4.4利用三角形全等测距离（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版（2024）数学七年级下册

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利用三角形全等测距离
一．选择题（共10小题）
1．如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具？（　　）
A．可以带1号去 B．可以带2号去
C．可以带3号去 D．都不行
2．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
3．如图，要测量池塘A，B两端的距离，作线段AC与BD相交于点O．若AC＝BD＝8m，AO＝DO，△COD的周长为14m，则A，B两点间的距离为（　　）
A．6m B．8m C．10m D．12m
4．如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块，小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（　　）
A．AB，BC，AC B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC
5．如图，为了测量出池塘A、B两点之间的距离，小育在平地上选取了能够直接到达点A和点B的一点C．他连接BC并延长，使CE＝BC；又连接AC并延长，使CD＝AC，连接DE．只要测量出DE的长度，也就得到了A、B两点之间的距离，这样测量的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
6．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若DF＝6m，DE＝8m，AD＝4m，则BF等于（　　）
A．18m B．16m C．12m D．10m
7．如图是雨伞在开合过程中某时刻的结构图，AB、AC是伞骨，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，已知点D，E分别是AB，AC的中点，AB＝AC，DM＝EM．弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是（　　）
A．ASA B．AAS C．SSS D．HL
8．如图，把两根钢条AA'，BB'的中点连在一起，可以做成一个测量工作内槽宽的卡钳，卡钳的工作原理是全等三角形的判定定理，其依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
9．如图，张华同学用7块高度都是4cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙墙间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长是（　　）
A．12cm B．16cm C．24cm D．28cm
10．如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO应满足下列的哪个条件？（　　）
A．AO＝CO B．BO＝DO
C．AC＝BD D．AO＝CO且BO＝DO
二．填空题（共6小题）
11．如图，一块三角形玻璃板破裂成①，②，③三块，现需要买另一块同样大小的一块三角形玻璃，为了方便，只需带第 　 　块碎片比较好．
12．有一池塘，要测池塘两端A、B两点的距离，可先在平地上取一个点C，连接AC并延长AC到点D，使CD＝CA，连结BC并延长BC到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长就等于AB的长．这是因为判定△ABC≌△DEC的方法是 　 　．
13．小明利用一根长3m的竿子CD来测量路灯杆AB的高度，方法如下：如图，在地面上选一点P，使BP＝3m，并测得∠APB＝70°，然后把CD在BP的延长线上左右移动，使∠CPA＝90°，此时测得BD＝11.2m．
（1）此时∠C的度数为 　 　；
（2）路灯杆AB的高度为 　 　m．
14．如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若∠CBA＝32°，则∠EFD＝　 　．
15．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外的点B处沿着与AB垂直的方向向东走50米，到C处立一根标杆，然后方向不变继续向东走50米到D处，在D处沿着与BD垂直的方向再向南走27米，到达E处，使E与A，C在同一直线上，这时测得AB的距离为 　 　米．
16．如图所示，A、B在一水池放入两侧，若BE＝DE，∠B＝∠D＝90°，CD＝10m，则水池宽AB＝　 　m．
三．解答题（共9小题）
17．如图，CD⊥DB，AB⊥BD，为了测量教学楼的高度，在旗杆CD与教学楼之间选定一点P，使得测旗杆顶C的视线PC与测楼顶A的视线PA的夹角∠APC＝90°，测得点P到楼底的距离PB与旗杆CD的高度都等于9米，又测得旗杆与楼之间距离DB＝27米，求这幢教学楼的高度多少米？
18．如图，某游乐园有两个长度相等的滑梯BC与EF，滑梯BC的高AC与滑梯EF水平方向DF的长度相等，∠DEF＝30°．国家部门针对滑梯类儿童游乐设备进行了安全范围内的考量，并作出了严格的安全界限：在滑行方向上，要求整体滑行区与水平面的夹角应不大于40°．请问滑梯BC与滑梯EF是否符合国家规定？请说明理由．
19．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AC＝DF，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝16m，BF＝5m，求FC的长度．
20．如图②，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m，点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A'处时，若A'B⊥AB，求A'到BD的距离．
21．如图，两根旗杆相距12m，某人从B点沿BA走向A点，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度为1m/s，求：这个人从B点到M点运动了多长时间？
22．小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接AO，CO，并分别延长至点B，点D，使OB＝OA，OD＝OC，连接BD，
（1）如图1，求证：AC＝BD；
（2）如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长CO至点D，使OC＝OD，过点D作AC的平行线DE，延长AO至点F，连接EF，测得∠DEF＝120°，∠OFE＝90°，DE＝5m，EF＝9m，请求出池塘宽度AC．
23．如图，A，B两点位于高墙外，不能直接到达．为在该高楼的楼顶上搭建一个支架，需要在地面测量出A，B间的距离．学习了三角形全等知识后，小明给出了如下的方案：先在地面上取一点可以直接到达A点和B点的点O，连接AO并延长到C，使OC＝OA；连接BO并延长到D，使OD＝OB，连接CD并测量出CD的长度，CD的长度就是A，B间的距离．请根据以上的信息，说明AB＝CD．
24．（1）萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是 　 　；
（2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为38cm，则由以上信息可推得CB的长度是多少？请说明理由．
25．如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两个排污口．已知AE＝BE，∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，AD＝150米，BC＝350米，求两个排污口之间的水平距离DC．
利用三角形全等测距离
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带1号去．
【解答】解：由图形可知，1号有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带1号去．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
2．【答案】B
【分析】由已知O是AA′、BB′的中点，再加上对顶角相等即可证明△OAB≌△OA′B′，利用SAS证明全等．
【解答】解：∵将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，
∴OA＝OA′，OB＝OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS），
故选：B．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，认真观察图形，选择合适的方法是解此题的关键．
3．【答案】A
【分析】证明△COD≌△BOA（SAS），则AB＝CD，由△COD的周长为14m，可得OC+OD+CD＝14，即AC+CD＝14，计算求出CD的长，进而可得结果．
【解答】解：∵AC＝BD，AO＝DO，
∴AC﹣AO＝BD﹣DO，即OC＝OB，
∵OC＝OB，∠COD＝∠BOA，OD＝OA，
∴△COD≌△BOA（SAS），
∴AB＝CD，
∵△COD的周长为14m，
∴OC+OD+CD＝14m，即AC+CD＝14m，
∴CD＝6m，
∴AB＝6m，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
4．【答案】C
【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】解：A．利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
B．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
C．AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；
D．根据∠A，∠B，BC，三角形形状确定，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
5．【答案】B
【分析】利用“边角边”证明△ABC和△DEC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．
【解答】解：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，把实际问题先转化为数学问题是解决问题的关键．
6．【答案】A
【分析】先根据“HL“定理判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质求出AB，即可求出BF．
【解答】解：由题意知，滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴AB＝DE＝8m，
∴BF＝AB+AD+DF＝8+4+6＝18（m）．
故选：A．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定及性质，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决问题的关键．
7．【答案】C
【分析】根据全等三角形判定的“SSS”定理即可证得△ADM≌△AEM．
【解答】解：∵AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，
∴AD＝AE，
在△ADM和△AEM中，
．
∴△ADM≌△AEM（SSS），
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
8．【答案】B
【分析】卡钳的工作原理利用了三角形全等判定定理SAS，因为AA'，BB'的中点O连在一起，因此OA＝OA′，OB＝OB′，还有对顶角相等，所以用的判定定理是边角边．
【解答】解：卡钳的工作原理利用了三角形全等判定定理SAS，理由如下：
∵O是AA'，BB'的中点，
∴OA＝OA′，OB＝OB′，
又∵∠AOB＝∠A'OB'，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS），
∴A′B′＝AB，
∴只要量出A′B′的长度，就可以知道工作的内径AB是否符合标准．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
9．【答案】D
【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝16cm，DC＝BE＝12cm，
∴DE＝DC+CE＝28（cm），
即两堵木墙之间的距离为28cm．
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
10．【答案】D
【分析】利用全等三角形的判定定理进行推理．
【解答】解：如图，连接CD，
已知对顶角∠AOB＝∠COD，所以根据全等三角形的判定定理SAS可以判定△AOB≌△COD，由此推断AB＝CD．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】③．
【分析】根据全等三角形的判定方法ASA即可判定．
【解答】解：只需带上③即可，因为③中，可以测量出三角形的两角以及夹边的大小，三角形的形状和大小是确定的，
故答案为：③．
【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，灵活运用所学知识是解题的关键．
12．【答案】SAS．
【分析】利用“边角边”证明△ABC和△DEC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．
【解答】解：这是因为判定△ABC≌△DEC的方法是 SAS．故答案为：SAS．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
13．【答案】（1）70°；（2）8.2．
【分析】（1）找准对应角即可求得答案；
（2）根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB＝DP＝DB﹣PB求出即可．
【解答】解：（1）∵∠CPD＝20°，∠APB＝70°，∠CDP＝∠ABP＝90°，
∴∠C＝∠APB＝70°．
故答案为：70°；
（2）在△CPD和△PAB中，
，
∴△CPD≌△PAB（ASA）．
∴DP＝AB．
∵BD＝11.2m，BP＝3m，
∴DP＝BD﹣BP＝8.2m，即AB＝8.2m．
故答案为：8.2．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD≌△PAB是解题关键．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】利用“HL”证明△ABC和△DEF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EFD＝∠BCA，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BCA，即可得解．
【解答】解：∵两个滑梯的长度相同，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（HL），
∴∠EFD＝∠BCA，
∵∠CBA＝32°，
∴∠BCA＝90°﹣32°＝58°，
∴∠EFD＝58°．
故答案为：58°．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
15．【答案】27．
【分析】利用ASA定理证明△ABC≌△EDC，根据全等三角形的对应边相等解答即可．
【解答】解：由题意得：CB＝CD，∠ABC＝∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝DE＝27米，
故答案为：27．
【点评】本题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
16．【答案】见试题解答内容
【分析】利用ASA得出△ABE≌△CDE（ASA），进而求出CD＝AB即可得出答案．
【解答】解：在△ABE和△CDE中
，
∴△ABE≌△CDE（ASA），
∴CD＝AB＝10m．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意熟练应用全等三角形的判定方法是解题关键．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】18米．
【分析】根据AAS证明△DPC≌△BAP，从而利用全等三角形的性质可得AB＝DP＝18米．
【解答】解：∵CD⊥DB，AB⊥DB，
∴∠CDP＝∠ABP＝90°，
∵∠APC＝90°，
∴∠CPD+∠APB＝90°，∠PAB+∠APB＝90°，
∴∠CPD＝∠PAB，
∵DB＝27米，PB＝9米，
∴DP＝BD﹣BP＝18米，
在△DPC和△BAP中，
，
∴△DPC≌△BAP（AAS），
∴AB＝DP＝18米．
答：这幢教学楼的高度18米．
【点评】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
18．【答案】滑梯BC符合国家规定，滑梯EF不符合国家规定，理由见解析．
【分析】利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△DEF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DEF＝∠ABC＝30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠DFE＝60°，再根据题意判断即可得解．
【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠DEF＝∠ABC＝30°，
∴∠DFE＝90°﹣30°＝60°．
∵∠ABC＜40°，∠DFE＞40°，
∴滑梯BC符合国家规定，滑梯EF不符合国家规定．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形两锐角互余的性质，准确识图判断出全等三角形是解题的关键．
19．【答案】（1）见解析；（2）6m．
【分析】（1）先证明∠ABC＝∠DEF，再根据ASA即可证明．
（2）根据全等三角形的性质即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BF＝EC，
∵BE＝16m，BF＝5m，
∴FC＝16﹣5﹣5＝6（m）．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．
20．【答案】A'到BD的距离是1m．
【分析】作A'F⊥BD，垂足为F，根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：如图2，作A'F⊥BD，垂足为F．
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；
在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°；
又∵A'B⊥AB，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3；
在△ACB和△BFA'中，
，
∴△ACB≌△BFA'（AAS）；
∴A'F＝BC
∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD＝AE＝1.5m；
∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），
∴A'F＝1（m），
即A'到BD的距离是1m．
【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．【答案】这个人从B点到M点运动了3s．
【分析】根据∠CMD＝90°，利用互余关系可以得出：∠ACM＝∠DMB，证明三角形全等的另外两个条件容易看出．利用全等的性质可求得AC＝BM＝3，从而求得运动时间．
【解答】解：∵∠CMD＝90°，
∴∠CMA+∠DMB＝90°，
又∵∠CAM＝90°
∴∠CMA+∠ACM＝90°，
∴∠ACM＝∠DMB，
在△ACM和△BMD中，
，
∴△ACM≌△BMD（AAS），
∴AC＝BM＝3m，
∴他到达点M时，运动时间为3÷1＝3（s）．
答：这个人从B点到M点运动了3s．
【点评】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件，对应角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．本题的关键是求得Rt△ACM≌Rt△BMD．
22．【答案】（1）见解答；
（2）23m．
【分析】（1）利用SAS证明△OAC≌△OBD即可；
（2）延长DE，AF交于点B，利用ASA证明出△OAC≌△OBD，得到AC＝BD，由已知条件可以得到△BEF是含30°角的直角三角形，从而求出BE的长，进而求出BD的长，从而得到池塘宽度AC．
【解答】（1）证明：在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS），
∴AC＝BD；
（2）解：延长DE，AF交于点B，
∵DE∥AC，
∴∠C＝∠D，
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（ASA），
∴AC＝BD，
∵∠DEF＝120°，∠OFE＝90°，
∴∠BFE＝90°，∠BEF＝60°，∠B＝30°，
∵EF＝9m，
∴BE＝2EF＝18m，
∵DE＝5m，
∴BD＝BE+DE＝23m，
∴AC＝23m，
答：池塘宽度AC为23m．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，含30°角直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法，构造全等三角形是解题的关键．
23．【答案】答案见解答部分．
【分析】利用SAS证得△AOB≌△COD，则其对应边相等．
【解答】解：在△AOB与△COD中，
，
则△AOB≌△COD（SAS）．
所以AB＝CD．
【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
24．【答案】（1）三角形具有稳定性．
（2）BC＝38cm，理由见解答．
【分析】（1）根据三角形的稳定性进行解答即可；
（2）证明△AOD≌△BOC（SAS），得BC＝AD，结合已知条件则可知BC的长度
【解答】解：（1）由题意得，这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性；
故答案为：三角形具有稳定性．
（2）CB＝38cm．
理由如下：∵O是AB和CD的中点，
∴AO＝BO，CO＝DO，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
又∵AD＝38cm，
∴BC＝AD＝38cm．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，三角形全等的性质与判定，证明△AOD≌△BOC是解题的关键．
25．【答案】两个排污口之间的水平距离DC为500米．
【分析】根据ASA证明△ADE与△ECB全等，再利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，
∴∠AEB＝∠ADE＝∠BCE＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，∠AED+∠BEC＝90°，∠BEC+∠EBC＝90°，
∴∠DAE＝∠CEB，∠AED＝∠EBC，
又∵AE＝BE，
∴△ADE≌△ECB（ASA），
∴AD＝CE，DE＝BC，
又∵AD＝150米，BC＝350米，
∴DC＝DE+CE＝BC+AD＝350+150＝500（米）．
答：两个排污口之间的水平距离DC为500米．
【点评】此题考查全等三角形的应用，关键是根据ASA证明△ADE与△ECB全等．
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