2.3平行线的性质（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版（2024）数学七年级下册

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平行线的性质
一．选择题（共10小题）
1．如图所示，图形中∠1与∠2不一定相等的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，AB∥DE，BC∥EF，若∠E＝107°，则∠B的度数为（　　）
A．63° B．73° C．83° D．107°
3．如图，将一张长方形纸片的角A、E分别沿着BC、BD折叠，点A落在A'处，点E落在边BA'上的E'处，则∠CBD的度数是（　　）
A．85° B．90° C．95° D．100°
4．在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（　　）
A．如图1，展开后测得∠1＝∠2
B．如图3，测得∠1＝∠2
C．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
D．在图4，展开后测得∠1+∠2＝180°
5．如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，点B、C在直线b上，且a∥b，若∠1＝59°，则∠2的度数为（　　）
A．29° B．31° C．59° D．61°
6．如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一次拐角∠B＝120°，第二次拐角∠C＝140°，为了保持公路AB与DE平行，则第三次拐角∠D的度数应为（　　）
A．130° B．140° C．150° D．160°
7．凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线交于点P，点F为焦点，若∠1＝30°，∠2＝55°，则∠ABP的度数是（　　）
A．150° B．155° C．160° D．165°
8．如图，已知BM平分∠ABC，且BM∥AD，若∠ABC＝70°，则∠A的度数是（　　）
A．30° B．35° C．40° D．70°
9．如图，AB∥CD，E是CD上一点，若BC平分∠ABE，∠ABC＝23°，则∠BED为（　　）
A．23° B．27° C．44° D．46°
10．如图，直线a∥b，若∠1＝135°，则∠2等于（　　）
A．55° B．45° C．35° D．25°
二．填空题（共6小题）
11．如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架AO与底座OE垂直，支架AB，BC为固定支撑杆，当灯体CD与底座OE平行时，∠BAO＝138°，∠BCD＝154°，则∠B的度数为 　 　°．
12．如图，AB∥CD，直线MN交AB、CD于点M和N，MH平分∠AMN，NH⊥MH于点H，若∠MND＝64°，则∠CNH＝　 　度．
13．如图，AB∥CD，∠B＝76°，EF平分∠BEC，EG⊥EF，则∠DEG的度数为 　 　．
14．如图，m∥n，AB⊥m，∠1＝43 ，则∠2＝　 　度．
15．如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝118°，且BD⊥CD，则∠ADC＝　 　．
16．如图，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠FCE＝∠FEC，∠DAC＝3∠BCF，∠ACF＝20°，则∠FEC的度数是 　 　．
三．解答题（共8小题）
17．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，求此时扶手AB与支架OE的夹角∠AOE和扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数．
18．猜想：如图①，AB∥CD，点M在直线AB、CD之间，连结MB、MD，若∠B＝40°，∠D＝20°，则∠BMD的大小为 　 　度．
探究：如图②，AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，在直线AB、CD之间取一点M（不在AB、CD、EF上），连结ME、MF，直接写出∠EMF、∠MEB、∠MFD之间的数量关系．
拓展：如图②，AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，在直线AB上方取一点M（不在AB、EF上），连结ME、MF，直接写出∠EMF、∠MEB、∠MFD之间的数量关系．
19．课题学行线的“等角转化”功能．
（1）阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连结AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程：
解：过点A作DE∥BC．
∵DE∥BC，
∴∠B＝　 　，∠C＝　 　；
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．
（2）方法运用：如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；
（3）深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE相交于点E．
①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝60°，求∠BED的度数；
②如图4，点B在点A的右侧，若∠ABC＝n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．
20．如图，AB∥CD，点E，F分别是直线AB和CD上的点．
（1）如图1，若∠AEF的平分线交直线CD于点G，∠BEF＝50°，求∠EGF的度数；
（2）点H是两平行线间的一点．
①如图2，若∠AEF和∠CFE的平分线交于点H，请求出∠EHF的度数；
②如图3，若∠EHF＝α，若∠AEH和∠CFH的平分线交于点O，求∠EOF．
21．在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且a∥b，直角三角尺ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°．
（1）【操作发现】
如图1，当三角尺的顶点B在直线b上时，若∠1＝55°，则∠2＝　 　°；
（2）【探索证明】
如图2，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展应用】
如图3，把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线BD（D为直线b上一点）的上方，若存在∠1＝5∠CBD（∠CBD＜60°），请直接写出射线BA与直线a所夹锐角的度数．
22．（1）在图①中，请直接写出∠BAD、∠B、∠BCD、∠D之间的数量关系：　 　；
（2）如图①，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠ADC＝40°，∠ABC＝30°，求∠AEC的大小；
（3）如图②，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC＝m°，∠ABC＝n°，求∠AEC的大小．
23．小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．
（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数．
24．已知DB∥FG∥EC，A是FG上一点，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC．
求：（1）∠BAC的大小；
（2）∠PAG的大小．
平行线的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】B
【分析】根据对顶角相等，平行线的性质，余角和补角的意义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
故A不符号题意；
B、∵∠3＝90°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠3＝90°，
∴∠1与∠2不一定相等，
故B符合题意；
C、∵a∥b，
∴∠1＝∠2，
故C不符合题意；
D、如图：
∵a⊥c，b⊥d，
∴∠ABC＝∠DBF＝90°，
∴∠DBF﹣∠ABF＝∠ABC﹣∠ABF，
∴∠1＝∠2，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，余角和补角，对顶角和邻补角，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
2．【答案】B
【分析】由两直线平行，同位角相等可得∠BGF＝∠E＝107°，再由两直线平行，同旁内角互补可求∠B的度数．
【解答】解：如图，
∵AB∥DE，∠E＝107°，
∴∠BGF＝∠E＝107°，
∵BC∥EF，
∴∠B+∠BGF＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠BGF＝73°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
3．【答案】B
【分析】由折叠的性质，即可得：∠ABC＝∠A′BC，∠EBD＝∠E′BD，然后由平角的定义，即可求得∠A′BC+∠E′BD＝90°，则可求得∠CBD的度数．
【解答】解：根据折叠的性质可得：∠ABC＝∠A′BC，∠EBD＝∠E′BD，
∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BD+∠EBD＝180°，
∴2∠A′BC+2∠E′BD＝180°．
∴∠A′BC+∠E′BD＝90°．
∴∠CBD＝90°．
故选：B．
【点评】此题考查了折叠的性质与平角的定义，解题的关键是掌握翻折的性质．
4．【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
【解答】解：A、当∠1＝∠2时，a∥b，故此选项不符合题意；
B、∠1＝∠2不能判定a，b互相平行，故此选项符合题意；
C、由∠1＝∠2且∠3＝∠4可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，∴a∥b，故此选项不符合题意；
D、由∠1+∠2＝180°可知a∥b，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是关键．
5．【答案】B
【分析】先根据平行线的性质得出∠ABC的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝59°，
∴∠ABC＝∠1＝59°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠2＝90°﹣59°＝31°．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
6．【答案】D
【分析】先延长BC，ED交于点F，根据平行线的性质，得出∠F＝∠B＝120°，再根据∠BCD＝140°，可得∠DCF＝40°，根据∠CDE＝∠F+∠DCF进行计算即可．
【解答】解：如图，延长BC，ED交于点F，
∵AB∥EF，
∴∠F＝∠B＝120°，
∵∠BCD＝140°，
∴∠DCF＝40°，
∴∠CDE＝∠F+∠DCF＝120°+40°＝160°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线性质以及三角形外角性质的运用，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
7．【答案】B
【分析】先利用对顶角相等可得∠1＝∠POF＝30°，再利用三角形的外角性质可得∠OFP＝25°，然后利用平行线的性质可得∠ABF＝155°，即可解答．
【解答】解：∵∠1＝30°，
∴∠1＝∠POF＝30°，
∵∠2是△OPF的一个外角，
∴∠OFP＝∠2﹣∠POF＝25°，
∵AB∥OF，
∴∠ABF＝180°﹣∠OFP＝155°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
8．【答案】B
【分析】先根据角平分线的性质，求出∠ABC的度数，再由平行线的性质得到∠A的度数．
【解答】解：∵BM平分∠ABC，
∴∠MBA∠ABC＝35°．
∵BM∥AD，
∴∠A＝∠MBA＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质及平行线的性质．掌握平行线的性质是解决本题的关键．
9．【答案】D
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABE＝2∠ABC＝46°，再由平行线的性质得到∠BED＝∠ABE＝46°．
【解答】解：∵BC平分∠ABE，∠ABC＝23°，
∴∠ABE＝2∠ABC＝46°，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠ABE＝46°．
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
10．【答案】B
【分析】根据对顶角相等，两直线平行，同旁内角互补计算选择．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠2+∠3＝180°，
∵∠1＝∠3，∠1＝135°
∴∠3＝135°，
∴∠2＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】74．
【分析】过点B作BG∥CD，过点A作AF∥OE，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：过点B作BG∥CD，过点A作AF∥OE，
∵AO⊥OE，
∴∠AOE＝90°，
∵AF∥OE，
∴∠OAF＝90°，
∵∠BAO＝138°，
∴∠BAF＝138°﹣90°＝48°，
∵BG∥CD，AF∥OE，CD∥OE，
∴BG∥AF，
∴∠ABG＝∠BAF＝48°．
∵∠BCD＝154°，
∴∠CBG＝180°﹣154°＝26°，
∴∠ABC＝∠ABG+∠CBG＝48°+26°＝74°．
故答案为：74．
【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠MND＝∠AMN＝64°，再根据MH平分∠AMN，NH⊥MH，即可得出∠MNH＝58°，进而得到∠CNH＝180°﹣∠HNM﹣∠MND＝58°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠MND＝∠AMN＝64°，
∵MH平分∠AMN，
∴∠HMN∠AMN＝32°，
又∵NH⊥MH，
∴∠MNH＝58°，
∴∠CNH＝180°﹣∠HNM﹣∠MND＝58°，
故答案为：58．
【点评】本题考查的是平行线的性质以及垂线的定义，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
13．【答案】38°．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等得出∠BEC＝104°，∠DEB＝76°，再根据角平分线的定义得出∠BEF的度数，结合EG⊥EF，即可求出∠GEB的度数，从而求出∠DEG的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B+∠BEC＝180°，∠DEB＝∠B，
∵∠B＝76°，
∴∠BEC＝104°，∠DEB＝76°，
∵EF平分∠BEC，
∴∠BEF，
∵EG⊥EF，
∴∠GEF＝90°，
∴∠GEB＝∠GEF﹣∠BEF＝90°﹣52°＝38°，
∴∠DEG＝∠DEB﹣∠GEB＝76°﹣38°＝38°，
故答案为：38°．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等，内错角相等进行做题．
【解答】解：过B作直线BD∥n，则BD∥m∥n，
∵AB⊥m，∠1＝43 ，
∴∠ABD＝90°，∠DBC＝∠1＝43°
∴∠2＝∠ADB+∠1＝90°+43°＝133°．
故填133．
【点评】解答本题的关键是作出辅助线，应用的知识点为：两直线平行，同位角相等，内错角相等．
15．【答案】121°．
【分析】先根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再由角平分线的定义得出∠DBC的度数，进而得出∠ADB的度数，由∠ADC＝∠ADB+∠BDC即可得出结论．
【解答】解：∵AD∥BC，∠A＝118°，
∴∠ABC＝180°﹣118°＝62°，∠DBC＝∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC∠ABC62°＝31°，
∴∠DBC＝∠ADB＝31°，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝31°+90°＝121°．
故答案为：121°．
【点评】本题考查的是平行线的性质和垂线的定义，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
16．【答案】20°．
【分析】先利用平行线的性质可得∠DAC+∠ACB＝180°，从而可得∠DAC+∠ACF+∠BCF＝180°，进而可得3∠BCF+20°+∠BCF＝180°，然后求出：∠BCF＝40°，再利用角平分线的定义可得∠FCE＝20°，从而可得∠FCE＝∠FEC＝20°，即可解答．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAC+∠ACB＝180°，
∴∠DAC+∠ACF+∠BCF＝180°，
∵∠DAC＝3∠BCF，∠ACF＝20°，
∴3∠BCF+20°+∠BCF＝180°，
解得：∠BCF＝40°，
∵CE平分∠BCF，
∴∠FCE∠BCF＝20°，
∵∠FCE＝∠FEC，
∴∠FCE＝∠FEC＝20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．【答案】122°．
【分析】先根据平行线的性质，得出∠ODC＝∠BOD＝32°，再根据∠EOF＝90°，即可得到∠AOE＝58°，再根据平行线的性质，即可得到∠AND的度数，进而得出∠ANM的度数．
【解答】解：∵扶手AB与底座CD都平行于地面，
∴AB∥CD，
∴∠ODC＝∠BOD＝32°，
又∵∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝58°，
∵DM∥OE，
∴∠AND＝∠AOE＝58°，
∴∠ANM＝180°﹣∠AND＝122°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等是解题的关键．
18．【答案】（1）60°．（2）∠EMF＝∠MEB+∠MFD．（3）∠EMF＝∠MFD﹣∠MEB．
【分析】
（1）如图①过M作MN∥AB，可得MN∥CD，根据平行线的性质得出内错角相等，可得∠BMD＝60°．
（2）如图②过M作MN∥AB，可得MN∥CD，根据平行线的性质得出内错角相等，可得∠EMF＝∠MEB+∠MFD．
（3）如图3，过M作MN∥AB，可得MN∥CD，根据平行线的性质得出内错角相等，可得∠EMF＝∠MFD﹣∠MEB．
【解答】解：（1）如图①过M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠B＝∠BMN，∠D＝∠DMN，
∴∠BMD＝∠B+∠D＝40°+20°＝60°．
（2）如图②过M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠MEB＝∠EMN，∠MFD＝∠FMN．，
∴∠EMF＝∠MEB+∠MFD．
（3）如图3过M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠MEB＝∠EMN，∠MFD＝∠FMN．，
∴∠EMF＝∠MFD﹣∠MEB．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，关键是添加辅助线构造平行线．
19．【答案】（1）∠EAB，∠DAC；
（2）360°；
（3）①65°；
②215°n．
【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D＝∠FCD，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）①过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；
②∠BED的度数改变．过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE∠ABCn°，∠CDE∠ADC＝35°，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，进而可求∠BED＝∠BEF+∠DEF＝180°n°+35°＝215°n°．
【解答】解：（1）∵ED∥BC，∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，
故答案为：∠EAB，∠DAC；
（2）过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠D＝∠FCD，
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠BCF，
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°，
∴∠B+∠BCD+∠D＝360°，
（3）①如图2，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE∠ABC＝30°，∠CDE∠ADC＝35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+35°＝65°；
②如图3，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°
∴∠ABE∠ABCn°，∠CDE∠ADC＝35°
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝180°n°+35°＝215°n°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：正确添加辅助线，及作出（3）中的图形．
20．【答案】（1）∠EGF＝65°；
（2）①∠EHF＝90°；②．
【分析】（1）由平角的定义可求得∠AEF＝130°，再由角平分线的定义可得∠AEG＝65°，结合平行线的性质可得∠EGF＝∠AEG＝65°；
（2）①由平行线的性质可得∠AEF+∠CFE＝180°，再由角平分线的定义得∠HEF∠AEF，，从而可求得∠HEF+∠HFE＝90°，利用三角形的内角和即可求∠EHF的度数；
②过H作HM∥AB，过O作ON∥AB，从而可得AB∥HM∥CD，AB∥ON∥CD，得∠AEH＝∠EHM，∠CFH＝∠FHM，即有∠AEH+∠CFH＝∠EHF＝α，同理得∠AEO+∠CFO＝∠EOF，再由角平分线的定义得，∠CFO∠CFH，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，
∵∠BEF＝50°，
∴∠AEF＝180°﹣∠BEF＝130°，
∵EG平分∠AEF，
∴，
∵AB∥CD，
∴∠EGF＝∠AEG＝65°；
（2）①，如图2，
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵EH平分∠AEF，FH平分∠CFH，
∴，，
∴，
∴∠EHF＝180°﹣（∠HEF+∠HFE）＝90°；
②过点H作HM∥AB，过点O作ON∥AB，如图3，
∵AB∥CD，
∴AB∥HM∥CD，AB∥ON∥CD，
∴∠AEH＝∠EHM，∠CFH＝∠FHM，
∴∠AEH+∠CFH＝∠EHM+∠FHM＝∠EHF＝α，
同理：∠AEO+∠CFO＝∠EOF，
∵∠AEH和∠CFH的平分线交于点O，
∴，，
∴．
【点评】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
21．【答案】（1）35；
（2）∠2﹣∠1＝120°，理由见解答过程；
（3）80°或30°．
【分析】（1）过点C作CD∥直线a，先证CD∥a∥b，从而得∠2＝∠ACD，∠1＝∠BCD，则∠1+∠2＝∠ACD+∠BCD＝∠BCA，再根据∠BCA＝90°，∠1＝55°可求出∠2的度数；
（2）先求出∠B＝60°，由（1）可知∠B＝∠1+∠3，再由平角的定义得∠2+∠3＝180°，据此可得∠1与∠2间的数量关系；
（3）依题意可分为以下两种情况：①当BC在直线BD的上方时，先求出∠ABC＝60°，设∠CBD＝α，则∠1＝5∠CBD＝5α，由平角的定义得∠1+∠ABC+∠CBD＝180°，即5α+60°+α＝180°由此求出α＝20°，进而得∠1＝5α＝100°，然后根据平行线的性质可求出∠2的度数；②当BC在直线BD的下方时，同理得∠ABC＝60°，设∠CBD＝α，则∠1＝5∠CBD＝5α，进而得∠ABD＝60°﹣α，由平角的定义得∠1+∠ABD＝180°，即5α+60°﹣α＝180°，由此解出α＝30°，进而得∠1＝5α＝150°，然后根据平行线的性质可求出∠2的度数；综上所述可得射线BA与直线a所夹锐角的度数．
【解答】解：（1）过点C作CD∥直线a，如图1所示：
∵直线a∥b，
∴CD∥a∥b，
∴∠2＝∠ACD，∠1＝∠BCD，
∴∠1+∠2＝∠ACD+∠BCD＝∠BCA，
∴∠2＝∠BCA﹣∠1，
∵∠BCA＝90°，∠1＝55°，
∴∠2＝90°﹣55°＝35°，
故答案为：35．
（2）∠1与∠2间的数量关系是：∠2﹣∠1＝120°，理由如下：
如图2所示：
∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝60°，
由（1）可知：∠B＝∠1+∠3，
∴∠1+∠3＝60°，
∴∠3＝60°﹣∠1，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2+60°﹣∠1＝180°，
即∠2﹣∠1＝120°，
（3）依题意有以下两种情况：
①当BC在直线BD的上方时，如图3所示：
∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°，
设∠CBD＝α（∠CBD＜60°），
则∠1＝5∠CBD＝5α，
∵点B在直线b上且保持不动，
∴∠1+∠ABC+∠CBD＝180°，
∴5α+60°+α＝180°，
解得：α＝20°，
∴∠1＝5α＝100°，
∵直线a∥b，
∴∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝80°，
②当BC在直线BD的下方时，如图4所示：
同理得：∠ABC＝60°，
设∠CBD＝α（∠CBD＜60°），
则∠1＝5∠CBD＝5α，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°﹣α，
∵点B在直线b上且保持不动，
∴∠1+∠ABD＝180°，
∴5α+60°﹣α＝180°，
解得：α＝30°，
∴∠1＝5α＝150°，
∵直线a∥b，
∴∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝30°，
综上所述：射线BA与直线a所夹锐角的度数为80°或30°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
22．【答案】（1）∠D+∠BCD＝∠B+∠BAD；（2）35°；（3）．
【分析】（1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可得出结论；
（2）由三角形内角和定理可得∠D+∠ECD＝∠E+∠EAD，∠B+∠EAB＝∠E+∠ECB，由角平分线的性质可得，，从而可得，进而求解即可；
（3）由三角形内角和定理可得∠D+∠ECD＝∠E+∠EAD，∠B+∠EAB＝∠E+∠ECB，由角平分线的性质可得，，从而可得，进而求解即可．
【解答】解：（1）如图①，设AD与BC相交于点O，
∵∠D+∠BCD+∠DOC＝180°，∠B+∠BAD+∠AOB＝180°，
∵∠DOC＝∠AOB，
∴∠D+∠BCD＝∠B+∠BAD；
故答案为：∠D+∠BCD＝∠B+∠BAD；
（2）∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD，
∴，，
∵∠D+∠ECD＝∠E+∠EAD，∠B+∠EAB＝∠E+∠ECB，
∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB＝∠E+∠EAD+∠E+∠ECB，
∴∠D+∠B＝2∠E，
∴，
∵∠ADC＝40°，∠ABC＝30°，
∴；
（3）∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD，
∴，，
∵∠D+∠ECD＝∠E+∠EAD，∠B+∠EAB＝∠E+∠ECB，
∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB＝∠E+∠EAD+∠E+∠ECB，
∴∠D+∠B＝2∠E，
∴，
∵∠ADC＝m°，∠ABC＝n°，
∴．
【点评】本题考查三角形内角和定理、角平分线段的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
23．【答案】（1）成立，理由见解答；（2）50°．
【分析】（1）如图1中，作EF∥AB，则有EF∥CD，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）先过点E作EH∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论．
【解答】解：（1）成立，
理由：如图1中，作EF∥AB，则有EF∥CD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE．
（2）如图2，过点E作EH∥AB，
∵AB∥CD，∠FAD＝60°，
∴∠FAD＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝60°，
∴∠EDC∠ADC＝30°，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴∠ABE∠ABC＝20°，
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EH，
∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°，
∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝50°．
【点评】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是正确的作出辅助线．
24．【答案】（1）96°；
（2）12°．
【分析】（1）利用平行线的性质可求出∠BAG，∠CAG的度数，结合∠BAC＝∠BAG+∠CAG即可求出∠BAC的度数；
（2）利用角平分线的定义可求出∠CAP的度数，结合∠PAG＝∠CAP﹣∠CAG即可求出∠PAG的度数．
【解答】解：（1）∵DB∥FG∥EC，
∴∠BAG＝∠ABD＝60°，∠CAG＝∠ACE＝36°，
∴∠BAC＝∠BAG+∠CAG＝60°+36°＝96°．
（2）∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP∠BAC96°＝48°，
∴∠PAG＝∠CAP﹣∠CAG＝48°﹣36°＝12°．
【点评】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解题的关键是：（1）牢记“两直线平行，内错角相等”；（2）利用角平分线的定义，求出∠CAP的度数．
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