1.3.2乘法公式 完全平方公式（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版（2024）数学七年级下册

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乘法公式 完全平方公式
一．选择题（共10小题）
1．若x2+2mx+16是完全平方式，则m的值等于（　　）
A．4 B．﹣8 C．8或﹣8 D．4或﹣4
2．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣5 C．7 D．7或﹣1
3．如果多项式x2﹣mx+16是一个完全平方式，则m的值是（　　）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
4．若4x2﹣kx+25是完全平方式，则k的值为（　　）
A．﹣5或5 B．﹣10或10 C．﹣20或10 D．﹣20或20
5．若x2+2（m﹣3）x+49是一个二项式的平方，则m的值为（　　）
A．﹣4 B．10 C．4或﹣10 D．﹣4或10
6．若9x2+kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值为（　　）
A．6 B．±6 C．12 D．±12
7．已知正方形的面积是x2﹣8x+16（x＞4），则正方形的周长是（　　）
A．4﹣x B．x﹣4 C．16﹣4x D．4x﹣16
8．已知关于x的多项式4x2﹣ax+4是某一个多项式的平方，则a的取值是（　　）
A．±2 B．±4 C．±6 D．±8
9．已知x的二次三项式x2+kx+9可以写成一个完全平方式，则k的值是（　　）
A．3 B．±3 C．6 D．±6
10．下列运算正确的是（　　）
A．x2 x3＝x6 B．（2x2）3＝8x5
C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．x3÷x2＝x
二．填空题（共6小题）
11．如果a2+b2＝5，ab＝2，那么（a﹣b）2＝　 　．
12．我们知道，多项式的乘法公式可以利用图形中面积的等量关系来验证其正确性，如（a+b）2＝a2+2ab+b2就能利用图1的面积进行验证．那么，能利用图2的面积进行验证的含x、y、z的等式为 　 　．
13．给等式中的某些字母赋予一定的特殊值，可以解决一些问题．比如对于等式（x+3）2＝ax2+bx+c，当x＝0时，可得32＝c，计算得c＝9；请你再给x赋不同的值，可计算得4a+2b＝　 　．
14．若5，则　 　．
15．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于 　 　．
16．如果是一个关于x的完全平方式，那么m的值为 　 　．
三．解答题（共8小题）
17．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形ABCD．
（1）观察图2，试猜想式子（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）根据（1）中的数量关系，解决下列问题：
①已知x﹣y＝5，xy＝﹣6，求x+y的值；
②已知a＞0， 求 的值．
18．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
（1）模拟练习，如图，写出一个我们熟悉的数学公式：　 　；
（2）解决问题：如果a+b＝10，ab＝16，求a2+b2的值；
（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝22，求这个长方形的面积．
19．已知x+y＝3，xy＝2．
（1）求（7﹣x）（7﹣y）的值；
（2）求（x﹣y）2的值．
20．如图1，将长为2a，宽为2b的长方形对折后再对折，展开得到如图1所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图2所示的图形．
（1）通过两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，可得到关于a、b的等量关系为 　 　；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题：
①若m+n＝5，mn＝3，则（m﹣n）2的值为 　 　；
②将边长分别为x、y的正方形ABCD、正方形CEFG按图3摆放，若xy＝12，BG＝1，求图3中阴影部分面积的和．
21．（1）根据给出字母的值代入计算，结果填入下表：
a b a2﹣2ab+b2 （a﹣b）2
3 2
　 　
　 　
﹣5 1
　 　
　 　
4 ﹣2
　 　
　 　
（2）再取一些a和b的值代入计算，对比结果猜测：a2﹣2ab+b2　 　（a﹣b）2．
（3）利用你的猜测计算：.3.232﹣2×3.23×0.23+0.232．
22．如图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
（1）请你直接写出三个代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系：　 　；
根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
（2）已知m+n＝7，m2+n2＝30，求（m﹣n）2的值；
（3）已知（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝54，求（x﹣2023）2的值．
23．如图，长方形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为17cm2，那么长方形ABCD的面积为 　 　cm2．
24．通过第14章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2；如图2可以得到：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）【探索发现】
根据图中条件，猜想并验证（a+b）2与（a﹣b）2之间的关系（用含a、b的代数式表示出来）；图3表示：　 　．
（2）【解决问题】
①若x+y＝8，x2+y2＝40，则xy＝　 　；
②当（x﹣300）（200﹣x）＝1996时，求（2x﹣500）2的值．
（3）【拓展提升】
如图4，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，延长GB和ED交于点H，那么四边形DCBH为长方形，设AB＝10，图中阴影部分面积为24，求两个正方形的面积和S1+S2．
乘法公式 完全平方公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】D
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】解：∵x2+2mx+16＝x2+2mx+42，
∴2m＝±2×4×x，
解得m＝±4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
2．【答案】D
【分析】利用完全平方公式得出关于m的方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：∵x2+8x+16或x2﹣8x+16是完全平方式，x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，
∴2（m﹣3）＝8或2（m﹣3）＝﹣8，
∴m＝7或﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
3．【答案】D
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】解：∵x2﹣mx+16＝x2﹣mx+42，
∴﹣mx＝±2 x 4，
解得m＝±8．
故选：D．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
4．【答案】D
【分析】根据完全平方公式进行分析即可．
【解答】解：∵（2x）2±2×2×5x+52＝（2x±5）2，
∴4x2﹣kx+25是完全平方式，k＝±20，
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方公式，灵活掌握完全平方公式是解决本题的关键．
5．【答案】D
【分析】根据题意利用完全平方公式的结构特征进行判断，即可求出m的值．
【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+49是一个二项式的平方，
∴x2+2（m﹣3）x+49＝x2+2（m﹣3）x+72，
∴x2+2（m﹣3）x+49＝（x±7）2，
∴x2+2（m﹣3）x+49＝x2±14x+49，
∴2（m﹣3）＝±14，
解得：m＝﹣4或m＝10，
故选：D．
【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．
6．【答案】D
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【解答】解：∵x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，
∴k＝±12，
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．【答案】D
【分析】首先利用完全平方公式进行因式分解，即可得到正方形的边长，进而可计算出正方形的周长．
【解答】解：∵x2﹣8x+16＝（x﹣4）2，
∴正方形的边长为（x﹣4）cm，
∴正方形的周长为：4（x﹣4）＝（4x﹣16）cm．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解法的应用，关键是利用完全平方公式进行因式分解，从而得到正方形的边长．
8．【答案】D
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a的值．
【解答】解：∵4x2﹣ax+4＝（2x）2﹣ax+22，
∴﹣ax＝±2 2x 2＝±8x，
∴a＝±8．
故选：D．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
9．【答案】D
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【解答】解：∵x的二次三项式x2+kx+9可以写成一个完全平方式，
∴x2+kx+9＝（x±3）2＝x2±6x+9，
∴k＝±6．
故选：D．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
10．【答案】D
【分析】根据完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、x2 x3＝x5，故A不符合题意；
B、（2x2）3＝8x6，故B不符合题意；
C、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故C不符合题意；
D、x3÷x2＝x，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】1．
【分析】利用完全平方公式展开，再代入数据计算即可．
【解答】解：∵a2+b2＝5，ab＝2，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
＝5﹣2×2
＝5﹣4
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题是对完全平方公式的考查，学生经常漏掉乘积二倍项而导致出错．
12．【答案】（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz．
【分析】从“整体”和“部分”分别用代数式表示图2的面积即可．
【解答】解：图2是边长为x+y+z，因此面积为（x+y+z）2，
图2中9个部分的面积和为x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz，
所以（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz，
故答案为：（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
13．【答案】16．
【分析】因为4a+2b，可给x赋值2，当x＝2时，可得（2+3）2＝a×22+b×2+c，经化简，因c＝9，可得4a+2b．
【解答】解：当x＝2时，可得（2+3）2＝a×22+b×2+c，
化简得4a+2b+c＝25，
∵c＝9，
∴4a+2b＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了代数式求值，关键是计算正确．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】根据完全平方公式两边平方，然后整理即可求解．
【解答】解：∵（a）2＝a2+225，
∴a225﹣2＝23．
【点评】此题主要考查了完全平方式的运用，本题利用好乘积二倍项不含字母是常数项是解题的关键．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知完全平方式得出2（m﹣3）x＝±2 x 4，求出即可．
【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，
∴2（m﹣3）x＝±2 x 4，
解得：m＝7或﹣1，
故答案为：7或﹣1．
【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的内容是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2．
16．【答案】±．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】解：∵x2+mxx2+mx，
∴mx＝±2x，
解得m＝±，
故答案为：±．
【点评】本题考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
三．解答题（共8小题）
17．【答案】（1）（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn，证明见详解；（2）①x+y＝±1；②a3．
【分析】（1）根据完全平方公式展开合并，左式等于右式即可；
（2）①套入由（1）得到的公式计算即可；
②套入由（1）得到的公式计算即可．
【解答】解：（1）存在关系为（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn，理由如下：
左式＝m2+2mn+n2﹣（m2﹣2mn+n2）
＝4mn
＝右式．
（2）①（x+y）2＝4xy+（x﹣y）2＝4×（﹣6）+52＝1，
∴x+y＝±1；
②（a）2＝4×a（a）2＝8+1＝9，
∵a＞0，
∴a3．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是本题的关键．
18．【答案】（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab；（2）68；（3）7．
【分析】（1）用两种方法表示同一个图形面积即可．
（2）用（1）中得到的公式计算．
（3）将8﹣x，x﹣2当成两个字母后用公式．
【解答】解：（1）图中大正方形的面积可以表示为：（a+b）2，
还可以表示为：a2+b2+2ab．
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab．
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．
（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab．
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×16＝100﹣32＝68．
（3）设a＝8﹣x，b＝x﹣2，
则a+b＝6，a2+b2＝22．
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab．
∴36＝22+2ab．
∴ab＝7．
∴这个长方形的面积为：（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝7．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景及其应用，用两种方法表示同一个图形面积，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键．
19．【答案】（1）30；
（2）1．
【分析】（1）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算，然后整体代入求值即可；
（2）根据完全平方公式的变形即可求值．
【解答】解：（1）∵x+y＝3，xy＝2，
∴（7﹣x）（7﹣y）
＝49﹣7y﹣7x+xy
＝49﹣7（x+y）+xy
＝49﹣7×3+2
＝49﹣21+2
＝30；
（2））∵x+y＝3，xy＝2，
∴（x﹣y）2
＝（x+y）2﹣4xy
＝32﹣4×2
＝9﹣8
＝1．
【点评】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，整体代入求值思想，熟练掌握运算公式及法则是解题的关键．
20．【答案】（1）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
（2①13．
②．
【分析】（1）用两种不同的方法表示阴影部分的面积可得一个等式即可；
（2）①先求出m2+n2，再将（m﹣n）2用m2+n2和mn表示即可；
②将图3中阴影部分面积的和转化为梯形AFDE的面积再表示为x，y的代数式求解即可．
【解答】解：（1）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（2）由（1）得（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝52﹣4×3＝13．
故答案为：13．
②∵FG＝FE，BG＝ED，∠BGF＝∠DEF＝90°，
∴△BFG≌△DEF，
∴△BFG的面积＝△DEF的面积，
∴图3中阴影部分面积的和＝梯形AFDE的面积（y+x）（x﹣y），
∵BG＝1，xy＝12，
∴x﹣y＝1，
∴（y+x）2＝（y﹣x）2+4xy＝12+4×12＝49，
∴y+x＝7，
∴图3中阴影部分面积的和7×1．
故答案为：．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景、掌握公式的熟练应用，能够由面积相等，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
21．【答案】（1）1，1，36，36，36，36；
（2）＝；
（3）9．
【分析】（1）将a，b的值分别代入整式a2﹣2ab+b2和（a﹣b）2进行计算；
（2）再取a＝﹣2，b＝3；a＝5，b＝3分别代入整式a2﹣2ab+b2和（a﹣b）2进行计算，并进行归纳；
（3）运用（2）题规律，将算式3.232﹣2×3.23×0.23+0.232变形为（3.23﹣0.23）2进行求解．
【解答】解：（1）32﹣2×3×2+22
＝9﹣12+4
＝1，
（3﹣2）2
＝12
＝1；
（﹣5）2﹣2×（﹣5）×1+12
＝25+10+1
＝36，
（﹣5﹣1）2
＝（﹣6）2
＝36；
42﹣2×4×（﹣2）+（﹣2）2
＝16+16+4
＝36，
[4﹣（﹣2）]2
＝62
＝36，
故答案为：1，1，36，36，36，36；
（2）当a＝﹣2，b＝3时，
a2﹣2ab+b2
＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）×3+32
＝4+12+9
＝25，
（﹣2﹣3）2
＝（﹣5）2
＝25，
可得a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；
当a＝5，b＝3时，
a2﹣2ab+b2
＝52﹣2×5×3+32
＝25﹣30+9
＝4，
（5﹣3）2
＝22
＝4，
可得a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，
∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，
故答案为：＝；
（3）3.232﹣2×3.23×0.23+0.232
＝（3.23﹣0.23）2
＝32
＝9．
【点评】此题考查了完全平方公式的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识和运算规律的归纳．
22．【答案】（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（2）11；
（3）26．
【分析】（1）用两种方法表示出图2中的大正方形的面积即可得出（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；
（2）由m+n＝7得m2+n2+2mn＝49，将m2+n2＝30代入得2mn＝19，进而得m2+n2﹣2mn＝11，据此可得（m﹣n）2的值；
（3）设x﹣2022＝a，x﹣2024＝b，则a﹣b＝2，1/2（a+b）＝x﹣2023，再由（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝54得a2+b2＝54，然后根据a﹣b＝2得a2+b2﹣2ab＝4，进而得2ab＝50，则a2+b2+2ab＝104进而得（a+b）2＝104，据此可得出（a﹣2023）2的值．
【解答】解：（1）∵图2中的大正方形的边长为（a+b），
∴图2中的大正方形的面积为：（a+b）2，
又∵图2中的大正方形是由边长为a，b的两个正方形和两个长为a，宽为b的
长方形组成，
∴图2中的大正方形的面积为：a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab．
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab，
（2）∵m+n＝7，
∴（m+n）2＝72，即m2+n2+2mn＝49，
∵m2+n2＝30，
∴2mn＝49﹣（m2+n2）＝49﹣30＝19，
∴m2+n2﹣2mn＝11，
∴（m﹣n）2＝11．
（3）设x﹣2022＝a，x﹣2024＝b，
∴a﹣b＝2，a+b＝2x﹣4046，
∴（a+b）＝x﹣2023，
∵（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝54，
∴a2+b2＝54，
∵a﹣b＝2，
∴（a﹣b）2＝22，即a2+b2﹣2ab＝4，
∴54﹣2ab＝4，
∴2ab＝50，
∴a2+b2+2ab＝104，
∴（a+b）2＝104，
∴（a﹣2023）2（a+b）2104＝26．
【点评】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，理解题意，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．
23．【答案】4．
【分析】设AB＝a，BC＝b，由题意得a+b＝5cm，a2+b2＝17cm2，根据完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2可得ab，再代入求解．
【解答】解：设AB＝a，BC＝b，由题意得2（a+b）＝10cm，a2+b2＝17cm2，
即a+b＝5cm，a2+b2＝17cm2，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴ab4（cm2），
故答案为：4．
【点评】此题考查了完全平方公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解并运用完全平方公式和数形结合思想进行求解．
24．【答案】（1）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）①12；②2016；
（3）52．
【分析】（1）根据图3是一个边长为（a+b）的大正方形，是由4个长为a，宽为b的长方形和一个边长为（a﹣b）的小正方形构成，由此根据图形的面积可得出（a+b）2与（a﹣b）2之间的关系；
（2）①先由完全平方公式得2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2），再将x+y＝8，x2+y2＝40整体代入计算即可得出xy的值；
②先设x﹣300＝a，200﹣x＝b，则a+b＝﹣100，a﹣b＝2x﹣500，ab＝1996，然后根据（1）的结论得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝2016，据此可得（2x﹣500）2的值；
（3）设AC＝a，BC＝b，则a+b＝10，ab＝24，S1+S2＝a2+b2，再由完全平方公式得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52，据此可得S1+S2的值．
【解答】解：（1）如图3所示：大正方形的边长为（a+b），小正方形的边长为（a﹣b），
∴大正方形的面积为（a+b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，
另一方面：大正方形是由4个长为a，宽为b的长方形和一个边长为（a﹣b）的小正方形构成，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
（2）①∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2），
∵x+y＝8，x2+y2＝40，
∴2xy＝82﹣40＝24，
∴xy＝12；
②设x﹣300＝a，200﹣x＝b，
∴a+b＝x﹣300+200﹣x＝﹣100，a﹣b＝x﹣300﹣（200﹣x）＝2x﹣500，
∵（x﹣300）（200﹣x）＝1996，
∴ab＝1996，
由（1）可知：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝（﹣100）2﹣4×1996＝2016，
∴（2x﹣500）2＝2016；
（3）设AC＝a，BC＝b，
∵AB＝10，
∴a+b＝10，
∵图中阴影部分面积为24，
∴ab＝24，
∵四边形ACDE和BCFG均为正方形，
∴S1+S2＝a2+b2，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×24＝52，
∴S1+S2＝52．
【点评】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．
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