13.2 命题与证明（共78张PPT）2025年秋沪科版八年级数学上册

(共78张PPT)
13.2 命题与证明
第 1 课时
学习目标
命
题
准备好了吗？一起去探索吧！
1.理解定义、命题、真命题、假命题的意义，会区分命题的条件与结论.
2.通过具体实例，了解原命题及其逆命题的意义，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
3.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的.
4.初步感受感性认识与理性认识的不同，体会数学的严谨性.
思考
观察下列语句，它们有什么特征？
①无限不循环小数称为无理数.
②不在同一条直线上的三条线段首尾依次相连所组成的封闭图形叫作三角形.
③三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
你还能举出类似的语句吗？试着说一说.
明确所知对象的范围
揭示了对象的特征性质.
像这样能明确界定某个对象含义的语句叫做定义.
回顾
在学习“三角形中角的关系”时，得到“三角形的内角和等于180°”，你还记得怎样得到的吗？
折叠法
剪拼法
度量法
对于上面的结果，你有什么想法吗？
思考
针对前面得到的结果，有一些同学提出了以下疑问：
(1)在剪拼时，发现三个内角难以拼成一个平角，只是接近180°的某个值；
(2)度量三个角，然后相加，有的接近179°，有的接近181°，不是很准确地都得180°.
你能回答上面的问题吗？
在学习几何时，需要观察和实验，同时也需要学会推理.
思考
推理是一种思维活动.人们在思维活动中，常要对事物的情况作出种种判断.判断是通过语言来表达的，例如：
(1)北京是中华人民共和国的首都；
(2)如果∠1与∠2是对顶角，那么∠ 1= ∠ 2；
(3)1+1<2；
(4)如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数，那么这个数能被3整除.
从上面各语句中可以看出，人们对于客观事物的判断可能是正确的，也可能是错误的.
请判断语句的正误
归纳
(1)北京是中华人民共和国的首都；
(2)如果∠1与∠2是对顶角，那么∠ 1= ∠ 2；
(3)1+1<2；
(4)如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数，那么这个数能被3整除.
★像这样，对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题.
★上面判断性语句(1)(2)(4)都是正确的命题，我们称之为真命题；
★(3)是错误的命题，我们称之为假命题.
注意：①命题是表示判断的句子；
②与正误无关；
③命题有真假.
做一做
1. 判断下列语句是否为命题？
(1)你写完作业了吗？
(2)欢迎前来参观！
(3)以点O为圆心、3cm长为半径画弧.
没有给出判断，是个疑问句.
没有给出判断，是个感叹句.
没有给出判断，是个祈使句.
像这样对某一事件的对错没有给出任何判断就不是命题.
因此，疑问句、感叹句、祈使句都不是命题.
做一做
2. 判断下列语句是否为命题？
(1)如果一个三角形的三边相等，那么这个三角形是等边三角形；
(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
(3)如果一个数是正数，那么这个数有两个平方根.
这些语句有什么共同特点吗？
做一做
2. 判断下列语句是否为命题？
(1)如果一个三角形的三边相等，那么这个三角形是等边三角形；
(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
(3)如果一个数是正数，那么这个数有两个平方根.
命题都可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.
这些语句有什么共同特点吗？
条件
结论
“如果……那么……”可省略不写，如：对顶角相等.
思考
把条件设为“p”，结论设为“q”，你能写出一个命题吗？
如果p，那么q
(或若p，那么q)
把条件设为“q”，结论设为“p”
如果q，那么p
(或若q，那么p)
原命题
逆命题
这样的两个命题称为互逆命题
原命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题吗？
思考
写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假.
(1)同位角相等，两直线平行；
(2)等角的余角相等；
(3)如果a=b，则a2=b2.
解：(1) 两直线平行，同位角相等.
(2)如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等.
(3)如果a2=b2 ，那么a=b.
真命题
真命题
假命题
例如：当a = –3，b = 3时，满足a2=b2 ，但是a≠b.
反例
归纳
当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.
讨论：我们如何判断一个命题的真假？
反例：符合命题条件，但不符合命题结论的例子.
要判断一个命题是真命题需要推理论证；要判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可.
典型例题
例1 指出下列命题的条件与结论：
(1)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行；
(2)如果∠A=∠B，那么∠A的补角与∠B的补角相等.
解析：从形式上看，能写成“如果……，那么……”的形式，且其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.
典型例题
例1 指出下列命题的条件与结论：
(1)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行；
(2)如果∠A=∠B，那么∠A的补角与∠B的补角相等.
解：(1)条件：两条直线都平行于同一条直线，
结论：两条直线平行.
(2)条件：∠A=∠B，
结论：∠A的补角与∠B的补角相等.
典型例题
例2 写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命题的真假，如果是假命题，请举一个反例：
(1)内错角相等，两直线平行；
(2)如果a=0，那么ab=0.
解析：逆命题就是“把原命题的条件作为结论，把原命题的结论
作为条件”进行改写.
解：(1)两直线平行，内错角相等.
(2)如果ab=0，那么a=0.
例2 写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命题的真假，如果是假命题，请举一个反例：
(1)内错角相等，两直线平行；
(2)如果a=0，那么ab=0.
真命题
假命题
反例，当a=1，b=0时，ab=0.
典型例题
抢答
随堂练习
1.把下列命题写出“如果p，那么q”的形式：
(1)两条直线相交，只有一个交点；
(2)直线AB⊥直线CD，交点为O，有∠AOC=90°.
(3)两直线平行，同位角相等；
(4)等角的补角相等.
解：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点.
(2)如果直线AB⊥直线CD，交点为O，那么有∠AOC=90°.
(3)如果两直线平行，那么同位角相等.
(4)如果两个角相等，那么它们的补角相等.
抢答
随堂练习
2.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例：
(1)若|a|=|b|，则a=b；
(2)如果ab>0，那么a，b都是正数；
(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
(4)两条直线与第三条直线相交，同位角相等.
真命题
假命题
假命题
假命题
反例：(1)当a = –1，b = 1时，满足|a|=|b|，但是a≠b.
(2)当a = –2，b = –3时，满足ab>0，但此时a，b都是负数.
(4)如右图.
a
b
l
命
题
命题的概念：
真假命题：
对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题.
判断性语句是正确的命题，我们称之为真命题；
判断性语句是错误的命题，我们称之为假命题.
互逆命题：
若原命题是“如果p，那么q”，则逆命题是“如果q，那么p”.
注：①命题是表示判断的句子；②与正误无关；③命题有真假.
注：①成对出现；②原命题是真命题，逆命题不一定是真命题.
定义的概念：
能明确界定某个对象含义的语句叫做定义.
教科书第75页练习
13.2 命题与证明
第 2 课时
学习目标
命题的证明
准备好了吗？一起去探索吧！
1.理解和掌握定理的概念，了解证明(演绎推理)的概念.
2.了解证明的基本步骤和书写格式.
3.能运用已学过的几何知识证明一些简单的几何问题.
4.通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的探索精神，培养学习数学的兴趣.
情境引入
考考你的眼力！
横向的线都是互相平行的吗？
这些横向的线都是互相平行的！
其实一个黑色的点都
没有！
情境引入
考考你的眼力！
你能看到几个黑色的点？
其实这两条线段一样长！
情境引入
考考你的眼力！
这两条线段哪条长？
因此，判断一个结论是否正确，仅靠观察、猜想、实验还不够；
必须有有根有据的推理过程才能确定.
论证几何，源于希腊数学家欧几里得的《原本》，这部著作可以说是数学史上第一座理论丰碑，它确立了数学中公理化的演绎范式.
要求：
★每个真命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论；
★所有推理的原始共同出发点是一些基本的定义和基本事实.
如：“对顶角相等”“同角的补角相等”等.
从“基本事实”出发
从“其它真命题”出发
交流
可以用定义和基本事实作为推理的出发点，去判断其他命题的真假.
基本事实
同位角相等，两直线平行.
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行.
从基本事实或其它真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫作定理.
需要判断
归纳
命题的正确性
已知条件
定义、事实、已证定理
经过证明的真命题叫定理
★从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法).
★演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明.
思考
探究
请你试着证明“内错角相等，两直线平行”
已知：如图，直线c与直线a，b相交，且∠1=∠2.
求证：a∥b.
分析：①已知∠1=∠2；
②∠1=∠3(对顶角相等)；
③学过的判断平行的依据“同位角相等，两直线平行”.
1
2
3
c
a
b
探究
请你试着证明“内错角相等，两直线平行”
已知：如图，直线c与直线a，b相交，且∠1=∠2.
求证：a∥b.
证明：
又因为∠1=∠3，(对顶角相等)
因为∠1=∠2，(已知)
所以∠2=∠3.(等量代换)
所以a∥b.(同位角相等，两直线平行)
证明过程
“因为”简写为“∵”
“∵”读作“因为”；
“所以”简写为“∴”
“∴”读作“所以”.
1
2
3
c
a
b
探究
请你试着证明“内错角相等，两直线平行”
已知：如图，直线c与直线a，b相交，且∠1=∠2.
求证：a∥b.
证明：
又∵∠1=∠3，(对顶角相等)
∵∠1=∠2，(已知)
∴∠2=∠3.(等量代换)
∴a∥b.(同位角相等，两直线平行)
更简单了！
“因为”简写为“∵”
“∵”读作“因为”；
“所以”简写为“∴”
“∴”读作“所以”.
1
2
3
c
a
b
证明命题的一般步骤
归纳
①理解题意：分清命题的条件(已知)、结论(求证)；
②根据前边的分析，写出已知、求证，并画出图；
③分析因果关系，找出证明途径；
④有条理地写出证明过程.
注意数学符号的运用！
典型例题
例1 已知：如图，∠AOB+∠BOC=180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.
求证：OE⊥OF.
分析：要证明的是OE⊥OF，只要能得到∠1+∠2=90°即可.
已知：① ∠AOB+∠BOC=180°.
② OE平分∠AOB， 即∠1=∠AOB；
③OF平分∠BOC，即∠2=∠BOC.
A
C
O
B
E
F
2
1
典型例题
例1 已知：如图，∠AOB+∠BOC=180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.
求证：OE⊥OF.
证明：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，(已知)
∴∠1=∠AOB，∠2=∠BOC.(角平分线的定义)
又 ∵∠AOB+∠BOC=180°，(已知)
∴∠1+∠2=∠AOB+∠BOC=90°.(等式性质)
∴OE⊥OF.(垂直的定义)
A
C
O
B
E
F
2
1
典型例题
例2 已知：如图，直线b∥c，a⊥b.
求证：a⊥c.
证明：
∵ a⊥b，(已知)
∴∠1=90°. (垂直的定义)
∵b∥c ，(已知)
∴∠1=∠2. (两直线平行，同位角相等)
∴∠2=∠1=90°. (等量代换)
∴ a⊥c. (垂直的定义)
1
2
b
c
a
关键是得到∠2等于90°.
抢答
随堂练习
在下列各题的括号内，填上推理的依据：
1.已知：如图，点B，A，E在一条直线上，∠1=∠B.
求证：∠C=∠2.
1
2
A
B
C
E
D
证明：
∴AD∥BC.( )
∵∠1=∠B，( )
∴∠C=∠2.( )
已知
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
抢答
随堂练习
在下列各题的括号内，填上推理的依据：
2.已知：如图，∠1=∠2.
求证：AB∥CD.
证明：
∴∠1=∠3.( )
∵∠1=∠2，( )
∴AB∥CD.( )
又∵∠2=∠3，( )
2
3
1
E
B
D
A
C
F
已知
对顶角相等
等量代换
同位角相等，两直线平行
命题的证明
定理：
演绎推理：
从基本事实或其它真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫作定理.
从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法).
证明：
演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明.
教科书第77页练习
13.2 命题与证明
第 3 课时
学习目标
三角形内角和定理的证明
准备好了吗？一起去探索吧！
1.了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处.
2.掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用.
3.理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2.
4.经历三角形内角和定理的推理证明过程，培养学生勇于探索、合作交流的精神，培养学习数学的兴趣，感悟逻辑推理的数学价值.
回顾
回顾一：回想一下证明的一般步骤是什么？
①理解题意：分清命题的条件(已知)、结论(求证)；
②根据前边的分析，写出已知、求证，并画出图；
③分析因果关系，找出证明途径；
④有条理地写出证明过程.
回顾
你能证明一下这个定理吗？
三角形的内角和等于180°.
回顾二：三角形的内角和定理是什么？
追问：我们当时是怎样验证的？
测量法、拼剪法、折叠法.
都不是证明
请你试着证明“三角形的内角和等于180°”
已知：△ABC，如图.
求证：∠A+ ∠B+∠C=180°.
分析：你通过拼剪、折叠、测量的过程中受到什么启发吗？
不管是折叠，还是拼剪，最终都是把三个角拼在一起得到180°.
你现在知道怎么用证明的方法证明了吗？
B　
A　
C　
探究
请你试着证明“三角形的内角和等于180°”
已知：△ABC，如图.
求证：∠A+ ∠B+∠C=180°.
分析：你通过拼剪、折叠、测量的过程中受到什么启发吗？
B　
A　
C　
B　
A　
C　
1　
2　
∠1=∠C　
∠2=∠B　
探究
通过转换，把三角形的3个角拼到一起，形成一个平角.
请你试着证明“三角形的内角和等于180°”
已知：△ABC，如图.
求证：∠A+ ∠B+∠C=180°.
B　
A　
C　
2　
1　
证明：如图，过点A作直线l平行于BC，
则∠1=∠C，∠2=∠B，(两直线平行，内错角相等)
l　
且∠1+∠2+∠BAC=180°.
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.(等量代换)
你还有其它的证明方法吗？
探究
请你试着证明“三角形的内角和等于180°”
已知：△ABC，如图.
求证：∠A+ ∠B+∠C=180°.
B　
A　
C　
2　
1　
证明：如图，延长BC到D，以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B，
则CE∥BA.(同位角相等，两直线平行)
E　
∴ ∠A=∠1.(两直线平行，内错角相等)
∵B、C、D在同一条直线上，(所作)
D　
∴∠1+∠2+∠ACB=180°.
∴∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°.
为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线.
探究
(虚线)
思考
★问题一：在△ABC中，∠C=90°，求：∠A+∠B的度数.
由此你能得到什么结论？
直角三角形的两个锐角的和是90°.
解：在△ABC中，
根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°，
又∠C=90°，
∴ ∠A+∠B=180°–∠C=180°–90°=90°.
直角三角形的两锐角互余.
像这样，由基本
事实、定理直接得出的
真命题叫作推论.
推论 1：
思考
★问题二：在△ABC中，∠A+∠B=90°，求：∠C的度数.
由此你能得到什么结论？
解：在△ABC中，
根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°，
又∠A+∠B=90°，
∴ ∠C =180°–(∠A+∠B)=180°–90°=90°.
推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
在△ABC中，
(1)∠C=90°，∠A=30°，则∠B= ；
(2)∠A=50°，∠B=∠C，则∠B= ；
(3)∠A–∠C=25°，∠B–∠A=10°，则∠B= ；
(4)∠A+∠B=90°，则△ABC是 三角形.
做一做
60°
65°
75°
直角
全班作答
典型例题
例1 如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
分析：要计算的是∠D的大小，只要知道它所在三角形中的其它两个角的和即可.
已知：① DE⊥AB，即∠DEB=∠FEA＝90°；
②∠A＝30°；
③ ∠FCD＝80°.
典型例题
例1 如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°.
在△AEF中，∵∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
在△CDF中，∵∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∴∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°.
还可以在△BDE中求∠D的大小.试一试吧！
例2 如图，在△ABC中， ∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．
典型例题
分析：要计算的是∠ADB的大小，只要知道它所在三角形中的其它两个角的和即可.
已知：①∠BAC＝40°；
②∠B＝75°；
③由“AD是△ABC的角平分线”，易得∠CAD=∠BAD.
典型例题
例2 如图，在△ABC中， ∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=40 °，
∴∠BAD=∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°–∠B–∠BAD
=180°–75°–20°
=85°.
典型例题
【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°–∠A–∠B＝60°.
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝∠ACB＝30°.
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝30°.
在△BDC中，∠BDC＝180°–∠B–∠BCD=80°.
归纳
基本图形
由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.
3　
1　
2
4
A　
B　
C　
D　
E　
3　
1　
2
4
A　
B　
C　
D　
3　
2　
1　
4
A　
B　
C　
D　
E　
A　
B　
C　
D　
E　
抢答
随堂练习
A　
B　
C　
D　
E　
1.补充完整下列证明，并填上推理的依据：
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：过点A作DE∥BC，
则 ∠DAB= ，( )
∠EAC= ，( )
∵ ∠DAB+∠BAC+∠EAC= ，(所作)
∴ ∠B+ ∠BAC+∠C= + + ( )
=180°.( )
∠B
两直线平行，内错角相等
∠C
两直线平行，内错角相等
180°
∠DAB
∠BAC
∠EAC
等量代换
平角的定义
抢答
随堂练习
2.补充完成下列证明：
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：D是BC边上一点，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC，AB于点E，F.
∵DE∥AB，(所作)
A　
B　
C　
D　
E　
F　
3　
1　
2　
∴∠B=∠3.(两直线平行，同位角相等)
∵DF∥AC，(所作)
∴∠C=∠1.(两直线平行，同位角相等)
又 ∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.(等量代换)
三角形内角和定理的证明
三角形内角和定理：
三角形内角和定理推论1：
三角形的内角和等于180°.
直角三角形的两锐角互余.
三角形内角和定理推论2：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
教科书第80页练习
13.2 命题与证明
第 4 课时
学习目标
三角形的外角
准备好了吗？一起去探索吧！
1.理解并掌握三角形的外角的概念，能在较复杂的图形中找出外角.
2.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角形的内角和.
3.会利用三角形的外角性质解决问题.
4.通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学思想方法，培养主动探索、勇于发现，敢于实践及合作交流的习惯.
情境引入
在下图中，你能找到几个角(除了平角)？它们有什么区别？
A
B
C
1　
2　
有4个角：∠A，∠B，∠1，∠2.
其中∠A，∠B，∠1都在△ABC内部，都是△ABC的内角.
那∠2呢？
2　
A
B
C
1　
归纳
像这样由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，
叫作三角形的外角.
如：∠2就是△ABC的一个外角.
①顶点在三角形的一个顶点上;
②一条边是三角形的一条边;
③另一条边是三角形的某条边的延长线.
特点：
画一个三角形，并画出它的所有外角.请你动手试一试，并想一想一个三角形的外角有多少个？
★一个三角形有6个外角.
操作
★每个顶点处有2个外角.
每个顶点处的两个外角有什么关系吗？
★每个顶点处的2个外角相等.
交流
如图，△ABC的外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B有怎样的关系？尝试给出证明，并与同学交流.
A
B
C
D
提示：还记得我们证明三角形内角和
定理时是怎样添加辅助线的吗？
E
延长BC至D点，并过点C作CE∥AB.
∠ACD=∠A+∠B
证明：延长BC至D点，并过点C作CE∥AB.
则有∠B=∠ECD，(两直线平行，同位角相等)
∠A=∠ACE，(两直线平行，内错角相等)
又∠ECD+∠ACE=∠ACD，
∴∠ACD=∠A+∠B.(等量代换)
归纳
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
如：∠ACD=∠A+∠B.
A
B
C
D
这三个角之间还有其它的关系吗？
交流
如图，△ABC的外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B有怎样的关系？尝试给出证明，并与同学交流.
A
B
C
D
∠ACD=∠A+∠B
这三个角之间还有其它的关系吗？
①∠ACD ∠A(填“＞”“＜”)
②∠ACD ∠B(填“＞”“＜”)
＞
＞
归纳
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
A
B
C
D
这个外角和它相邻的内角又有什么关系呢？
∠ACB+∠ACD=180°，即∠ACB与∠ACD互补.
求下列各图中∠α的度数.
做一做
α
120°
35°
α
45°
50
α
25°
35°
α
45°
20°
35°
∠α=85°
∠α=95°
∠α=60°
∠α=30°
典型例题
例 已知：如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角.
求证：∠1+∠2+∠3=360°.
分析：要证的是∠1+∠2+∠3=360°.
已知：①∠1，∠2，∠3是△ABC的三
个外角；
②根据三角形内角和定理知道3个内角
的和是180°；
③三角形的每个外角等于与它不相邻
的两个内角的和.
B
A
C
1
2
3
证明：∠1=∠ABC+∠ACB，
∠2=∠BAC+∠ACB，
∠3=∠BAC+∠ABC，
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
∴∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).(等式性质)
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，(三角形内角和定理)
∴∠1+∠2+∠3=360°.
典型例题
例 已知：如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角.
求证：∠1+∠2+∠3=360°.
B
A
C
1
2
3
归纳
总结：三角形的外角和等于360°.
如：∠1+∠2+∠3=360°.
B
A
C
1
2
3
通常把一个三角形每个顶点处的一个外角的和叫作三角形的外角和.
抢答
随堂练习
B
A
C
D
E
1.填空：
1
110°
(1)如图，∠ABC= ，∠1= ；
(2)在直角三角形中，与直角相邻的外角的度数是 .
50°
130°
60°
90°
抢答
随堂练习
2.如图，P是△ABC内任一点，连接BP并延长交AC于点D，连接CP，用不等号“＞”或“＜”表示∠A，∠1，∠2的大小关系，并说明理由.
解：∠1＞∠2＞∠A.
2
1
B
A
C
理由如下：
对于△ABD，∠2是它的一个外角，
D
P
又∠A是与∠2不相邻的一个内角，
∴∠2＞∠A.
对于△PCD，∠1是它的一个外角，
又∠2是与∠1不相邻的一个内角，
∴∠1＞∠2.
∴∠1＞∠2＞∠A.
三角形的外角
三角形内角和定理推论3：
三角形内角和定理推论4：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
三角形的外角和：
三角形的外角和等于360°.
教科书第82页练习