原式＝3m2﹣15mn+2mn﹣10n2+13mn
＝3m2﹣10n2+13mn+2mn﹣15mn
＝3m2﹣10n2．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握积的乘方和幂的乘方法则、多项式乘多项式法则、合并同类项法则．
23．【答案】（1）m2+6m+5；m2+6m+8；（2）＜；（3）S3与2（S1+S2）的差是定值，定值为10，理由见解析．
【分析】（1）根据长方形的面积公式进行求解；
（2）利用S1﹣S2进行比较大小；
（3）结合（1）列出式子S3﹣2（S1+S2），进行判断．
【解答】解：（1）根据长方形的面积公式可得：S1＝（m+5）（m+1）＝m2+6m+5，
S2＝（m+4）（m+2）＝m2+6m+8，
故答案为：m2+6m+5；m2+6m+8；
（2）S1﹣S2＝m2+6m+5﹣（m2+6m+8）
＝m2+6m+5﹣m2﹣6m﹣8
＝﹣3＜0，
故S1＜S2，
故答案为：＜；
（3）正方形的周长为：C＝2×（m+5+m+1+m+4+m+2）＝8m+24，
∴正方形的边长为：C÷4＝（8m+24）÷4＝2m+6，
∴S3＝（2m+6） （2m+6）＝4m2+24m+36，
∴S3﹣2（S1+S2）＝4m2+24m+36﹣2×（m2+6m+5+m2+6m+8）
＝4m2+24m+36﹣2×（2m2+12m+13）
＝10，
故S3与2（S1+S2）的差是定值，定值为10．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的方法是关键．
24．【答案】（1）4；
（2）﹣3x2y+6xy2+3xy﹣2x+2y．
【分析】（1）按照混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，进行计算即可；
（2）根据去括号法则和合并同类项法则进行化简即可．
【解答】解：（1）原式
＝5﹣1﹣1+1＝4；
（2）原式＝2x2y+3xy﹣x2y﹣4x2y+6xy2﹣2x+2y
＝2x2y﹣x2y﹣4x2y+6xy2+3xy﹣2x+2y
＝﹣3x2y+6xy2+3xy﹣2x+2y．
【点评】本题主要考查了实数的运算和整式的混合运算，解题关键是熟练掌握混合运算法则、去括号法则和合并同类项法则．
25．【答案】见试题解答内容
【分析】原式去括号得到最简结果，根据结果中不含x2和x3的项，求出m与n的值即可．
【解答】解：x[x（x+m）+nx（x+1）+m]x（x2+mx+nx2+nx+m）（1+n）x3（m+n）x2mx，
根据结果中不含x2和x3的项，得到1+n＝0，m+n＝0，
解得：m＝1，n＝﹣1．
【点评】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
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