14.2 三角形全等的判定（共104张PPT）2025年秋沪科版八年级数学上册

(共104张PPT)
14.2.1
学习目标
三
角
形
全
等
的
判
定
-
SAS
准备好了吗？一起去探索吧！
1.理解并掌握判定两个三角形全等“边角边”判定定理.
2.在探究“边角边”判定定理的过程中，能进行有条理的思考.
3.通过学习以上内容，培养严谨的分析能力，体会几何学的应用价值．
4.通过探究对给定的两边及一角来确定三角形的形状和大小是否唯一这一过程，培养学生分析问题、解决问题的能力.
情境引入
飞飞不小心把家里的一块三角形玻璃打碎了，他想在网上订购一块一模一样的，那他需要向商家提供哪些数据呢？
需要提供所有角的角度和边的长度吗？
已知△ABC≌△A′B′C′，请你写出对应相等的边和角.
做一做
A
B
C
A′
B′
C′
对应相等的边：AB=A′B′，
BC=B′C′，
AC=A′C′.
对应相等的角：∠A=∠A′，
∠B=∠B′，
∠C=∠C′.
思考：满足这六个条件可以保证△ABC≌△A′B′C′吗？
能
操作
三角形有六个基本元素(三条边和三个角)，只给定其中的一个元素或两个元素，能够确定一个三角形的形状和大小吗？通过画图，说明你的判定.
1.只给定一个元素：
(1)一条边；
(2)一个角.
不能确定！
操作
三角形有六个基本元素(三条边和三个角)，只给定其中的一个元素或两个元素，能够确定一个三角形的形状和大小吗？通过画图，说明你的判定.
2.只给定两个元素：
(1)两条边；
(2)一条边一个角；
不能确定！
(3)两个角.
还需要增加什么条件呢？
探究
1.如图，把圆规平放在桌面上，在圆规的两脚上各取一点A，C，自由转动其中一角，△ABC的形状、大小随之改变.那么还需要增加什么条件才可以确定△ABC的形状、大小呢？
A
B
C
给定边AC……
给定夹角α……
他们说的对吗？你是怎样想的呢？
至少需要知道3个元素
探究
2.如图，把两块三角尺的一条直角边放在同一条直线l上，其中∠B，∠C已知，并记两块三角尺斜边的交点为A.沿着直线l分别向左右移动两个三角尺，△ABC的大小随之改变，这直观地说明一个三角形，只知道两个角，这个三角形是不确定的，那么还需要增加什么条件才可以使△ABC确定呢？
A
B
C
l
给定边BC……
给定边AC或AB……
至少需要知道3个元素
归纳
确定一个三角形的大小和形状，至少需要知道3个元素.
确定一个三角形需要几个元素呢？
确定三角形的形状、大小的条件能否作为判定三角形全等的条件呢？
操作
已知：△ABC.
求作：△A'B'C'，使A'B'=AB，∠B'=∠B，B'C'=BC.
(2)在射线B′M上截取B′A′=BA，在B′N上截取B′C′=BC；
B′
A′
C′
作法：
(3)连接A′C′．
(1)作∠MB′N=∠B；
M
N
B
C
A
则△A'B'C' 就是所求作的三角形．
将所作的△A'B'C'与△ABC叠一叠，看看它们能否完全重合？由此你能得到什么结论？
B′
A′
C′
M
N
B
C
A
完全重合
结论
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．
操作
基本事实
思考
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？
A
B
C
D
A
B
C
D
两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形
不一定全等.
归纳
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简记为“边角边”或“SAS”.
几何语言:
如图，在△ABC与△A'B'C'中：
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS).
AB=A'B'，
∠A=∠A'，
AC=A'C'，
注意：两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
B′
A′
C′
B
A
C
典型例题
A
B
C
D
例1 已知：如图，AD∥CB，AD=CB.
求证：△ADC≌△CBA.
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
证明：∵AD∥CB，(已知)
∴∠DAC=∠BCA.(两直线平行，内错角相等)
在△ADC和△CBA中，
AD=CB，(已知)
∠DAC=∠BCA，(已证)
AC=CA，(公共边)
∵
∴△ADC≌△CBA.(SAS)
SAS
典型例题
例2 如图，在湖泊的岸边有A，B两点，难以直接量出A，B两点间的距离.你能设计一种量出A，B两点之间距离的方案吗？说明你这样设计的理由.
分析：要计算的是A，B两点之间的距离，目前无法直接测量，需要把A，B两点之间的距离进行转换，间接进行求解.
如果能够证明△ABC≌△A'B'C'，就可以得出A'B'=AB.
典型例题
例2 如图，在湖泊的岸边有A，B两点，难以直接量出A，B两点间的距离.你能设计一种量出A，B两点之间距离的方案吗？说明你这样设计的理由.
解：在岸上取能直接到达A，B的一点C，连接AC，延长AC到点A'，使A'C=AC；连接BC，延长BC到点B'，使B'C=BC.连接A'B'，量出A'B'的长度，就是A，B两点间距离.
理由：在△ABC和△A'B'C'中，
AC= A'C' ，(已知)
∠ACB=∠A'CB'，(对顶角相等)
BC=B'C'，(已知)
∵
∴△ABC≌△A'B'C'.
∴A'B'=AB.(全等三角形对应边相等)
抢答
随堂练习
1.如图，AD＝AE，若利用“SAS”证明△ABE和△ACD全等，则需要添加的条件是( )
A.AB＝AC
B.∠B＝∠C
C.∠AEB＝∠ADC
D.∠A＝∠B
A
抢答
2.如图，已知：AC=AD，且AB平分∠CAD，则利用( )可证明△ABC和△ABD全等.
A.SAS
B.ASA
C.SSA
A
随堂练习
A
B
C
D
抢答
3.如图，已知AB=AC，点D，E分别是AB和AC上的点，且DB=EC.求证:∠B=∠C.
随堂练习
证明:
∵AB=AC，DB=EC，(已知)
∴AD=AE.(等式性质)
在△ABE和△ACD中，
∴ △ABE≌△ACD(SAS)
∴∠B=∠C.(全等三角形的对应角相等)
三
角
形
全
等
的
判
定
-
SAS
三角形全等的判定-SAS：
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
简记为“边角边”或“SAS”.
几何语言:
如图，在△ABC与△A'B'C'中：
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS).
AB=A'B'，
∠A=∠A'，
AC=A'C'，
B′
A′
C′
B
A
C
注意：两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
教科书第97页练习
14.2.2
学习目标
准备好了吗？一起去探索吧！
1.理解并掌握判定两个三角形全等“角边角”判定定理.
2.在探究“角边角”判定定理的过程中，能进行有条理的思考.
3.通过学习以上内容，培养严谨的分析能力，体会几何学的应用价值．
4.通过探究对给定的两角及夹边来确定三角形的形状和大小是否唯一这一过程，培养学生分析问题、解决问题的能力.
三
角
形
全
等
的
判
定
-
ASA
到目前为止，可以作为判定两个三角形全等的方法有几种？
回顾
定义
能够完全重合的两个三角形全等.
边角边(SAS)
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
简记为“边角边”或“SAS”
“角边角”呢？
(1)已知：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4 cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？
A
B
C
△ABC即为所求
60°
80°
4 cm
4 cm
60°
80°
操作
(2)将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等的
60°
80°
4 cm
60°
80°
4 cm
完全重合
它们是全等的！
操作
操作
已知：△ABC.
求作：△A'B'C'，使∠B'=∠B，B'C'=BC ，使∠C'=∠C.
B′
C′
A′
作法
N
(1)作线段B′C′=BC；
(2)在B′C′的同旁分别以B′，C′为顶点作
∠MB′C′=∠B，
∠NC′B′=∠C， B′M，C′N相交于点A′．
M
A
B
C
将所作的△A'B'C'与△ABC叠一叠，看看它们能否完全重合？由此你能得到什么结论？
完全重合
操作
B′
C′
A
B
C
A′
结论
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．
归纳
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简记为“角边角”或“ASA”.
几何语言:
如图，在△ABC与△A'B'C'中：
∴△ABC≌△A'B'C'(ASA).
∠B=∠B'，
BC=B'C'，
∠C=∠C'，
B′
A′
C′
B
A
C
典型例题
例1 已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4.
求证：DB=CB.
A
B
C
D
1
2
3
4
分析：BD和CB分别在△ABD和△ABC
中，所以要证BD=CB，只需证明
△ABD≌△ABC即可.
已知： ∠1=∠2，
由∠3=∠4，可得∠ABD=∠ABC，
AB是两个三角形的公共边.
典型例题
例1 已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4.
求证：DB=CB.
A
B
C
D
1
2
3
4
证明：∵∠ABD与∠3互为邻补角，
∠ABC与∠4互为邻补角，(已知)
又 ∵∠3=∠4， (已知)
∴∠ADB=∠ABC.(等角的补角相等).
在△ABD与△ABC中，
∴ △ABD≌△ABC.(ASA)
∴ DB=CB.(全等三角形的对应边相等)
典型例题
例2 已知：如图，要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D(BF在河岸上)，使BC=CD，再过点D作BF的垂线DE，使点A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长等于AB的长，请说明道理.
分析：题目要证明的是AB=DE.
AB和DE分别在△ABC和△EDC中，所以
要证AB=DE，只需证明△ABC≌△EDC.
已知： ∠ABC=∠EDC=90°，(垂直定义)
BC=CD，(已知)
∠ACB=∠ECD.(对顶角相等)
我们在找相等的角时，注意隐含的条件相等的角——对顶角.
典型例题
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，(已知)
∴∠ABC=∠EDC=90°，(垂直定义)
在△ABC和△EDC中，
∴ △ABC≌△EDC.(ASA)
∴ AB=DE.(全等三角形的对应边相等)
例2 已知：如图，要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D(BF在河岸上)，使BC=CD，再过点D作BF的垂线DE，使点A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长等于AB的长，请说明道理.
抢答
随堂练习
1.如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是( )
A.AAS
B.ASA
C.SAS
D.SSA
B
抢答
随堂练习
2.如图，∠ABC＝∠DCB，只需补充条件________________；就可以根据“ASA”得到△ABC≌△DCB.
∠ACB＝∠DBC
抢答
随堂练习
3.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长.为什么
解：∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠B=∠EDC=90°.
在△ABC和△EDC中，
∴ △ABC≌△EDC(ASA).
∴AB=ED.
三
角
形
全
等
的
判
定
-
ASA
三角形全等的判定-ASA：
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
简记为“角边角”或“ASA”.
几何语言:
如图，在△ABC与△A'B'C'中：
∴△ABC≌△A'B'C'(ASA).
B′
A′
C′
B
A
C
∠B=∠B'，
BC=B'C'，
∠C=∠C'，
教科书第99页练习
14.2.3
学习目标
准备好了吗？一起去探索吧！
1.理解并掌握判定两个三角形全等“边边边”判定定理.
2.在探究“边边边”判定定理的过程中，能进行有条理的思考.
3.通过学习以上内容，培养严谨的分析能力，体会几何学的应用价值．
4.通过探究对给定的三边的长度来确定三角形的形状和大小是否唯一这一过程，培养学生分析问题、解决问题的能力.
三
角
形
全
等
的
判
定
-
SSS
到目前为止，可以作为判定两个三角形全等的方法有几种？
回顾
定义
能够完全重合的两个三角形全等.
边角边(SAS)
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
角边角(ASA)
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
我们继续探究三角形全等的判定方法！
情境引入
日常生活中，常会看到应用三角形稳定性的例子，如下三种情况.
为什么说三角形具有稳定性呢？
操作
拼出的三角形的大小和形状都是一样的！
7 cm
6 cm
5 cm
7 cm
6 cm
5 cm
跟同组小伙伴拼出的三角形比一比，你发现了什么？
请你用如下三根小棒拼一个三角形.
操作
已知：△ABC.
求作：△A'B'C'，使A'B'=AB，B'C'=BC ，使C'A'=CA.
作法：
(1)作线段B′C′=BC；
(2)分别以点B′，C′为圆心，线段AB、AC长为半径画弧，两弧相交于点A′；
(3)连接A′B′，A′C′得△A′B′C′．
A
B
C
B′
M
C′
A′
操作
A
B
C
B′
C′
A′
完全重合
A′′
结论
三边分别相等的两个三角形全等．
将所作的△A'B'C'与△ABC叠一叠，看看它们能否完全重合？由此你能得到什么结论？
归纳
三边分别相等的两个三角形全等.简记为“边边边”或“SSS”.
几何语言:
如图，在△ABC与△A'B'C'中：
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).
AB=A'B'，
AC=A'C'，
BC=B'C'，
B′
A′
C′
B
A
C
想一想
现在你能解释三角形的稳定性了吗？
根据三角形全等的判定定理——边边边，只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定，这个性质叫作三角形的稳定性.
请你再照样举一些生活中的例子！
典型例题
例 已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.
求证：AB∥DE，AC∥DF.
E
D
F
B
A
C
分析：要证明线平行，可通过角相等
结合平行线的判定定理证明；
证明角相等可通过三角形全等得到.
“△ABC和△DEF”
已知：AB=DE，AC=DF，
由“BE=CF”得“BE+EC=CF+EC”，
即BC=EF.
我们在找相等的边时，注意隐含的条件相等的边——相等的边之间的差或和.
典型例题
例 已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.
求证：AB∥DE，AC∥DF.
E
D
F
B
A
C
证明：∵BE=CF，(已知)
∴ BE+EC=CF+EC，(等式的性质)
即BC=EF.
在△ABC和△DEF中，
∴ △ABC≌△DEF.(SSS)
∴ ∠B=∠DEF，∠ACB=∠F.(全等三角形的对应角相等)
∴ AB∥DE，AC∥DF.(同位角相等，两直线平行)
抢答
随堂练习
1.在下图中找出全等三角形.
(1)和(10)
(2)和(6)
(3)和(5)
(4)和(8)
(7)和(9)
边边边
边角边
角边角
抢答
随堂练习
2.如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架.求证△ABD≌△ACD.
我们在找相等的边时，注意隐含的条件相等的边——公共边.
证明:
∵D是BC的中点，
∴BD=CD.
在△ABD和≌△ACD中，
AB=AC，(已知)
BD=CD，(已证)
AD＝AD，(公共边)
∴ △ABD≌△ACD(SSS).
抢答
随堂练习
3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC.点D，E在BC上，且AD=AE，
BE=CD.求证：△ABD≌△ACE.
E
D
B
A
C
证明：∵BE=CD，(已知)
∴ BE–DE=CD–DE，(等式的性质)
即BD=CE.
在△ABD和△ACE中，
∴ △ABD≌△ACE.(SSS)
三
角
形
全
等
的
判
定
-
SSS
三角形全等的判定-SSS：
三边分别相等的两个三角形全等.
简记为“边边边”或“SSS”.
几何语言:
如图，在△ABC与△A'B'C'中：
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).
B′
A′
C′
B
A
C
AB=A'B'，
BC=B'C'，
AC=A'C'，
找相等的边：
相等的边之间的差或和
公共边
教科书第102页练习
14.2.4
学习目标
准备好了吗？一起去探索吧！
三
角
形
全
等
的
判
定
-
AAS
1.理解并掌握判定两个三角形全等“角角边”判定定理.
2.在探究“角角边”判定定理的过程中，能进行有条理的思考.
3.通过学习以上内容，培养严谨的分析能力，体会几何学的应用价值．
4.通过探究对给定的两角和其中一角的对边来确定三角形的形状和大小是否唯一这一过程，培养学生分析问题、解决问题的能力.
定义
能够完全重合的两个三角形全等.
边角边(SAS)
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
回顾
到目前为止，可以作为判定两个三角形全等的方法有几种？
边边边(SSS)
三边分别相等的两个三角形全等.
角边角(ASA)
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
想一想，还有其它的判定方法吗？
回顾
三角形有 个基本元素，确定一个三角形的大小和形状，至少需要知道 个元素.
从六个元素中任意选三个元素对应相等，除了SAS，ASA，SSS外，还可以配成 .
你能判定这三种情况的三角形全等吗？
六
三
AAA，SSA，AAS
思考
AAA
SSA(其中一边的对角)
AAS(其中一角的对边)
你能判定这三种情况的三角形全等吗？
不全等
不全等
60°
60°
60°
60°
60°
60°
全等
△ABC与△ABD
B
C
A
D
由三角形内角和是180°，可将AAS转化成ASA.
请你试着写一下证明过程！
探究
证明：
∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°，
且∠A=∠D，∠B=∠E，
∴∠A+∠B=∠D+∠E.
∴∠C=∠F.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(ASA).
已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
利用“ASA”证明
两个三角形全等.
归纳
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简记为“角角边”或“AAS”.
几何语言:
如图，在△ABC与△A'B'C'中：
∴△ABC≌△A'B'C'(AAS).
∠A=∠A'，
∠B=∠B'，
BC=B'C'，
B′
A′
C′
B
A
C
思考
“ASA”与“AAS”的区别与联系是什么？
角边角(ASA)
角角边(AAS)
这里的“S”指的是两角的夹边.
这里的“S”指的是其中一角的对边.
联系：由三角形内角和定理可知，“ASA”与“AAS”可相互转化.
注意：书写的时候，一定不要把顺序弄错“ASA”与“AAS”.
典型例题
例 已知：如图，点B，F，C，D在一条直线上，AB=ED，AB∥ED，
AC∥EF.求证：△ABC≌△EDF.
F
D
E
B
A
C
分析：要证的是“△ABC≌△EDF”，
已知两个三角形中一组对应边相等，
再找到两组对应边相等，
或者两组对应角相等即可.
典型例题
例 已知：如图，点B，F，C，D在一条直线上，AB=ED，AB∥ED，
AC∥EF.求证：△ABC≌△EDF.
F
D
E
B
A
C
证明：∵ AB∥ED，AC∥EF，(已知)
∴∠B=∠D，∠ACB=∠EFD.
(两直线平行，内错角相等)
在△ABC与△EDF中，
∴ △ABC≌△EDF.(AAS)
还可以根据
“ASA”进行证明，
请你试一试！
抢答
随堂练习
1.如图，已知∠ABC＝∠DCB，只需补充条件__________________；
就可以根据“AAS”得到△ABC≌△DCB.
A
B
C
D
答案不唯一！
∠A=∠D
抢答
随堂练习
2.分别写出下列两题中符合已知条件的全等三角形，并说明全等的依据.
(1)已知：如图，点C在BD上，∠B=∠D=90°，且AB=CD，∠1=∠E；
(2)已知：如图，AB=DB，BC=BE，∠ABC=∠DBE.
(1)
D
E
B
A
C
(2)
D
E
B
A
C
1
抢答
随堂练习
2.分别写出下列两题中符合已知条件的全等三角形，并说明全等的依据.
(1)已知：如图，点C在BD上，∠B=∠D=90°，且AB=CD，∠1=∠E；
解：△ABC≌△DCE.
(1)
D
E
B
A
C
(AAS)
1
抢答
随堂练习
2.分别写出下列两题中符合已知条件的全等三角形，并说明全等的依据.
(2)已知：如图，AB=DB，BC=BE，∠ABC=∠DBE.
(2)
D
E
B
A
C
解：△ABC≌△DBE.
(SAS)
三
角
形
全
等
的
判
定
-
AAS
三角形全等的判定-AAS：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
简记为“角角边”或“AAS”.
几何语言:
如图，在△ABC与△A'B'C'中：
∴△ABC≌△A'B'C'(AAS).
B′
A′
C′
B
A
C
判断三角形全等的方法：
SAS
定义
ASA
SSS
AAS
∠A=∠A'，
∠B=∠B'，
BC=B'C'，
教科书第104页练习
14.2.5
第1课时
学习目标
两个直角三角形全等的判定
准备好了吗？一起去探索吧！
1.理解并掌握判定两个直角三角形全等“斜边、直角边”判定定理.
2.在探究“斜边、直角边”判定定理的过程中，能进行有条理的思考.
3.通过学习以上内容，培养严谨的分析能力，体会几何学的应用价值．
4.通过探究对给定的斜边和一直角边来确定直角三角形的形状和大小是否唯一这一过程，培养学生分析问题、解决问题的能力.
情境引入
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
你能帮他想个办法吗？
能
情境引入
方法一：先用直尺量出斜边的长度，再用量角器量出其中一个锐角的大小，若它们对应相等，根据“AAS”可证明两个直角三角形全等.
方法二：先用直尺量出未被遮住的直角边长度，再用量角器量出其中一个锐角的大小，若它们对应相等，根据“ASA”或“AAS”，可以证明这两个直角三角形全等.
ASA
AAS
AAS
已知：如图，Rt△ABC，其中∠C为直角.
求作：Rt△A′B′C′，使∠C′为直角，A′C′= AC，A′B′= AB.
作法：
(1)画∠MC′N=∠C=90°；
(2)在射线C′M上取C′A′=CA；
(3)以A′为圆心、线段AB长为半径画弧，交射线C′N于点B′；
(4)连接A′B′ ．
B′
N
M
A ′
C ′
A
C
B
操作
操作
将画好的Rt△A'B'C'与Rt△ABC叠一叠，看看他们能否完全重合？
A′
N
M
B′
C′
B
C
A
完全重合
总结
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
由此，你能得到什么结论？
归纳
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简记为“斜边、直角边”或“HL”.
几何语言:
如图，在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中：
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).
AB=A'B'，
BC=B'C'，
B
C
A
B′
C′
A′
思考
判定两个直角三角形全等的思路
已知的条件(除直角外) 找第三个条件 判定依据
一直角边对应相等
另一直角边对应相等
SAS
斜边对应相等
HL
一锐角对应相等
ASA或AAS
斜边对应相等
一直角边对应相等
HL
一锐角对应相等
AAS
一锐角对应相等
一边对应相等
ASA或AAS
典型例题
已知：如图，∠BAC=∠CDB=90°，AC=DB.求证：AB=DC.
B
C
A
D
分析：AB和DC分别在△ABC和△DCB
中，所以要证AB=DC，只需证明
△ABC≌△DCB即可.
已知： AC=DB；
由∠BAC=∠CDB=90°，可得△ABC与△DCB都是直角三角形；
BC是两个三角形的公共边.
典型例题
已知：如图，∠BAC=∠CDB=90°，AC=DB.求证：AB=DC.
B
C
A
D
证明：∵∠BAC=∠CDB=90°，(已知)
∴△ABC，△DCB都是直角三角形.
又 ∵AC=DB，(已知)
BC=CB，(公共边)
∴Rt△ABC≌Rt△DCB.(HL)
∴AB=DC.(全等三角形的对应边相等)
注意：利用“HL”判定两三角形全等时，必须都是直角三角形.
抢答
1.在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，有如下几个条件：
①AC=A'C'，∠A=∠A'；②AC=A'C'，AB=A'B'；③AC=A'C'，BC=B'C'；
④AB=A'B'，∠A=∠A'；其中能判定Rt△ABC与Rt△A'B'C'的条件的
个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
随堂练习
ASA
HL
SAS
AAS
D
抢答
随堂练习
2.已知：如图，AC⊥BD于点O，且OA=OC，AB=CD.
求证：AB∥CD.
B
A
D
C
O
证明：∵AC⊥BD于点O，(已知)
∴∠DOC=∠BOA=90°.
又∵OA=OC， (已知)
AB=CD， (已知)
∴Rt△DOC ≌ Rt△BOA.(HL)
∴∠B=∠D. (全等三角形的对应角相等)
∴ AB∥CD. (内错角相等，两直线平行)
抢答
3.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF，求证：AE=DF.
证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，(已知)
∴∠DFC=∠AEB=90°.
又∵CE=BF， (已知)
∴CE – EF=BE – EF，即CF=BE.
又∵CD=AB，
∴Rt△DFC ≌ Rt△AEB.(HL)
∴DF=AE. (全等三角形的对应边相等)
随堂练习
两个直角三
角
形
全
等
的
判
定
三角形全等的判定-HL：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
简记为“斜边、直角边”或“HL”.
注意：利用“HL”判定两三角形全等时，必须都是直角三角形.
几何语言:
如图，在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中：
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).
AB=A'B'，
BC=B'C'，
教科书第106页练习
14.2.5　
第2课时
1.能用两个三角形全等来证明平面图形中角相等，边相等.
2.知道全等三角形中对应的特殊线段(高、中线、角平分线)相等的性质.
3.知道全等三角形周长相等，面积相等.
◎重点:全等三角形的综合应用.
◎难点:全等三角形的特殊性质.
小明画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，如图，他想分别画三个与原来全等的三角形，你认为能做到吗？说说你的理由.
全等三角形的综合应用
阅读教材本课时，解决下列问题.
判定两个三角形全等的思路
全等三角形的特殊性质
阅读课本“例9”的内容，解决下列问题.
揭示概念:全等三角形的对应边相等，对应角相等，面积　 相等 　，周长　相等　；全等三角形的对应边上的高　相等　，中线　相等　；全等三角形的对应角的角平分线　相等　.
相等 　
相等　
相等　
相等　
相等　
学法指导:两个三角形全等是指两个三角形能完全重合，那么它们的对应边上的中线、对应角的角平分线是不是一样能完全重合呢？我们也可以通过教材“例9”中的方法证明全等三角形对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等.
1.如图，△ADC≌△EDC≌△EDB，则∠B的度数为(　B　)
A.20°
B.30°
C.40°
D.45°
B
2. 如图，在四边形ACBO中，AC＝BC，∠A＝∠B＝90°，∠1＝35°，则∠BCA的度数为(　C　)
A.145°
B.130°
C.110°
D.70°
C
全等三角形的应用
1. 如图，△ABC中，AB＝AC，点E在BC上，点D在AE上，有下列说法:①若E为BC中点，则有BD＝CD；②若BD＝CD，则E为BC中点；③若AE⊥BC，则有BD＝CD；④若BD＝CD，则AE⊥BC. 其中正确的有(　D　)
A.①③④ B.②③④
C.①②③ D.①②③④
D
2.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，E为AC上的一动点(不与A重合)，在点E移动过程中BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由.
解:相等.理由如下:
在△ABC和△ADC中，AB＝AD，AC＝AC，BC＝DC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠DAE＝∠BAE，
在△ADE和△ABE中，AB＝AD，∠DAE＝∠BAE，AE＝AE，
∴△ADE≌△ABE(SAS)，∴BE＝DE.
3.证明:若两个锐角三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，则这两个三角形的第三边所对的角相等.
已知:如图，在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，BC＝B'C'，AD、A'D'分别是BC、B'C'上的高，且AD＝A'D'.
求证:∠B＝∠B'.
证明:∵AD、A'D'分别是BC、B'C'上的高，∴∠ADB＝∠A'D'B'＝90°.
在Rt△ABD和Rt△A'B'D'中，AB＝A'B'，AD＝A'D'，
∴Rt△ABD≌Rt△A'B'D'(HL)，∴∠B＝∠B'.
【方法归纳交流】文字题的证明，先要根据题意将文字叙述转化为符号语言，画出图形，写出已知、求证，然后进行证明.
1.如图，在△ABE中，AB＝AE，AD＝AC，∠BAD＝∠EAC，BC、DE交于点O.求证:
(1)△ABC≌△AED；
(2)∠OBE＝∠OEB .
证明:(1)∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD＋∠DAC＝∠EAC＋∠DAC，
即∠BAC＝∠EAD.
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(SAS).
(2)由(1)可知∠ABC＝∠AED，
∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE－∠ABC＝∠AEB－∠AED，
即∠OBE＝∠OEB.
2.如图，已知AD∥BC，∠DAE＝∠BAE，∠ABE＝∠CBE，直线DC过点E交AD于点D，交BC于点C.求证:AD＋BC＝AB.
　
证明:在AB上截取AF＝AD，
则有△ADE≌△AFE，
∴∠D＝∠AFE，又AD∥BC，
有∠D＋∠C＝180°，
又∠AFE＋∠BFE＝180°，
∴∠C＝∠BFE，
在△BCE和△BFE中，
∴△CBE≌△FBE(AAS)，∴BC＝BF，
∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB.