4.1 样本的数字特征 (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义．
2．结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(极差、方差、标准差)，理解离散程度参数的统计含义．
样本的数字特征
概念或计算公式
平均数 样本数据的______________
中位数 将样本数据按______________的顺序排列后，“中间”的那个数据
众数 样本数据中出现次数最________的数据
极差 样本数据中最大值与最小值的差
方差 s2＝______________________________
标准差 s＝
|微|点|助|解|
1．平均数的性质
若给定一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，则ax1，ax2，…，axn的平均数为a；ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b.
2．方差的性质
若给定一组数据x1，x2，…，xn，其方差为s2，则ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2；ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.特别地，当a＝1时，有x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差为s2，这说明将一组数据中的每一个数据都加上一个相同的常数，方差是不变的，即不影响数据的波动性．
基础落实训练
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一组数据中的平均数和中位数都不一定是原数据中的数．( )
(2)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变．( )
2．七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：84,79,86,87,84,93,84，则这组分数的中位数和众数分别是( )
A．84,85 B．84,84
C．85,84 D．85,85
3．已知5位裁判给某运动员打出的分数分别为9.1,9.3，x，9.2，9.4，若这5个分数的平均数为9.3，则x＝________.
4．病毒研究所检测甲、乙两组实验小白鼠的某医学指标值，得到样本数据的频率分布直方图(如图所示)，则下列结论正确的是( )
A．甲组数据中位数大于乙组数据中位数
B．甲组数据平均数大于乙组数据平均数
C．甲组数据平均数大于甲组数据中位数
D．乙组数据平均数大于乙组数据中位数
题型(一) 样本数字特征的计算
[例1] 已知数据甲：10,11,12,13,14；数据乙：11,12,12,12,13，则( )
A．甲的平均数大于乙的平均数
B．乙的平均数大于甲的平均数
C．甲的方差大于乙的方差
D．乙的方差大于甲的方差
听课记录：
[例2] 为调查家庭人口数，从某小区抽取了263户家庭，人口数表示如下，求该样本的平均数，中位数，方差和标准差．(精确到0.01)
家庭人口数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
家庭数 20 29 48 50 46 36 19 8 4 3
听课记录：
|思|维|建|模|
1．平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．
2．计算标准差的五个步骤
第一步：算出样本数据的平均数；
第二步：算出每个样本数据与样本平均数的差xi－(i＝1,2，…，n)；
第三步：算出(xi－)2(i＝1,2，…，n)；
第四步：算出(xi－)2(i＝1,2，…，n)这n个数的平均数，即样本方差s2；
第五步：算出方差s2的算术平方根，即为样本标准差s.
[针对训练]
1．若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为＝5，方差s2＝2，则数据3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的平均数和方差分别为( )
A．5,2 B．16,2
C．16,18 D．16,9
2．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )
A．这种抽样方法是一种分层随机抽样
B．这五名男生成绩的中位数大于这五名女生成绩的中位数
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
题型(二) 众数、中位数、平均数与频率分布直方图相结合
[例3] 某校从参加高二年级学业水平测试的800名学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数；
(2)求这次测试数学成绩的中位数；
(3)求这次测试数学成绩的平均分；
(4)试估计这次测试高二年级80分以上的学生人数．
听课记录：
|思|维|建|模|
频率分布直方图中的平均数、中位数、众数的求法
(1)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
(2)中位数是使直方图左边和右边的面积相等的分界线与横轴交点的横坐标．
(3)众数是最高的矩形的底边中点的横坐标．
[针对训练]
3.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.
求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数；
(2)高一参赛学生的平均成绩．
题型(三) 样本的数字特征的应用
[例4] 在射击选拔赛中，某代表队甲、乙两人所得成绩如下表所示：
甲 9.8 10.3 10 10.5 9.9
乙 10.2 9.9 10.1 10.2 10.1
(1)分别求出甲、乙两人成绩的平均数与方差；
(2)根据(1)的结果，你认为甲、乙两人中谁更适合参加最终比赛？
听课记录：
|思|维|建|模|
利用样本数字特征进行决策时的两个关注点
(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．
(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．
[针对训练]
4．(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1,2，…，10)，试验结果如下：
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2.
(1)求，s2.
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高))
样本的数字特征
课前预知教材
平均值 从小到大 多 [(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]
[基础落实训练]
1．(1)√ (2)× 2.B 3.9.5 4.C
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 选C 甲的平均数1＝×(10＋11＋12＋13＋14)＝12，
乙的平均数2＝×(11＋12＋12＋12＋13)＝12，
∴甲的平均数与乙的平均数相等，故A、B错误；甲的方差s＝×[(10－12)2＋(11－12)2＋(12－12)2＋(13－12)2＋(14－12)2]＝2；
乙的方差s＝×[(11－12)2＋(12－12)2＋(12－12)2＋(12－12)2＋(13－12)2]＝0.4，
∴s>s，故C正确，D错误．
[例2] 解：根据题意，该样本的平均数为＝×(1×20＋2×29＋3×48＋4×50＋5×46＋6×36＋7×19＋8×8＋9×4＋10×3)＝≈4.30；
因为20＋29＋48＝97<，97＋50＝147>，所以该样本的中位数为4；
该样本的方差为s2＝×(20×3.32＋29×2.32＋48×1.32＋50×0.32＋46×0.72＋36×1.72＋19×2.72＋8×3.72＋4×4.72＋3×5.72)≈3.87；
因为1.9652＝3.861 225，1.972＝3.880 9，
所以该样本的标准差为s＝＝≈1.97.
[针对训练]
1．选C 法一：∵x1，x2，x3，…，xn的平均数为5，∴×(x1＋x2＋x3＋…＋xn)＝5，
∴×(3x1＋3x2＋3x3＋…＋3xn)＋1＝3×5＋1＝16.
∵x1，x2，x3，…，xn的方差为2，
∴3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.
法二：观察新数据与原数据的关系，可知新数据的平均数为3＋1＝3×5＋1＝16，新方差为32s2＝32×2＝18.
2．选C 对于A，若抽样方法为分层随机抽样，则男生，女生分别抽取6人，4人，故A错误；对于B，这5名男生成绩的中位数是90，这5名女生成绩的中位数为93，因为90<93，故B错误；对于C，这5名男生成绩的平均数是1＝×(86＋94＋88＋92＋90)＝90，这5名女生成绩的平均数是2＝×(88＋93＋93＋88＋93)＝91，这5名男生成绩的方差是[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2]＝8，这5名女生成绩的方差是[(88－91)2×2＋(93－91)2×3]＝6，所以这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差，故C正确；对于D，这5名男生成绩的平均数小于这5名女生成绩的平均数，不能得出该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，故D错误．
[题型(二)]
[例3] 解：(1)由题图知众数为＝75.
(2)由题图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.
(3)由题图知这次测试数学成绩的平均分为
45×0.005×10＋55×0.015×10＋65×0.02×10＋75×0.03×10＋85×0.025×10＋95×0.005×10＝72.
(4)因为[80,90)分的频率为0.025×10＝0.25，
[90,100]分的频率为0.005×10＝0.05，
所以估计这次测试高二年级80分以上的学生人数为800×(0.25＋0.05)＝240.
[针对训练]
3．解：(1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65.又∵第一个小矩形的面积为0.3，设第二个小矩形底边的一部分长为x，则x×0.04＝0.2，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.
(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，∴平均成绩约为67分．
[题型(三)]
[例4] 解：(1)依题意，得甲＝×(9.8＋10.3＋10＋10.5＋9.9)＝10.1，乙＝×(10.2＋9.9＋10.1＋10.2＋10.1)＝10.1，s＝×[(9.8－10.1)2＋(10.3－10.1)2＋(10－10.1)2＋(10.5－10.1)2＋(9.9－10.1)2]＝0.068，s＝×[(10.2－10.1)2＋(9.9－10.1)2＋(10.1－10.1)2＋(10.2－10.1)2＋(10.1－10.1)2]＝0.012.
(2)∵甲＝乙，s>s，∴甲、乙两人的平均成绩相等，但乙的成绩更稳定．∴甲、乙两人中乙更适合参加最终比赛．
[针对训练]
4．解：(1)由题意，求出zi的值如表所示，
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
zi 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12
则＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，
s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.
(2)因为2＝2＝，＝11＝>，
所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
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样本的数字特征
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
4.1
课时目标
1.结合实例,能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数),理解集中趋势参数的统计含义.
2.结合实例,能用样本估计总的离散程度参数(极差、方差、标准差),理解离散程度参数的统计含义.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
样本的数字特征
概念或计算公式
平均数 样本数据的_______
中位数 将样本数据按__________的顺序排列后,“中间”的那个数据
众数 样本数据中出现次数最____的数据
平均值
从小到大
多
极差 样本数据中最大值与最小值的差
方差 s2=_____________________________
标准差 s=
[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]
续表
|微|点|助|解|
1.平均数的性质
若给定一组数据x1,x2,…,xn的平均数为,则ax1,ax2,…,axn的平均数为a;ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数为a+b.
2.方差的性质
若给定一组数据x1,x2,…,xn,其方差为s2,则ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2;ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为a2s2.特别地,当a=1时,有x1+b,x2+b,…,xn+b的方差为s2,这说明将一组数据中的每一个数据都加上一个相同的常数,方差是不变的,即不影响数据的波动性.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)一组数据中的平均数和中位数都不一定是原数据中的数. ( )
(2)若改变一组数据中其中的一个数,则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变. ( )
√
×
2.七位评委为某跳水运动员打出的分数如下:84,79,86,87,84,93,84,则这组分数的中位数和众数分别是 ( )
A.84,85 B.84,84
C.85,84 D.85,85
解析:把七位评委打出的分数按从小到大的顺序排列为:79,84,84,84,
86,87,93,可知众数是84,中位数是84.
√
3.已知5位裁判给某运动员打出的分数分别为9.1,9.3,x,9.2,9.4,若这5个分数的平均数为9.3,则x= .
9.5
4.病毒研究所检测甲、乙两组实验小白鼠的某医学指标值,得到样本数据的频率分布直方图(如图所示),则下列结论正确的是 ( )
A.甲组数据中位数大于乙组数据中位数
B.甲组数据平均数大于乙组数据平均数
C.甲组数据平均数大于甲组数据中位数
D.乙组数据平均数大于乙组数据中位数
√
解析:根据甲组的样本数据的频率分布直方图可知为单峰的,直方图在右边“拖尾”,所以甲组的平均数大于中位数,且都小于7,同理可得乙组的平均数小于中位数,且都大于7,故甲组数据中位数小于乙组数据中位数,故A错误;甲组数据平均数小于乙组数据平均数,故B错误;甲组数据平均数大于甲组数据中位数,故C正确;乙组数据平均数小于乙组数据中位数,故D错误.
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 样本数字特征的计算
[例1] 已知数据甲:10,11,12,13,14;数据乙:11,12,12,12,13,则 ( )
A.甲的平均数大于乙的平均数
B.乙的平均数大于甲的平均数
C.甲的方差大于乙的方差
D.乙的方差大于甲的方差
√
解析:甲的平均数=×(10+11+12+13+14)=12,乙的平均数=×
(11+12+12+12+13)=12,∴甲的平均数与乙的平均数相等,故A、B错误;甲的方差=×[(10-12)2+(11-12)2+(12-12)2+(13-12)2+(14-12)2]=2;乙的方差=×[(11-12)2+(12-12)2+(12-12)2+(12-12)2+(13-12)2]=0.4,∴>,故C正确,D错误.
[例2] 为调查家庭人口数,从某小区抽取了263户家庭,人口数表示如下,求该样本的平均数,中位数,方差和标准差.(精确到0.01)
家庭人口数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
家庭数 20 29 48 50 46 36 19 8 4 3
解:根据题意,该样本的平均数为=×(1×20+2×29+3×48+4×50+5×46+6×36+7×19+8×8+9×4+10×3)=≈4.30;
因为20+29+48=97<,97+50=147>,所以该样本的中位数为4;
该样本的方差为
s2=×(20×3.32+29×2.32+48×1.32+50×0.32+46×0.72+36×1.72+19×2.72+8×3.72+4×4.72+3×5.72)
≈3.87;
因为1.9652=3.861 225,1.972=3.880 9,
所以该样本的标准差为s==≈1.97.
|思|维|建|模|
1.平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的;计算众数、中位数时,可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列,再根据各自的定义计算.
2.计算标准差的五个步骤
第一步:算出样本数据的平均数;
第二步:算出每个样本数据与样本平均数的差xi-(i=1,2,…,n);
第三步:算出(xi-)2(i=1,2,…,n);
第四步:算出(xi-)2(i=1,2,…,n)这n个数的平均数,即样本方差s2;
第五步:算出方差s2的算术平方根,即为样本标准差s.
针对训练
1.若数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为=5,方差s2=2,则数据3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的平均数和方差分别为( )
A.5,2 B.16,2
C.16,18 D.16,9
√
解析:法一:∵x1,x2,x3,…,xn的平均数为5,
∴×(x1+x2+x3+…+xn)=5,
∴×(3x1+3x2+3x3+…+3xn)+1=3×5+1=16.
∵x1,x2,x3,…,xn的方差为2,∴3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的方差是32×2=18.
法二:观察新数据与原数据的关系,可知新数据的平均数为3+1=3×5+1=16,新方差为32s2=32×2=18.
2.某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生.随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 ( )
A.这种抽样方法是一种分层随机抽样
B.这五名男生成绩的中位数大于这五名女生成绩的中位数
C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
√
解析:对于A,若抽样方法为分层随机抽样,则男生,女生分别抽取6人,4人,故A错误;对于B,这5名男生成绩的中位数是90,这5名女生成绩的中位数为93,因为90<93,故B错误;对于C,这5名男生成绩的平均数是=×(86+94+88
+92+90)=90,这5名女生成绩的平均数是=×(88+93+93+88+93)=91,这5名男生成绩的方差是[(86-90)2+(94-90)2+(88-90)2+(92-90)2+(90-90)2]=8,这5名女生成绩的方差是[(88-91)2×2+(93-91)2×3]=6,所以这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差,故C正确;
对于D,这5名男生成绩的平均数小于这5名女生成绩的平均数,不能得出该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数,故D错误.
题型(二) 众数、中位数、平均数与频率分布直方图相结合
[例3] 某校从参加高二年级学业水平测试的800名学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.
(1)求这次测试数学成绩的众数;
解:由题图知众数为=75.
(2)求这次测试数学成绩的中位数;
解:由题图知,设中位数为x,由于前三个矩形面积之和为0.4,第四个矩形面积为0.3,0.3+0.4>0.5,因此中位数位于第四个矩形内,得0.1=0.03(x-70),所以x≈73.3.
(3)求这次测试数学成绩的平均分;
解:由题图知这次测试数学成绩的平均分为45×0.005×10+55×0.015
×10+65×0.02×10+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.005×10=72.
(4)试估计这次测试高二年级80分以上的学生人数.
解:因为[80,90)分的频率为0.025×10=0.25,
[90,100]分的频率为0.005×10=0.05,
所以估计这次测试高二年级80分以上的学生人数为800×(0.25+0.05)=240.
|思|维|建|模|
频率分布直方图中的平均数、中位数、众数的求法
(1)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
(2)中位数是使直方图左边和右边的面积相等的分界线与横轴交点的横坐标.
(3)众数是最高的矩形的底边中点的横坐标.
针对训练
3.某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图,已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.
求:(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数;
解:用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值,得众数为65.又∵第一个小矩形的面积为0.3,设第二个小矩形底边的一部分长为x,则x×0.04=0.2,得x=5,∴中位数为60+5=65.
(2)高一参赛学生的平均成绩.
解:依题意,平均成绩为55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67,
∴平均成绩约为67分.
题型(三) 样本的数字特征的应用
[例4] 在射击选拔赛中,某代表队甲、乙两人所得成绩如下表所示:
(1)分别求出甲、乙两人成绩的平均数与方差;
甲 9.8 10.3 10 10.5 9.9
乙 10.2 9.9 10.1 10.2 10.1
解:依题意,得=×(9.8+10.3+10+10.5+9.9)=10.1,
=×(10.2+9.9+10.1+10.2+10.1)=10.1,=×[(9.8-10.1)2+(10.3-10.1)2+(10-10.1)2+(10.5-10.1)2+(9.9-10.1)2]=0.068,=×[(10.2-10.1)2+(9.9-10.1)2+(10.1-10.1)2+(10.2-10.1)2+(10.1-10.1)2]=0.012.
(2)根据(1)的结果,你认为甲、乙两人中谁更适合参加最终比赛
解:∵=,>,
∴甲、乙两人的平均成绩相等,但乙的成绩更稳定.
∴甲、乙两人中乙更适合参加最终比赛.
|思|维|建|模|
利用样本数字特征进行决策时的两个关注点
(1)平均数与每一个数据都有关,可以反映更多的总体信息,但受极端值的影响大;中位数是样本数据所占频率的等分线,不受几个极端值的影响;众数只能体现数据的最大集中点,无法客观反映总体特征.
(2)当平均数大于中位数时,说明数据中存在许多较大的极端值;反之,说明数据中存在许多较小的极端值.
针对训练
4.(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下:
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),z1,z2,…,z10的样本平均数为,样本方差为s2.
(1)求,s2.
解:由题意,求出zi的值如表所示,
则=×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,
s2=×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=61.
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
zi 9 6 8 -8 15 11 19 18 20 12
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高
解:因为2=2=,=11=>,
所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
课时跟踪检测
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2
A级——达标评价
1.(多选)下列统计量中,用于测度样本的集中趋势的有( )
A.中位数 B.平均数
C.众数 D.标准差
解析:在样本的数字特征中,中位数、平均数、众数都用于测度样本的集中趋势,标准差测度样本数据的离散程度,判断稳定性.
√
√
√
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2.(多选)下列说法中,正确的是 ( )
A.数据2,4,6,8的中位数是4,6
B.数据1,2,2,3,4,4的众数是2,4
C.一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据
D.8个数据的平均数为5,另3个数据的平均数为7,则这11个数据的平均数是
√
√
√
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解析:数据2,4,6,8的中位数为=5,显然A是错误的,B、C、D都是正确的.
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3.一组数据1,10,5,2,x,2,且2A.3 B.4
C.4.5 D.5
解析:因为2√
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4.一个样本的数据在60左右波动,各个数据都减去60后得到一组新数据,算得其平均数是6,则这个样本的平均数是 ( )
A.6.6 B.6
C.66 D.60
解析:设原来的一组数据是x1,x2,…,xn,则每一个数据都减去60得到新数据且求得新数据的平均数是6,所以×[(x1-60)+(x2-60)+…+(xn-60)]=6,即-60=6,所以=66,故样本的平均数是66.
√
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5.已知一组样本数据共有9个数,其平均数为8,方差为12.将这组样本数据增加一个数据后,所得新的样本数据的平均数为9,则新的样本数据的方差为 ( )
A.18.2 B.19.6
C.19.8 D.21.4
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6.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为 .
解析:=6.
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7.若一组数据1,x,7,7,9,10的众数与平均数相等,则这组数据的中位数为 .
解析:在这组数据中7出现了两次,其他的数只出现了一次(x除外),
因为数据1,x,7,7,9,10的众数与平均数相等,
所以这组数据的众数只能是7,
则×(1+x+7+7+9+10)=7,解得x=8,
当x=8时,众数是7,
所以这组数据的中位数为=7.5.
7.5
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8.甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中,甲队平均每场进球数为3.2,全年比赛进球个数的标准差为3;乙队平均每场进球数为1.8,全年比赛进球个数的标准差为0.3.下列说法正确的个数是 .
①甲队技术比乙队好;②乙队发挥比甲队稳定;
③乙队几乎每场都进球;④甲队表现时好时坏.
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解析:因为甲队平均每场进球数为3.2,乙队平均每场进球数为1.8,所以甲队技术比乙队好,故①正确;因为甲队全年比赛进球个数的标准差为3,乙队全年比赛进球个数的标准差为0.3,所以乙队发挥比甲队稳定,故②正确;乙队全年比赛进球个数的标准差为0.3,说明每次进球数均值,所以乙队几乎每场都进球,故③正确;甲队全年比赛进球个数的标准差为3,说明甲队表现时好时坏,故④正确.
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9.(10分)据了解,某公司的33名职工的月工资(单位:元)如下:
职务 人数 工资
董事长 1 5 500
副董事长 1 5 000
董事 2 3 500
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总经理 1 3 000
经理 5 2 500
管理员 3 2 000
职员 20 1 500
续表
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数;
解:(1)平均数=1 500+×(4 000+3 500+2 000×2+1 500+1 000×5+500
×3+0×20)≈1 500+591=2 091(元),中位数是1 500元,众数是1 500元.
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(2)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平 结合此问题谈一谈你的看法.
解:在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司职工的工资水平.因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大,这样导致平均数与中位数的偏差较大,所以平均数不能客观、真实地反映这个公司职工的工资水平.
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10.(12分)甲、乙两人在相同条件下各打靶10次,每次打靶的成绩情况如图所示:
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(1)请填写下表:
平均数 中位数 命中9环以上的次数(含9环)
甲 7
乙
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解:由题图可知,甲打靶的成绩为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10;乙打靶的成绩为9,5,
7,8,7,6,8,6,7,7.甲的平均数是7,中位数是7.5,命中9环及9环以上的次数是3;乙的平均数是7,中位数是7,命中9环及9环以上的次数是1.
平均数 中位数 命中9环以上的次数(含9环)
甲 7 7.5 3
乙 7 7 1
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(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析:
①从平均数和中位数相结合看,谁的成绩好些
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看,谁的成绩好些
③从折线图中两人射击命中环数的走势看,谁更有潜力
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解:由(1)知,甲、乙的平均数相同.
①甲、乙的平圴数相同,甲的中位数比乙的中位数大,所以甲成绩较好.
②甲、乙的平均数相同,甲命中9环及9环以上的次数比乙多,所以甲成绩较好.
③从折线图中看,在后半部分,甲呈上升趋势,而乙呈下降趋势,故甲更有潜力.
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B级——重点培优
11.已知数据x1,x2,x3,…,xn是某市普通职工n(n≥3,n∈N+)个人的年收入,设这n个数据的中位数为x,平均数为y,方差为z,如果再加上世界首富的年收入xn+1,那么关于这(n+1)个数据的说法正确的是( )
A.平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变
B.平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大
C.平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变
D.平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变
√
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解析:插入的xn+1是大的极端值,则平均数增加,中位数可能不发生变化,方差因为数据更加分散而变大,故B正确.
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12.某校为了解高一学生一周课外阅读情况,随机抽取甲、乙两个班的学生,收集并整理他们一周阅读时间(单位:h),绘制了下面频率分布直方图.根据直方图,得到甲、乙两班学生一周阅读时间的平均数分别为,,标准差分别为s1,s2,则( )
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A.>,s1>s2 B.<,s1C.=,s1>s2 D.=,s1解析:根据频率分布直方图可知=1.5×0.1+2.5×0.2+3.5×0.4+4.5×0.2
+5.5×0.1=3.5,=1.5×0.1+2.5×0.3+3.5×0.2+4.5×0.3+5.5×0.1=3.5,=(1.5-3.5)2×0.1+(2.5-3.5)2×0.2+(3.5-3.5)2×0.4+(4.5-3.5)2×0.2+(5.5-3.5)2
×0.1=1.2,=(1.5-3.5)2×0.1+(2.5-3.5)2×0.3+(3.5-3.5)2×0.2+(4.5-3.5)2
×0.3+(5.5-3.5)2×0.1=1.4,所以=,s1√
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13.(多选)《国家学生体质健康标准》是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质量基本标准,它适用于全日制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生.某高校组织4 000名大一新生进行体质健康测试,现抽查200名大一新生的体测成绩,得到如图所示的频率分布直方图,其中分组区间为[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),
[90,95),[95,100].则下列说法正确的是 ( )
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2
A.估计该样本的众数是87.5
B.估计该样本的平均数是80
C.估计该样本的中位数是86
D.若测试成绩达到85分方可参加评奖,则有资格参加评奖的大一新生约为2 200人
√
√
√
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解析:对于A项,由频率分布直方图可得,最高小矩形为[85,90),所以可估计该样本的众数是=87.5,故A项正确;对于B项,由频率分布直方图,可估计该样本的平均数是0.020×5×72.5+0.030×5×77.5+0.040×5×82.5
+0.050×5×87.5+0.035×5×92.5+0.025×5×97.5=85.625,故B项错误;对于C项,由频率分布直方图可得,成绩在[70,85)之间的频率为0.020×5
+0.030×5+0.040×5=0.45,
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2
在[70,90)之间的频率为0.020×5+0.030×5+0.040×5+0.050×5=0.7,所以可估计该样本的中位数在[85,90)内.设中位数为x,则由0.45+
×0.25=0.5,可得x=86,故C项正确;对于D项,由频率分布直方图可得,测试成绩达到85分的频率为0.050×5+0.035×5+0.025×5=0.55,所以可估计有资格参加评奖的大一新生约为4 000×0.55=2 200人,故D项正确.课时跟踪检测(四十四) 样本的数字特征
(满分80分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．(多选)下列统计量中，用于测度样本的集中趋势的有( )
A．中位数 B．平均数
C．众数 D．标准差
2．(多选)下列说法中，正确的是( )
A．数据2,4,6,8的中位数是4,6
B．数据1,2,2,3,4,4的众数是2,4
C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据
D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是
3．一组数据1,10,5,2，x,2，且2A．3 B．4
C．4.5 D．5
4．一个样本的数据在60左右波动，各个数据都减去60后得到一组新数据，算得其平均数是6，则这个样本的平均数是( )
A．6.6 B．6
C．66 D．60
5．已知一组样本数据共有9个数，其平均数为8，方差为12.将这组样本数据增加一个数据后，所得新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差为( )
A．18.2 B．19.6
C．19.8 D．21.4
6．已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________．
7．若一组数据1，x,7,7,9,10的众数与平均数相等，则这组数据的中位数为__________．
8．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.下列说法正确的个数是__________．
①甲队技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；
③乙队几乎每场都进球；④甲队表现时好时坏．
9．(10分)据了解，某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下：
职务 人数 工资
董事长 1 5 500
副董事长 1 5 000
董事 2 3 500
总经理 1 3 000
经理 5 2 500
管理员 3 2 000
职员 20 1 500
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．
10．(12分)甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：
(1)请填写下表：
平均数 中位数 命中9环以上的次数(含9环)
甲 7
乙
(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？
③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？
B级——重点培优
11．已知数据x1，x2，x3，…，xn是某市普通职工n(n≥3，n∈N＋)个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，那么关于这(n＋1)个数据的说法正确的是( )
A．平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B．平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
12．某校为了解高一学生一周课外阅读情况，随机抽取甲、乙两个班的学生，收集并整理他们一周阅读时间(单位：h)，绘制了下面频率分布直方图．根据直方图，得到甲、乙两班学生一周阅读时间的平均数分别为1，2，标准差分别为s1，s2，则( )
A.1>2，s1>s2 B.1<2，s1C.1＝2，s1>s2 D.1＝2，s113．(多选)《国家学生体质健康标准》是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质量基本标准，它适用于全日制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生．某高校组织4 000名大一新生进行体质健康测试，现抽查200名大一新生的体测成绩，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]．则下列说法正确的是( )
A．估计该样本的众数是87.5
B．估计该样本的平均数是80
C．估计该样本的中位数是86
D．若测试成绩达到85分方可参加评奖，则有资格参加评奖的大一新生约为2 200人
课时跟踪检测(四十四)
1．选ABC 在样本的数字特征中，中位数、平均数、众数都用于测度样本的集中趋势，标准差测度样本数据的离散程度，判断稳定性．
2．选BCD 数据2,4,6,8的中位数为＝5，显然A是错误的，B、C、D都是正确的．
3．选B 因为24．选C 设原来的一组数据是x1，x2，…，xn，则每一个数据都减去60得到新数据且求得新数据的平均数是6，所以×[(x1－60)＋(x2－60)＋…＋(xn－60)]＝6，即－60＝6，所以＝66，故样本的平均数是66.
5．选C 设增加的数为k，原来的9个数分别为a1，a2，…，a9，
则a1＋a2＋…＋a9＝72，a1＋a2＋…＋a9＋k＝90，所以k＝18，
又因为(ai－8)2＝12，即(ai－8)2＝108，所以＝＝19.8.
6．解析：＝6.
答案：6
7．解析：在这组数据中7出现了两次，其他的数只出现了一次(x除外)，
因为数据1，x,7,7,9,10的众数与平均数相等，所以这组数据的众数只能是7，
则×(1＋x＋7＋7＋9＋10)＝7，解得x＝8，当x＝8时，众数是7，
所以这组数据的中位数为＝7.5.
答案：7.5
8．解析：因为甲队平均每场进球数为3.2，乙队平均每场进球数为1.8，所以甲队技术比乙队好，故①正确；
因为甲队全年比赛进球个数的标准差为3，乙队全年比赛进球个数的标准差为0.3，所以乙队发挥比甲队稳定，故②正确；
乙队全年比赛进球个数的标准差为0.3，说明每次进球数均值，所以乙队几乎每场都进球，故③正确；
甲队全年比赛进球个数的标准差为3，说明甲队表现时好时坏，故④正确．
答案：4
9．解：(1)平均数＝1 500＋×(4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20)≈1 500＋591＝2 091(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元．
(2)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司职工的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数的偏差较大，所以平均数不能客观、真实地反映这个公司职工的工资水平．
10．解：(1)由题图可知，甲打靶的成绩为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10；乙打靶的成绩为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.甲的平均数是7，中位数是7.5，命中9环及9环以上的次数是3；乙的平均数是7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是1.
平均数 中位数 命中9环以上的次数(含9环)
甲 7 7.5 3
乙 7 7 1
(2)由(1)知，甲、乙的平均数相同．
①甲、乙的平圴数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成绩较好．
②甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲成绩较好．
③从折线图中看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力．
11．选B 插入的xn＋1是大的极端值，则平均数增加，中位数可能不发生变化，方差因为数据更加分散而变大，故B正确．
12．选D 根据频率分布直方图可知1＝1.5×0.1＋2.5×0.2＋3.5×0.4＋4.5×0.2＋5.5×0.1＝3.5，2＝1.5×0.1＋2.5×0.3＋3.5×0.2＋4.5×0.3＋5.5×0.1＝3.5，s＝(1.5－3.5)2×0.1＋(2.5－3.5)2×0.2＋(3.5－3.5)2×0.4＋(4.5－3.5)2×0.2＋(5.5－3.5)2×0.1＝1.2，s＝(1.5－3.5)2×0.1＋(2.5－3.5)2×0.3＋(3.5－3.5)2×0.2＋(4.5－3.5)2×0.3＋(5.5－3.5)2×0.1＝1.4，所以1＝2，s113．选ACD 对于A项，由频率分布直方图可得，最高小矩形为[85,90)，所以可估计该样本的众数是＝87.5，故A项正确；对于B项，由频率分布直方图，可估计该样本的平均数是0.020×5×72.5＋0.030×5×77.5＋0.040×5×82.5＋0.050×5×87.5＋0.035×5×92.5＋0.025×5×97.5＝85.625，故B项错误；对于C项，由频率分布直方图可得，成绩在[70,85)之间的频率为0.020×5＋0.030×5＋0.040×5＝0.45，在[70,90)之间的频率为0.020×5＋0.030×5＋0.040×5＋0.050×5＝0.7，所以可估计该样本的中位数在[85,90)内．设中位数为x，则由0.45＋×0.25＝0.5，可得x＝86，故C项正确；对于D项，由频率分布直方图可得，测试成绩达到85分的频率为0.050×5＋0.035×5＋0.025×5＝0.55，所以可估计有资格参加评奖的大一新生约为4 000×0.55＝2 200人，故D项正确．
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