12.2 一次函数（共127张PPT）2025年秋沪科版八年级数学上册

(共127张PPT)
12.2 一次函数
第1课时
学习目标
1.会画正比例函数的图象，了解正比例函数的图象是直线，在画图过程中体会两点可以确定一条直线.
2.掌握正比例函数的性质，并能灵活运用解答有关问题.
3.体会“数形结合”的数形思想方法.
4.结合描点作图，培养认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯.
正比例函数的图象和性质
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
回顾
以前我们学习了方程，一元一次方程、二元一次方程；不等式、一元一次不等式的内容.
我们在学习函数这个概念以后，也要学习一些具体的函数，今天我们要学习的是一次函数.
顾名思义，你能根据一次函数这个名字，类比一元一次方程、一元一次不等式的概念举出一些一次函数的例子吗？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
上节课我们遇到过这样的函数：
h=30t+1800 ； Q= 25t+300 ； y=2x ； y= 2x ；s=80t.
思考
这些函数有什么共同特点？
思路提示
1.在这些函数式中，表示函数的自变量的式子，是关于自变量的几次式？
2.都可以写成什么形式？
1
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
1
h=30t+1800 ； Q= 25t+300 ； y=2x ； y= 2x ；s=80t.
1
1
1
不难看出：
这些函数的表达式都是关
于自变量的一次式.
可以写成：
y=kx+b的形式.
一般地，形如
y=kx+b(k、b为常数，
且k≠0)的函数叫作
一次函数.
一次函数
一次函数y = k x + b(k、b为常数，且k≠0)
观察
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
可以看成 ：
常数 k 与自变量的 乘积 与常
数b的 和 的形式.
这个函数表达式在形式上具有怎样的结构特征呢？
结构特征：
① k≠0；
②自变量x的次数是1；
③常数项b为任意实数.
观察
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
一次函数y = k x + b(k、b为常数，且k≠0)
=
变量
变量
y
k
x
+
b
(k≠0)
x
y
k
b
常数
常数
可以看成 ：
常数 k 与自变量的 乘积 与常
数b的 和 的形式.
结构特征：
① k≠0；
②自变量x的次数是1；
③常数项b为任意实数.
比例系数
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
k≠0，那b呢？
思考
一次函数y=kx＋b
b=0
如前面的：
y=kx (k为常数，且k≠0)
y = 2 x ； y = 2 x ； s =80 t.
正比例
y
x
y
x
s
t
正比例
正比例
唯一
对应
函数
唯一
对应
唯一
对应
函数
函数
正比例函数
一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的
函数叫作正比例函数，其中k叫作比例系数.
归纳
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
正比例函数与一次函数
正比例函数是一次函数的特殊情形.
可见：
正比例函数
一次函数
一定
不一定
探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
下面，来研究正比例函数的图象与性质.
前面画过函数y=2x，y= 2x及另外一些正比例函数的图象.
y
y 2x
y=x
y 2x
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
y
y 2x
y=x
y 2x
正比例函数y=kx(k为常
● 由此可见：
数，且k≠0)的图象是一条经
过原点的直线.
2. 通常我们把正比例函数
的图象叫作直线y=kx.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
两点确定一条直线，所以？
画正比例函数的图象，只要先描出两点，再过这两点画直线，
就可以了.一般取(0，0)和(1，k)两点.
画一画
1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象： ，y=x ，y=3x .
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
y
y 3x
y x
y=
x
…
0
0
0
1
…
1
3
…
…
…
…
…
…
0
列表：
y 3x
y=x
y=
操作
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究正比例函数 y = k x ( k>0 ) 的性质.
探究
y
y 3x
y=x
y=
性质
y
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究正比例函数 y = k x ( k>0 ) 的性质.
探究
y 3x
y=x
y=
函数图象经过第
一、三象限；
性质
y
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究正比例函数 y = k x ( k>0 ) 的性质.
探究
y 3x
y=x
y=
图象自左至右上
升 ，即y随x的增
大而增大.
函数图象经过第
一、三象限；
性质
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
探究正比例函数 y = k x ( k<0 ) 的性质.
画一画
1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象： ，y= x ，y= 3x .
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
操作
y 3x
y x
y=
x
…
0
0
0
1
…
1
3
…
…
…
…
…
…
0
列表：
y
y 3x
y x
y=
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
探究正比例函数 y = k x ( k<0 ) 的性质.
y
y 3x
y x
y=
性质
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
探究正比例函数 y = k x ( k<0 ) 的性质.
y
y 3x
y x
y=
函数图象经过第
二、四象限；
性质
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
探究正比例函数 y = k x ( k<0 ) 的性质.
y
y 3x
y x
y=
图象自左至右下
降 ，即y随x的增
大而减小.
函数图象经过第
二、四象限；
性质
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
第一、三象限
第二、四象限
图象自左至右上升，
即y随x的增大而增大
图象自左至右下降，
即y随x的增大而减小
k＞0
k＜0
归纳
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
y
y= x
y 3 x
y x
y=
y 3 x
y=
它能告诉我们，函数的图象的倾斜程度.
k的符号决定了直线的倾斜方向(经过的象限) ，但 k 能告诉
我们的可不仅仅是这些，接下来咱们就说说 k 的另一大功用.
y
1
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
y 3 x
y 1 x
y=
y 3 x
y= x
y=
k>0时：
k越大，倾斜
程度越大，即
图象越接近于
y轴.
k<0时：
k越小，倾斜
程度越大，即
图象越接近于
y轴.
|k|越大，倾斜程度就越大； |k|越小，倾斜程度就越小.
探究新知
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课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
典型例题
(1) y= x 4 ； (2) y=5x 6 ； (3) y= ； (4) y= .
一次函数
①能够变形转化为：
y=kx+b(k≠0)的形式；
②自变量x的次数是1.
正比例函数
①能够变形转化为：
y=kx (k≠0)的形式；
②自变量x的次数是1.
【例1】下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
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课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
典型例题
【例2】 已知正比例函数y=mx的图象经过点(m，4)，且y的值随着x值的增大而减小，求m的值.
解：
∵正比例函数y=mx的图象经过点(,
∴，解得
又∵y的值随着x值的增大而减小，
∴，故m= 2.
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课堂小结
布置作业
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随堂练习
练习1. 正比例函数y=k1x和y=k2x的图象如图，则k1和k2的大小关系是( )
A. k1>k2 B. k1=k2
C. k1y=k1x
y=k2x
x
y
o
解析：
∵图象位于第一、三象限，
∴k1>0 ， k2>0.
根据|k|越大，倾斜程度就越大，
可得k1> k2.
A
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随堂练习
练习2. 函数y= 7x的图象经过第_________象限，经过点
_______与点 ，y随x的增大而_______.
二、四
(0，0)
(1， 7)
减小
练习3.下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
(1) y= 8x； (2) y=8x ； (3) y= ； (4) y= 8x 4 .
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随堂练习
练习4.已知函数
(2) 当m为何值时，这个函数是正比例函数
(1) 当m为何值时，这个函数是一次函数
解：
(1) 由题意可得:
，解得
(2)由题意可得
，解得
即时，这个函数是一次函数.
即，这个函数是正比例函数.
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布置作业
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课堂小结
创设情境
正比例函数
性质：
k＞0时，图象经过第一、三象限，从左至右上升，y随x的增大而增大;k＜0时，图象经过第二、四象限，从左至右下降，y随x的增大而减小.
一次函数与正比例函数定义
一般地，形如y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的函数叫作一次函数.
形如y=kx (k为常数，且k≠0)的函数叫作正比例函数.
正比例函数图象
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过原点的直线.
根据两点确定一条直线，一般选(0，0)和(1，k).
布置作业
教科书37页练习
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课堂小结
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12.2 一次函数
第2课时
学习目标
1.认识一次函数，掌握一次函数解析式的特点及系数的取值范围.
2.通过让学生类比对正比例函数的探究，画出一次函数.
一次函数的图象和性质
创设情境
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巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
解析式y=kx(k≠0) k>0 k<0
图象
性质
上节课我们学习了正比例函数的图象与性质：
x
o
y
1
k
k<0
x
o
y
1
k
回顾
y 随x 的增大而增大
y 随x 的增大而减小
当b≠0时，它的图象又是什么？
探究
创设情境
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课堂小结
布置作业
探究新知
下面，我们用具体例子来说明.
例2 画一次函数y=2x+3的图象.
解 ：为了便于对比，列出一次函数y=2x+3与正比例函数y=2x
的x与y的对应值表：
通过填表你能发现这两个函数之间有什么关系吗？
x … 2 1 0 1 2 …
y=2x … …
y=2x+3 … …
4
4+
2
2+
0
0+
2
2+
4+
4
3
3
3
3
3
x … 2 1 0 1 2 …
y=2x … …
y=2x+3 … …
探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
4
4+
2
2+
0
0+
2
2+
4+
4
3
3
3
3
3
对于自变量x的同一个
值，一次函数y=2x+3
的函数值比函数y=2x
函数值总大3个单位.
探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
反映在函数图象上是：
对于自变量x的同一个值，一次函数y=2x+3的函数值比函数y=2x函数值总大3个单位.
图象
也就是说：对于相同的横坐标，一次函数y=2x+3的图象上点的纵坐标要比正比例函数y=2x图象上点的纵坐标大3.
操作
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
现在请你描点、连线，看它们的图象有什么关系？
y=2x
y=2x+3
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
一次函数y=2x+3的
图象是平行于直线
y=2x的一条直线.
由此可见
向上平移
3个单位
x
O
y
重合
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
你们知道它们为什么会平行吗？
请你们再在同一直角坐标系中画出y=2x 3的图象，看看会
是什么情况？
y=2x
y=2x+3
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
+3
y=2x 3
都是直线，互相平行
x
O
y
它们的解析式有什么共同特点？
函数自变量x前面的比例系数 k 相等.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
y=2x+3
y=2x
y=2x 3
由此可见
解析式y=kx+b(k≠0)中
的k决定这条直线的
倾斜程度.
当两个函数的k值相同
、b值不同时，它们的
图象平行.
x
O
y
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
一次函数图象
一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的图象
是平行于直线y=kx的一条直线，因此，我们
以后把一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)
的图象叫作直线y=kx+b.
★说明
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
y=k×0+b=b
直线y=kx+b的图象经过(0，b)这一点，
且这个点是y=kx+b的图象与y轴的交点，
我们把b叫做直线y=kx+b在y轴上的截
距，简称截距.
我们知道k决定直线的倾斜程度，那么b又代表什么呢？当x=0
时，y的值是多少？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
截距可正可负，也可以是0.
截距不同，图象与y轴的交点位置就不同.
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
y=2x+3
y=2x
y=2x 3
请你指一指这三条直线的截距是多少呢？
截距是3
截距是0
截距是 3
截距可以是0或者负值吗？
x
O
y
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
我们知道y=2x+3的图象可以由y=2x的图象向上平移3个单位长
度得到， y=2x 3的图象也与y=2x的图象平行，是否也可以由它平
移得到呢？
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
y=2x+3
y=2x
y=2x 3
向下平移3个单位
x
O
y
重合
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
我们知道y=2x+3的图象可以由y=2x的图象向上平移3个单位长
度得到， y=2x 3的图象也与y=2x的图象平行，是否也可以由它平
移得到呢？
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
y=2x+3
y=2x
y=2x 3
直线y=kx+b(k，b为常
数，且k≠0)可以看作
直线y=kx平移|b|个单
位长度而得到.
由此可见
x
O
y
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
知道了平移的距离，平移的方向由什么确定呢？怎样确定呢？
小组合作
根据前边作出的3个函数图象之间的关系来考虑.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
y=2x+3
y=2x
y=2x 3
向下平移3个单位
向上平移3个单位
b>0时，将直线y=kx
向上平移b个单位；
b<0时，将直线y=kx
向下平移 b个单位.
由此可得
x
O
y
知道了平移的距离，平移的方向由什么确定呢？怎样确定呢？
解：
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
典型例题
【例1】画出直线 ，并求它的截距.
列表
x 0 3
y 2 0
y=x 2
x
O
y
1
2
3
4
1
2
3
1
1
2
3
4
5
3
4
2
故它的截距是 2.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
随堂练习
练习1. 填空
把直线y=x向上平移2个单位，所得直线是函数 的
图象；
(2) 把函数y= 2x+3的图象向 平移 个单位，可以得到函数y= 2x的图象；
y=x+2
下
3
布置作业
教科书39页练习
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
12.2 一次函数
第3课时
学习目标
1.理解并掌握一次函数的性质.
2.经历绘制一次函数图象的过程，类比对正比例函数的探究过程来研究一次函数的性质.
3.通过让学生类比对正比例函数性质的探究，归纳出一次函数的性质，提高类比、概括能力.
一次函数的图象和性质
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
我们在正比例函数的学习中，由函数解析式y=kx(k为
常数，且k≠0)得到了它的哪些性质？
k > 0
k < 0
y随x的增大而增大，图象经过第一、三象限.
y随x的增大而减小，图象经过第二、四象限.
一次函数是否也有这种性质呢？
x … 0 1 …
y=3x+1 … …
y=2x 3 … …
y= 3x 1 … …
y= 2x+3 … …
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
操作
画出一次函数y=3x+1，y=2x 3，y= 3x 1， y= 2x+3的图象.
4
1
1
3
4
y=3x+1
x
O
y
y=2x 3
1
3
1
1
2
3
4
1
2
3
1
1
2
3
4
5
3
4
2
y= 3x 1
y= 2x+3
观察
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
y=3x+1
x
O
y
y=2x 3
1
2
3
4
1
2
3
1
1
2
3
4
5
3
4
2
y= 3x 1
y= 2x+3
由它们联想：一次函数解析式y=kx+b(k，b是常数，k≠0)中，
k的正负性对函数图象有什么影响？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
y=3x+1
x
O
y
y=2x 3
1
2
3
4
1
2
3
1
1
2
3
4
5
3
4
2
y= 3x 1
y= 2x+3
● 发现：
1. 当k>0时，y随x的增大而增大，
图象自左至右上升，经过的象
限中必有第一、三象限；
2. 当k<0时，y随x的增大而减小，
图象自左至右下降，经过的象
限中必有第二、四象限.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
x
O
y
1
2
3
4
1
2
3
1
1
2
3
4
5
3
4
2
b的正负对一次函数y=kx+b的图象有什么影响呢？
y=3x+1
y=2x 3
y= 2x+3
y= 3x 1
● 发现：
1. 当b>0时，图象与y轴的
正半轴相交；
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
x
O
y
1
2
3
4
1
2
3
1
1
2
3
4
5
3
4
2
b的正负对一次函数y=kx+b的图象有什么影响呢？
y=2x 3
y= 3x 1
● 发现：
1. 当b>0时，图象与y轴的
正半轴相交；
2.当b<0时，图象与y轴的
负半轴相交.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
那么k，b的正负情况结合在一起，它们的正负与图象经过的
象限有什么关系呢？
直线y=kx+b
经过的象限
k > 0
k < 0
b >0
b =0
b <0
第一、二、三
象限
第一、二、四
象限
第一、三
象限
第二、四
象限
第一、三、四
象限
第二、三、四
象限
归纳
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0) k、b符号 图象特征 大致图象 经过象限 性质
k＞0 b＞0
b＝0 b＜0 从左至右上升，交点在y轴
正半轴.
从左至右上升，交点在原点.
从左至右上升，交点在y轴
负半轴.
x
y
O
x
y
O
x
y
O
第一、二、三象限
第一、三象限
第一、三、四象限
y随x的增大而增大
归纳
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0) k、b符号 图象特征 大致图象 经过象限 性质
k＜0 b＞0
b＝0 b＜0 从左至右下降，交点在y轴
正半轴.
从左至右下降，交点在原点.
从左至右下降，交点在y轴
负半轴.
第一、二、四象限
第二、四象限
第二、三、四象限
y随x的增大而减小
x
y
O
x
y
O
x
y
O
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
典型例题
【例1】已知一次函数 y=(1 2m)x+m 1，求满足条件的m的值：
(1) 函数值y 随x的增大而增大；
(2)函数图象与y 轴的负半轴相交；
(3)函数的图象过第二、三、四象限.
解：
k>0
(1)由题意得1 2m>0，解得m<.
k≠0，b<0
(2)由题意得1 2m≠0且m 1<0，即m<1，m≠.
k<0，b<0
(3)由题意得1 2m<0且m 1<0，解得探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
随堂练习
练习1. 填空
(1) 对于函数y= 2x+3，y随x的增大而 ；
(2) 当m= 时，一次函数y=(m 1)x+m 1的图象经过原点.
减小
1
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
随堂练习
练习2. 两个一次函数y1=ax+b与y2=bx+a，它们在同一坐标系中的图象可能是(　　)
A
B
C
D
C
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
随堂练习
练习3.已知一次函数y＝(3m 8)x＋1 m图象与 y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数，求m的值 .
解：
由题意得
解得
又∵m为整数，∴m=2.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
随堂练习
练习4.直线y= 3x b上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1A. y1>y2 B. y1=y2 C. y1解析：
k= 3 < 0
y随x的增大而减小
x1y1>y2
故选项A正确.
A
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
一次函数的图象与性质
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
一次函数的图象与性质
布置作业
教科书41页练习
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
12.2 一次函数
第4课时
学习目标
1.会用待定系数法确定一次函数的解析式.
2.了解两个条件确定一次函数，一个条件确定正比例函数.
3.经历确定一次函数的解析式的过程，体验数形结合，具体感知数形结合思想在一次函数中的应用.
4.通过让学生经历先设出函数表达式，根据题意列出方程再求解的过程，带领学生学习待定系数法，激发学生探索、总结数学方法的兴趣.
待定系数法
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
回顾
前面我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出一个具体的一次函数解析式吗？如何画出它的图象？
“两点法”
y= x+2
y= x+2
反过来，如果知道一条直线经过两个已知点，能否确定这条直线的表达式呢？
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
如果知道一个一次函数，当自变量x=4时，函数值y=5；当x=5时，y=2.写出函数表达式并画出它的图象.
思考
解：
因为y是x的一次函数，设其表达式为y=kx+b
(k≠0).
关键：
根据已知条件确定表达式y=kx+b中的系数k和b的值.
∵当x=4时，y=5；
当x=5时，y=2；
∴(4，5)与(5，2)
这两点的坐标必
适合解析式.
由题意得，
4k+b=5，
5k+b=2.
解方程组得
k= 3，
b=17.
所以函数表达式为 y= 3x+17.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
如果知道一个一次函数，当自变量x=4时，函数值y=5；当x=5时，y=2.写出函数表达式并画出它的图象.
思考
解：
关键：
根据已知条件确定表达式y=kx+b中的系数k和b的值.
∵当x=4时，y=5；
当x=5时，y=2；
∴(4，5)与(5，2)
这两点的坐标必
适合解析式.
O
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
x
y
(4，5)
(5，2)
图象如下图中的直线：
问题：
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
给两点可以确定一次函数的解析式，一点可以吗？
更多点呢？
从几何角度来看：
一点不够，因为两点确定一条直线.
两个及以上都可以，但是两点足够.
从代数角度来看：
一次函数的解析式中含有k，b两个
待定系数，因此需要两个点的坐标，列两个方程，即
得二元一次方程组.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
待定系数法
(k，b是待确定的系数)，再根据已知条件列出关于k，b
定义：
这里，先设所求的一次函数表达式为y=kx+b
的方程组，求得k，b的值.这种确定表达式中系数的方法
叫作待定系数法.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
你能归纳出待定系数法求函数解析式的基本步骤吗？
(1)
设：
设一次函数的一般形式 ；
(2)
代：
将图象上的点(x1，y1)，(x2，y2)代入一次函数的解
(3)
解：
解二元一次方程组得k，b；
(4)
写：
把k，b代入所设解析式中，写出解析式.
y=kx+b(k≠0)
析式，组成关于系数k，b的 方程组；
二元一次
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
函数解析式y=kx+b
满足条件的两定点
(x1，y1)与(x2，y2)
一次函数的图象直线l
画出
选取
解出
选取
从数到形
从形到数
通过前面的学习，我们知道了函数解析式和图象可以相互转化.
数形结合
数学的基本思想方法：
探究新知
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课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例1】已知某一次函数的图象经过点A(5，0)，B(1，4).求这个一次函数的表达式.
解：
设这个一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0).
所以这个一次函数的表达式为y= x+5.
把A(5，0)，B(1，4)代入表达式，得：
5k+b=0，
k+b=4.
解方程组得
k= 1，
b=5.
审题关键：
利用待定系数法，通过设、代、解、写四个步骤求出.
设
代
解
写
解：
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例2】一次函数的图象经过点P( 2，3)，且与直线y= x
平行.求这个函数的表达式.
解析式y=kx+b(k≠0)中的k决定这条直线的倾斜程度.
当两个函数的k值相同、b值不同时，它们的图象平行.
设函数表达式为y=kx+b(k≠0).
由题意可得：k= ，∴y= x+b
又∵直线y= x+b过点P( 2，3)，
∴3= ( 2)+b ，解得b=2.
即y= x+2.
探究新知
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创设情境
随堂练习
练习1. 已知y=ax+b，当x= 2时，y=2；当x=2时，y=6.求a和b的值.
解：
将x= 2，y=2和x=2，y=6分别代入y=ax+b得
解得a=1，b=4.
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课堂小结
布置作业
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随堂练习
练习2. 已知一次函数的图象与直线y= 4x+1平行，并且经过点(2，5)，求此一次函数的解析式，并求出其图象与坐标轴围成的三角形的面积.
解：
(1)∵一次函数的图象与直线y= 4x+1平行，
∴设一次函数的解析式为y= 4x+b
∵一次函数经过点(2，5)，
∴5= 4 2+b 解得b= 13
∴一次函数的解析式为y= 4x+13.
探究新知
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课堂小结
布置作业
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创设情境
随堂练习
练习2. 已知一次函数的图象与直线y= 4x+1平行，并且经过点(2，5)，求此一次函数的解析式，并求出其图象与坐标轴围成的三角形的面积.
解：
(2)设直线y= 4x+13分别与x轴、y轴交于A、B两点，
令x=0，则y=13，B(0，13)；
令y=0，则x=，A(，0).
∴S△ABO= =.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
随堂练习
练习3. 已知一次函数，当1≤x≤4时， 2≤y≤1，求这个一次函数的解析式.
解：
(1)当k 0时，即x=1时，y= 2；x=4时，y=1.
∴
解得k=1，b= 3. ∴ y=x 3.
(2)当k 0时，即x=1时，y=1；x=4时，y= 2.
∴
解得k= 1，b=2. ∴ y= x+2.
综上：这个一次函数的解析式为y=x 3或y= x+2.
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
用待定系数法求一次函数解析式的步骤
①设:设一次函数的一般形式 y=kx+b(k≠0) ；　
②代：将图象上的点(x1，y1)，(x2，y2)代入一次函数的解析式，组成关于系数k，b的二元一次方程组；
③解：解二元一次方程组得k，b；　
④写：把k，b代入所设解析式中，写出解析式.
待
定系数法
待定系数法定义
先设所求的一次函数表达式为y=kx+b(k，b是待确定的系数)，再根据已知条件列出关于k，b的方程组，求得k，b的值.这种确定表达式中系数的方法叫作待定系数法.
布置作业
教科书42页练习
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
12.2 一次函数
第5课时
学习目标
1.了解简单的分段函数，并能运用分段函数求函数值的问题.
2.能作出分段函数的图象，利用它解决生活中的简单应用问题.
3.经历在分析、思考的基础上，让学生通过观察、感悟分段函数的意义过程，加深对分段函数概念、图象的认识，提高分析、解决问题的能力.
4.通过从实际问题中得到函数关系式这一过程，提升学生的数学应用能力，使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心.
分段函数
回顾
我们上节课学习了待定系数法，你还记得利用待定系数法确
定函数表达式的一般步骤吗？
设：设一次函数的一般形式 y=kx+b(k≠0) ；　
代：将图象上的点(x1，y1)，(x2，y2)代入一次函数的解析式，组成关于系数k，b的二元一次方程组；
解：解二元一次方程组得k，b；　
写：把k，b代入所设解析式中，写出解析式.
1
2
3
4
今天我们就用它来解决一些实际问题.
典型例题
【例5】为节约用水，某市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过8m ，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费，超过8m 时，
超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水
x m ，应缴水费y元.
〔1〕给出y与x之间的函数表达式；
用水时以8m3为界，分成两段，收费标准不一样：
当x≤8时，每立方米收费(1+0.3)元；
当x＞8时，超过部分每立方米收费(1.5+1.2)元.
分析
典型例题
〔1〕给出y与x之间的函数表达式；
解：y与x之间的函数表达式为：
y =
( 1+ 0.3 ) x = 1.3x (0≤x≤8)
( 1.5+ 1.2 ) ( x 8 ) + 1.3 8 = 2.7x 11.2 (x＞8)
叫做分段函数.
注意：①它是一个函数
②要写明自变量取值范围
正比例函数
一次函数
【例5】为节约用水，某市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过8m ，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费，超过8m 时，
超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水
x m ，应缴水费y元.
典型例题
〔2〕画出上述函数图象；
函数表达式：
y =
1.3x (0≤x≤8)
2.7x 11.2 (x＞8)
x 0 8
y=1.3x 0 10.4
列表：
x 8 16
y=2.7x 11.2 10.4 32
描点、连线
x/m3
y/元
如图，函数图象是一段折线.
函数表达式：
典型例题
y =
1.3x (0≤x≤8)
2.7x 11.2 (x＞8)
先确定要求值的自变量属于哪一段范围；
然后代入该段的解析式求值.
解：当x = 5 m3 时，y = 1.3 5 = 6.5 (元)
当x = 10 m3 时，y = 2.7 10 11.2 = 15.8 (元)
即当用水量为5m3时，该户应缴水费6.5元；当用水量为10m3时，
该户应缴水费15.8元.
〔3〕当该市一户某月的用水量为x=5m3或x=10m3时，求其应缴的水费；
〔4〕该市一户某月缴水费26.6元，求该户这个月用水量.
典型例题
函数表达式：
y =
1.3x (0≤x≤8)
2.7x 11.2 (x＞8)
把对应y的值代入函数解析式
y=26.6
解：∵y = 26.6 ＞ 1.3 8 ，
可见该户这月用水超过8m3，
因此 2.7x 11.2 = 26.6 ，解方程得x =14.
即该户本月用水量为14m3.
归纳
分段函数：
在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同
注意：
〔1〕书写解析式时要用大括号将几个式子括起来；
〔2〕每个式子后面标明自变量的取值范围；
〔3〕临界点要根据实际情况写在其中一个自变量的范围内.
的形式，这样的函数称为分段函数.
随堂练习
练习1. 某地规定，每月每户的用电量xkW·h与应缴电费y元的关系如图所示. 求出y与x之间的函数表达式.
x/kW·h
y/元
解：
①当0≤x≤50时，
设y与x之间的函数关系式为y=kx
(k≠0)，代入(50，25)，可得25=50k
解得k=0.5，∴y=0.5x.
②当x＞50时，设y与x之间的函数
关系式为y=kx+b(k≠0).
正比例函数与一次函数构成的分段函数.
随堂练习
练习1. 某地规定，每月每户的用电量xkW·h与应缴电费y元的关系如图所示. 求出y与x之间的函数表达式.
x/kW·h
y/元
∴y=x 25.
综上可得：
解得：
代入(50，25)、 (100，75) ，可得
归纳
〔1〕定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点，
先确定函数的类型；
〔2〕设函数式：设出函数的解析式；
〔3〕列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程 (组)，
求出该段内的解析式；
〔4〕下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变
量的取值范围.
由分段函数的图象确定函数解析式的方法：
随堂练习
练习2. 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x (分钟)与相应话费y (元)之间的函数图象如图所示：
(1)月通话为100分钟时，应交话费 元；
(2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；
(3)月通话为280分钟时，应交话费多少元？
x/min
y/元
40
(2)解：
设y与x之间的函数关系式为y=kx+b
(k≠0).
由图上知：x=100时，y=40；x=200
时，y=60.
随堂练习
(2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；
(3)月通话为280分钟时，应交话费多少元？
x/min
y/元
(2)解：
则有
解得
∴
(3)把x=280代入 得，
y=76 ，即当月通话为280分钟时，
应交话费76元.
分段函数
分段函数求值
〔1〕先确定要求值的自变量属于哪一段范围；
〔2〕代入该段的解析式求值.
分段函数：
〔1〕定义：
在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不 同的形式，这样的函数称为分段函数.
〔2〕图象：
画出函数在各段上的图象，再合起来就是分段函数的图象.
〔3〕注意：
它是一个函数；要写明自变量取值范围.
由分段函数的图象确定解析式的方法
〔1〕定类型〔2〕设函数式〔3〕列方程(组)〔4〕下结论
教科书第43页练习
12.2 一次函数
第6课时
1. 理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系.
2.能根据一次函数的图象求一元一次方程的解和一元一次不等式的解集，进一步发展数形结合的意识.
3.通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的探究，引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系.
4.通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的探究，让学生体会数学的融会贯通，发现数学的美.
学习目标
一次函数与方程
、不等式
我们就从函数的角度看一下一元一次方程与一元一次不等式.
谁对呢？
视角不同，即使同一个东西看在眼里也是不同的.这次
情境引入
解：
探究1
一次函数与一元一次方程
问题1：(1)解方程2x+6=0；
(2)已知一次函数y=2x+6，问x取何值时，y=0？
(1) 2x+6=0
2x= 6
x= 3
(2) 当y=0时 ，即
2x+6=0
2x= 6
x= 3
思考①：这两个问题有什么关系？
从“函数值”的角度看：
求一元一次方程2x+6=0
的解，可转化为求一次
函数y=2x+6中y=0时x
的值.
x
y
y= 2x+6
探究
( 3，0)
思考②：方程2x+6=0的解(x= 3)与一次函数y=2x+6的图象又有什么关系？
从“函数图象”的角度看：
求一元一次方程2x+6=0
的解，就是求直线
y=2x+6与x轴交点的横坐
标.
我们知道任何一元一次方程都可以转化为kx+b=0的形式，所以：
求一次函数y=kx+b
(k≠0)中y=0时，
x的值.
从“函数值”看
求kx+b=0的解
求直线y=kx+b与x轴
交点的横坐标.
从“函数图象”看
求kx+b=0的解
归纳
如图，一次函数y=ax+b的图象经过A、B两点，则关于x的一元一次方程ax+b=4的解是 .
思考
x
y
y= ax+b
A
B
函数y=ax+b 4
不一致！这可怎么办？
思考
x
y
y= ax+b
A
B
y
如图，一次函数y=ax+b的图象经过A、B两点，则关于x的一元一次方程ax+b=4的解是 .
从“函数图象”的角度
看：
解一元一次方程ax+b=4
在直线y=ax+b上，取
纵坐标为4的点，看它的
横坐标是多少.
思考
x
y
y= ax+b
A
B
y
如图，一次函数y=ax+b的图象经过A、B两点，则关于x的一元一次方程ax+b=4的解是 .
从“函数值”的角度看：
解一元一次方程ax+b=4
求一次函数y=ax+b中
y=4时，x的值.
x=3
归纳
你能把得到的结论推广到一般情况吗？
y=ax+b

求一次函数y=4x+5的函数值
为9时，自变量的值.
的解就是当函数 的函数值为 时的自变
一般地，一元一次方程ax+b=c(a、b、c为常数，a≠0)
量 的值.
如：
求4x+5=9的解
c
x
问题2：根据一次函数y=2x+6的图象，你能分别说出一元一次不等式2x+6>0和2x+6<0的解集吗？
探究2
一次函数与一元一次不等式
x
y
y= 2x+6
( 3，0)
不等式2x+6>0就是函数y=2x+6中函数值y>0.
直线y=2x+6在x轴上方的部分所有点的纵坐标都满足y>0，
即2x+6 ， 此时x .
故此时一元一次不等式 2x+6>0
的解集为 .
>0
> 3
x> 3
探究2
一次函数与一元一次不等式
x
y
y= 2x+6
( 3，0)
x> 3
同样地，不等式2x+6<0就
是函数y=2x+6中函数值
y<0，即直线y=2x+6在x轴
下方的部分.
故 2x+6<0的解集为 .
x 3
问题2：根据一次函数y=2x+6的图象，你能分别说出一元一次不等式2x+6>0和2x+6<0的解集吗？
探究
x
y
y= 2x+6
( 3，0)
在同一直角坐标系中作出直
线y=2，它与直线y=2x+6相交
于点 .
直线y=2x+6在直线y=2下方部
分的所有点的纵坐标都满足 ，即2x+6 .
横坐标都满足 .故不等
式2x+6 2的解集为 .
y= 2
( 2，2)
y 2
( 2，2)
2
x 2
x 2
你能利用图象说出一元一次不等式2x+6 2时的解集吗？
你能总结出利用图象求一元一次不等式kx+b c或kx+b c的解集方法吗？
〔1〕在同一直角坐标系中作出直线y= kx+b 和
直线y=c；
〔2〕直线y= kx+b在直线y=c下方的部分所对应的
x的取值范围就是一元一次不等式kx+b c 的解集；
直线y= kx+b在直线y=c上方的部分所对应的x的取
值范围就是一元一次不等式kx+b c 的解集.
归纳
我们知道任何一元一次不等式都可以转化为kx+b 0(或kx+b<0)的形式，所以：
　y=kx+b的值
大于(或小于)0时，
x的取值范围
从“函数值”看
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
确定直线y=kx+b在x轴
上方(或下方)的图象所
对应的x取值范围
从“函数图象”看
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
归纳
典型例题
【例】画出函数y= 3x+6的图象，结合图象：
〔1〕求方程 3x+6=0的解；
〔2〕求不等式 3x+6 0 和 3x+6 0的解集.
函数y= 3x+6与x轴交点的横坐标
解：
〔1〕如图所示，函数y= 3x+6图象
与x轴交点B的坐标是(2，0)，∴方
程 3x+6=0的解就是交点B的横坐
标x=2.
x
y
y= 3x+6
A(0，6)
B(2，0)
典型例题
【例1】画出函数y= 3x+6的图象，结合图象：
〔1〕求方程 3x+6=0的解；
〔2〕求不等式 3x+6 0 和 3x+6 0的解集.
x
y
y= 3x+6
x轴上方图象
x轴下方图象
〔2〕结合图象可知，y>0时x的取
值范围是x<2；y<0时x的取值范围
是x>2.
∴不等式 3x+6 0 的解集是x<2，
不等式 3x+6<0 的解集是x>2.
A(0，6)
B(2，0)
典型例题
【例2】画出函数y= 2x+3的图象，结合图象：求不等式组
3≤ 2x+3≤7的解集.
x
y
y= 2x+3
直线y= 2x+3在直线y= 3与y=7之间的部分所对应的x的取值范围
( 2，7)
(3， 3)
解：∵y= 2x+3，
∴当y= 3时，x=3；当y= 7时，
x= 2.
结合函数的图象，可得不等式组
3≤ 2x+3≤7的解集是 2≤x≤2.
随堂练习
1 . 画出一次函数y= 2x 6的图象，结合图象求：
x
y
y= 2x 6
〔1〕x 时，y=0；
〔2〕x 时，y>0；
〔3〕x 时，y<0；
〔4〕x 时，y>6.
= 3
< 3
> 3
< 6
随堂练习
2 . 直线y=ax+b(a≠0)过点A(0，2)，B(1，0)，则关于x的方程ax+b=0的解为(　　).
A. x=0 B. x=2 C. x=1 D. x=3
所求方程的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点横坐标，确定
出解即可．
【分析】
∵直线y=ax+b过B(1，0)，
∴方程ax+b=0的解是x=1，
故选：C．
C
随堂练习
3 .如图，一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)与正比例函数y=ax(a为常数，且a≠0)的图象相交于点P，则不等式kx+b ax的解集是 .
O
2
1
x
y
P
y=kx+b
y=ax
【解析】
解决此类问题一般不求函数的解析式，
而是根据不等式找到对应部分的图象，
进而确定自变量的取值范围.
不等式kx+b ax的解集

求一次函数
y=kx+b的图象在y=ax的上方时，所对
应的x的取值范围.
x 2
一次函数与方程
、不等式
一次函数与一元一次方程的关系
一元一次方程ax+b=0的解
从“函数值”看
一次函数y=ax+b的函数值为0时x的值.
从“函数图象”看
直线y=ax+b(a≠0)与x轴交点的横坐标.
一次函数与一元一次不等式的关系
一元一次方程ax+b 0(或 0)的解
从“函数值”看
从“函数图象”看
一次函数y=ax+b的函数值大(小)于 0时，
x的取值范围.
直线y=ax+b(a≠0)在x轴上(下)方的部分所
对应的x的取值范围.
教科书第45页练习
再见