2.2探索直线平行的条件（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版（2024）数学七年级下册

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探索直线平行的条件
一．选择题（共10小题）
1．如图，点E在BC的延长线上，下列条件不能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠2＝∠4 B．∠B＝∠5
C．∠5＝∠D D．∠D+∠DAB＝180°
2．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　）
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠DCA＝180°
3．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠B＝∠DCE；④∠B+∠BAD＝180°，其中能推出AB∥DC的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
4．如图是小明探索直线平行的条件时所用的学具，木条a，b，c在同一平面内．经测量∠1＝70°，要使木条a∥b，则∠2的度数应为（　　）
A．20° B．70° C．110° D．160°
5．如图，∠1和∠2是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，点E在CD延长线上，下列条件中不能判定AC∥BD的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠5＝∠C D．∠C+∠BDC＝180°
7．如图，点E在AD的延长线上，下列条件中不能判断AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠C+∠ABC＝180° D．∠A＝∠5
8．下列图形中，由∠1＝∠2能判定AB∥CD的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，直线b，c被直线a所截，则∠1与∠2是（　　）
A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角
10．如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是（　　）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
二．填空题（共5小题）
11．如图，∠1＝72°，在不添加其他辅助线的情况下，若要使直线a∥直线b，则需要添加的条件为 　 　（写出一个即可）．
12．如图，直线DE与∠ABC的一边BC交于点F，写出∠ABC的内错角 　 　．
13．一副直角三角板中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°，现将直角顶点C按照如图方式叠放，点E在直线AC上方，且0°＜∠ACE＜180°，能使三角形ADC有一条边与EB平行的所有∠ACE的度数为 　 　．
14．如图，点E是BC延长线上一点，请添加一个你认为恰当的条件 　 　，使AD∥BC．
15．如图，要使AD∥BF，则需要添加的条件是　 　（写一个即可）
三．解答题（共8小题）
16．已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，求证：AB∥MN．
17．如图，已知∠A＝∠C，∠1+∠2＝180°，试说明AF∥CE．
18．如图，E为DF上一点，B为AC上一点，∠DGF＝∠EHF，∠C＝∠D．DF与AC平行吗？为什么？
19．如图，直线EF与直线AB，CD分别相交于点M，O，OP，OQ分别平分∠COE和∠DOE，与AB交于点P，Q，已知∠OPQ+∠DOQ＝90°．
（1）若∠DOQ：∠DOF＝2：5，求∠FOQ的度数；
（2）对AB∥CD说明理由．
20．已知：如图，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．
（1）求∠CFD的度数；
（2）请判断AB与CD是否平行，说明理由．
21．如图，点O为直线AB上一点，OF⊥OE，∠DOE＝55°，OF平分∠AOD，∠D＝110°．证明：CD∥AB．
22．如图，已知∠BAF＝∠AFD，∠ABC+∠CDE＝180°，求证：BC∥DE．
23．如图1，AC平分∠DAB，∠1＝∠2．
（1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；
（2）如图2，当∠ADC＝120°时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系；
（3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC⊥BC，问当∠CDH为多少度时，∠GDC＝∠ADH．
探索直线平行的条件
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”分别进行分析．
【解答】解：A、根据内错角相等，两直线平行可判定AB∥CD，故此选项不合题意；
B、根据同位角相等，两直线平行可判定AB∥CD，故此选项不合题意；
C、根据内错角相等，两直线平行可判定AD∥CB，无法判定AB∥CD，故此选项符合题意；
D、根据同旁内角互补，两直线平行可判定AB∥CD，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
2．【答案】B
【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案．
【解答】解：A、∠3＝∠4，根据内错角相等，BD∥AC，故此选项不符合题意；
B、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可得：AB∥CD，故此选项符合题意；
C、∠D＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项不符合题意；
D、∠D+∠DCA＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
3．【答案】B
【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到正确的选项．
【解答】解：①∵∠1＝∠2，
∴AB∥DC，本选项符合题意；
②∵∠3＝∠4，
∴AD∥CB，本选项不符合题意；
③∵∠B＝∠DCE，
∴AB∥CD，本选项符合题意；
④∵∠B+∠BAD＝180°，
∴AD∥CB，本选项不符合题意．
则符合题意的选项为①③．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
4．【答案】C
【分析】根据邻补角互补和平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：∠2的度数应为110°．
证明：如图，
∵∠2＝110°，
∴∠3＝180°﹣110°＝70°，
∴∠1＝∠3，
∴a∥b．
故选：C．
【点评】本题考查邻补角互补，平行线的判定．熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．
5．【答案】A
【分析】根据同位角的定义判断求解．
【解答】解：A：∠1和∠2是同位角，故A是正确的；
B、C、D中的∠1和∠2的边都是四条直线，不是“三线八角”，故B、C、D都是错误的；
故选：A．
【点评】本题考查了同位角、内错角，同旁内角的定义，正确识别各种角的关系是解题的关键．
6．【答案】B
【分析】根据平行线的判定方法直接判定即可．
【解答】解：A．∠1与∠2是直线AC、BD被AD所截形成的内错角，因为∠1＝∠2，所以应是AC∥BD，所以A选项不符合题意．
B．∵∠3＝∠4，∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行），不能判定BD∥AC，所以B选项符合题意．
C．∵∠5＝∠C，∴BD∥AC （同位角相等，两直线平行），所以C选项不合题意．
D．∵∠C+∠BDC＝180°，∴BD∥AC（同旁内角互补，两直线平行），所以D选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
7．【答案】B
【分析】根据平行线的判定方法，逐一进行判定即可．
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，故本选项不符合题意；
B、∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC，故本选项符合题意；
C、∵∠C+∠ABC＝180°，
∴AB∥CD，故本选项不符合题意；
D、∵∠A＝∠5，
∴AB∥CD，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．
8．【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：A、如图，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD，
故A符合题意；
B、由∠1＝∠2不能判定AB∥CD，
故B不符合题意；
C、∵∠1＝∠2，
∴AC∥BD，
故C不符合题意；
D、由∠1＝∠2不能判定AB∥CD，
故D不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
9．【答案】B
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
【解答】解：由题意可得，∠1与∠2是直线b，c被直线a所截而成的同位角．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同位角，同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．
10．【答案】C
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断．
【解答】解：直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是同旁内角．
故选：C．
【点评】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义．
二．填空题（共5小题）
11．【答案】∠5＝72°（答案不唯一），
【分析】由平行线的判定，即可得到答案．
【解答】解：要使直线a∥直线b，则需要添加的条件为∠5＝72°（答案不唯一），理由如下：
∵∠1＝72°，2＝72°，
∴∠1＝∠2，
∴a∥b．
故答案为：∠5＝72°（答案不唯一）．
【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．
12．【答案】∠BFE．
【分析】根据内错角的定义：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫作内错角，即可得解．
【解答】解：∠ABC的内错角是∠BFE，
故答案为：∠BFE．
【点评】本题考查了内错角，熟记内错角的概念是解题关键．
13．【答案】45°或135°或165°．
【分析】旋转三角形ADC，使其三边分别与BE形成平行状态，根据平行线的判定定理分情况讨论求解即可．
【解答】解：当∠ACE＝∠E＝45°时，AC∥BE，理由如下，如图所示：
∵∠ACE＝∠DCB＝45°，∠B＝45°，
∴BE⊥CD．
又∵AC⊥CD，
∴AC∥BE；
当∠ACE＝135°时，BE∥CD，理由如下，如图所示：
∵∠ACE＝135°，
∴∠DCE＝135°﹣90°＝45°，
∵∠E＝45°，
∴∠DCE＝∠E，
∴BE∥CD；
当∠ACE＝165°时，BE∥AD．理由如下：
延长AC交BE于F，如图所示：
∵∠ACE＝165°，
∴∠ECF＝15°，
∵∠E＝45°，
∴∠CFB＝∠ECF+∠E＝60°，
∵∠A＝60°，
∴∠A＝∠CFB，
∴BE∥AD，
综上，三角形ADC有一条边与EB平行的所有∠ACE的度数的为：45°或135°或165°．
故答案为：45°或135°或165°．
【点评】此题考查了平行线的判定，三角形外角定理，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
14．【答案】∠A+∠B＝180°（不唯一）．
【分析】根据同旁内角互补两直线平行来解答即可，答案不唯一．
【解答】解：∵∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC．
故答案为：∠A+∠B＝180°（不唯一）．
【点评】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】依据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，即可得到添加的条件．
【解答】解：当∠A＝∠EBC（或∠D＝∠DCF或∠A+∠ABC＝180°或∠D+∠BCD＝180°）时，AD∥BF，
故答案为：∠A＝∠EBC（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
三．解答题（共8小题）
16．【答案】见试题解答内容
【分析】由于EF⊥AC，DB⊥AC得到EF∥DM，根据平行线的性质得∠2＝∠CDM，而∠1＝∠2，则∠1＝∠CDM，根据平行线的判定得到MN∥CD，所以∠C＝∠AMN，又∠3＝∠C，于是∠3＝∠AMN，然后根据平行线的判定即可得到AB∥MN．
【解答】证明：∵EF⊥AC，DB⊥AC，
∴EF∥DM，
∴∠2＝∠CDM，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠CDM，
∴MN∥CD，
∴∠C＝∠AMN，
∵∠3＝∠C，
∴∠3＝∠AMN，
∴AB∥MN．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
17．【答案】见解答过程．
【分析】由同旁内角互补，两直线平行可得CD∥AB，则有∠A＝∠CDF，从而可求得∠C＝∠CDF，即可判定AF∥CE．
【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，
∴CD∥AB，
∴∠A＝∠CDF，
∵∠A＝∠C，
∴∠C＝∠CDF，
∴AF∥CE．
【点评】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定定理并灵活运用．
18．【答案】DF与AC平行，理由见解析．
【分析】由∠DGF＝∠EHF，推出BD∥EC，得到∠ABG＝∠C，有∠D＝∠C，得到∠D＝∠ABG，因此 DF∥AC．
【解答】解：DF与AC平行，理由如下，
∵∠DGF＝∠EHF，
∴BD∥EC，
∴∠ABG＝∠C，
∵∠D＝∠C，
∴∠D＝∠ABG，
∴DF∥AC．
【点评】本题考查平行线的判定，关键是由BD∥EC推出∠D＝∠ABG，即可判定FD与AC平行．
19．【答案】（1）140°；（2）理由见解析．
【分析】（1）由OQ分别平分∠DOE，得到∠EOQ＝∠DOQ，又∠DOQ：∠DOF＝2：5，推出∠EOQ180°＝40°，即可求出∠FOQ＝180°﹣∠EOQ＝140°；
（2）由角平分线定义推出∠POQ∠COD180°＝90°，得到∠PQO+∠OPQ＝90°，又∠OPQ+∠DOQ＝90°，得到∠PQO＝∠DOQ，推出AB∥CD．
【解答】解：（1）∵OQ分别平分∠DOE，
∴∠EOQ＝∠DOQ，
∵∠DOQ：∠DOF＝2：5，
∴∠EOQ：∠DOQ：∠DOF＝2：2：5，
∵∠EOQ+∠DOQ+∠DOF＝180°，
∴∠EOQ180°＝40°，
∴∠FOQ＝180°﹣∠EOQ＝140°；
（2）∵OP，OQ分别平分∠COE和∠DOE，
∴∠POM∠COM，∠QOM∠DOM，
∴∠POM+∠QOM（∠COM+∠DOM），
∴∠POQ∠COD180°＝90°，
∴∠PQO+∠OPQ＝90°，
∵∠OPQ+∠DOQ＝90°，
∴∠PQO＝∠DOQ，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查平行线的判定，角平分线定义，关键是掌握平行线的判定方法；由角平分线定义，推出∠POQ∠COD180°＝90°．
20．【答案】（1）90°；
（2）AB∥CD，理由见详解．
【分析】（1）先由∠C＝∠1得CF∥EB，再因为BE⊥FD得∠DGE＝90°，即可求∠CFD的度数；
（2）由（1）知∠DGE＝90°，则∠1+∠D＝90°，再因为∠2和∠D互余，即得∠1＝∠2，由∠C＝∠1得∠C＝∠2即可得解．
【解答】解：（1）∵∠C＝∠1，
∴CF∥EB，
∵BE⊥FD，
∴∠DGE＝90°，
∵CF∥EB，
∴∠CFD＝∠DGE＝90°；
（2）AB∥CD，理由如下：
由（1）知∠DGE＝90°，
则∠1+∠D＝90°，
∵∠2和∠D互余，
∴∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵∠C＝∠1，
∴∠C＝∠2，
∴AB∥CD．
【点评】本题主要考查的是平行线的性质与判定等知识内容，正确掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
21．【答案】证明见解析．
【分析】利用角平分线的定义与垂直的定义求出∠AOD＝70°，从而得出∠AOD+∠D＝180°，即可由平行线的判定定理得出结论．
【解答】证明：∵OF⊥OE，
∴∠FOE＝90°，
∵∠DOE＝55°，
∴∠DOF＝35°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠DOF＝2×35°＝70°，
∴∠AOD+∠D＝70°+110°＝180°，
∴CD∥AB．
【点评】本题考查了平行线的判定定理，角平分线与垂直的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
22．【答案】证明见解答过程．
【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．
【解答】证明：∵∠BAF＝∠AFD，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠C＝180°，
∵∠ABC+∠CDE＝180°，
∴∠C＝∠CDE，
∴BC∥DE．
【点评】此题考查了平行线的判定．熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
23．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）依据AC平分∠DAB，∠1＝∠2，即可得到∠2＝∠BAC，进而判定CD∥AB．
（2）当∠ADC＝120°时，∠1＝∠2＝30°，依据∠2是△CEF的外角，可得∠E+∠F＝∠2＝30°．
（3）依据DH∥BC，AC⊥BC，可得DH⊥AC，进而得到∠ADH＝∠CDH，据此可得当∠GDC＝∠ADH时，∠CDG＝∠CDH＝∠ADH，即可得到∠CDH180°＝60°．
【解答】解：（1）如图，∵AC平分∠DAB，
∴∠1＝∠BAC，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BAC，
∴CD∥AB．
（2）当∠ADC＝120°时，∠1＝∠2＝30°，
∵点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，
∴∠2是△CEF的外角，
∴∠E+∠F＝∠2＝30°．
（3）∵DH∥BC，AC⊥BC，
∴DH⊥AC，
又∵∠1＝∠2，
∴∠ADH＝∠CDH，
∴当∠GDC＝∠ADH时，∠CDG＝∠CDH＝∠ADH，
∴∠CDH180°＝60°．
故当∠CDH为60度时，∠GDC＝∠ADH．
【点评】本题主要考查了平行线的判定以及三角形外角性质的运用，两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．即内错角相等，两直线平行．
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