15.4 等腰三角形（共56张PPT）2025年秋沪科版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 15.4 等腰三角形（共56张PPT）2025年秋沪科版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-21 09:43:50 | ||
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文档简介
(共56张PPT)
15.4 等腰三角形
第1课时
1.掌握等腰三角形的性质定理.
◎重点:等腰三角形的性质定理及其证明.
同学们，大家在小学就学过很多关于等腰三角形的知识，本节我们要更全面、更系统地学习等腰三角形的相关知识.
等腰三角形的性质
阅读教材本课时相关内容，解决下列问题.
1.等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两底角 相等 ，即等边对 等角 .
推论:等边三角形的三个内角 相等 ，每一个内角都等于 60° .
相等
等角
相等
60°
1.等腰三角形的一个外角为140°，那么底角等于( D )
A.40° B.100°
C.70° D.40°或70°
D
等腰三角形的性质及其推论的有关计算
1.(方法指导:已知等腰三角形一个角时，要注意分类讨论，分已知角是底角还是顶角.)若等腰三角形一个角为70°，另外两个角度数分别为 55°，55°或70°，40° .
55°，55°或70°，40°
2. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD 等于( B )
A.36° B.54°
C.18° D.64°
B
15.4 等腰三角形
第2课时
2.能用等腰三角形的性质进行几何图形中的计算.
3.能用等腰三角形的性质解决几何问题中的证明.
4.经历用等腰三角形的性质证明“HL”定理的过程.
◎重点:用等腰三角形的性质进行计算和证明.
◎难点:“三线合一”的理解.
1.知道等腰三角形“三线合一”的特性.
等腰三角形的性质
阅读教材本课时相关内容，解决下列问题.
等腰三角形顶角的平分线 垂直平分 底边，即等腰三角形顶角的平分线、 底边的中线 和 底边的高 三线合一.
垂直平分
底边的中线
底边的高
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，以下结论中错误的是( B )
A.△ABD≌△ACD
B.∠B＝∠BAD
C.D为BC的中点
D.AD是△ABC的角平分线
2.在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，且BD＝CD.若∠BAC＝100°，则∠CAD＝ 50° .
B
50°
3.下列说法不．正．确．的是( D )
A.等腰三角形底边的高平分底边，平分顶角
B.等腰三角形底边的中线垂直底边，平分顶角
C.等腰三角形顶角的平分线垂直底边，平分底边
D.等腰三角形底边的中垂线不一定平分顶角
D
【变式训练】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝ 30 °.
30
等腰三角形及其推论的有关证明
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC的中点，Q为AP延长线上一点，且∠1＝∠2，求证:QM＝QN.
证明:∵AB＝AC，P为底边BC的中点，AP⊥BC，
即∠MPQ＝∠NPQ＝90°，
又∠1＝∠2，PQ＝PQ，∴△PQM≌△PQN.
∴QM＝QN.
1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，CE平分∠BCA交AB于点E，AD、CE相交于点F，则∠CFA的度数是( C )
A.100°
B.105°
C.110°
D.120°
C
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC，点D在BA的延长线上，点E在AC上，且AD＝AE，试探索DE与AF的位置关系，并证明你的结论.
解:DE∥AF.
证明如下:
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴∠CAF＝∠BAC＝(180°－∠CAD).
又∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE＝(180°－∠CAD)，
∴∠AED＝∠CAF，∴DE∥AF.
【方法归纳交流】等腰三角形底边中线、顶角平分线、底边上高，三线合一，在证明或计算中，一定要记得使用，因为不需要再添辅助线，这条线本身就具有多重“身份”.
学法指导:等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边与角之间的关系，由两边相等推导出两角相等是证明两角相等常用的依据之一.等腰三角形的“三线合一”性质是证明两条线段相等、两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据，作高(或者顶角平分线、底边中线)是常用辅助线.
黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值.顶角是36°的黄金三角形按任意一底角的角平分线分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个的2倍.顶角是108°的黄金三角形把顶角分成一个72°和一个36°的角，这条分线也把黄金三角形分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角也是另一个的2倍.
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，∠ACD＝20°，则∠A的度数是( A )
A.50°
B.40°
C.30°
D.20°
A
2.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点 E.
(1)证明:AE＝ED；
(2)求线段DE的长.
解:(1)∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD.
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠CAD，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE.
(2)∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠C.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠EDB＝∠B，
∴BE＝DE，
∴DE＝BE＝AE＝AB＝×8＝4.
利用等腰三角形的性质进行计算
1. 如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC，若∠ABC＝54°，则∠1的大小为( C )
A.36° B.54° C.72° D.73°
C
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，求∠OEC的度数.
解:如图，连接OB、OC，
∵∠BAC＝54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝∠BAC＝×54°＝27°.
又∵AB＝AC，∴∠ABC＝(180°－∠BAC)
＝(180°－54°)＝63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝27°，
∴∠OBC＝∠ABC－∠ABO＝63°－27°＝36°.
∵DO是AB的垂直平分线，AO为∠BAC的平分线，
∴点O在BC的垂直平分线上(等腰三角形“三线合一”)，
∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝36°.
∵将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，∴∠COE＝∠OCB＝36°，
在△OCE中，∠OEC＝180°－∠COE－∠OCB＝180°－36°－36°＝108°.
3. 如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，求∠A的度数.
解:设∠A＝x，∵AD＝DE＝BE，
∴∠A＝∠DEA＝x，
∴∠EDB＝∠DBA＝∠DEA＝x.
∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝∠A＋∠DBA＝x.
∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝x.
∵∠C＋∠ABC＋∠A＝180°，∴x＋x＋x＝180°，
解得x＝45°.
【方法归纳交流】解本类题的关键是先设未知数，再用等腰三角形的性质及三角形的内角和构建方程求解.
利用等腰三角形的性质进行证明
4. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AC＝AB＋BD，求证:∠B＝2∠C.
证明:如图，延长AB到点F，使AF＝AC，连接DF.
∵AC＝AB＋BD，AF＝AC，∴BD＝BF，∴∠F＝∠BDF.
∵∠ABC＝∠F＋∠BDF，
∴∠ABC＝2∠F.
在△ADF和△ADC中，
∴△ADF≌△ADC(SAS)，
∴∠C＝∠F，∴∠ABC＝2∠C.
【方法归纳交流】构造等腰三角形——截长补短法添加辅助线是应用等腰三角形的性质解决问题的常见题型.“三线合一”中的“线”也是等腰三角形中常添加的辅助线.
1.如图，CD是△ABC的中线，且CD＝AB，你知道∠ACB的度数吗？由此你能得到一个什么结论？
解:∠ACB的度数是90°，理由如下:
∵CD是△ABC的中线，且CD＝AB，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD.
∵∠A＋∠ACD＋∠B＋∠BCD＝180°，
∴∠ACB＝90°.
结论:一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形.
2. 如图，在等边三角形ABC中，点D在AB上，点E在BC上，AD＝BE，AE、CD相交于点P.求证:∠CPE＝60°.
证明:∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝CA.
又∵BE＝AD，∴△ABE≌△CAD，
∴∠BAE＝∠ACD，
又∵∠CPE是△APC的一个外角，
∴∠CPE＝∠PAC＋∠ACD＝∠EAC＋∠BAE＝∠BAC.
∵∠BAC＝60°，∴∠CPE＝60°.
15.4 等腰三角形
第3课时
1.掌握等腰三角形的判定定理及其两个推论.
2.掌握等边三角形的判定定理.
之前，我们已经学习了等腰三角形、等边三角形的性质.那么怎么样的三角形是等腰三角形或等边三角形呢？
等腰三角形的判定定理及推论
1.三个角都相等的三角形是 等边 三角形.
2.有一个角是60°的等腰三角形是 等边三角形 .
等边
等边三角形
1.在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是( C )
A.∠A＝40°，∠B＝50°
B.∠A＝40°，∠B＝60°
C.∠A＝20°，∠B＝80°
D.∠A＝40°，∠B＝80°
C
等边三角形的判定
1.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA＝OB＝18 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°(如图2)，则此时A、B两点之间的距离是 18 cm.
18
等腰三角形的判定
2.如图，AC＝DB，∠1＝∠2，AC与DB相交于点O.求证:∠3＝∠4.
证明:∵∠1＝∠2，∴BO＝CO.
∵AC＝DB，∴AO＝DO，∴∠3＝∠4.
【变式训练】在上题中，若∠3＝∠4作为已知条件，能证明AC＝BD吗？
解:可以，证明:∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴BO＝CO，AO＝DO，∴AC＝BD.
【方法归纳交流】在一个三角形中，经常用“等边对等角”证明角相等，用“等角对等边”证明边相等.
学法指导:要正确区分等腰三角形的性质和判定，在解题中不可混淆.
1.如图，在锐角△ABC中，∠ABC的平分线与∠C的外角平分线交于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E，交AC于点F.求证:EF＝BE－CF.
证明:∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBG.
又∵DE∥BC，
∴∠DBG＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，即EB＝ED.
同理CF＝DF.
又∵EF＝DE－DF，∴EF＝BE－CF.
15.4 等腰三角形
第4课时
掌握含30°角的直角三角形的性质定理.
◎重点:含30°角的直角三角形的性质定理的应用.
◎难点:平面图形中30°的综合应用.
本节课，我们将学习30°角的特殊作用.
含 30°角的直角三角形的性质定理
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
·导学建议·
30°角的应用应得到重视，可从三角形拼接和作等边三角形的角平分线两个角度来验证直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.若直角三角形中存在60°的锐角，则另一个锐角为30°.
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2.5，∠B＝30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( D )
A.3 B.3.5
C.4.8 D.5.2
D
含30°角的直角三角形的性质应用
1.如图，在△ABC中，BC＝6，AB＝4，∠B＝30°，求△ABC的面积.
解:如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝90°.
∵∠B＝30°，
∴AD＝ AB＝×4＝2.
∴S△ABC＝BC·AD＝×6×2＝6，
即△ABC的面积为6.
【方法归纳交流】根据化斜为直的思想，作出BC的高，再利用含30°角的直角三角形的性质求出高的长度.
2.对于“课本本节的例4”，若这艘船到达B处后继续向北航行，中午12:00到达B1处，从B1处测得礁石C在南偏西60°的方向上.
(1)画出此时船的位置.
(2)求从B1处到礁石C的距离.
解:(1)如图，过点C作AC的垂线，交AB的延长线于点B1，则B1为船的位置.
(2)在Rt△ACB1中，
∵∠CAB＝30°，
∴B1C＝AB1＝×10×(12－8)＝20.
3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，∠ABC＝15°，求△ABC的面积.
解:如图，过点C作CE⊥BA，交BA的延长线于点E.
∵AB＝AC，∠ABC＝15°，∴∠EAC＝30°，
∴CE＝AC＝×10＝5(cm).
∴S△ABC＝AB·CE＝×10×5＝25(cm2).
15.4 等腰三角形
第1课时
1.掌握等腰三角形的性质定理.
◎重点:等腰三角形的性质定理及其证明.
同学们，大家在小学就学过很多关于等腰三角形的知识，本节我们要更全面、更系统地学习等腰三角形的相关知识.
等腰三角形的性质
阅读教材本课时相关内容，解决下列问题.
1.等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两底角 相等 ，即等边对 等角 .
推论:等边三角形的三个内角 相等 ，每一个内角都等于 60° .
相等
等角
相等
60°
1.等腰三角形的一个外角为140°，那么底角等于( D )
A.40° B.100°
C.70° D.40°或70°
D
等腰三角形的性质及其推论的有关计算
1.(方法指导:已知等腰三角形一个角时，要注意分类讨论，分已知角是底角还是顶角.)若等腰三角形一个角为70°，另外两个角度数分别为 55°，55°或70°，40° .
55°，55°或70°，40°
2. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD 等于( B )
A.36° B.54°
C.18° D.64°
B
15.4 等腰三角形
第2课时
2.能用等腰三角形的性质进行几何图形中的计算.
3.能用等腰三角形的性质解决几何问题中的证明.
4.经历用等腰三角形的性质证明“HL”定理的过程.
◎重点:用等腰三角形的性质进行计算和证明.
◎难点:“三线合一”的理解.
1.知道等腰三角形“三线合一”的特性.
等腰三角形的性质
阅读教材本课时相关内容，解决下列问题.
等腰三角形顶角的平分线 垂直平分 底边，即等腰三角形顶角的平分线、 底边的中线 和 底边的高 三线合一.
垂直平分
底边的中线
底边的高
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，以下结论中错误的是( B )
A.△ABD≌△ACD
B.∠B＝∠BAD
C.D为BC的中点
D.AD是△ABC的角平分线
2.在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，且BD＝CD.若∠BAC＝100°，则∠CAD＝ 50° .
B
50°
3.下列说法不．正．确．的是( D )
A.等腰三角形底边的高平分底边，平分顶角
B.等腰三角形底边的中线垂直底边，平分顶角
C.等腰三角形顶角的平分线垂直底边，平分底边
D.等腰三角形底边的中垂线不一定平分顶角
D
【变式训练】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝ 30 °.
30
等腰三角形及其推论的有关证明
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC的中点，Q为AP延长线上一点，且∠1＝∠2，求证:QM＝QN.
证明:∵AB＝AC，P为底边BC的中点，AP⊥BC，
即∠MPQ＝∠NPQ＝90°，
又∠1＝∠2，PQ＝PQ，∴△PQM≌△PQN.
∴QM＝QN.
1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，CE平分∠BCA交AB于点E，AD、CE相交于点F，则∠CFA的度数是( C )
A.100°
B.105°
C.110°
D.120°
C
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC，点D在BA的延长线上，点E在AC上，且AD＝AE，试探索DE与AF的位置关系，并证明你的结论.
解:DE∥AF.
证明如下:
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴∠CAF＝∠BAC＝(180°－∠CAD).
又∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE＝(180°－∠CAD)，
∴∠AED＝∠CAF，∴DE∥AF.
【方法归纳交流】等腰三角形底边中线、顶角平分线、底边上高，三线合一，在证明或计算中，一定要记得使用，因为不需要再添辅助线，这条线本身就具有多重“身份”.
学法指导:等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边与角之间的关系，由两边相等推导出两角相等是证明两角相等常用的依据之一.等腰三角形的“三线合一”性质是证明两条线段相等、两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据，作高(或者顶角平分线、底边中线)是常用辅助线.
黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值.顶角是36°的黄金三角形按任意一底角的角平分线分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个的2倍.顶角是108°的黄金三角形把顶角分成一个72°和一个36°的角，这条分线也把黄金三角形分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角也是另一个的2倍.
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，∠ACD＝20°，则∠A的度数是( A )
A.50°
B.40°
C.30°
D.20°
A
2.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点 E.
(1)证明:AE＝ED；
(2)求线段DE的长.
解:(1)∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD.
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠CAD，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE.
(2)∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠C.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠EDB＝∠B，
∴BE＝DE，
∴DE＝BE＝AE＝AB＝×8＝4.
利用等腰三角形的性质进行计算
1. 如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC，若∠ABC＝54°，则∠1的大小为( C )
A.36° B.54° C.72° D.73°
C
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，求∠OEC的度数.
解:如图，连接OB、OC，
∵∠BAC＝54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝∠BAC＝×54°＝27°.
又∵AB＝AC，∴∠ABC＝(180°－∠BAC)
＝(180°－54°)＝63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝27°，
∴∠OBC＝∠ABC－∠ABO＝63°－27°＝36°.
∵DO是AB的垂直平分线，AO为∠BAC的平分线，
∴点O在BC的垂直平分线上(等腰三角形“三线合一”)，
∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝36°.
∵将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，∴∠COE＝∠OCB＝36°，
在△OCE中，∠OEC＝180°－∠COE－∠OCB＝180°－36°－36°＝108°.
3. 如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，求∠A的度数.
解:设∠A＝x，∵AD＝DE＝BE，
∴∠A＝∠DEA＝x，
∴∠EDB＝∠DBA＝∠DEA＝x.
∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝∠A＋∠DBA＝x.
∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝x.
∵∠C＋∠ABC＋∠A＝180°，∴x＋x＋x＝180°，
解得x＝45°.
【方法归纳交流】解本类题的关键是先设未知数，再用等腰三角形的性质及三角形的内角和构建方程求解.
利用等腰三角形的性质进行证明
4. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AC＝AB＋BD，求证:∠B＝2∠C.
证明:如图，延长AB到点F，使AF＝AC，连接DF.
∵AC＝AB＋BD，AF＝AC，∴BD＝BF，∴∠F＝∠BDF.
∵∠ABC＝∠F＋∠BDF，
∴∠ABC＝2∠F.
在△ADF和△ADC中，
∴△ADF≌△ADC(SAS)，
∴∠C＝∠F，∴∠ABC＝2∠C.
【方法归纳交流】构造等腰三角形——截长补短法添加辅助线是应用等腰三角形的性质解决问题的常见题型.“三线合一”中的“线”也是等腰三角形中常添加的辅助线.
1.如图，CD是△ABC的中线，且CD＝AB，你知道∠ACB的度数吗？由此你能得到一个什么结论？
解:∠ACB的度数是90°，理由如下:
∵CD是△ABC的中线，且CD＝AB，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD.
∵∠A＋∠ACD＋∠B＋∠BCD＝180°，
∴∠ACB＝90°.
结论:一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形.
2. 如图，在等边三角形ABC中，点D在AB上，点E在BC上，AD＝BE，AE、CD相交于点P.求证:∠CPE＝60°.
证明:∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝CA.
又∵BE＝AD，∴△ABE≌△CAD，
∴∠BAE＝∠ACD，
又∵∠CPE是△APC的一个外角，
∴∠CPE＝∠PAC＋∠ACD＝∠EAC＋∠BAE＝∠BAC.
∵∠BAC＝60°，∴∠CPE＝60°.
15.4 等腰三角形
第3课时
1.掌握等腰三角形的判定定理及其两个推论.
2.掌握等边三角形的判定定理.
之前，我们已经学习了等腰三角形、等边三角形的性质.那么怎么样的三角形是等腰三角形或等边三角形呢？
等腰三角形的判定定理及推论
1.三个角都相等的三角形是 等边 三角形.
2.有一个角是60°的等腰三角形是 等边三角形 .
等边
等边三角形
1.在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是( C )
A.∠A＝40°，∠B＝50°
B.∠A＝40°，∠B＝60°
C.∠A＝20°，∠B＝80°
D.∠A＝40°，∠B＝80°
C
等边三角形的判定
1.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA＝OB＝18 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°(如图2)，则此时A、B两点之间的距离是 18 cm.
18
等腰三角形的判定
2.如图，AC＝DB，∠1＝∠2，AC与DB相交于点O.求证:∠3＝∠4.
证明:∵∠1＝∠2，∴BO＝CO.
∵AC＝DB，∴AO＝DO，∴∠3＝∠4.
【变式训练】在上题中，若∠3＝∠4作为已知条件，能证明AC＝BD吗？
解:可以，证明:∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴BO＝CO，AO＝DO，∴AC＝BD.
【方法归纳交流】在一个三角形中，经常用“等边对等角”证明角相等，用“等角对等边”证明边相等.
学法指导:要正确区分等腰三角形的性质和判定，在解题中不可混淆.
1.如图，在锐角△ABC中，∠ABC的平分线与∠C的外角平分线交于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E，交AC于点F.求证:EF＝BE－CF.
证明:∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBG.
又∵DE∥BC，
∴∠DBG＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，即EB＝ED.
同理CF＝DF.
又∵EF＝DE－DF，∴EF＝BE－CF.
15.4 等腰三角形
第4课时
掌握含30°角的直角三角形的性质定理.
◎重点:含30°角的直角三角形的性质定理的应用.
◎难点:平面图形中30°的综合应用.
本节课，我们将学习30°角的特殊作用.
含 30°角的直角三角形的性质定理
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
·导学建议·
30°角的应用应得到重视，可从三角形拼接和作等边三角形的角平分线两个角度来验证直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.若直角三角形中存在60°的锐角，则另一个锐角为30°.
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2.5，∠B＝30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( D )
A.3 B.3.5
C.4.8 D.5.2
D
含30°角的直角三角形的性质应用
1.如图，在△ABC中，BC＝6，AB＝4，∠B＝30°，求△ABC的面积.
解:如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝90°.
∵∠B＝30°，
∴AD＝ AB＝×4＝2.
∴S△ABC＝BC·AD＝×6×2＝6，
即△ABC的面积为6.
【方法归纳交流】根据化斜为直的思想，作出BC的高，再利用含30°角的直角三角形的性质求出高的长度.
2.对于“课本本节的例4”，若这艘船到达B处后继续向北航行，中午12:00到达B1处，从B1处测得礁石C在南偏西60°的方向上.
(1)画出此时船的位置.
(2)求从B1处到礁石C的距离.
解:(1)如图，过点C作AC的垂线，交AB的延长线于点B1，则B1为船的位置.
(2)在Rt△ACB1中，
∵∠CAB＝30°，
∴B1C＝AB1＝×10×(12－8)＝20.
3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，∠ABC＝15°，求△ABC的面积.
解:如图，过点C作CE⊥BA，交BA的延长线于点E.
∵AB＝AC，∠ABC＝15°，∴∠EAC＝30°，
∴CE＝AC＝×10＝5(cm).
∴S△ABC＝AB·CE＝×10×5＝25(cm2).