2.1两条直线的位置关系（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版（2024）数学七年级下册

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两条直线的位置关系
一．选择题（共8小题）
1．一个角的补角是36°35'，这个角是（　　）
A．53°25' B．63°25' C．143°25' D．53°65'
2．已知∠A＝25°，则它的余角是（　　）
A．25° B．65° C．155° D．90°
3．下列图形中∠1和∠2互为补角的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1＝36°，则∠COE等于（　　）
A．72° B．95° C．100° D．108°
5．已知∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，且∠β＝4∠γ，则∠α的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．若∠α＝30°30'，则它的余角的度数是（　　）
A．59°10' B．59°30' C．149°10' D．60°10'
7．如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，∠AOD＝130°，则∠BOC＝（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
8．如果锐角α的余角是48°，那么锐角α的补角是（　　）
A．132° B．42° C．48° D．138°
二．填空题（共6小题）
9．如图，要在河岸l上建一个水泵房D，修建引水渠到村庄C处．施工人员的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样修建引水渠CD最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是 　 　．
10．如图所示，将两块三角板的直角顶点重叠，若∠AOD＝125°，则∠BOC＝　 　．
11．已知∠α＝40°，则∠α余角的度数是　 　°．
12．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOD＝α，则∠AOE＝　 　.（用含α的式子表示）
（2）若∠AOD＝68°，OF⊥CD，则∠EOF＝　 　．
13．已知∠β＝38°25'，则∠β的补角的度数是 　 　．
14．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠BOD＝70°，则∠CON的度数为　 　．
三．解答题（共8小题）
15．综合与探究
【实践操作】三角尺中的数学
数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C．
【问题发现】
（1）①填空：如图1，若∠ACB＝145°，则∠ACE的度数是　 　，∠DCB的度数　 　，∠ECD的度数是　 　．
②如图1，你发现∠ACE与∠DCB的大小有何关系？∠ACB与∠ECD的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．
【类比探究】
（2）如图2，当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．
16．如图，将两个角的顶点重合在一起，使角的一边在另一个角的内部．
（1）如图1，将两个同样的直角三角尺的60°锐角顶点A重合在一起．若∠CAE＝15°，则∠DAB＝　 　°；
（2）如图2，若是将一副直角三角尺的直角顶点C重合在一起．猜想∠ACB与∠DCE的数量关系？请说明理由；
（3）已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α、β都是锐角），若把它们的顶点O重合在一起．如图3，请直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系 　 　．
17．如图，直线AB，CD交于点O，已知OF⊥CD，∠COE＝2∠AOC．
（1）若∠COE＝42°，分别写出∠COE的补角、余角，并求出相应的度数；
（2）若∠BOF＝60°，试说明OE⊥AB．
18．如图，O是直线AD上一点，∠AOB是∠AOC的余角，射线ON平分∠BOD．
（1）若∠AOC＝50°，求∠NOD的度数；
（2）若∠AOB＝2∠MON，请在图中画出符合题意的射线OM，探究∠COM与∠COD的数量关系，并说明理由．
19．如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC．
（1）若∠AOC＝50°，请求出∠AOD的度数；
（2）若∠AOD和∠DOE互余，且∠AOD∠AOE，请求出∠BOC的度数．
20．如图，直线AB、CD相交于点O，射线OF垂直于OD且平分∠AOE．
（1）若∠AOE＝110°，求∠DOB的度数；
（2）OD平分∠BOE吗，请说明理由．
21．如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD，OF平分∠AOC．若∠BOC＝50°，求∠AOE和∠FOD的度数．
22．如图1，在平面内有直线AB和直角三角板DEF，点O在直线AB上，∠E＝30°，如果将三角板DEF移动使得直角顶点F与点O重合．
（1）如图2若∠BOC＝50°，当直角三角板的边FD与OB重合时，则∠COE＝　 　°．
（2）如图3若∠BOC＝110°，将直角三角板DEF绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）若∠BOC＝α（0°＜α＜180°），将直角三角板DEF绕点O转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，直接写出∠COD的度数（用含α的式子表达），并画出草图．
两条直线的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【答案】C
【分析】根据求一个角的补角的方法用180°减去这个角的补角的度数，求出的差就是这个角的度数．
【解答】解：∵一个角的补角是36°35'，
∴这个角的度数为180°﹣36°35'＝143°25'，
故选：C．
【点评】本题主要考查补角，熟练掌握求一个角的补角的方法和度分秒的换算方法是解决问题的关键．
2．【答案】B
【分析】直接根据余角的定义即可得出结论．
【解答】解：∵∠Α＝25°，
∴它的余角＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
【点评】本题考查的是余角和补角，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
3．【答案】A
【分析】根据补角的概念对各个选项进行判断即可．
【解答】解：根据补角的概念可知，选项A中的∠1与∠2互为补角，
故选：A．
【点评】本题考查了补角的概念．解题的关键是掌握余角和补角的概念，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．
4．【答案】D
【分析】根据邻补角的概念求出∠AOD，根据角平分线的定义求出∠DOE，再根据邻补角的概念计算，得到答案．
【解答】解：∵∠1＝36°，
∴∠AOD＝180°﹣∠1＝144°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE∠AOD＝72°，
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝108°，
故选：D．
【点评】本题考查的是邻补角的概念、角平分线的定义，掌握从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解题的关键．
5．【答案】C
【分析】分别用含α的式子表示∠β和∠γ，然后根据∠β＝4∠γ建立关于α的方程，解方程即可求出∠α的度数．
【解答】解：∵∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，
∴∠β＝180°﹣∠α，∠γ＝90°﹣∠α，
∵∠β＝4∠γ，
∴180°﹣∠α＝4（90°﹣∠α），
解得：∠α＝60°．
故选：C．
【点评】本题主要考查余角和补角，熟练掌握余角和补角的意义是解决问题的关键．
6．【答案】B
【分析】互余两角的和等于90°，90°与∠α的差，就是它的余角．
【解答】解：90°﹣∠α＝90°﹣30°30′＝59°30′．
故答案为：B．
【点评】本题考查了两角互为余角的定义，度分秒换算，关键是两角减法，1°＝60′．
7．【答案】D
【分析】从图可以看出，∠BOC的度数正好是两直角相加减去∠AOD的度数，从而问题可解．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝130°
∴∠BOC＝∠AOB+∠COD﹣∠AOD＝90°+90°﹣130°＝50°．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．
8．【答案】D
【分析】根据余角和补角的定义求解即可．
【解答】解：∵锐角α的余角是48°，
∴α＝90°﹣48°＝42°，
∴锐角α的补角是180°﹣42°＝138°，
故选：D．
【点评】本题考查了余角和补角，熟记余角和补角的定义是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．【答案】见试题解答内容
【分析】根据垂线段的性质解答即可．
【解答】解：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短；
【点评】本题考查了垂线段的定义和性质．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决实际问题．
10．【答案】55°．
【分析】从图可以看出，∠BOC的度数正好是两直角相加减去∠AOD的度数，从而问题可解．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝125°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠COD﹣∠AOD＝90°+90°﹣125°＝55°．
故答案为：55°．
【点评】此题主要考查了余角关系、角的计算，解答此题的关键是通过观察图示，发现几个角之间的关系．
11．【答案】见试题解答内容
【分析】根据余角的定义即可得出结论．
【解答】解：∵∠α＝40°，
∴∠α余角＝90°﹣40°＝50°．
故答案为：50．
【点评】本题考查的是余角和补角，熟知如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角是解答此题的关键．
12．【答案】（1）180°α；
（2）124°或56°．
【分析】（1）根据邻补角的性质得∠AOC＝180°﹣α，根据对顶角的性质得∠BOC＝∠AOD＝α，根据角平分线的定义得∠COE∠BOCα，即可得出答案；
（2）分两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵∠AOD＝α，
∴∠AOC＝180°﹣α，∠BOC＝∠AOD＝α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE∠BOCα，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝180°﹣αα＝180°α；
故答案为：180°α；
（2）如图1：
∵∠AOD＝68°，
∴∠BOC＝∠AOD＝68°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE∠BOC＝34°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝∠FOC+∠COE＝90°+34°＝124°，
如图2：
∵∠AOD＝68°，
∴∠BOC＝∠AOD＝68°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE∠BOC＝34°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝∠FOC﹣∠COE＝90°﹣34°＝56°，
综上，∠EOF＝124°或56°．
故答案为：124°或56°．
【点评】本题主要考查了垂线，角平分线的定义以及对顶角和邻补角的综合运用，弄清楚角之间的和差关系是解题关键．
13．【答案】141°35′．
【分析】如果两个角的和为180°，则这两个角互为补角，据此列式计算即可．
【解答】解：已知∠β＝38°25'，
则其补角为180°﹣38°25'＝141°35′，
故答案为：141°35′．
【点评】本题考查补角，熟练掌握其定义是解题的关键．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用垂线的定义结合角平分线的定义得出答案．
【解答】解：∵∠BOD＝∠AOC＝70°，射线OM平分∠AOC，
∴∠AOM＝∠MOC＝35°，
∵ON⊥OM，
∴∠COM＝90°﹣35°＝55°．
故答案为：55°．
【点评】此题主要考查了垂线以及角平分线的定义，正确得出∠AOM的度数是解题关键．
三．解答题（共8小题）
15．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先计算出∠ACE＝∠DCB＝145°﹣90°＝55°，再根据∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD＝90°﹣55°＝35°即可求解；
（2）根据余角的性质可得∠ACE＝∠BCD，根据角的和差关系可得∠ACB+∠ECD＝180°；
（3）利用周角定义得∠ACB+∠ACD+∠DCE+∠BCE＝360°，而∠ACD＝∠BCE＝90°，即可得到∠ACB+∠ECD＝180°．
【解答】解：（1）①∠ACE＝∠DCB＝145°﹣90°＝55°，
∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD＝90°﹣55°＝35°；
②∠ACE＝∠DCB，∠ACB+∠ECD＝180°；
（2）答：当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立．
理由：因为∠ACD＝∠ECB＝90°，
所以∠ACD+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，
所以∠ACE＝∠DCB，
因为∠ACD＝∠ECB＝90°，
所以∠ACD+∠ECB＝180°，
因为∠ACD+∠ECD+∠ECB+∠ACB＝360°，
所以∠ACB+∠ECD＝180°，
所以∠ACE＝∠DCB，∠ACB+∠ECD＝180°．
所以上述②中发现的结论依然成立．
故答案为：55°，55°，35°．
【点评】本题考查了角度的计算：利用几何图形计算角的和与差．
16．【答案】（1）105°；（2）∠ACB+∠DCE＝180°；（3）∠AOD+∠BOC＝α+β．
【分析】（1）根据等角减同一个角相等可得∠BAC＝∠DAE＝60°﹣15°＝45°，则∠DAB＝∠BAC+∠DAE+∠CAE代入数据计算即可；
（2）根据等角的余角相等可得∠BCD＝∠ACE＝90°﹣∠DCE，则∠ACB＝∠BCD+∠ACE+∠DCE＝90°﹣∠DCE+90°﹣∠DCE+∠DCE＝180°﹣∠DCE，整理即可；
（3）根据∠AOB＝α，∠COD＝β，则有∠AOC＝α﹣∠BOC，∠DOB＝β﹣∠BOC，所以∠AOD＝∠AOC+∠DOB+∠BOC＝α﹣∠BOC+β﹣∠BOC+∠BOC＝α+β﹣∠BOC，整理即可．
【解答】解：（1）∵∠BAE＝∠CAD＝60°，∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°﹣15°＝45°，
∴∠DAB＝∠BAC+∠DAE+∠CAE＝45°+45°+15°＝105°，
故答案为：105°；
（2）∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：
∵∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE＝90°﹣∠DCE，
∴∠ACB＝∠BCD+∠ACE+∠DCE＝90°﹣∠DCE+90°﹣∠DCE+∠DCE＝180°﹣∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE＝180°；
（3）∵∠AOB＝α，∠COD＝β，
∴∠AOC＝α﹣∠BOC，∠DOB＝β﹣∠BOC，
∴∠AOD＝∠AOC+∠DOB+∠BOC＝α﹣∠BOC+β﹣∠BOC+∠BOC＝α+β﹣∠BOC，
∴∠AOD+∠BOC＝α+β．
故答案为：∠AOD+∠BOC＝α+β．
【点评】本题考查了等角的余角相等，熟练掌握等角的余角相等是解答本题的关键．
17．【答案】（1）∠COE的补角是∠DOE，且∠DOE＝138°，∠COE的余角是∠EOF，且∠EOF＝48°；
（2）说明过程见解答．
【分析】（1）根据平角定义可得∠COE的补角是∠DOE，且∠DOE＝138°，再根据垂直定义可得∠COF＝90°，然后根据余角定义即可解答；
（2）利用角的和差关系可得∠BOD＝30°，从而利用对顶角相等可得∠AOC＝∠BOD＝30°，进而可得∠COE＝60°，然后利用角的和差关系可得∠AOE＝90°，即可解答．
【解答】解：（1）∵∠COE＝42°，
∴∠DOE＝180°﹣∠COE＝138°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝∠DOF＝90°，
∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE﹣48°，
∴∠COE的补角是∠DOE，且∠DOE＝138°，∠COE的余角是∠EOF，且∠EOF＝48°；
（2）∵∠BOF＝60°，∠DOF＝90°，
∴∠BOD＝∠DOF﹣∠BOF＝30°，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°，
∵∠COE＝2∠AOC，
∴∠COE＝2∠AOC＝60°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝90°，
∴OE⊥AB．
【点评】本题考查了垂线，余角和补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
18．【答案】（1）70°
（2）∠COD＝90°+∠COM或，理由见解析．
【分析】（1）根据互为余角的两个角的和是90度，平角的定义，角平分线的定义解答；
（2）分情况画图分析，设∠AOB＝α，利用互为余角的两个角的和是90度，平角的定义，角平分线的定义，把∠COM和∠COD的度数分别用含有α的式子表示，即可表示出两个角的关系．
【解答】解：（1）∵∠AOB是∠AOC的余角，∠AOC＝50°，
∴∠AOB＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣40°＝140°，
∵ON平分∠BOD，
∴；
（2）∠COD＝90°+∠COM或，理由如下：
设∠AOB＝α，
∵∠AOB是∠AOC的余角，
∴∠AOC＝90°﹣α，∠BOD＝180°﹣α，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，
∵ON平分∠BOD，
∴，
∵∠AOB＝2∠MON，
∴．
当射线OM在∠CON内部时，如图：
，
∠COD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α，
∴∠COD＝90°+∠COM；
当射线OM在∠NOD内部时，如图：
，
∠COD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α，
∴，
综上可知，∠COD＝90°+∠COM或．
【点评】本题考查余角、补角、角平分线、角的和差关系等知识点，解第一问的关键是掌握互为余角的两个角的和是90度，解第二问的关键是注意分情况讨论，避免漏解．
19．【答案】（1）25°．
（2）120°．
【分析】（1）根据角平分线定义得出∠AOD∠AOC，代入求出即可；
（2）根据互余求出∠AOE＝90°，再根据∠AOD∠AOE，求出∠COE＝∠AOD＝30°，进而求出∠BOC的度数．
【解答】解：（1）∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD∠AOC50°＝25°．
（2）∵∠AOD和∠DOE互余，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOD∠AOE，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COE＝30°，
∴∠BOC＝∠BOE+∠COE＝90°+30°＝120°．
【点评】本题考查了与角平分线有关的计算，准确找到角与角之间的关系是解决本题的关键．
20．【答案】（1）∠DOB＝35°；
（2）OD平分∠BOE．
【分析】（1）根据角平分线，垂直的定义以及对顶角相等即可求出答案；
（2）根据角平分线，垂直的定义，对顶角相等以及等角的余角相等即可得出答案．
【解答】解：（1）∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠FOE∠AOE110°＝55°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣55°＝35°＝∠DOB，
即∠DOB＝35°；
（2）OD平分∠BOE，理由：
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠FOE，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝∠DOF＝90°，
即∠AOC+∠AOF＝90°＝∠DOE+∠EOF，
∴∠AOC＝∠DOE，
又∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠DOE＝∠BOD，
即OD平分∠BOE．
【点评】本题考查角平分线的定义以及对顶角、邻补角，掌握角平分线的定义，垂直的定义，对顶角相等以及等角的余角相等是正确解答的关键．
21．【答案】140°，115°．
【分析】根据角的平分线的定义，垂线的定义，对顶角及角的和差进行求解．
【解答】解：∵OE⊥CD，
∴∠COE＝∠DOE＝90°，
∵∠BOC＝50°，
∵∠BOC＝∠AOD＝50°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝130°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF＝∠COF＝65°，
∵∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝50°+90°＝140°，
∵∠FOD＝∠AOF+∠AOD＝65°+50°＝115°．
【点评】本题考查了几何的基础概念，运用角的和差运算是解题的关键
22．【答案】（1）40；
（2）∠BOD+∠COE＝20°或∠BOD﹣∠OCE＝20°；
（3）90°﹣α或90°+α．
【分析】（1）依题意得∠EOD＝90°，∠BOC＝50°，再由∠COE＝∠EOD﹣∠BOC可得出答案；
（2）根据∠BOC＝110°，OD始终在∠BOC的内部，可分为以下两种情况：①当OE在∠BOC的内部时，画出图形得∠BOD+∠COE＝20°，②当OE在∠BOC的外部时，画出图形得∠BOD﹣∠OCE＝20°，综上所述即可得出∠BOD和∠COE之间的数量关系；
（3）依题意分以下四种情况：①当OD，OE都在AB的上方时，②当OD在AB上方，OE在AB下方时，③当OD，OE都在AB的下方时，④当OD在AB下方，OE在AB上方时，根据每一种情况画出图形，求出∠COD的度数即可．
【解答】解：（1）如图2所示：
依题意得：∠EOD＝90°，∠BOC＝50°，
∴∠COE＝∠EOD﹣∠BOC＝90°﹣50°＝40°，
故答案为：40．
（2）∠BOD+∠COE＝20°或∠BOD﹣∠OCE＝20°，理由如下：
∵∠BOC＝110°，OD始终在∠BOC的内部，
∴有以下两种情况：
①当OE在∠BOC的内部时，如图3所示：
∴∠BOD+∠COE＝∠BOC﹣∠DOE＝110°﹣90°＝20°；
②当OE在∠BOC的外部时，如图4所示：
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝110°﹣∠COD，∠OCE＝∠DOE﹣∠COD＝90°﹣∠COD，
∴∠BOD﹣∠OCE＝（110°﹣∠COD）﹣（90°﹣∠COD）＝20°．
综上所述：∠BOD+∠COE＝20°或∠BOD﹣∠OCE＝20°．
（3）依题意有以下四种情况：
①当OD，OE都在AB的上方时，如图5所示：
∵∠BOC＝α，OC平分∠BOE，
∴∠COE＝∠BOC＝α，
∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝90°﹣α；
②当OD在AB上方，OE在AB下方时，如图6所示：
∵∠BOC＝α，OC平分∠BOE，
∴∠COE＝∠BOC＝α，
∴∠COD＝∠DOE+∠COE＝90°+α；
③当OD，OE都在AB的下方时，如图7所示：
∵∠BOC＝α，OC平分∠BOE，
∴∠COE＝∠BOC＝α，
∴∠COD＝∠DOE+∠COE＝90°+α；
④当OD在AB下方，OE在AB上方时，如图8所示：
∵∠BOC＝α，OC平分∠BOE，
∴∠COE＝∠BOC＝α，
∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝90°﹣α．
综上所述：∠COD的度数90°﹣α或90°+α．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义，角的计算，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
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