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用关系式表示的变量之间关系
一.选择题(共10小题)
1.为了奖励在学校运动会中的优胜者,李老师准备用400元钱去买单价为12元的某种笔记本,则他剩余的钱y(元)与购买的笔记本的数量x(本)之间的关系是( )
A.y=12x B.y=12x+400 C.y=12x﹣400 D.y=400﹣12x
2.用a元钱在网上书店恰好可购买50本某种书,但是每本书需另加邮费6角,购买b本这种书带邮费共需y元,则可列出关系式为( )
A.y=b(0.6) B.y=b0.6
C.y=b(0.6) D.y=b0.6
3.在烧开水时,水温达到100℃就会沸腾,如表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的两个变量时间t(min)和温度T(℃)的数据:在水烧开之前(即t<10),温度T与时间t的关系式及因变量分别为( )
t(min) 0 2 4 6 8 10 12 14 …
T(℃) 30 44 58 72 86 100 100 100 …
A.T=14t+30,t B.T=14t﹣16,t
C.T=30t﹣14,T D.T=7t+30,T
4.小明用50元钱买单价为8元的笔记本,他剩余的钱数Q(元)与他买这种笔记本的本数x之间的关系式为Q=50﹣8x,则下列说法正确的是( )
A.Q是自变量 B.Q和x是变量
C.50和x是常量 D.Q和﹣8是常量
5.2016年元旦假期,合肥各大商场、超市纷纷采取满额减赠、团购等等多种促销方式聚人气,热卖商品主要集中在服装、数码产品、生鲜果蔬等方面.若合肥某商场中所有服装均降价20%,且某件服装的原价为x元,则降价后的价格y(元)与原件x(元)之间的函数关系式为( )
A.y=0.8x B.y=0.2x C.y=1.2x D.y=x﹣0.2
6.张开大拇指和中指,两端的距离为“一拃”,据统计,通常情况下,人的一拃长z(单位:厘米)与本人的身高s(单位:厘米)之间的关系为:z=0.3s﹣31.3,则下列关于变量和常量的说法正确的是( )
A.z是变量,s是常量
B.s是变量,z是常量
C.0.3与31.3是变量,s与z是常量
D.s与z是变量,0.3与31.3是常量
7.若点P(x,0)是x轴上的一个动点,它与x轴上表示3的点的距离是y,则y关于x的函数解析式为( )
A.y=x﹣3 B.y=3﹣x C.y=﹣x﹣3 D.y=|x﹣3|
8.如图,这是圆柱形罐头图片,若罐头的底面半径为x分米,高为1分米,体积为y升,则y关于x的函数关系式为( )
A.y=πx2 B.y=πx3 C.y=2πx D.y=2πx2
9.佳佳爸爸计划用一根长为20m的铁丝围成一个长方形,那么这个长方形的长y(m)与宽x(m)之间的关系式为( )
A.y=﹣x+10 B.y=x+5 C.y=﹣x+20 D.y=x+10
10.某汽车油箱中盛有油100L,装满货物行驶的过程中每小时耗油8L,则油箱中的剩油量Q(L)与时间t(h)之间的关系式是( )
A.Q=100+8t B.Q=8t C.Q=100﹣8t D.Q=8t﹣100
二.填空题(共6小题)
11.如图,要围一个长方形ABCD的菜园,菜园的一边利用足够长的墙,用35米长的篱笆围成另外三边.为了方便进出,在BC边上留了一个2米宽的小门.设AB边的长为x米,BC边的长为y米,则y与x之间的关系式是 .
12.某家庭电话月租费为10元,若市内通话费平均每次为0.2元,则该家庭一个月的话费y(元)与通话次数x(次)之间的关系式是 .
13.汽车开始行驶时,油箱中有油40升,如果每小时耗油5升,则油箱余油量y(升)与行驶时间x(时)的关系式为 .
14.按照如图所示的计算程序,y与x之间的关系式为 .
15.某工程队承建一条长为30km的乡村公路,预计工期为120天,若每天修建公路的长度保持不变,则还未完成的公路长度y(km)与施工时间x(天)之间的关系式为y= .
16.节约用水,人人有责.假设一个没拧紧的水龙头每秒滴下2滴水,每滴水约0.05毫升.设t分钟内该水龙头共滴下m毫升水,请写出该水龙头流失水量m与时间t的关系式: .
三.解答题(共9小题)
17.在学习地理时,我们知道:“海拔越高,气温越低”,下表是海拔高度h(千米)与此高度处气温t(℃)的关系.
海拔高度h(千米) 0 1 2 3 4 5 …
气温t(℃) 20 14 8 2 ﹣4 ﹣10 …
根据上表,回答以下问题:
(1)写出气温t与海拔高度h的关系式;
(2)当气温是﹣40℃时,其海拔高度是多少?
18.如图,长方形ABCD中,BC=8,CD=5,点E为边AD上一动点,连接CE,随着点E的运动,四边形ABCE的面积也发生变化.
(1)写出四边形ABCE的面积y与AE的长x(0<x<8)之间的关系式.
(2)当x=3时,求y的值.
(3)当四边形ABCE的面积为35时,求DE的长.
19.某市为了加强公民节水意识,某市制定了如下用水收费标准.每户每月用水不超过10吨时,水价为每吨1.2元:超过10吨时,超过的部分按每吨1.8元收费,现有某户居民5月份用水x吨(x>10),应交水费y元,则求:
(1)应交水费y与用水量x的关系式;
(2)若小明家里本月缴水费39元,请问小明家里用水多少吨?
20.如图,在长为20cm,宽为16cm的长方形四个角上,分别剪去四个全等的等腰直角三角形,当三角形的直角边的长度变化时,阴影部分的面积也随之发生变化.设剪去的每个三角形的直角边长为x cm(x≤8),阴影部分的面积为y cm2.
三角形的直角边长/cm 1 2 3 4 …
阴影部分的面积/cm2 m 312 n 288 …
(1)表中的数据m= ,n= ;
(2)当等腰直角三角形的直角边长由4增加到7时,阴影部分的面积 (填增大或减少) cm2.
(3)写出y与x的关系式 .
21.为了解某种品牌轿车的耗油情况,将油箱加满后进行了耗油试验,得到如下数据:
轿车行驶的路程s(km) 0 100 200 300 400 …
油箱剩余油量Q(L) 50 42 34 26 18 …
(1)该轿车油箱的容量为 L,行驶150km时,油箱剩余油量为 L.
(2)根据上表中的数据,写出油箱剩余油量Q(L)与轿车行驶的路程s(km)之间的关系式.
(3)某人将油箱加满后,驾驶该汽车从A地前往B地,到达B地时油箱剩余油量为10L,求A,B两地之间的距离.
22.为了解某种品牌小汽车的耗油量,我们对这种车在高速公路上做了耗油试验,并把试验的数据记录下来,制成如表:
汽车行驶时间t/h 0 1 2 3 …
油箱剩余油量Q/L 100 94 88 82 …
(1)根据如表的数据,请你写出Q与t的关系式: ;
(2)汽车行驶5h时,油箱中的剩余油量是多少?
(3)当汽车油箱剩余油量为50L,若以90km/h的速度匀速行驶,该车还能行驶多远?
23.某剧院的观众席的座位为扇形,且按下列方式设置:
排数(x) 1 2 3 4 …
座位数(y) 50 53 56 59 …
(1)按照上表所示的规律,当x每增加1时,y如何变化?
(2)写出座位数y与排数x之间的解析式.
(3)按照如表所示的规律,某一排可能有90个座位吗?说说你的理由.
24.一个长方形ABCD的长和宽分别为x厘米和y厘米(x,y为正整数,x>y),如果将长方形ABCD的长和宽各增加6厘米得到新的长方形,面积记为S1,将长方形ABCD的长和宽各减少2厘米得到新的长方形,面积记为S2.
(1)请说明:S1与S2的差一定是8的倍数.
(2)如果S1比S2大200cm2,求原长方形ABCD的周长.
(3)如果一个面积为S1的长方形和原长方形ABCD能够没有缝隙没有重叠地拼成一个新的长方形,请直接写出x与y的关系式 .
25.已知甲、乙两地打电话需付的电话费y(元)是随时间t(分钟)的变化而变化的,试根据下表列出的几组数据回答下列问题:
通话时间t(分钟) 1 2 3 4 5 6 …
电话费y(元) 0.15 0.3 0.45 0.6 0.75 0.9 …
(1)自变量是 ,因变量是 ;
(2)写出电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的关系式;
(3)若小明通话10分钟,则需付话费多少元?
(4)若小明某次通话后,需付话费4.8元,则小明通话多少分钟?
用关系式表示的变量之间关系
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.【答案】D
【分析】根据单价乘以数量等于总价,剩余的钱等于所带的钱数减去购买笔记本用去的钱数即可.
【解答】解:由剩余的钱数=带的钱数400﹣购买笔记本用去的钱数可得,
y=400﹣12x,
故选:D.
【点评】本题考查函数关系式,理解“单价、数量与总价”以及“剩余钱数、用去的钱数与总钱数”之间的关系是得出答案的前提.
2.【答案】C
【分析】根据用α元钱在网上书店恰好可购买50本某种书,但是每本书需另加邮费6角,即可确定函数关系式.
【解答】解:根据题意,得y=b(0.6),
故选:C.
【点评】本题考查了函数关系式,理解题意是解题的关键.
3.【答案】D
【分析】由表知开始时温度为30℃,再每增加2分钟,温度增加14℃,即每增加1分钟,温度增加7℃,可得温度T与时间t的关系式.
【解答】解:∵开始时温度为30℃,每增加1分钟,温度增加7℃,
∴温度T与时间t的关系式为:T=30+7t,
因变量为T,
故选:D.
【点评】本题考查了求函数的关系式,关键是得出开始时温度为30℃,每增加1分钟,温度增加7℃.
4.【答案】B
【分析】函数的定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值,y都有唯一的值与其对应,那么就说y是x的函数,x是自变量;在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常量,由此即可判断.
【解答】解:A、Q是x的函数,x是自变量,原说法不正确,本选项不符合题意;
B、Q和x是变量,正确,本选项符合题意;
C、x变量,50是常量,本选项不符合题意;
D、Q是x的函数,﹣8是常量,本选项不符合题意;
故选:B.
【点评】本题考查函数的概念,常量,变量,关键是掌握函数的定义.
5.【答案】A
【分析】由原价为a可以得到降价后的价格是a×(1﹣x),由此即可得到函数关系式.
【解答】解:依题意得:y=(1﹣20%)x=0.8x.
故选:A.
【点评】本题考查了函数关系式,注意:本题中的20%是降低的百分比,不是售价的20%.
6.【答案】D
【分析】根据常量和变量的定义判断即可.
【解答】解:在关系式:z=0.3s﹣31.3中,0.3和31.3是常量,z和s是变量,且z是因变量,s是自变量,
故选:D.
【点评】本题考查了常量和变量的定义,熟练掌握常量和变量的定义是解题的关键.
7.【答案】D
【分析】x与3大小关系未知,故要分情况讨论,然后合并成一个函数表达式即可.
【解答】解:∵若x≥3,则y=x﹣3;若x<3,则y=3﹣x.
∴y=|x﹣3|.
故选:D.
【点评】本题考查函数关系式的写法,较简单,但要注意包含所有情况.
8.【答案】A
【分析】运用圆柱体的体积公式和函数知识进行求解.
【解答】解:由题意得,
y=πx2×1,
整理,得y=πx2,
故选:A.
【点评】此题考查了圆柱体的体积公式和函数表示方法的应用能力,关键是能准确理解并运用以上知识进行求解.
9.【答案】A
【分析】根据长方形的周长得出函数关系式即可.
【解答】解:由题意得:2(x+y)=20,
∴x+y=10,
∴这个长方形的长y(cm)与宽x(cm)之间的关系式为:y=﹣x+10,
故选:A.
【点评】此题考查函数关系式,根据题意,找到所求量的等量关系是解决问题的关键.
10.【答案】C
【分析】根据油箱剩油量等于总油量减去消耗的油量列出关系式即可.
【解答】解:油箱剩油量Q=100﹣8t,
故选:C.
【点评】本题考查了函数关系式以及自变量的取值范围的求解,比较简单,根据油箱的剩余油量不小于0求解自变量的取值范围.
二.填空题(共6小题)
11.【答案】y=﹣2x+37.
【分析】运用长方形周长公式进行列式、化简.
【解答】解:由题意得,2x+y=35+2,
整理,得y=﹣2x+37,
故答案为:y=﹣2x+37.
【点评】此题考查了一次函数的应用能力,关键是能准确根据长方形周长公式进行列式、化简.
12.【答案】y=10+0.2x.
【分析】根据一个月的话费是月租费与市内通话费的和,即可得到函数关系式.
【解答】解:∵电话月租费为10元,若市内通话费平均每次为0.2元,
∴一个月的话费y(元)与通话次数x(次)之间的关系式是y=10+0.2x,
故答案为:y=10+0.2x
【点评】此题考查函数关系式,读懂题意,正确列出函数关系式是解题的关键.
13.【答案】见试题解答内容
【分析】通过油箱内油量=原有油量﹣耗油量列关系式.
【解答】解:由题意得y=40﹣5x.
故答案为:y=40﹣5x.
【点评】本题考查列代数式,解题关键是通过题意找到等量关系.
14.【答案】y=﹣3x+2.
【分析】根据如图所示的计算程序即可得出关系式.
【解答】解:按照如图所示的计算程序,y与x之间的关系式为y=﹣3x+2.
【点评】本题考查了列函数解析式,正确理解图示是解答此题的关键.
15.【答案】见试题解答内容
【分析】根据总工程量减去已修的工程量,可得答案.
【解答】解:由题意,得
每天修30÷120km,
y=30x,
故答案为:30x.
【点评】本题考查了函数关系式,利用总工程量减去已修的工程量是解题关键.
16.【答案】m=6t.
【分析】根据题目中的数量关系进行计算即可.
【解答】解:由题意得,m=0.05×2×t×60=6t,
即m=6t,
故答案为:m=6t.
【点评】本题考查函数关系式,理解题目中的数量关系是解决问题的关键.
三.解答题(共9小题)
17.【答案】(1)t=20﹣6h;
(2)10千米.
【分析】(1)根据表格中气温随海拔高度的变化的规律得出答案;
(2)把t=﹣40代入计算即可.
【解答】解:(1)从表格中两个变量的变化对应值的变化规律可知,海拔高度每升高1千米,气温就减少6℃,
所以t=20﹣6h;
(2)当t=﹣40时,即20﹣6h=﹣40,
解得h=10,
答:海拔高度是10千米.
【点评】本题考查函数关系式,理解函数的定义,发现表格中两个变量的变化规律是解决问题的关键.
18.【答案】(1)四边形ABCE的面积y与AE的长x之间的关系式为yx+20(0<x<8);
(2);
(3)2.
【分析】(1)根据梯形的面积公式代入数值即可找到y与x之间的关系式,
(2)将x=3代入函数关系式求值即可.
(2)将y=35代入函数关系式求值即可.
【解答】解:(1)∵梯形的面积=(上底+下底)×高÷2,
∴(0<x<8),
∴四边形ABCE的面积y与AE的长x之间的关系式为yx+20(0<x<8);
(2)当x=3时,y;
(3)由题可知y=35,即,
解得:x=6,即AE=6,
∴DE=BC﹣AE=8﹣6=2.
【点评】本题考查了梯形的面积,函数关系式中的求值等知识点,数形结合是解题的关键.
19.【答案】见试题解答内容
【分析】(1)应交水费y=10吨的水费+超过10吨的水费,依此列式即可.
(2)将y=39代入关系式,即可得出答案.
【解答】解:(1)根据题意得,y=1.2×10+(x﹣10)×1.8=1.8x﹣6,
答:应交水费y与用水量x的关系式为:y=1.8x﹣6.
(2)当y=39时,1.8x﹣6=39,
解得,x=25,
答:小明家里用水25吨.
【点评】此题考查的是根据实际问题列一次函数关系式,根据题意,找到所求量的等量关系是解决问题的关键,本题水费y=10吨的水费+超过10吨的水费.
20.【答案】(1)318,302;
(2)减少,66;
(3)y=320﹣2x2.
【分析】(1)根据阴影部分的面积=长方形的面积﹣4个全等的等腰直角三角形的面积求解即可;
(2)根据阴影部分的面积=长方形的面积﹣4个全等的等腰直角三角形的面积,分别计算出等腰直角三角形的直角边长为4和7时阴影部分的面积,二者相减即可;
(3)根据阴影部分的面积=长方形的面积﹣4个全等的等腰直角三角形的面积,其中阴影部分的面积用y表示,每个三角形的直角边长用x表示,列出y关于x的函数关系式,并进行整理化简.
【解答】解:(1)∴当三角形的直角边长为1cm时,m=20×16﹣412=318(cm2);
当三角形的直角边长为3cm时,n=20×16﹣432=320﹣18=302(cm2).
故答案为:318,302.
(2)当等腰直角三角形的直角边长为4cm时,阴影部分的面积为288cm2;
当等腰直角三角形的直角边长为7cm时,阴影部分的面积为320﹣472=320﹣98=222cm2.
∴当等腰直角三角形的直角边长由4增加到7时,阴影部分的面积减少288﹣222=66(cm2).
故答案为:减少,66.
(3)由题意得y=20×16﹣4320﹣2x2,
∴y与x的函数关系式为y=320﹣2x2.
故答案为:y=320﹣2x2.
【点评】本题考查函数关系式.这部分内容非常重要,一定要培养根据题意写函数关系式的能力.
21.【答案】(1)50,38;
(2)Q=50﹣0.08s;
(3)500km.
【分析】(1)由表格可知,开始油箱中的油为50L,每行驶100km,油量减少8L,由此填空即可;
(2)由表格可知,开始油箱中的油为50L,每行驶100km,油量减少8L,据此可得Q与s的关系式;
(3)把Q=10代入函数关系式求得相应的s值即可.
【解答】解:(1)由表格中的数据可知,该轿车油箱的容量为50L,行驶150km,
油箱剩余油量为:(L),
故答案为:50,38;
(2)由表格可知,开始油箱中的油为50L,每行驶100km,油量减少8L,
据此可得Q与s的关系式为:Q=50﹣0.08s,
∴Q与s的关系式为:Q=50﹣0.08s;
(3)令Q=10,即50﹣0.08s=10,
解得:s=500,
∴A、B两地之间的距离为500km.
【点评】本题考查了一次函数的应用,解题的关键是求出函数解析式,读懂表格数据所代表的含义,行驶路程为0时,即为油箱最大容积.
22.【答案】(1)Q=100﹣6t;
(2)70;
(3)750.
【分析】(1)根据表格中两个变量的变化规律可得答案;
(2)将t=5代入函数关系式求出Q的值即可;
(3)求出当Q=50时,求出相应的t的值,再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可.
【解答】解:(1)由表格中两个变量的变化规律可知,
汽车每行驶1h,油箱剩余油量就减少6L,
因此Q=100﹣6t,
故答案为:Q=100﹣6t;
(2)当t=5时,Q=100﹣6×5=70,
答:汽车行驶5h时,油箱中的剩余油量是70L;
(3)当Q=50时,即100﹣6t=50,
解得t,
行驶的路程为90750(km),
答:当汽车油箱剩余油量为50L,若以90km/h的速度匀速行驶,该车还能行驶750km.
【点评】本题考查函数关系式,理解行驶时间与油箱中的剩余油量的变化关系是解决问题的关键.
23.【答案】(1)当x每增加1时,y增加3;
(2)y=3x+47;
(3)不可能有90个座位,理由见解析.
【分析】(1)根据表格中数据直接得出y的变化情况;
(2)根据x,y的变化规律得出y与x的函数关系;
(3)利用(2)中所求,将y=90代入分析即可.
【解答】解:(1)由图表中数据可得:当x每增加1时,y增加3;
(2)由题意可得:y=50+3(x﹣1)=3x+47;
(3)某一排不可能有90个座位,
理由:由题意可得:y=3x+47=90,
解得:x.
故x不是整数,则某一排不可能有90个座位.
【点评】此题主要考查了函数关系,正确得出y与x的函数关系式是解题关键.
24.【答案】(1)见解答;
(2)42cm;
(3)x﹣y=6.
【分析】(1)由题意,根据长方形的面积公式分别写出S1与S2,再求差,变形即可得答案;
(2)由题意得S1﹣S2=200,将(1)中结论式代入,化简可得出x+y的值,乘以2即可得答案;
(3)面积为S1的长方形的长大于原长方形的长和宽,则只能是面积为S1的长方形的宽和原长方形的长相等,据此可得等式,从而得x和y的关系式.
【解答】(1)证明:由题意得:
S1=(x+6)(y+6)=xy+6(x+y)+36,
S2=(x﹣2)(y﹣2)=xy﹣2(x+y)+4,
∴S1﹣S2=xy+6(x+y)+36﹣xy+2(x+y)﹣4
=8(x+y)+32
=8(x+y+4)
∴S1与S2的差一定是8的倍数.
(2)解:由题意得S1﹣S2=200,
即8(x+y+4)=200,
∴x+y+4=25,
∴x+y=21,
∴2(x+y)=42,
∴原长方形的周长为42cm.
(3)解:由题意可知,两个长方形必须有一条边相等,则只能面积为S1的长方形的宽和原长方形的长相等,则有
y+6=x,即x﹣y=6.
故答案为:x﹣y=6.
【点评】本题考查了函数关系,正确地根据题意列出算式,是解题的关键.
25.【答案】(1)t,y;
(2)y=0.15t;
(3)需付话费1.5元;
(4)小明通话32分钟.
【分析】(1)根据函数的定义即可确定自变量与因变量;
(2)根据表格信息可得每通话1分钟需付话费0.15元可求得此题结果;
(3)将t=15代入该函数解析式进行求解即可;
(4)将y=6代入该函数解析式进行求解即可.
【解答】解:(1)由题意可得,自变量是t,因变量是y,
故答案为:t,y;
(2)由题意可得,每通话1分钟需付话费0.15元,
∴电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的关系式是y=0.15t;
(3)当t=10时,得y=0.15×10=1.5,
故小明通话10分钟,则需付话费1.5元;
(4)当y=4.8时,得0.15t=4.8,
解得t=32,
故小明通话32分钟.
【点评】此题考查了运用函数的概念解决实际问题的能力,关键是能结合题意与函数的概念进行列式、计算.
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