阶段质量评价(五)　概率（含解析）高中数学北师大版（2019）必修 第一册

阶段质量评价(五)　概率
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)
1．以下事件是随机事件的是(　　)
A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄
C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大
2．某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两枚骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法(　　)
A．公平，每个班被选到的概率都为
B．公平，每个班被选到的概率都为
C．不公平，6班被选到的概率最大
D．不公平，7班被选到的概率最大
3．暑假里，甲、乙两人一起去游泰山，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是(　　)
A. B.
C. D.
4.某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为(　　)
A. B.
C. D.
5．甲、乙两人罚球的命中率分别为，，两人分别罚球2次，则他们共命中3次的概率为(　　)
A. B.
C. D.
6．教室有4扇编号分别为a，b，c，d的窗户和2扇编号分别为x，y的门，窗户d敞开，其余窗户和门均被关闭．为保持教室空气流通，班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开2扇，则至少有1扇门被敞开的概率为(　　)
A. B.
C. D.
7．高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立．假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为a，b，，该同学可以进入两个社团的概率为，且三个社团都进不了的概率为，则ab＝(　　)
A. B.
C. D.
8．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为1,2,3,4,5的五个小球．小球除编号不同外，其余均相同．活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金100元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金50元；若抽到其余编号的小球，则不中奖．现某顾客依次有放回地抽奖两次，则该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率为(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．)
9．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是(　　)
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球中恰有1个红球的概率为
10．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
根据表中数据，下列结论正确的是(　　)
A．顾客购买乙商品的概率最大
B．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2
C．顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3
D．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.3
11．“国庆节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论正确的是(　　)
A．这40辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5
B．在该服务区任意抽取一辆车，车速超过80 km/h的概率为0.35
C．若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为
D．若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[60,65)内的概率为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．)
12．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如表所示：
年降水量/ mm [100，150) [150，200) [200，250) [250，300]
概率 0.21 0.16 0.13 0.12
则年降水量在[200,300](mm)范围内的概率是________．
13．一个袋子中有5个红球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记事件A＝{摸出黑球}，事件B＝{摸出绿球}，事件C＝{摸出红球}，则P(A)＝________；P(B∪C)＝________.
14．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．
四、解答题(本大题共5小题，共77分．)
15．(13分)“抢红包”的活动给节假日增添了一份趣味，某组织进行了一次关于“是否参与抢红包活动”的调查活动，在几个大型小区随机抽取50位居民进行问卷调查，对问卷结果进行了统计，并将调查结果统计如下表：
年龄/岁 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70]
调查人数 4 6 14 12 8 6
参与的人数 3 4 12 6 3 2
(1)补全如图所示有关调查人数的频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计这50位居民年龄的中位数和平均数(结果精确到0.1)；
(2)在被调查的居民中，若从年龄在[10,20)，[20,30)内的居民中各随机选取1人参加抽奖活动，求选中的2人中仅有1人没有参与抢红包活动的概率．
16．(15分)随机抽取一个年份，对某市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴
日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
(1)在4月份任取一天，估计该市在该天不下雨的概率；
(2)该市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
17．(15分)某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张．甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张．求：
(1)两人都抽到足球票的概率；
(2)两人中至少有1人抽到足球票的概率．
18．(17分)棉花的优质率是以其纤维长度来衡量的，纤维越长的棉花品质越高．棉花的品质分类标准为：纤维长度(单位：mm)小于等于25的为粗绒棉，纤维长度在(25,33]为细绒棉，纤维长度大于33的为长绒棉，其中纤维长度在38以上的棉花又名“军海1号”．某采购商从新疆某一棉花基地抽测了100根棉花的纤维长度，得到数据绘制成频数分布表如下：
纤维长度/mm 小于等于25 (25,33] (33,38] 大于38
根数 2 38 40 20
(1)若将频率作为概率，根据以上数据，能否认为该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的50%以上”的要求？
(2)用分层随机抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花，再从6根棉花中取两根进行检验，求抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率．
19．(17分)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[17,18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
(2)设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13,14)∪[17,18]．求事件“|m－n|>1”的概率．
阶段质量评价(五)
1．选C　A、B、D是必然事件．故选C.
2．选D　记P(i)为第i班被选到的概率，其中i＝1,2，…，12，则P(2)＝P(12)＝，P(3)＝P(11)＝，P(4)＝P(10)＝，P(5)＝P(9)＝，P(6)＝P(8)＝，P(7)＝.所以这种选法不公平，7班被选到的概率最大．
3．选D　最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，故最后一个景点的选法共有36种，他们选择相同的景点的选法有6种，所以所求概率P＝＝，故选D.
4．选B　日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元．从条形统计图可以看出，日销售量为20个的有3天，记为a，b，c，日销售量为21个的有2天，记为A，B，从这5天中任选2天，可能的情况有10种：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中选出的2天日销售量都为21个的情况只有(A，B)1种，故所求概率P＝.
5．选A　甲、乙共命中3次的概率P＝2××××＋2××××＝2×＝.
6．选C　记“随机敞开2扇门或窗”为事件A，则事件A包含10个样本点，即(a，b)，(a，c)，(a，x)，(a，y)，(b，c)，(b，x)，(b，y)，(c，x)，(c，y)，(x，y)．记“至少有1扇门被敞开”为事件B，则事件B包含7个样本点，即(a，x)，(a，y)，(b，x)，(b，y)，(c，x)，(c，y)，(x，y)，所以P(B)＝，故选C.
7．选B　依题意，该同学可以进入两个社团的概率为，则ab＋a(1－b)＋b(1－a)＝，整理得ab＋a＋b＝，
又三个社团都进不了的概率为，则(1－a)(1－b)·＝，整理得a＋b－ab＝，联立ab＋a＋b＝与a＋b－ab＝，解得ab＝.
8．选D　由题意得，该顾客有放回地抽奖两次的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，…，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，共25个样本点．
两次抽奖奖金之和为100元包括三种情况：
①第一次奖金为100元，第二次没有中奖，其包含的情况为(3,1)，(3,5)，概率为P1＝；
②第一次没中奖，第二次奖金为100元，其包含的情况为(1,3)，(5,3)，概率为P2＝；
③两次各获奖金50元，
包含的情况有(2,2)，(2,4)，(4,2)，(4,4)，概率为P3＝.
根据互斥事件的概率加法公式得该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率为P＝P1＋P2＋P3＝.
9．选ACD　设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2，则P(A1)＝，P(A2)＝，且A1，A2相互独立．
2个球都是红球为A1A2，其概率为×＝，A正确；
“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，B错误；
2个球中至少有1个红球的概率为1－P()P()＝1－×＝，C正确；
2个球中恰有1个红球的概率为×＋×＝，D正确．故选A、C、D.
10．选BCD　在A中，由于购买甲商品的顾客有685位，购买乙商品的顾客有515位，A错误；在B中，从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2，B正确；在C中，从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3，C正确；在D中，从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有183位顾客仅购买1种商品，所以顾客仅购买1种商品的概率可以估计为0.183<0.3，D正确．故选B、C、D.
11．选ABC　在A中，由题图可知，众数的估计值为最高的矩形的中点对应的值＝77.5，A正确；在B中，车速超过80 km/h的频率为0.05×5＋0.02×5＝0.35，用频率估计概率知B正确；在C中，车速在[60,65)内的车辆数为2，车速在[65,70)内的车辆数为4，运用古典概型求概率得，车速都在[60,65)内的概率为，即至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为，故C正确，D错误．故选A、B、C.
12．解析：“年降水量在[200,300](mm)范围内”由“年降水量在[200,250)(mm)范围内”和“年降水量在[250,300](mm)范围内”两个互斥事件构成，因此概率为0.13＋0.12＝0.25.
答案：0.25
13．解析：由古典概型的算法可得P(A)＝，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝.
答案：　
14．解析：依题意得，加工出来的零件的正品率是××＝，因此加工出来的零件的次品率是1－＝.
答案：
15．解：(1)补全频率分布直方图，如图所示．
这50位居民年龄的平均数约为(15×0.008＋25×0.012＋35×0.028＋45×0.024＋55×0.016＋65×0.012)×10＝41.4(岁)．设中位数为x岁，则0.08＋0.12＋0.28＋0.024(x－40)＝0.5，解得x≈40.8，所以这50位居民年龄的中位数约为40.8岁．
(2)记年龄在[10,20)内的居民为a1，A2，A3，A4(其中居民a1没有参与抢红包活动)，年龄在[20,30)内的居民为b1，b2，B3，B4，B5，B6(其中居民b1，b2没有参与抢红包活动)．从年龄在[10,20)，[20,30)内的居民中各选取1人的情形有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，B3)，(a1，B4)，(a1，B5)，(a1，B6)，(A2，b1)，(A2，b2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，B5)，(A2，B6)，(A3，b1)，(A3，b2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A3，B5)，(A3，B6)，(A4，b1)，(A4，b2)，(A4，B3)，(A4，B4)，(A4，B5)，(A4，B6)，共24种．
其中仅有1人没有参与抢红包活动的情形有(a1，B3)，(a1，B4)，(a1，B5)，(a1，B6)，(A2，b1)，(A2，b2)，(A3，b1)，(A3，b2)，(A4，b1)，(A4，b2)，共10种，所以选中的2人中仅有1人没有参与抢红包活动的概率P＝＝.
16．解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，在4月份任选一天，该市不下雨的概率为P＝＝.
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.
17．解：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B，则“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件，于是P(A)＝，P()＝，P(B)＝，P()＝.
由于甲(或乙)是否抽到足球票，对乙(或甲)是否抽到足球票没有影响，因此A与B是相互独立事件．
(1)甲、乙两人都抽到足球票就是事件AB发生，根据相互独立事件的概率公式，得P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)甲、乙两人均未抽到足球票(事件 发生)的概率为P( )＝P()P()＝×＝，
所以两人中至少有1人抽到足球票的概率为P＝1－P( )＝1－＝.
18．解：(1)将频率作为概率，根据以上数据，
长绒棉占全部棉花的比例为＝60%，
∴该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的50%以上”的要求．
(2)用分层随机抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花，其中“军海1号”抽到的根数为6×＝2.
6根长绒棉中，记2根“军海1号”为A，B，剩余的4根长绒棉为c，d，e，f.从6根长绒棉中抽取两根的情形有
(A，B)，(A，c)，(A，d)，(A，e)，(A，f)，(B，c)，(B，d)，(B，e)，(B，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15种．
其中抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的情形有(A，c)，(A，d)，(A，e)，(A，f)，(B，c)，(B，d)，(B，e)，(B，f)，共8种，∴抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率P＝＝.
19．解：(1)由题中的频率分布直方图知，成绩在[14,16)内的人数为50×(0.16×1)＋50×(0.38×1)＝27，所以该班成绩良好的人数为27.
(2)设事件M：“|m－n|>1”．
由频率分布直方图知，成绩在[13,14)的人数为50×0.06×1＝3，设这3人分别为x，y，z；
成绩在[17,18]的人数为50×0.08×1＝4，设这4人分别为A，B，C，D.
若m，n∈[13,14)，则有xy，xz，yz，共3种情况；
若m，n∈[17,18]，则有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况；
若m，n分别在[13,14)和[17,18]内，此时有|m－n|>1.列出下表，可得共有12种情况.
A B C D
x xA xB xC xD
y yA yB yC yD
z zA zB zC zD
所以样本点总数为3＋6＋12＝21，其中事件“|m－n|>1”所包含的样本点个数为12.
故所求概率P(M)＝＝.
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