5.2简单的轴对称图形（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版（2024）数学七年级下册

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简单的轴对称图形
一．选择题（共10小题）
1．如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A＝50°，则∠BPC＝（　　）
A．100° B．95° C．90° D．50°
2．如图，计划在一块等边三角形的空地上种植花卉，以美化环境．若AB＝10米，则这个等边三角形的面积为（　　）
A．平方米 B．平方米
C．平方米 D．平方米
3．如图，在△ABC中，点P在∠ABC的平分线上，∠APB＝90°，若△PBC的面积为5，则△ABC的面积为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点D是OB边上任意一点，则PD的最小值是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．如图，CD＝2，点B是线段CD上一动点，且∠DCA＝90°，CA＝CB，以AB为底边作等腰△ABP，则DP的最小值是（　　）
A．1 B．2 C． D．
6．如图，△ABC中，AC边的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，AD＝3cm，△ABC的周长为18cm，则△BEC的周长为（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，则△ABD的面积是（　　）
A．12 B．8 C．24 D．11
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D和点E分别在BC和AC上，AD＝AE，则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠1+2∠2＝90° B．∠1＝2∠2
C．2∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2＝45°
9．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝25°，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是（　　）
A．72° B．65° C．50° D．36°
10．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，EC＝3，△ABD的周长为9，则△ABC的周长为（　　）
A．6 B．12 C．15 D．18
二．填空题（共6小题）
11．如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别在边AC、BC上，AD＝2CD，CE＝2BE，连结AE、BD交于点P，则CP的长为 　 　．
12．如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD，若AB＝9，BC＝6，AC＝13，则△ABD的周长为 　 　．
13．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AB＝BD＝CD，则∠C＝　 　°．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上（均不与点A、B、C重合），且∠1＝∠C＝40°，若BD＝CE，则∠BAD＝　 　度．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝15，AC＝9，则点D到AB的距离是 　 　．
16．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，点E在BA延长线上，连接AD，CE，使∠DAC＝∠BCE＝60°，AB＝AC＝6，BE＝8，则CD＝　 　．
三．解答题（共9小题）
17．如图，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，过E作EG⊥BA交BA的延长线于点G，EF⊥AC交AC于点F．
（1）求证：EG＝EF；
（2）联结AE，求证：∠AEG＝∠AEF．
18．如图，在等边三角形ABC中，点B、P、Q三点在同一条直线上，且∠ABP＝∠ACQ，∠BAP＝∠CAQ．判断△APQ是什么形状，并说明理由．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点E．已知∠A＝40°，
（1）求∠CBE的度数；
（2）已知△BCE的周长为8cm，AC﹣BC＝2cm，则AB＝　 　cm．
20．如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且∠DEF＝60°．
（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2的度数；
（2）如图2，连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3．
21．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，求∠B和∠C的度数．
22．如图，在等边△ABC中，D是边AC上的一点，点E在边BC的延长线上，若BD＝ED，CD＝CE，求证：D为AC的中点．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．
（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；
（2）若AE＝5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC．点D为△ABC外一点，AE⊥BD于E．∠BDC＝∠BAC，DE＝3，CD＝2，则BE的长为 　 　．
25．如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE．
（1）若△ADE的周长是11，DE＝2，求△ABE的周长；
（2）若∠A＝23°，BE＝BC，求∠C的度数．
简单的轴对称图形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】A
【分析】连接AP，延长BP交AC于D，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，根据三角形外角的性质即可求出∠BPC．
【解答】解：连接AP，延长BP交AC于D，
∴∠BPC＝∠PDC+∠ACP＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，
∵点P是AB，AC的垂直平分线的交点，
∴PA＝PB＝PC，
∴∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，
∴∠BPC＝∠BAC+∠BAP+∠CAP＝∠BAC+∠BAC＝2∠BAC＝2×50°＝100°，
故选：A．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
2．【答案】A
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等边三角形的性质求出AB＝BC＝10米，BDBC＝5米，根据勾股定理求出AD＝5米，再根据三角形面积公式求解即可．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵△ABC是等边三角形，AB＝10米，
∴AB＝BC＝10米，
∵AD⊥BC，
∴BDBC＝5米，
∴AD5米，
∴S△ABCBC AD10×525（平方米），
故选：A．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．
3．【答案】C
【分析】延长AP交BC于点D，证明△ABP≌△DBP（ASA），所以AP＝DP，根据三角形的中线的性质即可得出答案．
【解答】解：如图，延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠DBP，
∵∠APB＝90°，
∴∠BPD＝90°，
∵BP＝BP，
∴△ABP≌△DBP（ASA），
∴AP＝DP，
∴S△ABP＝S△DBP，S△ACP＝S△CDP，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝2S△DBP+2S△CDP＝2S△PBC＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形中线的性质，关键是证明△ABP≌△DBP．
4．【答案】B
【分析】根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得P到OB的距离为5，再由垂线段最短可得PD≥5，由此可得答案．
【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，
∴P到OB的距离为5，
∵点D是OB边上任意一点，
∴PD≥5，
∴PD的最小值为5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键．
5．【答案】D
【分析】过点C作CQ⊥AB于Q，根据等腰直角三角形的性质可得AQ＝BQ，由△ABP是以AB为底边的等腰三角形，可得AP＝BP，则点P在AB的垂直平分线CQ上，当DP⊥CQ时，DP的值最小，证明此时△CPD是等腰直角三角形，即可求解．
【解答】解：过点C作CQ⊥AB于Q，
∵∠ACD＝90°，CB＝CA，
∴AQ＝BQ，∠CBA＝45°，
∴CQ是AB的垂直平分线，
∵△ABP是以AB为底边的等腰三角形，
∴AP＝BP，
∴点P在AB的垂直平分线CQ上，
当DP⊥CQ时，DP的值最小，此时，DP∥AB，
∴∠D＝∠CBA＝45°，
∵DP⊥CQ，
∴△CPD是等腰直角三角形，
∵CD＝2，
∴DPCD．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及垂线段最短是解题的关键．
6．【答案】C
【分析】由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，由△ABC的周长为18cm求出AB+BC，最后根据△BEC的周长为BE+CE+BC＝AB+BC即可求解．
【解答】解：∵AC边的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，
∴AE＝CE，，
∵AD＝3cm，
∴AC＝6cm，
∵△ABC的周长为18cm，
∴AB+BC＝12cm，
∴△BEC的周长为BE+CE+BC＝AB+BC＝12cm，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
7．【答案】A
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质求出DE，根据三角形面积公式即可求出答案．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，如图所示：
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，CD＝3，
∴CD＝DE＝3，
∴
故选：A．
【点评】本题主要考查了角平分线性质的应用，解题的关键是求出△ABD的高的长度．
8．【答案】B
【分析】由AB＝AC，AD＝AE，可得∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED．由三角形外角的性质可得∠ADC＝∠ADE+∠2＝∠B+∠1，∠AED＝∠2+∠C，则∠2+∠C+∠2＝∠B+∠1，整理求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED．
∵∠ADC＝∠ADE+∠2＝∠B+∠1，∠AED＝∠2+∠C，
∴∠2+∠C+∠2＝∠B+∠1，
整理得∠1＝2∠2．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．熟练掌握等边对等角，三角形外角的性质是解题的关键．
9．【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质和垂直的定义即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝25°，
∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
10．【答案】C
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，AE＝CE＝3，然后利用△ABD的周长为9和等线段代换得到AB+BC＝9，从而可计算出△ABC的周长．
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，AE＝CE＝3，
∵△ABD的周长为9，
∴AB+BD+AD＝9，
∴AB+BD+DC＝9，
即AB+BC＝9，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝9+2×3＝15．
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】．
【分析】如图，连接DE．取EC的中点J，连接DJ．首先证明∠EDC＝90°，解直角三角形求出DE，AE，再利用相似三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：如图，连接DE．取EC的中点J，连接DJ．
∵△ABC是等边三角形，
∴CA＝CB，
∵AD＝2CD，CE＝2BE，
∴EC＝2CD，
∵EJ＝JC，
∴CD＝CJ，
∵∠DCJ＝60°，
∴△DCJ是等边三角形，
∴DJ＝JE＝JC，
∴∠CDE＝90°，
∴DECD＝2，
∴AE2，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠BAE＝∠CBD，
∴∠APD＝∠BAE+∠ABP＝∠CBD+∠ABP＝60°，
∴∠APD＝∠ACE＝60°，
∵∠PAD＝∠CAE，
∴△PAD∽△CAE，
∴，
∴，
∴△ADE∽△APC，
∴，
∴，
∴PC，
故答案为：．
【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
12．【答案】22．
【分析】由尺规作图可知，直线MN为线段BC的垂直平分线，则可得BD＝CD，进而可得△ABD的周长为AB+AD+BD＝AB+AD+CD＝AB+AC，即可得出答案．
【解答】解：由尺规作图可知，直线MN为线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长为AB+AD+BD＝AB+AD+CD＝AB+AC＝9+13＝22．
故答案为：22．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
13．【答案】36．
【分析】设∠C＝α，根据角平分线定义得出∠ABD＝∠C＝α．根据等边对等角以及三角形外角的性质得出∠CBD＝∠C＝α，∠ADB＝∠CBD+∠C＝2α，∠A＝∠ADB＝2α．然后在△ABD中，利用三内角和为180°列出方程α+2α+2α＝180°，求出α即可．
【解答】解：设∠C＝α，则∠ABD＝∠C＝α．
∵BD＝CD，
∴∠CBD＝∠C＝α，
∴∠ADB＝∠CBD+∠C＝2α．
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠ADB＝2α．
在△ABD中，∵∠ABD+∠A+∠ADB＝180°，
∴α+2α+2α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠C＝36°．
故答案为：36．
【点评】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，设∠C＝α，利用α表示∠ABD，∠A，∠ADB是解题的关键．
14．【答案】30．
【分析】先求出∠BAC＝100°，再证明△EDC≌△DAB，得到∠DAE＝∠DEA，进而可求出∠BAD的度数．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B．
∵∠1＝∠C＝40°，
∴∠1＝∠C＝∠B＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∵∠ADC＝∠1+∠EDC＝∠B+∠BAD，
∴∠EDC＝∠BAD，
又∵∠C＝∠B，EC＝BD，
∴△EDC≌△DAB（AAS），
∴ED＝AD，
∴，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝100°﹣70°＝30°．
故答案为：30．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△EDC≌△DAB是解答本题的关键．
15．【答案】4.5．
【分析】过D作DH⊥AB于H，由角平分线的性质推出DH＝DC，由勾股定理求出BC12，由三角形面积公式得到AC BCAC CDAB DH，即可求出DH＝4.5，得到点D到AB的距离是4.5．
【解答】解：过D作DH⊥AB于H，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DH＝DC，
∵∠C＝90°，AB＝15，AC＝9，
∴BC12，
∵△ABC的面积＝△ACD的面积+△ABD的面积，
∴AC BCAC CDAB DH，
∴12×9＝（9+15）DH，
∴DH＝4.5，
∴点D到AB的距离是4.5．
故答案为：4.5．
【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质待定DH＝DC，由三角形面积公式得到AC BCAC CDAB DH．
16．【答案】2．
【分析】由AB＝AC得到∠ABC＝∠ACB，然后结合∠DAC＝∠BCE得证△DAC∽△ECB，设CD＝x，利用相似三角形的性质用含有x的式子表示BC，过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N，得到BM：BN＝BA：BE，然后结合等腰三角形的性质求得BM、CM，进而表示出CN，再利用∠BCE＝60°表示出EN的长度，最后利用勾股定理列出方程求得x的值即为CD的值．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠DAC＝∠BCE，
∴△DAC∽△ECB，
∴，
设CD＝x，
∵AB＝AC＝6，BE＝8，
∴，
∴BC，
过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N，则BM＝CM，AM∥EN，
∴，即，
∴BN，
∴CN＝BC﹣BN，
∵∠BCE＝60°，
∴EN，
在Rt△BEN中，EN2+BN2＝BE2，
∴（）2+（）2＝82，
解得：x＝2，
∴CD＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过∠DAC＝∠BCE结合AB＝AC证明△DAC∽△ECB．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）过点E作EH⊥BD于点H，利用角平分线的性质即得证；
（2）通过HL证明Rt△AEG≌Rt△AEF即可．
【解答】证明：（1）如图，过点E作EH⊥BD于点H，
∵BE平分∠ABC，EG⊥BA，EH⊥BD，
∴EG＝EH，
∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EH⊥CD，
∴EF＝EH，
∴EG＝EF．
（2）∵EG⊥BA，EF⊥AC，
∴∠AGE＝90°＝∠AFE，
再Rt△AEG和Rt△AEF中，
，
∴Rt△AEG≌Rt△AEF（HL），
∴∠AEG＝∠AEF．
【点评】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
18．【答案】△APQ是等边三角形，理由见解析．
【分析】利用ASA证明△ABP≌△ACQ得到AP＝AQ，再证明∠BAC＝∠PAQ＝60°即可证明△APQ是等边三角形．
【解答】解：△APQ是等边三角形，理由如下：
∵△ACB是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
在△ABP与△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（ASA），
∴AP＝AQ，
∵∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ，即∠BAC＝∠PAQ＝60°，
∴△PAQ是等边三角形．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握这些判定是解题的关键．
19．【答案】（1）∠CBE的度数为30°；
（2）5．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠C＝70°，然后利用线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，从而可得∠A＝∠ABE＝40°，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）根据已知可得：BE+CE+BC＝8cm，从而可得AE+EC+BC＝8cm，进而可得AC+BC＝8cm，然后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C70°，
∵点E在AB的垂直平分线上，
∴EA＝EB，
∴∠A＝∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
∴∠CBE的度数为30°；
（2）∵△BCE的周长为8cm，
∴BE+CE+BC＝8cm，
∵AE＝BE，
∴AE+EC+BC＝8cm，
∴AC+BC＝8cm，
∵AC﹣BC＝2cm，
∴AC＝5cm，BC＝3cm，
∴AB＝AC＝5cm，
故答案为：5．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
20．【答案】（1）50°；
（2）见解析．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和解答即可；
（2）根据三角形的内角和和平角的定义以及平行线的性质解答即可．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，
∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，
∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，
∵∠DEF＝60°，
∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，
∴∠2＝∠1＝50°；
（2）证明：∵∠B+∠1＝∠DEF+∠2，
又∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，
∴∠1＝∠2，
∵DF∥BC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3．
【点评】此题考查等边三角形的性质，平行线的判定，关键是根据等边三角形的性质和三角形的内角和解答．
21．【答案】见试题解答内容
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可；
【解答】解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，
∵AB＝AD，在三角形ABD中，
∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）77°，
又∵AD＝DC，在三角形ADC中，
∴∠C77°38.5°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．【答案】证明见解析．
【分析】由等边三角形的性质得∠ACB＝∠ABC＝60°，再由等腰三角形的性质得∠CED＝∠CDE，然后证∠ABD＝∠CBD，即可得出结论．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵CD＝CE，
∴∠CED＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠CED+∠CDE，
∴∠CED＝∠CDE∠ACB60°＝30°，
∵BD＝ED，
∴∠CBD＝∠CED＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD是△ABC的角平分线，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD是△ABC的AC边上的中线，
∴D为AC的中点．
【点评】本题考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
23．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ACB的度数，又由线段垂直平分线的性质，可得AD＝CD，即可求得∠ACD的度数，继而求得答案；
（2）由AE＝5，△DCB的周长为16，即可求得△ABC的周长．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB70°，
∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴在△DAC中，∠DCA＝∠A＝40°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°；
（2）∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，EC＝EA＝5，
∴AC＝2AE＝10，
∴△ABC的周长为：AC+BC+BD+DA＝10+BC+BD+DC＝10+16＝26．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
24．【答案】5．
【分析】在BD上截取BF＝CD，连接AF，设BD与AC的交点为G，根据三角形内角和定理及已知条件得出∠ACD＝∠ABF，再证△ABF和△ACD全等得出AF＝AD，根据等腰三角形三线合一的性质得出FE＝DE，即可求出BE的长．
【解答】解：如图，在BD上截取BF＝CD，连接AF，设BD与AC的交点为G，
∵∠BDC＝∠BAC，∠DGC＝∠AGB，
∴∠ACD＝∠ABF，
在△ABF和△ACD中，
，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AF＝AD，
∵AE⊥BD，
∴FE＝DE＝3，
∵BF＝CD＝2，
∴BE＝BF+FE＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
25．【答案】（1）18；
（2）46°．
【分析】（1）由DE垂直平分AB得到AE＝BE，AD＝BD．由△ADE的周长＝AE+AD+DE＝11，DE＝2，则AE+AD＝BE+BD＝9，即可得到△ABE的周长；
（2）由等边对等角得到∠ABE＝∠A＝23°，根据三角形内角和定理得到∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝134°，则∠BEC＝46°，由等边对等角即可得到∠C的度数．
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，AD＝BD．
∵△ADE的周长＝AE+AD+DE＝11，DE＝2，
∴AE+AD＝BE+BD＝9，
∴△ABE的周长＝AE+BE+AD+BD＝18；
（2）∵AE＝BE，∠A＝23°，
∴∠ABE＝∠A＝23°，
∴∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝134°，
∴∠BEC＝46°．
∵BE＝BC，
∴∠C＝∠BEC＝46°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
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