2025-2026学年人教B版数学必修第一册2.2.4.2 均值不等式的应用 课时练习(含详解)
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年人教B版数学必修第一册2.2.4.2 均值不等式的应用 课时练习(含详解) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 139.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-20 17:16:01 | ||
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文档简介
2.2.4.2均值不等式的应用
一、选择题
1．设x＞0，则y＝的最大值是( )
A．3 B．－3
C．3－2 D．－1
2．已知a>0，且a2－b＋4＝0，则有( )
A．最大值为 B．最小值为
C．最大值为 D．最小值为
3．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25
C．9 D．36
4．若实数a，b满足＝，则ab的最小值为( )
A． B．2
C．2 D．4
5．小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(0A．aC．6．若－4A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
7．(多选)已知正数a，b满足2a＋b＝1，则( )
A．ab的最大值为
B．4a2＋b2的最小值为
C．的最小值为8
D．a＋的最小值为2
二、填空题
8．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为(图中阴影部分)，上、下空白各宽2 dm，左、右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2．
9．若m＞0，n＞0，m＋n＝1且(t＞0)的最小值为9，则t＝________．
10．若a，b∈(0，＋∞)，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________．
11．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝，则这两个数分别为________．
12．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
三、解答题
13．(源自湘教版教材)某公司设计了如图所示的一块绿化景观地带，两条平行线段的两端用半圆形弧相连接．已知这块绿化景观地带的内圈周长为400 m，当平行线段的长设计为多少时，中间矩形区域的面积最大？
14．(源自人教A版教材)某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
15．我们学习了二元均值不等式：设a>0，b>0，，当且仅当a＝b时，等号成立．
利用均值不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值．
(1)对于三元均值不等式请猜想：设a>0，b>0，c>0，≥________，当且仅当a＝b＝c时，等号成立(把横线补全)．
(2)利用(1)猜想的三元均值不等式证明．
设a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，求证：
(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc．
(3)利用(1)猜想的三元均值不等式求最值：
设a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，求(1－a)(1－b)(1－c)的最大值．
答案解析
1．C [∵x＞0，
∴y＝3－≤3－2＝3－2，
当且仅当3x＝，且x＞0，
即x＝时，等号成立．故选C．]
2．A [因为a2－b＋4＝0，
所以b＝a2＋4，
所以＝＝，
因为a>0，
所以a＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当a＝，即a＝2时等号成立，
所以＝，当且仅当a＝2时等号成立．故选A．]
3．B [(1＋x)(1＋y)≤
＝＝＝25，
当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，
(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B．]
4．C [因为＝，
所以a>0，b>0，
因为＝≥2＝2，
所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，
所以ab的最小值为2．]
5．A [设甲地到乙地的路程为s，
则v＝＝．
∵0∴a＋b>2>0，
∴<＝．
∵v－a＝－a＝＝>0，
∴v>a．
综上可得，a6．D [y＝＝，
又∵－4∴x－1<0．
∴－(x－1)>0．
故y＝－≤－1．
当且仅当x－1＝，
即x＝0时等号成立．
故选D．]
7．ABC [因为2a＋b＝1≥2，所以ab≤，当且仅当2a＝b＝时等号成立，A正确．
4a2＋b2≥＝，当且仅当2a＝b＝时等号成立，B正确．
由题意，得＝(2a＋b)＝4＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即2a＝b＝时等号成立，C正确．
a＋≥2＝2，当且仅当a＝1时等号成立．又因为2a＋b＝1，且a，b均为正数，
所以等号取不到，所以a＋>2，无最小值，D错误．故选ABC．]
8．56 [设阴影部分的竖边长为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2．
由题意，得y＝(x＋4)－72
＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2)．
当且仅当x＝，
即x＝12 dm时等号成立．]
9．4 [因为＝(m＋n)＝t＋1＋≥t＋1＋2＝(＋1)2，所以最小值为(＋1)2＝9，取等号时tn2＝m2，所以＝2，即t＝4．]
10．[6，＋∞) [∵a＋b＋3＝ab≤，
∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2(舍去)，当且仅当a＝b＝3时取等号．]
11．4，12 [设＝1，a，b∈N*，
∴a＋b＝(a＋b)1＝(a＋b)
＝1＋9＋
≥10＋2
＝10＋2×3＝16，
当且仅当＝，即b＝3a时等号成立．
又＝1，
∴＝1，
∴a＝4，b＝12．
这两个数分别是4，12．]
12． [x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，
∴(x＋y)2＝xy＋1≤＋1，
∴(x＋y)2≤1．
∴－≤x＋y≤，
故x＋y的最大值为，
当且仅当x＝y＝时等号成立．]
13．解： 设平行线段长为x m，半圆形直径为d m，中间的矩形区域面积为S m2，
由题意可知
S＝xd，且2x＋πd＝400，
所以S＝xd＝πd2x≤＝．
当且仅当πd＝2x＝200，
即d＝，x＝100时，等号成立．
所以，当平行线段的长设计为100 m时，中间矩形区域的面积S最大，最大值为m2．
14．解： 设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为x m，y m，水池的总造价为z元．根据题意，有
z＝150×＋120(2×3x＋2×3y)
＝240 000＋720(x＋y)．
由容积为4 800 m3，可得3xy＝4 800，
因此xy＝1 600．
所以z≥240 000＋720×2，
当x＝y＝40时，上式等号成立，此时z＝297 600．
所以，将贮水池的池底设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元．
15．解： (1)a>0，b>0，c>0，
，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
故答案为．
(2)证明：a>0，b>0，c>0，
因为a＋b＋c≥3>0，a2＋b2＋c2≥3>0，
所以(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9＝9abc，
即(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc．
(3)a>0，b>0，c>0，，
所以abc≤，
又因为a＋b＋c＝1，0<1－a<1，0<1－b<1，0<1－c<1，所以(1－a)(1－b)(1－c)≤＝，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
所以(1－a)(1－b)(1－c)的最大值为．
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一、选择题
1．设x＞0，则y＝的最大值是( )
A．3 B．－3
C．3－2 D．－1
2．已知a>0，且a2－b＋4＝0，则有( )
A．最大值为 B．最小值为
C．最大值为 D．最小值为
3．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25
C．9 D．36
4．若实数a，b满足＝，则ab的最小值为( )
A． B．2
C．2 D．4
5．小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(0
C．有最小值－1 D．有最大值－1
7．(多选)已知正数a，b满足2a＋b＝1，则( )
A．ab的最大值为
B．4a2＋b2的最小值为
C．的最小值为8
D．a＋的最小值为2
二、填空题
8．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为(图中阴影部分)，上、下空白各宽2 dm，左、右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2．
9．若m＞0，n＞0，m＋n＝1且(t＞0)的最小值为9，则t＝________．
10．若a，b∈(0，＋∞)，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________．
11．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝，则这两个数分别为________．
12．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
三、解答题
13．(源自湘教版教材)某公司设计了如图所示的一块绿化景观地带，两条平行线段的两端用半圆形弧相连接．已知这块绿化景观地带的内圈周长为400 m，当平行线段的长设计为多少时，中间矩形区域的面积最大？
14．(源自人教A版教材)某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
15．我们学习了二元均值不等式：设a>0，b>0，，当且仅当a＝b时，等号成立．
利用均值不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值．
(1)对于三元均值不等式请猜想：设a>0，b>0，c>0，≥________，当且仅当a＝b＝c时，等号成立(把横线补全)．
(2)利用(1)猜想的三元均值不等式证明．
设a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，求证：
(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc．
(3)利用(1)猜想的三元均值不等式求最值：
设a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，求(1－a)(1－b)(1－c)的最大值．
答案解析
1．C [∵x＞0，
∴y＝3－≤3－2＝3－2，
当且仅当3x＝，且x＞0，
即x＝时，等号成立．故选C．]
2．A [因为a2－b＋4＝0，
所以b＝a2＋4，
所以＝＝，
因为a>0，
所以a＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当a＝，即a＝2时等号成立，
所以＝，当且仅当a＝2时等号成立．故选A．]
3．B [(1＋x)(1＋y)≤
＝＝＝25，
当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，
(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B．]
4．C [因为＝，
所以a>0，b>0，
因为＝≥2＝2，
所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，
所以ab的最小值为2．]
5．A [设甲地到乙地的路程为s，
则v＝＝．
∵0
∴<＝．
∵v－a＝－a＝＝>0，
∴v>a．
综上可得，a
又∵－4
∴－(x－1)>0．
故y＝－≤－1．
当且仅当x－1＝，
即x＝0时等号成立．
故选D．]
7．ABC [因为2a＋b＝1≥2，所以ab≤，当且仅当2a＝b＝时等号成立，A正确．
4a2＋b2≥＝，当且仅当2a＝b＝时等号成立，B正确．
由题意，得＝(2a＋b)＝4＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即2a＝b＝时等号成立，C正确．
a＋≥2＝2，当且仅当a＝1时等号成立．又因为2a＋b＝1，且a，b均为正数，
所以等号取不到，所以a＋>2，无最小值，D错误．故选ABC．]
8．56 [设阴影部分的竖边长为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2．
由题意，得y＝(x＋4)－72
＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2)．
当且仅当x＝，
即x＝12 dm时等号成立．]
9．4 [因为＝(m＋n)＝t＋1＋≥t＋1＋2＝(＋1)2，所以最小值为(＋1)2＝9，取等号时tn2＝m2，所以＝2，即t＝4．]
10．[6，＋∞) [∵a＋b＋3＝ab≤，
∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2(舍去)，当且仅当a＝b＝3时取等号．]
11．4，12 [设＝1，a，b∈N*，
∴a＋b＝(a＋b)1＝(a＋b)
＝1＋9＋
≥10＋2
＝10＋2×3＝16，
当且仅当＝，即b＝3a时等号成立．
又＝1，
∴＝1，
∴a＝4，b＝12．
这两个数分别是4，12．]
12． [x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，
∴(x＋y)2＝xy＋1≤＋1，
∴(x＋y)2≤1．
∴－≤x＋y≤，
故x＋y的最大值为，
当且仅当x＝y＝时等号成立．]
13．解： 设平行线段长为x m，半圆形直径为d m，中间的矩形区域面积为S m2，
由题意可知
S＝xd，且2x＋πd＝400，
所以S＝xd＝πd2x≤＝．
当且仅当πd＝2x＝200，
即d＝，x＝100时，等号成立．
所以，当平行线段的长设计为100 m时，中间矩形区域的面积S最大，最大值为m2．
14．解： 设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为x m，y m，水池的总造价为z元．根据题意，有
z＝150×＋120(2×3x＋2×3y)
＝240 000＋720(x＋y)．
由容积为4 800 m3，可得3xy＝4 800，
因此xy＝1 600．
所以z≥240 000＋720×2，
当x＝y＝40时，上式等号成立，此时z＝297 600．
所以，将贮水池的池底设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元．
15．解： (1)a>0，b>0，c>0，
，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
故答案为．
(2)证明：a>0，b>0，c>0，
因为a＋b＋c≥3>0，a2＋b2＋c2≥3>0，
所以(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9＝9abc，
即(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc．
(3)a>0，b>0，c>0，，
所以abc≤，
又因为a＋b＋c＝1，0<1－a<1，0<1－b<1，0<1－c<1，所以(1－a)(1－b)(1－c)≤＝，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
所以(1－a)(1－b)(1－c)的最大值为．
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