15.3 角的平分线（共45张PPT）2025年秋沪科版八年级数学上册

(共45张PPT)
15.3　角的平分线　
第1课时
1.知道角是轴对称图形，掌握角平分线的尺规作法并会证明它的正确性.
2.掌握过一点作已知直线垂线的尺规作法.
3.增强动手画图的能力，进一步理解尺规作图的准确性.
◎重点:角平分线及垂线的尺规作法.
◎难点:体会尺规作图的意义.
把一块纸片对折，使一个角的两边叠合在一起，把纸片展开后，用量角器量一量由折痕为边的两个角的度数.
角平分线的作法
阅读教材本课时相关内容，回答下列问题.
角是轴对称图形吗？如果是，指出其对称轴.
是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线.
过一点作已知直线的垂线
揭示概念:过一点作已知直线的垂线其实质就是作平角的　角平分线　或作线段的　垂直平分线　.
角平分线　
垂直平分线　
1.下列尺规作图的语句正确的是(　C　)
A.作∠AOB的平分线AC
B.以O为圆心作弧
C.以A为圆心，线段a的长为半径作弧
D.作直线AB的垂直平分线CD
C
2. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(　A　)
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
过一点作已知线的垂线
1.(方法指导:延长线段AB，就是过点P作直线AB的垂线)如图，已知线段AB和一点P，用尺规过点P作AB的垂线PO(保留作图痕迹，不写作法).
解:如图.
作角平分线和垂直平分线
2. 已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图(保留作图痕迹，不要求写作法)，并根据要求填空.
　　(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D；
(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，线段EF与线段BD的关系为 .
解:(1)、(2)题作图如下:由作图可知线段EF与线段BD的关系为互相垂直平分.
已知三角形中的一个角，此角的平分线长，以及这个角的一边长，求作三角形.
已知:∠α，以及线段b、c(b＜c).求作:△ABC，使得∠BAC＝∠α，AB＝c，∠BAC的平分线AD＝b.
解:作法:(1)作∠MAN＝∠α.
(2)作∠MAN的平分线AE.
(3)在AM上截取AB＝c，在AE上截取AD＝b.
(4)连接BD，并延长交AN于点C.
△ABC就是所求作的三角形.(如图)
15.3　角的平分线　
第2课时
1.掌握角平分线的性质及其判定.
2.能利用角平分线的性质及其判定解决几何图形中的问题.
3.知道三角形的三个内角的平分线相交于一点.
4.知道三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等.
◎重点:1.角平分线的性质的性质及其判定.
2.三角形三个内角平分线交点的性质.
◎难点:角平分线的性质及其判定的综合应用.
如图，要在两条公路的中间修建一座加油站，要求选的位置到两条公路的距离相等，请你设计出加油站的位置，并说明你的理由.
角平分线性质定理
阅读教材本课时相关的内容，回答下列问题.
1.揭示概念:角平分线上的点到角两边的距离　相等　.
2.归纳:角平分线的判定定理:　角的内部到角两边距离相等的点　在角的平分线上.
相等　
角的内部到角两边距离相等
的点
1.已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于 E，且DE＝
3 cm，则点D到AC的距离是(　B　)
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm
B
2.已知P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，且PD＝PE，∠AOB＝50°，则∠POE的度数是
(　A　)
A.25° B.50° C.75° D.100°
学法指导:若题中已知角平分线，则过角平分线上的点作两边的垂线是常用的辅助线之一.
A
角平分线的性质
1. 我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD.对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证:OE＝OF.
证明:在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC.
又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE＝OF.
用角平分线性质计算
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝13 cm，AB＝26 cm，BE平分∠ABC，那么CE∶EA＝　1∶2　.
1∶2　
利用角平分线性质定理解决几何问题
3.如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC，求证:AB＋BD＝AC.
　
证明:如图，延长AB到点E，使BE＝BD，连接DE，则∠BDE＝∠BED，
∴AE＝AB＋BD.
∵∠ABD＝2∠BED，∠ABD＝2∠C，
∴∠BED＝∠C.
∵∠1＝∠2，
∴△ADC≌△ADE，AC＝AE，
∴AB＋BD＝AC.
【变式训练】如上题图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＋BD＝AC，求∠B∶∠C的值.
解:辅助线同上，得AE＝AB＋BD.
∵AB＋BD＝AC，∴AE＝AC.
易证△ADC≌△ADE，∠ACD＝∠BED，∴∠ABD＝2∠ACD，即∠ABD∶∠ACD＝2∶1.
如图，上节课我们知道如何在两条公路的中间修建一座加油站，使得加油站到两条公路的距离相等.现在我们将问题进行升级，如何在三条公路的中间，选择一个地点建造加油站，使得加油站到三条公路的距离都相等.
三角形内角平分线交点的性质
揭示概念:三角形三条内角平分线相交于　一　点，这点到三角形三边的距离　相等　.
学法指导:用分割与组合的方式求三角形面积的方法是常见的求面积的途径之一.
一　
相等　
1.如图，D为∠ABC的平分线上一点，P为平分线上异于D的一点，PA⊥BA，PC⊥BC，垂足分别为A，C，则下列结论错误的是(　C　)
A.AD＝CD
B.∠DAP＝∠DCP
C.PD＝BD
D.∠ADB＝∠BDC
C
2. 如图，某市高新开发区有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中新安置一景观照明灯，要求灯到三条马路的距离相等，请你帮助确定灯的位置.
解:图略(提示:做三条马路所形成的夹角中任意两个角的平分线的交点即为灯应安置的地方).
平分线的应用
1. 如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有(　D　)
A.1处 B.2处
C.3处 D.4处
D
2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，求证:AC＋CD＝AB.
　
证明:在AB上截取AE，使AE＝AC，连接DE.
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠1＝∠2.
∴△ACD≌△AED(SAS)，∴CD＝DE，
∠AED＝∠C＝90°.
又∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝45°，
∴DE＝EB，∴AC＋CD＝AE＋DE＝AE＋EB＝AB，即AC＋CD＝AB.
【方法归纳交流】证明一条线段等于两条相等的长，可以从“长”线段中截取一段等于其中一条线段，再证明剩余“部分”与另一条线段相等；也可将两条线段“拼”接在一条线段上，然后证明相等.
3.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F，且BD＝CD.求证:BE＝CF.
证明:∵AD是∠A的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，又∵BD＝CD，∴△BDE≌△CDF(HL).∴BE＝CF.
【变式训练】对于第3题，其他条件不变，若已知BE＝CF，求证:BD＝CD.
证明:∵AD是∠A的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
又∵BE＝CF，∴△BDE≌△CDF(SAS)，
∴BD＝CD.
用角平分线性质解决实际问题
4.如图，有一块三角形的空地，其三边长分别为20 m、30 m、40 m，现在要把它分成面积比为2∶3∶4的三部分，分别种植不同的花.请你设计出一个方案，并说明你的理由.
解:方案:如图，分别作∠C和∠B的角平分线，它们相交于点P，连接PA.则△PAB、△PAC、△PBC的面积之比就是2∶3∶4.
理由:经过点P作PE⊥AB于点E，
PF⊥AC于点F，PH⊥BC于点H.
因为P是∠C和∠B的角平分线上的点，
所以PE＝PF＝PH，
所以S△ABP＝AB×PE＝10PE，
S△BCP＝BC×PH＝20PH，
S△ACP＝AC×PF＝15PF，
所以S△ABP∶S△ACP∶S△BCP＝10PE∶15PF∶20PH＝2∶3∶4.
【方法归纳交流】涉及角平分线的问题时，常用的辅助线有:
(1)如图1，自角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线的性质解题.
(2)在长的角边上截取等于短的角边——截长(如图2)，或延长短的角边使其等于长的角边——补短(如图3)，从而构造两个全等的三角形，利用全等三角形的性质解题.
1. 已知△ABC的周长为20 cm，角平分线AD、BE相交于点O，OP⊥AB交AB于点P，OP＝2 cm，则△ABC的面积为　20 cm2　.
20
cm2　
2.如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE平分∠ACB，D是AC上一点，若∠CBD＝20°，求∠ADE的度数.
　
解:如图，作EN⊥CA，EM⊥BD，EP⊥CB，
垂足分别是N、M、P.
∵∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝
100°－20°＝80°，
∠PBA＝180°－100°＝80°，
∴∠PBA＝∠ABD.
∵EM⊥BD于M，EP⊥CB于P，
∴EP＝EM.
又∵CE平分∠ACB，EN⊥CA，
EP⊥CB，∴EN＝EP，
∴EN＝EM，∴ED平分∠ADB.
∵∠ADB＝∠DBC＋∠DCB＝20°＋20°＝40°，
∴∠ADE＝∠ADB＝×40°＝20°.
【方法归纳交流】遇到角的平分线，要考虑“角平分线上的点到角两边的距离相等”和利用角平分线构造全等三角形.要证明“一条线段(或角)是另外两条线段(或角)的和”可以考虑用“截补法”.
1.△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6 cm，4 cm，4 cm，P为△ABC三条角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于(　D　)
A.1∶1∶1 B.2∶2∶3
C.2∶3∶2 D.3∶2∶2
D
2.如图，AD是∠BAC的平分线，DB⊥AB，DC⊥AC，B、C是垂足，那么BE与CE的关系是怎样的呢？请证明你的结论.
解:BE＝CE.
提示:先证△ABD≌△ACD，再证△BDE≌△CDE，得出BE＝CE.