1.3.1乘法公式 平方差公式（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版（2024）数学七年级下册

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乘法公式 平方差公式
一．选择题（共10小题）
1．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
2．若a﹣b＝8，a2﹣b2＝72，则a+b的值为（　　）
A．9 B．﹣9 C．27 D．﹣27
3．已知：a+b＝3，a﹣b＝1，则a2﹣b2等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，边长为（m+n）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后余下部分又剪开拼成个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为n，则长方形的面积是（　　）
A．2m+2n B．m+2n C．2m2+n D．2mn+n2
5．如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的有（　　）
A．图1、图2、图3 B．图2、图3、图4
C．图1、图2、图4 D．图1、图3、图4
6．已知a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为（　　）
A．3 B．6 C．8 D．9
7．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图的长方形，则可以验证下列等式成立的是（　　）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
8．下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（　　）
A．（﹣x﹣y）（x+y） B．（3x﹣y）（3x+y）
C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（3x﹣y）（y﹣3x）
9．下列各式中能用平方差公式运算的是（　　）
A．（﹣a+b）（﹣a﹣b） B．（a﹣b）（b﹣a）
C．（2a﹣3b）（3a+2b） D．（a﹣b+c）（b﹣a﹣c）
10．若a＝20220，b＝2021×2023﹣20222，c＝（）2022×（）2023，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
二．填空题（共6小题）
11．计算：（1）×（1）×…×（1）＝　 　．
12．计算：（2x+y）（2x﹣y）＝　 　．
13．若x2﹣y2＝12且x﹣y＝2，则x+y＝　 　．
14．计算：20232﹣2022×2024＝　 　．
15．已知a2＝b2+3，则（a+b）（a﹣b）＝　 　．
16．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是 　 　．
三．解答题（共7小题）
17．计算：（a+b）（a﹣b）﹣（ab2）2÷（﹣ab）2．
18．化简：x（2﹣x）+（x+y）（x﹣y）．
19．计算：（x+5）（x﹣1）﹣（x+3）（x﹣3）．
20．计算：（x+2y）（x﹣2y）﹣y（3﹣4y）．
21．按要求解答：
①化简（3a+1）（3a﹣1）﹣（1﹣a）（3a+2）；
②计算：．
22．实践与探索
如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 　 　．（请选择正确的一个）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）请应用（1）中的等式完成下列各题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝　 　；
②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12；
③计算：（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）．
23．如图，在一块正方形的钢板中挖去两个边长分别为a，b的小正方形．
（1）求剩余钢板的面积；
（2）若原钢板的周长是32，且a＝5，求剩余钢板的面积．
乘法公式 平方差公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】A
【分析】由大正方形的面积﹣小正方形的面积＝矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
【解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，
矩形的面积＝（a+b）（a﹣b），
故（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故选：A．
【点评】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
2．【答案】A
【分析】第二个等式左边利用平方差公式分解，将第一个等式代入计算即可求出a+b的值．
【解答】解：∵a﹣b＝8，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝72，
∴a+b＝9，
故选：A．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
3．【答案】C
【分析】根据平方差公式即可得出答案．
【解答】解：∵a+b＝3，a﹣b＝1，
∴原式＝（a+b）（a﹣b）
＝3×1
＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式，掌握（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题的关键．
4．【答案】D
【分析】根据长方形的面积等于两个正方形的面积差，列式计算即可．
【解答】解：由题意得，拼成的长方形的面积为：
S大正方形﹣S小正方形
＝（m+n）2﹣m2
＝2mn+n2，
故选：D．
【点评】本题考查列代数式，平方差公式，掌握拼图前后面积之间的和差关系是正确解答的关键．
5．【答案】A
【分析】根据两种方法，求出面积，列出等式，即可得出结论．
【解答】解：图1可以验证的公式为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，符合题意；
图2可以验证的公式为：a2＝（a﹣b）2+b2+2b（a﹣b），整理得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，符合题意；
图3可以验证的公式为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，符合题意；
图4可以验证的公式为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，不符合题意；
故能验证平方差公式的是图1、图2、图3．
故选：A．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景．正确的识图，利用两种方法，表示出面积，是解题的关键．
6．【答案】D
【分析】由a2﹣b2+6b＝（a+b）（a﹣b）+6b逐步代入可得答案．
【解答】解：∵a+b＝3，
∴a2﹣b2+6b
＝（a+b）（a﹣b）+6b
＝3（a﹣b）+6b＝3a+3b
＝3（a+b）
＝3×3
＝9．
故选：D．
【点评】本题考查的是代数式的求值，考查了用平方差公式分解因式，掌握整体代入的方法是解题的关键．
7．【答案】D
【分析】由大正方形的面积﹣小正方形的面积＝矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
【解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，
矩形的面积＝（a+b）（a﹣b），
故（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故选：D．
【点评】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
8．【答案】B
【分析】根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的结构特征判断即可．
【解答】解：A、（﹣x﹣y）（x+y）＝﹣（x+y）（x+y），不符合平方差公式的结构特征，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、（3x﹣y）（3x+y），符合平方差公式的结构特征，能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
C、（﹣x+y）（x﹣y），不符合平方差公式的结构特征，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
D、（3x﹣y）（y﹣3x），不符合平方差公式的结构特征，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．
9．【答案】A
【分析】根据两数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差，可得答案．
【解答】解：A、两数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差，故A正确；
B、不是两数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差，故B错误；
C、不是两数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差，故C错误；
D、不是两数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了平方差公式，平方差公式是两数和乘以这两个数的差．
10．【答案】B
【分析】将各数进行计算后比较大小即可．
【解答】解：a＝20220＝1；
b＝2021×2023﹣20222
＝（2022﹣1）×（2022+1）﹣20222
＝20222﹣1﹣20222
＝﹣1；
c＝（）2022×（）2023
＝（）2022×（）2022
＝（）2022
＝（﹣1）2022
；
∵﹣1＜1，
∴b＜a＜c，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的大小比较，平方差公式，积的乘方，零指数幂，将各数进行计算求得正确的结果是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】．
【分析】根据平方差公式转化为几个因式积的形式即可简便运算．
【解答】解：原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）（1）
，
故答案为：．
【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提，将原式转化为几个因式积的形式是解决问题的关键．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】此题符合平方差公式的特征：（1）两个二项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数．直接利用平方差公式计算．
【解答】解：（2x+y）（2x﹣y），
＝（2x）2﹣y2，
＝4x2﹣y2；
故填4x2﹣y2．
【点评】本题主要考查平方差公式，运用平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
13．【答案】6．
【分析】根据平方差公式进行计算即可求解．
【解答】解：∵x2﹣y2＝12，x﹣y＝2，
x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝12，
∴x﹣y＝12÷2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
14．【答案】1．
【分析】运用平方差公式进行简便运算．
【解答】解：20232﹣2022×2024
＝20232﹣（2023﹣1）（2023+1）
＝20232﹣（20232﹣12）
＝20232﹣20232+1
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．
15．【答案】3．
【分析】已知等式移项后，利用平方差公式分解，计算即可求出所求式子的值．
【解答】解：∵a2＝b2+3，
∴a2﹣b2＝3，
则（a+b）（a﹣b）＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
16．【答案】a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【分析】将“剩余部分”的面积通过“算两遍”的方法用代数式表示其面积即可．
【解答】解：从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
将剩余部分可以拼成长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
三．解答题（共7小题）
17．【答案】a2﹣2b2．
【分析】根据平方差公式、积的乘方和单项式除以单项式法则计算即可．
【解答】解：（a+b）（a﹣b）﹣（ab2）2÷（﹣ab）2
＝a2﹣b2﹣a2b4÷a2b2
＝a2﹣b2﹣b2
＝a2﹣2b2．
【点评】本题考查了平方差公式、积的乘方、单项式除法，解本题的关键在熟练掌握相关的运算法则．
18．【答案】2x﹣y2．
【分析】根据单项式乘以单项式，平方差公式进行计算即可求解．
【解答】解：x（2﹣x）+（x+y）（x﹣y）＝
2x﹣x2+x2﹣y2
＝2x﹣y2．
【点评】本题考查了单项式乘以单项式，平方差公式，掌握整式的乘法运算法则以及平方差公式是解题的关键．
19．【答案】4x+4．
【分析】先根据多项式乘多项式公式和平方差公式计算，再合并同类项即可．
【解答】解：（x+5）（x﹣1）﹣（x+3）（x﹣3）
＝x2+4x﹣5﹣x2+9
＝4x+4．
【点评】此题主要考查了多项式乘多项式和平方差公式，正确掌握多项式乘法公式和平方差公式是解题关键．
20．【答案】x2﹣3y．
【分析】利用平方差公式及单项式乘多项式法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝x2﹣4y2﹣（3y﹣4y2）
＝x2﹣4y2﹣3y+4y2
＝x2﹣3y．
【点评】本题考查整式的混合运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
21．【答案】①12a2﹣a﹣3；
②﹣1.25．
【分析】①利用平方差公式和多项式乘多项式的法则化简后合并同类项即可；
②由幂的乘方及积的乘方法则可得出答案．
【解答】解：①原式＝（9a2﹣1）﹣（3a+2﹣3a2﹣2a）
＝9a2﹣1﹣3a﹣2+3a2+2a
＝12a2﹣a﹣3．
②原式
＝﹣1.25．
【点评】本题主要考查了幂的乘方及积的乘方，平多项式乘多项式，正确利用上述法则进行运算是解题的关键．
22．【答案】（1）A；（2）①4；②5050；③．
【分析】（1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案；
（2）①利用平方差公式将4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），再代入计算即可；
②利用平方差公式将原式转化为1+2+3+…+99+100即可．
③利用平方差公式将解答即可．
【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
图2中的阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：A；
（2）①∵4a2﹣b2＝24，
∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，
又∵2a+b＝6，
∴6（2a﹣b）＝24，
即2a﹣b＝4，
故答案为：4；
②∵1002﹣992＝（100+99）（100﹣99）＝100+99，
982﹣972＝（98+97）（98﹣97）＝98+97，
…
22﹣12＝（2+1）（2﹣1）＝2+1，
∴原式＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050．
③（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）
＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）…×（1）（1）（1）（1）
．
【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
23．【答案】（1）2ab；
（2）30．
【分析】（1）直接利用大正方形面积减去两个小正方形面积即可；
（2）先利用周长求出b，再代入（1）中结果进行计算即可．
【解答】解：（1）由题意可知：面积＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab．
（2）∵周长是32，
∴a+b＝8．
∵a＝5，
∴b＝8﹣a＝3．
∴剩余钢板的面积＝2×5×3＝30．
【点评】本题考查了列代数式和求值，解题关键是正确列出代数式，并且能够将字母的值代入计算．
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