3 用样本估计总体的分布 (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．了解频率与频数对总体估计的情况．
2．理解用样本的频率分布估计总体的分布的方法．
3．会列频率分布表、频率分布直方图、频率折线图．
4．能利用频数、频率及频率分布直方图解决实际问题．
(一)频数与频率
频数与频率
频率反映了相对总数而言的__________，其所携带的总体信息远超过频数．在实际问题中，如果总体容量比较小，________也可以较客观地反映总体分布；当总体容量较大时，______就更能客观地反映总体分布．
|微|点|助|解|
(1)频率表示频数与总数的比值，能更好地反映样本和总体的相应特征．
(2)在统计中，经常用样本数据的频率去估计总体中相应的频率，即对总体分布进行估计．
(二)频率分布直方图
1．频率分布直方图
在频率分布直方图中，每个小矩形的底边长是该组的组距，每个小矩形的高是该组的______与______的比，从而每个小矩形的______等于该组的频率，即每个小矩形的______＝组距×＝频率．各小矩形的面积总和等于1.
2．频率折线图
(1)通常，在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端______，直至右边所加区间的________，就可以得到一条折线，称之为________．
(2)随着样本容量的增大，所划分的区间数也可以随之______，而每个区间的长度则会相应随之______，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线．
|微|点|助|解|
(1)频率分布表能比较准确地反映样本的频率分布，而频率分布直方图则能清楚直观地显示各组频率分布情况及各组频率之间的差别．
(2)当考虑数据落在若干个组内的频率之和时，可以用相应矩形面积之和来表示．
(3)对于同一组数据，不同的组距决定不同的组数，得到的频率分布直方图也会不同．
基础落实训练
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一般样本容量越大，所分组数越多；样本容量越小，所分组数越少．( )
(2)频率分布直方图的纵坐标表示频率．( )
(3)频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的频数．( )
(4)一般地，样本容量越大，用样本的频率分布估计总体的分布就越精确．( )
2.如图是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据可知，样本落在[15,20]内的频数为( )
A．20 B．30
C．40 D．50
3．一个容量为1 000的样本分成若干组，已知某组的频率为0.4，则该组的频数是________．
4．一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则应将样本数据分为______组．
题型(一) 频率与频数的关系
[例1] (多选)下表是某生活超市2023年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：
生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其他类
营业收入占比 48.6% 15.8% 20.1% 10.8% 4.7%
净利润占比 65.8% -4.3% 16.5% 20.2% 1.8%
该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%(营业利润率是净利润占营业收入的百分比)，则( )
A．本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区
B．本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区
C．本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区
D．本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过50%
听课记录：
|思|维|建|模|
(1)当总体容量较小时，可以用频数估计总体分布，也可以用频率估计总体分布；当总体容量较大时，不能只从频数一个角度分析问题，还要应用频率估计总体．
(2)频率反映了相对总数而言的相对强度，其所携带的总体信息远超过频数．所以对于实际问题，只从频数一个角度分析实际问题是远远不够的．
[针对训练]
1．为了进一步提升员工素质，某公司人力部门从本公司2 600名一线员工中随机抽取100人，进行理论知识和实践技能两项测试(每项测试结果均分为A，B，C三等)，取得各等级的人数如表：
实践技能等级理论知识等级 A B C
A m 12 4
B 20 20 2
C n 6 5
已知理论知识测试结果为A的共40人．所给表中m，n的值分别是( )
A．25,6 B．24,7
C．23,8 D．22,9
2．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如表．
组别 (0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70]
频数 12 13 24 15 16 13 7
则样本数据落在(0,40]内的频率为( )
A．0.42 B．0.39
C．0.52 D．0.64
题型(二) 画频率分布直方图与频率折线图
[例2] 如表所示给出了在某校500名12岁男孩中，用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm)．
界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142)
人数 5 8 10 22 33
区间界限 [142,146) [146,150) [150,154) [154,158]
人数 20 11 6 5
(1)列出样本频率分布表；
(2)画出频率分布直方图及频率折线图；
(3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比．
听课记录：
|思|维|建|模|
绘制频率分布直方图的步骤
(1)计算极差：一组数据中最大值与最小值的差；
(2)确定组距与组数：组数k＝，若k∈Z，则组数为k；若k Z，则组数为不小于k的最小整数；
(3)分组：通常对组内数值所在的区间取左闭右开区间，最后一组是闭区间；
(4)列表：一般分四列：分组、频数、频率、；
(5)画频率分布直方图：在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用各小矩形的面积来表示，各小矩形的面积的总和等于1.
[针对训练]
3．有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：[－20，－15)，7；[－15，－10)，11；[－10，－5)，15；[－5,0)，40；[0,5)，49；[5,10)，41；[10,15)，20；[15,20]，17.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率折线图；
(3)求样本数据不足0的频率．
题型(三) 用样本的分布估计总体的分布
[例3] 为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的月均用电量都在50 kW·h至350 kW·h之间，进行适当分组后，画出的频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)求被调查的用户中，月均用电量大于250 kW·h的户数．
听课记录：
|思|维|建|模|
用样本的分布估计总体的分布的一般方法
一般是利用样本在某一范围内的频率近似地估计总体在该范围内的频率．因此，首先样本抽取要合理科学，其次要正确绘制频率分布表(或频率分布直方图)或者准确找出题目所给频率分布表(或频率分布直方图)中的相关信息，最后由样本的分布估计出总体的分布情况．
[针对训练]
4．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．
用样本估计总体的分布
?课前预知教材
(一)相对强度 频数 频率
(二)1.频率 组距 面积 面积
2．(1)中点 中点 频率折线图
(2)增多 减小
[基础落实训练] 1.(1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.B 3.400 4.9
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 选BC 由题中数据知，营业收入最低的是其他类，A错误；生鲜区的净利润占比65.8%>50%，故B正确；生鲜区的营业利润率为×32.5%<50%，故D错误；同理可计算其他各区的营业利润率，显然日用品区为×32.5%，最高，故C正确．
[针对训练]
1．选B 因为m＋12＋4＝40，解得m＝24.因为24＋12＋4＋20＋20＋2＋n＋6＋5＝100，解得n＝7.
2．选D 由频数分布表知，样本数据落在(0,40]内的频率为＝0.64.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)样本频率分布表如下：
分组 频数 频率
[122,126) 5 0.04
[126,130) 8 0.07
[130,134) 10 0.08
[134,138) 22 0.18
[138,142) 33 0.28
[142,146) 20 0.17
[146,150) 11 0.09
[150,154) 6 0.05
[154,158] 5 0.04
合计 120 1.00
(2)其频率分布直方图、频率折线图如图．
(3)由样本频率分布表可知，身高小于134 cm的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%.
[针对训练]
3．解：(1)样本频率分布表如下：
分组 频数 频率
[－20，－15) 7 0.035
[－15，－10) 11 0.055
[－10，－5) 15 0.075
[－5,0) 40 0.2
[0,5) 49 0.245
[5,10) 41 0.205
[10,15) 20 0.1
[15,20] 17 0.085
合计 200 1.00
(2)频率折线图如图所示．
(3)样本数据不足0的频率为0.035＋0.055＋0.075＋0.2＝0.365.
[题型(三)]
[例3] 解：(1)由频率分布直方图的性质，得(0.002 4＋0.003 6＋a＋0.004 4＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得a＝0.006 0.
(2)由频率分布直方图，得被调查的用户中，月均用电量大于250 kW·h的频率为(0.002 4＋0.001 2)×50＝0.18，所以被调查的用户中，月均用电量大于250 kW·h的户数为100×0.18＝18.
[针对训练]
4．解：(1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3，3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的频率分别为0.08，0.20,0.26,0.06，0.04，0.02.
由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30.
(2)由(1)可知，100位居民中每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.
根据样本中的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.
(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，所以2.5≤x<3.
由0.30×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.
所以估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
1 / 6(共84张PPT)
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用样本估计总体的分布
(教学方式:深化学习课 —梯度进阶式教学)
课时目标
1.了解频率与频数对总体估计的情况.
2.理解用样本的频率分布估计总体的分布的方法.
3.会列频率分布表、频率分布直方图、频率折线图.
4.能利用频数、频率及频率分布直方图解决实际问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
(一)频数与频率
频数与频率
频率反映了相对总数而言的__________,其所携带的总体信息远超过频数.在实际问题中,如果总体容量比较小,_____ 也可以较客观地反映总体分布;当总体容量较大时,_____ 就更能客观地反映总体分布.
相对强度
频数
频率
|微|点|助|解|
(1)频率表示频数与总数的比值,能更好地反映样本和总体的相应特征.
(2)在统计中,经常用样本数据的频率去估计总体中相应的频率,即对总体分布进行估计.
(二)频率分布直方图
1.频率分布直方图
在频率分布直方图中,每个小矩形的底边长是该组的组距,每个小矩形的高是该组的______与______的比,从而每个小矩形的______等于该组的频率,即每个小矩形的______=组距×=频率.各小矩形的面积总和等于1.
频率
组距
面积
面积
2.频率折线图
(1)通常,在频率分布直方图中,按照分组原则,再在左边和右边各加一个区间.从所加的左边区间的中点开始,用线段依次连接各个矩形的顶端______,直至右边所加区间的______,就可以得到一条折线,称之为_____________.
(2)随着样本容量的增大,所划分的区间数也可以随之_____,而每个区间的长度则会相应随之______,相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线.
中点
中点
频率折线图
增多
减小
|微|点|助|解|
(1)频率分布表能比较准确地反映样本的频率分布,而频率分布直方图则能清楚直观地显示各组频率分布情况及各组频率之间的差别.
(2)当考虑数据落在若干个组内的频率之和时,可以用相应矩形面积之和来表示.
(3)对于同一组数据,不同的组距决定不同的组数,得到的频率分布直方图也会不同.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)一般样本容量越大,所分组数越多;样本容量越小,所分组数越少. ( )
(2)频率分布直方图的纵坐标表示频率. ( )
(3)频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的频数. ( )
(4)一般地,样本容量越大,用样本的频率分布估计总体的分布就越精确.
( )
√
×
×
√
2.如图是一容量为100的样本的频率分布直方图,则由图中的数据可知,样本落在[15,20]内的频数为 ( )
A.20 B.30
C.40 D.50
√
3.一个容量为1 000的样本分成若干组,已知某组的频率为0.4,则该组的频数是 .
400
4.一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为 组.
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课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 频率与频数的关系
[例1] (多选)下表是某生活超市2023年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表:
生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其他类
营业收入占比 48.6% 15.8% 20.1% 10.8% 4.7%
净利润占比 65.8% -4.3% 16.5% 20.2% 1.8%
该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%(营业利润率是净利润占营业收入的百分比),则 ( )
A.本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区
B.本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区
C.本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区
D.本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过50%
√
√
解析:由题中数据知,营业收入最低的是其他类,A错误;生鲜区的净利润占比65.8%>50%,故B正确;生鲜区的营业利润率为×32.5%<50%,故D错误;同理可计算其他各区的营业利润率,显然日用品区为×32.5%,最高,故C正确.
|思|维|建|模|
(1)当总体容量较小时,可以用频数估计总体分布,也可以用频率估计总体分布;当总体容量较大时,不能只从频数一个角度分析问题,还要应用频率估计总体.
(2)频率反映了相对总数而言的相对强度,其所携带的总体信息远超过频数.所以对于实际问题,只从频数一个角度分析实际问题是远远不够的.
针对训练
1.为了进一步提升员工素质,某公司人力部门从本公司2 600名一线员工中随机抽取100人,进行理论知识和实践技能两项测试(每项测试结果均分为A,B,C三等),取得各等级的人数如表:
实践技能等级 理论知识等级
A B C
A m 12 4
B 20 20 2
C n 6 5
已知理论知识测试结果为A的共40人.所给表中m,n的值分别是 ( )
A.25,6 B.24,7
C.23,8 D.22,9
解析:因为m+12+4=40,解得m=24.因为24+12+4+20+20+2+n+6+5=100,解得n=7.
√
2.一个容量为100的样本,其数据的分组与各组的频数如表.
则样本数据落在(0,40]内的频率为 ( )
A.0.42 B.0.39
C.0.52 D.0.64
组别 (0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70]
频数 12 13 24 15 16 13 7
√
解析:由频数分布表知,样本数据落在(0,40]内的频率为=0.64.
题型(二) 画频率分布直方图与频率折线图
[例2] 如表所示给出了在某校500名12岁男孩中,用随机抽样得出的120人的身高(单位:cm).
区间界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142)
人数 5 8 10 22 33
区间界限 [142,146) [146,150) [150,154) [154,158]
人数 20 11 6 5
(1)列出样本频率分布表;
解:样本频率分布表如下:
分组 频数 频率
[122,126) 5 0.04
[126,130) 8 0.07
[130,134) 10 0.08
[134,138) 22 0.18
[138,142) 33 0.28
[142,146) 20 0.17
[146,150) 11 0.09
[150,154) 6 0.05
[154,158] 5 0.04
合计 120 1.00
续表
(2)画出频率分布直方图及频率折线图;
解:其频率分布直方图、频率折线图如图.
(3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比.
解:由样本频率分布表可知,身高小于134 cm的男孩出现的频率为0.04+
0.07+0.08=0.19,所以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%.
|思|维|建|模|
绘制频率分布直方图的步骤
(1)计算极差:一组数据中最大值与最小值的差;
(2)确定组距与组数:组数k=,若k∈Z,则组数为k;若k Z,则组数为不小于k的最小整数;
(3)分组:通常对组内数值所在的区间取左闭右开区间,最后一组是闭区间;
(4)列表:一般分四列:分组、频数、频率、;
(5)画频率分布直方图:在频率分布直方图中,纵轴表示,数据落在各小组内的频率用各小矩形的面积来表示,各小矩形的面积的总和等于1.
3.有一容量为200的样本,数据的分组以及各组的频数如下:[-20,-15),7;
[-15,-10),11;[-10,-5),15;[-5,0),40;[0,5),49;[5,10),41;[10,15),20;[15,20],17.
(1)列出样本的频率分布表;
解:(1)样本频率分布表如下:
针对训练
分组 频数 频率
[-20,-15) 7 0.035
[-15,-10) 11 0.055
[-10,-5) 15 0.075
[-5,0) 40 0.2
[0,5) 49 0.245
[5,10) 41 0.205
[10,15) 20 0.1
[15,20] 17 0.085
合计 200 1.00
续表
(2)画出频率折线图;
解:频率折线图如图所示.
(3)求样本数据不足0的频率.
解:样本数据不足0的频率为0.035+0.055+0.075+0.2=0.365.
题型(三) 用样本的分布估计总体的分布
[例3] 为了解某市家庭用电量的情况,该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量,发现他们的月均用电量都在50 kW·h至350 kW·h之间,进行适当分组后,画出的频率分布直方图如图所示.
(1)求图中a的值;
解:由频率分布直方图的性质,得(0.002 4+0.003 6+a+0.004 4+0.002 4+
0.001 2)×50=1,解得a=0.006 0.
(2)求被调查的用户中,月均用电量大于250 kW·h的户数.
解:由频率分布直方图,得被调查的用户中,月均用电量大于250 kW·h的频率为(0.002 4+0.001 2)×50=0.18,所以被调查的用户中,月均用电量大于250 kW·h的户数为100×0.18=18.
|思|维|建|模|
用样本的分布估计总体的分布的一般方法
一般是利用样本在某一范围内的频率近似地估计总体在该范围内的频率.因此,首先样本抽取要合理科学,其次要正确绘制频率分布表(或频率分布直方图)或者准确找出题目所给频率分布表(或频率分布直方图)中的相关信息,最后由样本的分布估计出总体的分布情况.
针对训练
4.某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值;
解:由频率分布直方图知,月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5
=0.04,同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1,解得a=0.30.
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
解:由(1)可知,100位居民中每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+
0.04+0.02=0.12.
根据样本中的频率,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36 000.
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由.
解:为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85,
前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85,所以2.5≤x<3.
由0.30×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.
所以估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
13
14
15
2
A级——综合提能
1.将容量为n的样本中的数据分成6组,绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1,且前三组数据的频数之和等于27,则n的值为( )
A.20 B.27
C.33 D.60
解析:∵n·=27,∴n=60.
√
1
5
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8
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11
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13
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2
3
4
2.某学校组织学生参加数学测试,某班成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若不低于60分的人数是35,则该班的学生人数是 ( )
A.45 B.50 C.55 D.60
√
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6
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8
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2
3
4
解析:由题知不低于60分的频率为(0.02+0.015)×20=0.7,
又不低于60分的人数是35,所以该班的学生人数是=50.
1
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2
3.(多选)下列说法错误的是 ( )
A.用样本的频率分布估计总体频率分布时,样本容量越大,所分的组数越多,估计越精确
B.一个容量为n的样本,分成若干组,已知某组的频数和频率分别是40,0.125,则n的值为320
C.频率分布直方图中,小矩形的高等于该组的频率
D.将频率分布直方图中小矩形上面一边的一个端点顺次连接起来,就可以得到频率折线图
√
√
1
5
6
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8
9
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3
4
2
解析:大样本往往更接近于总体,所以A正确;B中n=40÷0.125=320;C中频率分布直方图中,小矩形的高等于该组的频率/组距;D中应将频率分布直方图中各小矩形上端的中点顺次连接起来得到频率折线图.
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2
4.为了解某幼儿园儿童的身高情况,抽查该幼儿园120名儿童的身高绘制成如图所示的频率分布直方图,则抽查的120名儿童中身高大于或等于98 cm且小于104 cm的有 ( )
A.90名 B.75名 C.65名 D.40名
√
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2
解析:由题图可知身高大于或等于98 cm且小于104 cm的儿童的频率为(0.1+0.15+0.125)×2=0.75,所以抽查的120名儿童中有120×0.75=90(名)儿童的身高大于或等于98 cm且小于104 cm.
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2
5.(多选)下面给出的是某校高三(2)班50名学生某次测试数学成绩的频率折线图,根据图中所提供的信息,判断下列结论错误的是 ( )
A.成绩为45分的人数为0
B.成绩为75分的人数为20
C.成绩为60分的频率为0.18
D.成绩落在60~80分的人数为29
√
√
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3
4
2
解析:由折线图得数学成绩的频率分布直方图的组距为10.在A中,成绩为45分的人数一定是0,故A正确;在B中,成绩落在70~80分的人数为50×0.040×10=20,但成绩为75分的人数不一定为20,故B错误;在C中,成绩落在60~70分的频率为0.018×10=0.18,但成绩为60分的频率不一定为0.18,故C错误;在D中,成绩落在60~70分的人数为50×0.18=9,故成绩落在60~80分的人数为29,故D正确.故选B、C.
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2
6.某班学生某次数学考试的成绩(单位:分)分布如表:
分数 [0,80) [80,90) [90,100) [100,110)
人数 2 5 6 8
分数 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150]
人数 12 6 4 2
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2
那么分数在[100,110)中的频率为 ,分数低于110的样本数为 .
解析:分数在[100,110)中的频率为,分数低于110的样本数为2+5+6+8=21.
21
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2
7.某电子商务公司对10 000名网络购物者2022年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.
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2
(1)直方图中的a= ;
解析:由0.1×1.5+0.1×2.5+0.1a+0.1×2.0+0.1×0.8+0.1×0.2=1,解得a=3.
(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 .
解析:区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5+0.1×2.5=0.4,故[0.5,0.9]内的频率为1-0.4=0.6.因此,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000=6 000.
3
6 000
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2
8.(7分)为了检测某种产品的质量,抽取了一个容量为100的样本,数据的分组情况及各组的频数如下:[10.75,10.85),3;[10.85,10.95),9;[10.95,11.05),13;[11.05,11.15),16;[11.15,11.25),26;[11.25,11.35),20;[11.35,11.45),7;[11.45,11.55),4;[11.55,11.65],2.
(1)完成频率分布表.
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2
分组 频数 频率
[10.75,10.85)
[10.85,10.95)
[10.95,11.05)
[11.05,11.15)
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2
[11.15,11.25)
[11.25,11.35)
[11.35,11.45)
[11.45,11.55)
[11.55,11.65]
合计
续表
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2
解:频率分布表:
[10.75,10.85) 3 0.03
[10.85,10.95) 9 0.09
[10.95,11.05) 13 0.13
[11.05,11.15) 16 0.16
[11.15,11.25) 26 0.26
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2
[11.25,11.35) 20 0.20
[11.35,11.45) 7 0.07
[11.45,11.55) 4 0.04
[11.55,11.65] 2 0.02
合计 100 1.00
续表
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8
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3
4
2
(2)据上述图表,估计数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性;
解:由上表知,数据落在[10.95,11.35)范围内的频率为0.13+0.16+0.26+
0.20=0.75=75%,即估计数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是75%.
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2
(3)数据小于11.20的可能性是多少
解:数据小于11.20的可能性即数据小于11.20的频率,设为x,则(x-0.41)÷(11.20-11.15)=(0.67-0.41)÷(11.25-11.15),所以x-0.41=0.13,解得x=0.54,所以估计数据小于11.20的可能性是54%.
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3
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2
9.(7分)从全校参加期末考试的试卷中抽取一个样本,考察成绩(均为整数)的分布,将样本分成5组,绘成频率分布直方图(如图所示),从左到右各小组的小矩形的高之比为2∶3∶6∶4∶1,最左边的一组频数为6.
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2
(1)求样本容量;
解:在频率分布直方图中频数之比等于频率之比且样本的所有频率之和等于1.
∵小矩形的高之比为频率之比,
∴从左到右各小组的频率之比为2∶3∶6∶4∶1.
∴最左边的一组的频率为=.
∴样本容量===48.
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2
(2)求105.5~120.5这一组的频数及频率;
解:∵105.5~120.5这一组的频率为=,
∴频数为48×=18.
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3
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2
(3)如果成绩大于120分为优秀,估计这次考试成绩的优秀率.
解:∵成绩大于120分的频率为=,
∴考试成绩的优秀率约为×100%=31.25%.
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2
10.(10分)随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位: cm),按照区间[160,165),[165,170),[170,175),[175,180),[180,185]分组,得到样本身高的频率分布直方图如图所示.
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3
4
2
(1)求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm及以上的学生人数;
解:(1)由频率分布直方图可知5×(0.07+x+0.04+0.02+0.01)=1,解得x=0.06,
身高在170 cm及以上的学生人数为100×5×(0.06+0.04+0.02)=60.
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2
(2)将身高在[170,175),[175,180),[180,185]区间内的学生依次记为A,B,C三个组,用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人,求这三个组分别抽取的学生人数.
解:A组人数为100×5×0.06=30,B组人数为100×5×0.04=20,C组人数为100×5×0.02=10,
由题意可知A组抽取人数为30×=3,B组抽取人数为20×=2,C组抽取人数为10×=1,
故A,B,C三个组分别抽取的学生人数为3,2,1.
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2
B级——应用创新
11.为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组,如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( )
A.6 B.8
C.12 D.18
√
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8
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12
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2
解析:志愿者的总人数为=50,所以第三组人数为50×0.36
×1=18,所以有疗效的人数为18-6=12.
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12.(多选)为征求个人所得税法修改建议,某机构调查了10 000 名当地职工的月收入情况,并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图.
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2
下列说法正确的是 ( )
A.月收入低于5 000元的职工有5 500名
B.如果个税起征点调整至5 000元,估计有50%的当地职工会被征税
C.月收入高于或等于7 000元的职工约为当地职工的5%
D.根据此次调查,为使60%以上的职工不用缴纳个税,起征点应位于
[5 000,6 000)内
√
√
√
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2
解析:月收入低于5 000元的职工有10 000×(0.000 1+0.000 2+0.000 25)
×1 000=5 500(名),A正确;如果个税起征点调整至5 000元,由(0.000 25
+0.000 15+0.000 05)×1 000×100%=45%,可估计有45%的当地职工会被征税,B不正确;月收入高于或等于7 000元的职工约占0.000 05×
1 000×100%=5%,C正确;月收入低于5 000元的频率为0.55,低于6 000元的频率为0.8,D正确.
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13.某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中,上学所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].则:
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(1)图中的x= ;
解析:由频率分布直方图知20x=1-20×(0.025+0.006 5+0.003+0.003),解得x=0.012 5.
(2)若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,则该校600名新生中估计有 名学生可以申请住宿.
解析:上学时间不少于1小时的学生的频率为0.003×2×20=0.12,因此估计有0.12×600=72(人)可以申请住宿.
0.012 5
72
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2
14.(11分)对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下:
小时数 发生次数
[100,200) 20
[200,300) 30
[300,400) 80
[400,500) 40
[500,600] 30
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(1)列出频率分布表;
解:样本的频率分布表如下:
小时数 发生次数 发生频率
[100,200) 20 0.10
[200,300) 30 0.15
[300,400) 80 0.40
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[400,500) 40 0.20
[500,600] 30 0.15
合计 200 1.00
续表
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2
(2)画出频率分布直方图和频率折线图;
解:频率分布直方图和频率折线图如图所示.
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2
(3)求电子元件寿命在[100,400)h内的频率;
解:由频率分布表可知,寿命在[100,400)h内的电子元件出现的频率为0.10+0.15+0.40=0.65,故估计寿命在[100,400)h内的电子元件的频率为0.65.
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2
(4)求电子元件寿命在400 h以上的频率.
解:由频率分布表知,寿命在400 h以上的电子元件的频率为0.20+0.15
=0.35,故估计电子元件寿命在400 h以上的频率为0.35.
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3
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2
15.(12分)为增强市民节能环保意识,某市向全市征召义务宣传志愿者,现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,他们的年龄情况如表所示:
分组(单位:岁) 频数 频率
[20,25) 5 0.05
[25,30) ① 0.20
[30,35) 35 ②
[35,40) 30 0.30
[40,45] 10 0.10
合计 100 1.00
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2
(1)频率分布表中的①②位置应填什么数据
解:设年龄在[25,30)内的频数为x,年龄在[30,35)的频率为y,
根据题意可得=0.20,=y,
解得x=20,y=0.35.
故①②位置应分别填20,0.35.
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(2)补全频率分布直方图,再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)的人数.
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2
解:由频率分布表知年龄在[25,30)内的频率是0.20,组距是5,所以==0.04.
补全频率分布直方图,如图所示.
根据频率分布直方图估计这500
名志愿者中年龄在[30,35)的人数
为500×0.35=175.课时跟踪检测(四十三) 用样本估计总体的分布
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n的值为( )
A．20 B．27
C．33 D．60
2．某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若不低于60分的人数是35，则该班的学生人数是( )
A．45 B．50
C．55 D．60
3．(多选)下列说法错误的是( )
A．用样本的频率分布估计总体频率分布时，样本容量越大，所分的组数越多，估计越精确
B．一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别是40,0.125，则n的值为320
C．频率分布直方图中，小矩形的高等于该组的频率
D．将频率分布直方图中小矩形上面一边的一个端点顺次连接起来，就可以得到频率折线图
4．为了解某幼儿园儿童的身高情况，抽查该幼儿园120名儿童的身高绘制成如图所示的频率分布直方图，则抽查的120名儿童中身高大于或等于98 cm且小于104 cm的有( )
A．90名 B．75名
C．65名 D．40名
5．(多选)下面给出的是某校高三(2)班50名学生某次测试数学成绩的频率折线图，根据图中所提供的信息，判断下列结论错误的是( )
A．成绩为45分的人数为0
B．成绩为75分的人数为20
C．成绩为60分的频率为0.18
D．成绩落在60～80分的人数为29
6．某班学生某次数学考试的成绩(单位：分)分布如表：
分数 [0,80) [80,90) [90,100) [100,110)
人数 2 5 6 8
分数 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150]
人数 12 6 4 2
那么分数在[100,110)中的频率为________，分数低于110的样本数为________．
7．某电子商务公司对10 000名网络购物者2022年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．
8．(7分)为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组情况及各组的频数如下：[10.75，10.85)，3；[10.85，10.95)，9；[10.95，11.05)，13；[11.05，11.15)，16；[11.15,11.25)，26；[11.25，11.35)，20；[11.35,11.45)，7；[11.45，11.55)，4；[11.55,11.65]，2.
(1)完成频率分布表.
分组 频数 频率
[10.75,10.85)
[10.85,10.95)
[10.95,11.05)
[11.05,11.15)
[11.15,11.25)
[11.25,11.35)
[11.35,11.45)
[11.45,11.55)
[11.55,11.65]
合计
(2)据上述图表，估计数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性；
(3)数据小于11.20的可能性是多少？
9．(7分)从全校参加期末考试的试卷中抽取一个样本，考察成绩(均为整数)的分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图(如图所示)，从左到右各小组的小矩形的高之比为2∶3∶6∶4∶1，最左边的一组频数为6.
(1)求样本容量；
(2)求105.5～120.5这一组的频数及频率；
(3)如果成绩大于120分为优秀，估计这次考试成绩的优秀率．
10．(10分)随机抽取100名学生，测得他们的身高(单位： cm)，按照区间[160,165)，[165,170)，[170,175)，[175,180)，[180,185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．
(1)求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm及以上的学生人数；
(2)将身高在[170,175)，[175,180)，[180,185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数．
B级——重点培优
11．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )
A．6 B．8
C．12 D．18
12．(多选)为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了10 000 名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图．
下列说法正确的是( )
A．月收入低于5 000元的职工有5 500名
B．如果个税起征点调整至5 000元，估计有50%的当地职工会被征税
C．月收入高于或等于7 000元的职工约为当地职工的5%
D．根据此次调查，为使60%以上的职工不用缴纳个税，起征点应位于[5 000,6 000)内
13．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．则：
(1)图中的x＝________；
(2)若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，则该校600名新生中估计有________名学生可以申请住宿．
14．(11分)对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：
小时数 发生次数
[100,200) 20
[200,300) 30
[300,400) 80
[400,500) 40
[500,600] 30
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和频率折线图；
(3)求电子元件寿命在[100,400)h内的频率；
(4)求电子元件寿命在400 h以上的频率．
15．(12分)为增强市民节能环保意识，某市向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如表所示：
分组(单位：岁) 频数 频率
[20,25) 5 0.05
[25,30) ① 0.20
[30,35) 35 ②
[35,40) 30 0.30
[40,45] 10 0.10
合计 100 1.00
(1)频率分布表中的①②位置应填什么数据？
(2)补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)的人数．
课时跟踪检测(四十三)
1．选D ∵n·＝27，∴n＝60.
2．选B 由题知不低于60分的频率为(0.02＋0.015)×20＝0.7，
又不低于60分的人数是35，所以该班的学生人数是＝50.
3．选CD 大样本往往更接近于总体，所以A正确；B中n＝40÷0.125＝320；C中频率分布直方图中，小矩形的高等于该组的频率/组距；D中应将频率分布直方图中各小矩形上端的中点顺次连接起来得到频率折线图．
4．选A 由题图可知身高大于或等于98 cm且小于104 cm的儿童的频率为(0.1＋0.15＋0.125)×2＝0.75，所以抽查的120名儿童中有120×0.75＝90(名)儿童的身高大于或等于98 cm且小于104 cm.
5．选BC 由折线图得数学成绩的频率分布直方图的组距为10.在A中，成绩为45分的人数一定是0，故A正确；在B中，成绩落在70～80分的人数为50×0.040×10＝20，但成绩为75分的人数不一定为20，故B错误；在C中，成绩落在60～70分的频率为0.018×10＝0.18，但成绩为60分的频率不一定为0.18，故C错误；在D中，成绩落在60～70分的人数为50×0.18＝9，故成绩落在60～80分的人数为29，故D正确．故选B、C.
6．解析：分数在[100,110)中的频率为，分数低于110的样本数为2＋5＋6＋8＝21.
答案： 21
7．解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.
(2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.
答案：(1)3 (2)6 000
8．解：(1)频率分布表：
分组 频数 频率
[10.75,10.85) 3 0.03
[10.85,10.95) 9 0.09
[10.95,11.05) 13 0.13
[11.05,11.15) 16 0.16
[11.15,11.25) 26 0.26
[11.25,11.35) 20 0.20
[11.35,11.45) 7 0.07
[11.45,11.55) 4 0.04
[11.55,11.65] 2 0.02
合计 100 1.00
(2)由上表知，数据落在[10.95,11.35)范围内的频率为0.13＋0.16＋0.26＋0.20＝0.75＝75%，即估计数据落在[10.95，11.35)范围内的可能性是75%.
(3)数据小于11.20的可能性即数据小于11.20的频率，设为x，则(x－0.41)÷(11.20－11.15)＝(0.67－0.41)÷(11.25－11.15)，所以x－0.41＝0.13，解得x＝0.54，所以估计数据小于11.20的可能性是54%.
9．解：在频率分布直方图中频数之比等于频率之比且样本的所有频率之和等于1.
(1)∵小矩形的高之比为频率之比，
∴从左到右各小组的频率之比为2∶3∶6∶4∶1.
∴最左边的一组的频率为＝.
∴样本容量＝＝＝48.
(2)∵105.5～120.5这一组的频率为＝，∴频数为48×＝18.
(3)∵成绩大于120分的频率为＝，
∴考试成绩的优秀率约为×100%＝31.25%.
10．解：(1)由频率分布直方图可知5×(0.07＋x＋0.04＋0.02＋0.01)＝1，解得x＝0.06，身高在170 cm及以上的学生人数为100×5×(0.06＋0.04＋0.02)＝60.
(2)A组人数为100×5×0.06＝30，B组人数为100×5×0.04＝20，C组人数为100×5×0.02＝10，由题意可知A组抽取人数为30×＝3，B组抽取人数为20×＝2，C组抽取人数为10×＝1，故A，B，C三个组分别抽取的学生人数为3,2,1.
11．选C 志愿者的总人数为＝50，所以第三组人数为50×0.36×1＝18，所以有疗效的人数为18－6＝12.
12．选ACD 月收入低于5 000元的职工有10 000×(0.000 1＋0.000 2＋0.000 25)×1 000＝5 500(名)，A正确；如果个税起征点调整至5 000元，由(0.000 25＋0.000 15＋0.000 05)×1 000×100%＝45%，可估计有45%的当地职工会被征税，B不正确；月收入高于或等于7 000元的职工约占0.000 05×1 000×100%＝5%，C正确；月收入低于5 000元的频率为0.55，低于6 000元的频率为0.8，D正确．
13．解析：(1)由频率分布直方图知20x＝1－20×(0.025＋0.006 5＋0.003＋0.003)，解得x＝0.012 5.
(2)上学时间不少于1小时的学生的频率为0.003×2×20＝0.12，因此估计有0.12×600＝72(人)可以申请住宿．
答案：(1)0.012 5 (2)72
14．解：(1)样本的频率分布表如下：
小时数 发生次数 发生频率
[100,200) 20 0.10
[200,300) 30 0.15
[300,400) 80 0.40
[400,500) 40 0.20
[500,600] 30 0.15
合计 200 1.00
(2)频率分布直方图和频率折线图如图所示．
(3)由频率分布表可知，寿命在[100,400)h内的电子元件出现的频率为0.10＋0.15＋0.40＝0.65，故估计寿命在[100,400)h内的电子元件的频率为0.65.
(4)由频率分布表知，寿命在400 h以上的电子元件的频率为0.20＋0.15＝0.35，故估计电子元件寿命在400 h以上的频率为0.35.
15．解：(1)设年龄在[25,30)内的频数为x，年龄在[30,35)的频率为y，
根据题意可得＝0.20，＝y，
解得x＝20，y＝0.35.
故①②位置应分别填20,0.35.
(2)由频率分布表知年龄在[25,30)内的频率是0.20，组距是5，所以＝＝0.04.
补全频率分布直方图，如图所示．
根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)的人数为500×0.35＝175.
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