第2课时 随机事件与随机事件的运算
(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．能够在实际问题中抽象出随机事件的概念．理解随机事件与样本点的关系．
2．了解随机事件的交、并的含义，会进行简单的随机事件的运算．
3．理解互斥事件、对立事件的概念，并能判断事件的类型．
(一)随机事件
三种事件的定义
事件 随机事件 一般地，把试验E的样本空间Ω的________称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示．在每次试验中，当一个事件发生时，这个子集中的样本点必出现一个；反之，当这个子集中的一个样本点出现时，这个事件必然发生
必然事件 样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都______发生，因此称Ω为必然事件
不可能事件 空集 也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中____________，故称 为不可能事件
|微|点|助|解|
(1)必然事件与不可能事件不具有随机性．为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形，这样每个事件都是样本空间Ω的一个子集．
(2)样本点的概念可类比集合中元素的概念．试验可能发生的全部结果是一个集合，其元素是样本点，样本点不能分解，不能同时发生(相当于集合中元素的互异性)．
(3)事件与样本点的区别：样本点是试验中不能再分解的最简单的随机事件，而事件可以由若干个样本点组成．
(二)随机事件的运算
1．交事件与并事件
事件的运算 定义 图形及符号表示
交事件 一般地,由事件A与事件B都发生所构成的事件,称为事件A与事件B的交事件(或积事件) 图形:符号:A∩B(或AB)
并事件 一般地,由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生,或B发生,或A,B都发生)所构成的事件,称为事件A与事件B的并事件(或和事件) 图形:符号:A∪B(或A+B)
2.互斥事件与对立事件
事件的运算 定义 图形及符号表示
互斥事件 一般地,不能同时发生的两个事件A与B(A∩B= )称为互斥事件.它可以理解为A,B同时发生这一事件是不可能事件 图形:符号:A∩B=
对立事件 若A∩B= ,且A∪B=Ω,则称事件A与事件B互为对立事件,事件A的对立事件记作 图形:符号:A∩B= 且A∪B=Ω
|微|点|助|解|
(1)对立事件是针对两个事件来说的，若A与B是对立事件，则A与B互斥，且A＋B(或A∪B)为必然事件，即在一次试验中，事件A和它的对立事件B只能发生一个，并且必然发生一个，不可能两个都不发生或两个都发生．
(2)对立事件是特殊的互斥事件，若事件A与事件B是对立事件，则事件A与事件B一定是互斥事件；反之，若事件A与事件B是互斥事件，则事件A与事件B未必是对立事件．
基础落实训练
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)互斥事件一定对立．( )
(2)对立事件一定互斥．( )
(3)互斥事件不一定对立．( )
(4)必然事件的对立事件是不可能事件．( )
2．下列不是必然事件的是( )
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．三角形任意两边之和大于第三边
C．面积相等的两个三角形全等
D．三角形内心到三边距离相等
3．下列事件：①物体在重力作用下会自由下落；
②方程x2－2x＋3＝0有两个不相等的实数根；
③下周一会下雨；
④某广播电视台在某天某一节目播出时段内收到观众信息回复次数大于30次．
其中随机事件的序号为________．
4．抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E＝“点数为奇数”，F＝“点数为偶数”，G＝“点数大于2”，H＝“点数不大于2”，R＝“点数为1”．则下列结论不正确的是( )
A．E，F为对立事件
B．G，H为互斥不对立事件
C．E，G不是互斥事件
D．G，R是互斥事件
题型(一) 事件类型的判断
[例1] 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)没有空气和水，人类无法生存下去；
(3)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(4)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
听课记录：
|思|维|建|模|
判断一个事件是哪类事件的方法
一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；
二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
[针对训练]
1．下列事件是随机事件的是( )
A．在数轴上向区间(0,1)内投点，点落在区间(0,1)内
B．在数轴上向区间(0,1)内投点，点落在区间(0,2)内
C．在数轴上向区间(0,2)内投点，点落在区间(0,1)内
D．在数轴上向区间(0,2)内投点，点落在区间(－1，0)内
2．对满足A B的非空集合A、B，有下列四个命题：
①“若任取x∈A，则x∈B”是必然事件；
②“若x A，则x∈B”是不可能事件；
③“若任取x∈B，则x∈A”是随机事件；
④“若x B，则x A”是必然事件．
其中正确命题的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
题型(二) 事件与样本空间
[例2] 试验E：在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，观察球的标号．
(1)写出试验的样本空间；
(2)用样本点表示下列事件：
①事件A表示“从甲盒子中取出3号球”；
②事件B表示“取出的两个球上的标号为相邻整数”；
③事件C表示“取出的两个球上的标号之和能被3整除”．
听课记录：
|思|维|建|模|
事件与样本空间的两种题型与求解策略
(1)随机事件的表示：先列出所有的样本点，再确定要求的随机事件包含哪些样本点，把这些样本点作为元素表示成集合即可．
(2)说明随机事件的含义：要先理解事件中样本点的意义，观察它们的规律，进而确定随机事件的含义．
[针对训练]
3．从含有2件正品a1，a2和1件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)试用样本点表示事件“取出的2件产品中恰有1件次品”；
(3)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，试写出试验的样本空间；
(4)在(3)的条件下，试用样本点表示事件“取出的2件产品中恰有1件次品”．
题型(三) 事件关系的判断
[例3] 从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两球，下列哪些事件是互斥事件？它们是不是对立事件？
①至少有一个白球，都是白球；②至少有一个白球，至少有一个红球；③恰有一个白球，恰有两个白球；④至少有一个白球，都是红球．
听课记录：
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互斥事件、对立事件的判定方法
(1)利用基本概念来判断
①互斥事件不可能同时发生；
②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．
(2)利用集合的观点来判断
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.
①事件A与B互斥，即集合A∩B＝ ；
②事件A与B对立，即集合A∩B＝ ，且A∪B＝Ω，即A＝ ΩB或B＝ ΩA.
[针对训练]
4．抛掷编号为1,2的两枚骰子，记“1号骰子出现2点”为事件A，“2号骰子出现3点”为事件B，判断下列各题中的两个事件是否为互斥事件，为什么？
(1)事件A与事件AB；
(2)事件B与事件A.
题型(四) 事件的运算
[例4] 试验E：箱子里有3双不同的手套，随机拿出2只，记随机事件A为“拿出的手套配不成对”；随机事件B为“拿出的是同一只手上的手套”；随机事件C为“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”．
(1)写出试验E的样本空间Ω，并指出样本点的个数；
(2)分别用样本点表示随机事件A，随机事件B，随机事件C，并指出每个随机事件的样本点的个数；
(3)写出A∩B，B∩C，A∩C，B∪C.
听课记录：
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进行事件运算应注意的问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．
(3)同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，例如(A)＋(B)可简写为A＋B. [针对训练]
5．打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0,1,2,3.那么A＝A1∪A2∪A3表示( )
A．全部击中 B．至少击中1发
C．至少击中2发 D．以上均不正确
6．连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数．记事件A＝{两次出现的点数相同}，事件B＝{两次出现的点数之和为4}，事件C＝{两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件D＝{两次出现的点数之和为6}．
(1)用样本点表示事件C∩D，A∪B；
(2)若事件E＝{(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(5,1)，(6,2)}，则事件E与已知事件是什么运算关系？
随机事件与随机事件的运算
?课前预知教材
(一)子集 必然 都不会发生
(二)[基础落实训练] 1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2.C 3.③④ 4.B
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是必然事件．
(3)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．
(4)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．
(5)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
[针对训练]
1．选C 当x∈(0,1)时，必有x∈(0，1)，x∈(0,2)，所以A和B都是必然事件；当x∈(0,2)时，有x∈(0,1)或x (0,1)，所以C是随机事件；当x∈(0,2)时，必有x (－1，0)，所以D是不可能事件．
2．选B ①：因为A B，x∈A，所以x∈B，因此“若任取x∈A，则x∈B”是必然事件，故本命题是真命题；
②：当集合A是集合B的真子集时，显然存在一个元素在集合B中，不在集合A中，因此“若x A，则x∈B”是随机事件，故本命题是假命题；
③：任取x∈B，当集合A是集合B的真子集时，x∈A有可能成立，也可能不成立，因此“若任取x∈B，则x∈A”是随机事件，故本命题是真命题；
④：因为x B，所以一定有x A，显然“若x B，则x A”是必然事件，故本命题是真命题．因此①③④为真命题．
[题型(二)]
[例2] 解：(1)分别用x1，x2表示从甲、乙两个盒子中取出的球的标号，则x1，x2∈{1,2,3,4}，那么试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(2)①因为事件A表示的随机事件“从甲盒子中取出3号球”等价于x1＝3，所以事件A＝{(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)}．
②事件B表示的随机事件“取出的两个球上的标号为相邻整数”等价于x1，x2为相邻整数，所以事件B＝{(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)}．
③因为2≤x1＋x2≤8，所以事件C表示的随机事件“取出的两个球上的标号之和能被3整除”等价于x1＋x2＝3或6，所以事件C＝{(1,2)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(4,2)}．
[针对训练]
3．解：(1)每次任取1件，取后不放回地连续取两次，则样本空间为Ω1＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
(2)用A表示“取出的2件产品中恰有1件次品”，则A包含的样本点为(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，因此A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
(3)有放回地连续取两次，则样本空间为Ω2＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}．
(4)用B表示“有放回抽取，取出的2件产品中恰有1件次品”，则B中包含的样本点为(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，因此B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
[题型(三)]
[例3] 解：把2个红球标记为a，b,2个白球标记为c，d，任取两球，样本空间为
Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，
设“至少有一个白球”为事件A，则A＝{ac，ad，bc，bd，cd}，
设“至少有一个红球”为事件B，则B＝{ab，ac，ad，bc，bd}，
设“都是白球”为事件C，则C＝{cd}，
设“都是红球”为事件D，则D＝{ab}，
设“恰有一个白球”为事件E，则E＝{ac，ad，bc，bd}．
对于①，∵A∩C＝{cd}，∴“至少有一个白球”与“都是白球”不是互斥事件；
对于②，∵A∩B＝{ac，ad，bc，bd}，∴“至少有一个白球”与“至少有一个红球”不是互斥事件；
对于③，由题意，“恰有两个白球”即“都是白球”，∵E∩C＝ ，E∪C≠Ω，∴“恰有一个白球”与“恰有两个白球”是互斥事件，但不是对立事件；
对于④，∵A∩D＝ ，A∪D＝Ω，∴“至少有一个白球”与“都是红球”是互斥事件，且为对立事件．
综上所述，③④是互斥事件，其中④是对立事件．
[针对训练]
4．解：由题意得，事件A＝{(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)}，事件B＝{(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)}，其中样本点中第一个数为1号骰子出现的点数，第二个数为2号骰子出现的点数．
(1)事件AB＝{(2,3)}，所以A∩(AB)＝{(2,3)}≠ ，所以事件A与事件AB不是互斥事件．
(2)事件＝{(1,1)，(1,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，所以事件A＝{(2,1)，(2,2)，(2,4)，(2,5)，(2,6)}，
所以B∩A＝ ，所以事件B与事件A是互斥事件．
[题型(四)]
[例4] 解：(1)分别设3双手套为a1，a2，b1，b2，c1，c2，其中a1，b1，c1分别代表左手的3只手套，a2，b2，c2分别代表右手的3只手套．
试验E的样本空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)}，样本点的个数为15.
(2)随机事件A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)}，样本点的个数为12.
随机事件B＝{(a1，b1)，(a1，c1)，(a2，b2)，(a2，c2)，(b1，c1)，(b2，c2)}，样本点的个数为6.
随机事件C＝{(a1，b2)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)}，样本点的个数为6.
(3)A∩B＝{(a1，b1)，(a1，c1)，(a2，b2)，(a2，c2)，(b1，c1)，(b2，c2)}，B∩C＝ ，A∩C＝{(a1，b2)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)}，B∪C＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)}．
[针对训练]
5．选B A1∪A2∪A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发．故选B.
6．解：由题意得，事件A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，事件B＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}，事件C＝{(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)}，事件D＝{(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．
(1)C∩D＝{(1,5)，(5,1)}，A∪B＝{(1,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}．
(2)E＝B∪C.
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随机事件与随机事件的运算
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
1.2
课时目标
1.能够在实际问题中抽象出随机事件的概念.理解随机事件与样本点的关系.
2.了解随机事件的交、并的含义,会进行简单的随机事件的运算.
3.理解互斥事件、对立事件的概念,并能判断事件的类型.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
(一)随机事件
三种事件的定义
事件 随机事件 一般地,把试验E的样本空间Ω的______称为E的随机事件,简称事件,常用A,B,C等表示.在每次试验中,当一个事件发生时,这个子集中的样本点必出现一个;反之,当这个子集中的一个样本点出现时,这个事件必然发生
子集
事件 必然 事件 样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω也是一个事件;又因为它包含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω都______发生,因此称Ω为必然事件
不可能事件 空集 也是Ω的一个子集,可以看作一个事件;由于它不包含任何样本点,它在每次试验中___________,故称 为不可能事件
必然
都不会发生
续表
|微|点|助|解|
(1)必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形,这样每个事件都是样本空间Ω的一个子集.
(2)样本点的概念可类比集合中元素的概念.试验可能发生的全部结果是一个集合,其元素是样本点,样本点不能分解,不能同时发生(相当于集合中元素的互异性).
(3)事件与样本点的区别:样本点是试验中不能再分解的最简单的随机事件,而事件可以由若干个样本点组成.
(二)随机事件的运算
1.交事件与并事件
事件的运算 定义 图形及符号表示
交事件 一般地,由事件A与事件B都发生所构成的事件,称为事件A与事件B的交事件(或积事件) 图形:
符号:A∩B(或AB)
并事件 一般地,由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生,或B发生,或A,B都发生)所构成的事件,称为事件A与事件B的并事件(或和事件) 图形:
符号:A∪B(或A+B)
续表
2.互斥事件与对立事件
事件的运算 定义 图形及符号表示
互斥 事件 一般地,不能同时发生的两个事件A与B(A∩B= )称为互斥事件.它可以理解为A,B同时发生这一事件是不可能事件 图形:
符号:A∩B=
对立 事件 图形:
符号:A∩B= 且A∪B=Ω
续表
|微|点|助|解|
(1)对立事件是针对两个事件来说的,若A与B是对立事件,则A与B互斥,且A+B(或A∪B)为必然事件,即在一次试验中,事件A和它的对立事件B只能发生一个,并且必然发生一个,不可能两个都不发生或两个都发生.
(2)对立事件是特殊的互斥事件,若事件A与事件B是对立事件,则事件A与事件B一定是互斥事件;反之,若事件A与事件B是互斥事件,则事件A与事件B未必是对立事件.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)互斥事件一定对立. ( )
(2)对立事件一定互斥. ( )
(3)互斥事件不一定对立. ( )
(4)必然事件的对立事件是不可能事件. ( )
×
√
√
√
2.下列不是必然事件的是 ( )
A.角平分线上的点到角两边的距离相等
B.三角形任意两边之和大于第三边
C.面积相等的两个三角形全等
D.三角形内心到三边距离相等
√
解析:对于A,根据角平分线的定义可知,角平分线上的点到角两边的距离相等,是必然事件;对于B,根据三角形的性质可知,三角形任意两边之和大于第三边,是必然事件;对于C,面积相等的两个三角形不一定全等.例如:直角边为3,4的直角三角形和直角边为2,6的直角三角形,虽然面积相等,但不全等;对于D,根据三角形内心的性质可知,三角形内心到三边距离相等,是必然事件.
3.下列事件:①物体在重力作用下会自由下落;②方程x2-2x+3=0有两个不相等的实数根;③下周一会下雨;④某广播电视台在某天某一节目播出时段内收到观众信息回复次数大于30次.其中随机事件的序号为 .
解析:对于①,物体在重力作用下必然会自由下落,为必然事件,不是随机事件;对于②,方程x2-2x+3=0有两个不相等的实数根为不可能事件,不是随机事件;对于③,下周一会下雨可能发生,也可能不发生,为随机事件;对于④,收到观众信息回复次数大于30次可能发生,也可能不发生,为随机事件.
③④
4.抛掷一枚质地均匀的骰子,记随机事件:E=“点数为奇数”,F=“点数为偶数”,G=“点数大于2”,H=“点数不大于2”,R=“点数为1”.则下列结论不正确的是 ( )
A.E,F为对立事件 B.G,H为互斥不对立事件
C.E,G不是互斥事件 D.G,R是互斥事件
解析:E,F是对立事件,选项A正确;G,H为互斥且对立事件,选项B不正确;E,G不互斥,选项C正确;G,R为互斥事件,选项D正确.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 事件类型的判断
[例1] 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.
(1)某人购买福利彩票一注,中奖500万元;
解:购买一注彩票,可能中奖,也可能不中奖,所以是随机事件.
(2)没有空气和水,人类无法生存下去;
解:空气和水是人类生存的必要条件,没有空气和水,人类无法生存,所以是必然事件.
(3)同时抛掷两枚硬币一次,都出现正面向上;
解:同时抛掷两枚硬币一次,不一定都是正面向上,所以是随机事件.
(4)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张,抽到1号标签;
解:任意抽取,可能得到1,2,3,4号标签中的任一张,所以是随机事件.
(5)科学技术达到一定水平后,不需任何能量的“永动机”将会出现.
解:由能量守恒定律可知,不需任何能量的“永动机”不会出现,所以是不可能事件.
|思|维|建|模|
判断一个事件是哪类事件的方法
一看条件,因为三种事件都是相对于一定条件而言的;
二看结果是否发生,一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.
针对训练
1.下列事件是随机事件的是 ( )
A.在数轴上向区间(0,1)内投点,点落在区间(0,1)内
B.在数轴上向区间(0,1)内投点,点落在区间(0,2)内
C.在数轴上向区间(0,2)内投点,点落在区间(0,1)内
D.在数轴上向区间(0,2)内投点,点落在区间(-1,0)内
√
解析:当x∈(0,1)时,必有x∈(0,1),x∈(0,2),所以A和B都是必然事件;当x∈(0,2)时,有x∈(0,1)或x (0,1),所以C是随机事件;当x∈(0,2)时,必有x (-1,0),所以D是不可能事件.
2.对满足A B的非空集合A、B,有下列四个命题:
①“若任取x∈A,则x∈B”是必然事件;②“若x A,则x∈B”是不可能事件;③“若任取x∈B,则x∈A”是随机事件;④“若x B,则x A”是必然事件.
其中正确命题的个数为( )
A.4 B.3
C.2 D.1
√
解析:①:因为A B,x∈A,所以x∈B,因此“若任取x∈A,则x∈B”是必然事件,故本命题是真命题;
②:当集合A是集合B的真子集时,显然存在一个元素在集合B中,不在集合A中,因此“若x A,则x∈B”是随机事件,故本命题是假命题;
③:任取x∈B,当集合A是集合B的真子集时,x∈A有可能成立,也可能不成立,因此“若任取x∈B,则x∈A”是随机事件,故本命题是真命题;
④:因为x B,所以一定有x A,显然“若x B,则x A”是必然事件,故本命题是真命题.因此①③④为真命题.
[例2] 试验E:在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,观察球的标号.
题型(二) 利用指数幂的运算性质化简求值
题型(二) 事件与样本空间
(1)写出试验的样本空间;
解:分别用x1,x2表示从甲、乙两个盒子中取出的球的标号,则x1,
x2∈{1,2,3,4},那么试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),
(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(2)用样本点表示下列事件:
①事件A表示“从甲盒子中取出3号球”;
②事件B表示“取出的两个球上的标号为相邻整数”;
③事件C表示“取出的两个球上的标号之和能被3整除”.
解:①因为事件A表示的随机事件“从甲盒子中取出3号球”等价于x1=3,所以事件A={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)}.
②事件B表示的随机事件“取出的两个球上的标号为相邻整数”等价于x1,x2为相邻整数,所以事件B={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)}.
③因为2≤x1+x2≤8,所以事件C表示的随机事件“取出的两个球上的标号之和能被3整除”等价于x1+x2=3或6,所以事件C={(1,2),(2,1),(2,4),
(3,3),(4,2)}.
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事件与样本空间的两种题型与求解策略
(1)随机事件的表示:先列出所有的样本点,再确定要求的随机事件包含哪些样本点,把这些样本点作为元素表示成集合即可.
(2)说明随机事件的含义:要先理解事件中样本点的意义,观察它们的规律,进而确定随机事件的含义.
针对训练
3.从含有2件正品a1,a2和1件次品b1的3件产品中每次任取1件,每次取出后不放回,连续取两次.
(1)写出这个试验的样本空间;
解:每次任取1件,取后不放回地连续取两次,则样本空间为Ω1={(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.
(2)试用样本点表示事件“取出的2件产品中恰有1件次品”;
解:用A表示“取出的2件产品中恰有1件次品”,则A包含的样本点为(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),因此A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.
(3)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,试写出试验的样本空间;
解:有放回地连续取两次,则样本空间为Ω2={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1)}.
(4)在(3)的条件下,试用样本点表示事件“取出的2件产品中恰有1件次品”.
解:用B表示“有放回抽取,取出的2件产品中恰有1件次品”,则B中包含的样本点为(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),因此B={(a1,b1),(a2,b1),
(b1,a1),(b1,a2)}.
题型(三) 事件关系的判断
[例3] 从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两球,下列哪些事件是互斥事件 它们是不是对立事件
①至少有一个白球,都是白球;②至少有一个白球,至少有一个红球;③恰有一个白球,恰有两个白球;④至少有一个白球,都是红球.
解:把2个红球标记为a,b,2个白球标记为c,d,任取两球,样本空间为
Ω={ab,ac,ad,bc,bd,cd},
设“至少有一个白球”为事件A,则A={ac,ad,bc,bd,cd},
设“至少有一个红球”为事件B,则B={ab,ac,ad,bc,bd},
设“都是白球”为事件C,则C={cd},
设“都是红球”为事件D,则D={ab},
设“恰有一个白球”为事件E,则E={ac,ad,bc,bd}.
对于①,∵A∩C={cd},∴“至少有一个白球”与“都是白球”不是互斥事件;
对于②,∵A∩B={ac,ad,bc,bd},∴“至少有一个白球”与“至少有一个红球”不是互斥事件;
对于③,由题意,“恰有两个白球”即“都是白球”,∵E∩C= ,E∪C≠Ω,∴“恰有一个白球”与“恰有两个白球”是互斥事件,但不是对立事件;
对于④,∵A∩D= ,A∪D=Ω,∴“至少有一个白球”与“都是红球”是互斥事件,且为对立事件.
综上所述,③④是互斥事件,其中④是对立事件.
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互斥事件、对立事件的判定方法
(1)利用基本概念来判断
①互斥事件不可能同时发生;
②对立事件首先是互斥事件,且必须有一个要发生.
(2)利用集合的观点来判断
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A,B.
①事件A与B互斥,即集合A∩B= ;
②事件A与B对立,即集合A∩B= ,且A∪B=Ω,即A= ΩB或B= ΩA.
4.抛掷编号为1,2的两枚骰子,记“1号骰子出现2点”为事件A,“2号骰子出现3点”为事件B,判断下列各题中的两个事件是否为互斥事件,为什么
针对训练
(1)事件A与事件AB;
解:由题意得,事件A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)},事件B={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)},其中样本点中第一个数为1号骰子出现的点数,第二个数为2号骰子出现的点数.
事件AB={(2,3)},所以A∩(AB)={(2,3)}≠ ,所以事件A与事件AB不是互斥事件.
(2)事件B与事件A.
解:事件={(1,1),(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),
(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,4),(6,5),(6,6)},所以事件A={(2,1),(2,2),(2,4),(2,5),(2,6)},所以B∩A= ,所以事件B与事件A是互斥事件.
[例4] 试验E:箱子里有3双不同的手套,随机拿出2只,记随机事件A为“拿出的手套配不成对”;随机事件B为“拿出的是同一只手上的手套”;随机事件C为“拿出的手套一只是左手的,一只是右手的,但配不成对”.
(1)写出试验E的样本空间Ω,并指出样本点的个数;
题型(四) 事件的运算
解:分别设3双手套为a1,a2,b1,b2,c1,c2,其中a1,b1,c1分别代表左手的3只手套,a2,b2,c2分别代表右手的3只手套.
试验E的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),(b1,b2),
(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2),(c1,c2)},样本点的个数为15.
(2)分别用样本点表示随机事件A,随机事件B,随机事件C,并指出每个随机事件的样本点的个数;
解:随机事件A={(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2)},样本点的个数为12.
随机事件B={(a1,b1),(a1,c1),(a2,b2),(a2,c2),(b1,c1),(b2,c2)},样本点的个数为6.
随机事件C={(a1,b2),(a1,c2),(a2,b1),(a2,c1),(b1,c2),(b2,c1)},样本点的个数为6.
(3)写出A∩B,B∩C,A∩C,B∪C.
解:A∩B={(a1,b1),(a1,c1),(a2,b2),(a2,c2),(b1,c1),(b2,c2)},B∩C= ,A∩C=
{(a1,b2),(a1,c2),(a2,b1),(a2,c1),(b1,c2),(b2,c1)},B∪C={(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),
(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2)}.
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进行事件运算应注意的问题
(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
(2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
(3)同数的加、减、乘、除混合运算一样,事件的混合运算也有优先级,我们规定:求积运算的优先级高于求和运算,例如(A)+(B)可简写为A+B.
4.打靶3次,事件Ai表示“击中i发”,其中i=0,1,2,3.那么A=A1∪A2∪A3表示 ( )
A.全部击中 B.至少击中1发
C.至少击中2发 D.以上均不正确
解析:A1∪A2∪A3所表示的含义是A1,A2,A3这三个事件中至少有一个发生,即可能击中1发、2发或3发.故选B.
针对训练
√
5.连续抛掷两枚骰子,观察落地时的点数.记事件A={两次出现的点数相同},事件B={两次出现的点数之和为4},事件C={两次出现的点数之差的绝对值为4},事件D={两次出现的点数之和为6}.
(1)用样本点表示事件C∩D,A∪B;
解:由题意得,事件A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},
事件B={(1,3),(2,2),(3,1)},事件C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},
事件D={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
C∩D={(1,5),(5,1)},A∪B={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}.
(2)若事件E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},则事件E与已知事件是什么运算关系
解:E=B∪C.
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A级——综合提能
1.下列事件不是随机事件的是( )
A.东边日出西边雨 B.下雪不冷化雪冷
C.清明时节雨纷纷 D.梅子黄时日日晴
解析:B是必然事件,其余都是随机事件.
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2.12本外形相同的书中,有10本语文书,2本数学书,从中任意抽取3本,为必然事件的是 ( )
A.3本都是语文书 B.至少有一本是数学书
C.3本都是数学书 D.至少有一本是语文书
解析:从10本语文书,2本数学书中任意抽取3本的结果有:3本语文书,2本语文书和1本数学书,1本语文书和2本数学书,共3种,故选D.
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3.甲、乙两人独立地破译一份密码,设事件A=“甲成功破译”,事件B=“乙成功破译”,则表示“密码被成功破译”的事件为 ( )
A.A∪B B.A∩B
C.∪ D.∩
解析: “密码被成功破译”是指甲、乙两人至少有一个成功破译密码,而事件A∪B指的就是至少有一人破译密码,故选A.
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4.把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人,每人1张,事件“甲得红卡”与事件“乙得红卡”是 ( )
A.不可能事件 B.必然事件
C.对立事件 D.互斥且不对立事件
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解析:红、黄、蓝3张卡片分给甲、乙、丙三人,每人1张,事件“甲得红卡”与“乙得红卡”不可能同时发生,但事件“甲得红卡”不发生时,事件“乙得红卡”有可能发生,有可能不发生,所以事件“甲得红卡”与“乙得红卡”是互斥但不对立事件,故选D.
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5.(多选)某人在打靶中,连续射击3次,至多有一次中靶的互斥不对立事件是 ( )
A.至少有一次中靶 B.三次都中靶
C.恰有两次中靶 D.至少两次中靶
解析:射击3次中靶的次数可能是0,1,2,3,至多1次中靶,即中靶次数为0或1,它的互斥事件为:三次都中靶,恰有两次中靶,至少两次中靶,它的对立事件为至少两次中靶,故选B、C.
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6.一个射手进行一次射击,事件A:命中的环数大于8;事件B:命中的环数大于5;事件C:命中的环数小于4;事件D:命中的环数小于6.环数为非负实数,试判断以上四个事件A,B,C,D中为互斥事件的有________________.
解析:由题意易得互斥事件的有A与C,A与D,B与C.
A与C,A与D,B与C
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7.抛掷一枚质地均匀的骰子两次,事件M={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)},则事件M的含义是 .
解析:抛掷一枚质地均匀的骰子两次,事件M={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)},归纳可知,事件M的含义是:抛掷一枚质地均匀的骰子两次,向上点数之和为8的事件.
抛掷一枚质地均匀的骰子两次,向上点数之和为8
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8.向上抛掷一枚骰子,设事件A={点数为2或4},事件B={点数为2或6},事件C={点数为偶数},则事件C与A,B的运算关系是 .
C=A∪B
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9.(8分)设A,B,C表示三个随机事件,试用A,B,C的关系和运算分别表示下列事件:
(1)三个事件中至多有两个发生;
解:三个事件中至多有两个发生,即三个事件不能同时发生,所以三个事件中至多有两个发生表示为.
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(2)三个事件中至少有两个发生;
解:三个事件中至少有两个发生,即两个事件发生且另一个事件不发生或者三个事件同时发生,所以三个事件中至少有两个发生表示为(A∩B∩)∪(A∩∩C)∪(∩B∩C)∪(A∩B∩C).
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(3)三个事件恰有两个发生.
解:三个事件恰有两个发生,即两个事件发生且另一个事件不发生,所以三个事件恰有两个发生表示为(A∩B∩)∪(A∩∩C)∪(∩B∩C).
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10.(10分)掷一枚骰子,下列事件:A=“出现奇数点”,B=“出现偶数点”,C=“点数小于3”,D=“点数大于2”,E=“点数是3的倍数”.
求:(1)A∩B,BC;
解:∵A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2},D={3,4,5,6},E={3,6},∴={2,4,6},={1,3,5},={1,2},={1,2,4,5}.
A∩B= ,BC={2}.
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(2)A∪B,B+C;
解:A∪B={1,2,3,4,5,6},B+C={1,2,4,6}.
(3)记为事件H的对立事件,求,C,∪C,+.
解:={1,2},C=BC={2},∪C=A∪C={1,2,3,5},+={1,2,4,5}.
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B级——重点培优
11.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”,事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”,事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”,事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”,则下列关系不正确的是( )
A.A D B.B∩D=
C.A∪C=D D.A∪B=B∪D
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解析:事件C “恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中;事件D“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况:恰有一枚炮弹击中飞机,两枚炮弹都击中飞机.∵B∪D中包含该试验的所有样本点,而A∪B中不包含“恰好有一枚炮弹击中飞机”这一事件,∴A∪B≠B∪D.
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12.抛掷一颗质地均匀的骰子,有如下随机事件:Ai=“向上的点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6,B=“向上的点数为偶数”,则下列说法正确的是 ( )
A. B B.A2+B=Ω
C.A3与B互斥 D.A4与对立
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解析:对于A,={2,3,4,5,6},B={2,4,6},∴ B,故A错误;对于B,A2+
B={2}∪{2,4,6)={2,4,6}≠Ω,故B错误;对于C,A3与B不能同时发生,是互斥事件,故C正确;对于D,A4={4},={1,3,5},A4与是互斥且不对立事件,故D错误.故选C.
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13.如图所示的电路中,用A表示事件“电灯变亮”,用B,C,D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”,则A=____________
_____________.(用B,C,D间的运算关系式表示)
(BC)∪(BD)
或B∩(C∪D)
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14.(12分)某班要进行一次辩论比赛,现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组,每组3人.观察甲组的人员组成情况,记事件Ak=“甲组有k名女生”.
(1)事件A1含有多少个样本点
解:用1,2,3,4表示4名男生,用a,b表示2名女生,因为事件A1=“甲组有1名女生”,所以A1={(1,2,a),(1,2,b),(1,3,a),(1,3,b),(1,4,a),(1,4,b),(2,3,a),
(2,3,b),(2,4,a),(2,4,b),(3,4,a),(3,4,b)},共含12个样本点.
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(2)若事件B=“甲组至少有一名女生”,则事件B与事件Ak有怎样的运算关系
解:事件B=“甲组至少有一名女生”,其含义是甲组有一名女生或甲组有两名女生,所以B=A1∪A2.
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(3)事件A2与事件∪A0是什么关系
解:因为事件A2与A0∪A1是对立事件,所以=A0∪A1,所以∪A0=
A0∪A1,所以事件A2与事件∪A0是对立事件.
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15.(12分)在掷骰子的试验中,可以定义许多事件.例如,事件C1={出现1点},事件C2={出现2点},事件C3={出现3点},事件C4={出现4点},事件C5={出现5点},事件C6={出现6点},事件D1={出现的点数不大于1},事件D2={出现的点数大于3},事件D3={出现的点数小于5},事件E={出现的点数小于7},事件F={出现的点数为偶数},事件G={出现的点数为奇数}.
请根据上述定义的事件,回答下列问题:
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件;
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解:因为事件C1,C2,C3,C4发生,则事件D3必发生,所以C1 D3,C2 D3,
C3 D3,C4 D3.同理可得,事件E包含事件C1,C2,C3,C4,C5,C6;事件D2包含事件C4,C5,C6;事件F包含事件C2,C4,C6;事件G包含事件C1,C3,C5.且易知事件C1与事件D1相等,即C1=D1.
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(2)利用和事件的定义,判断上述哪些事件是和事件.
解:因为事件D2={出现的点数大于3}={出现4点或出现5点或出现6点},所以D2=C4+C5+C6(或D2=C4∪C5∪C6).同理可得,D3=C1+C2+C3+C4,E=C1+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6,G=C1+C3+C5.课时跟踪检测(四十七) 随机事件与随机事件的运算
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．下列事件不是随机事件的是( )
A．东边日出西边雨 B．下雪不冷化雪冷
C．清明时节雨纷纷 D．梅子黄时日日晴
2．12本外形相同的书中，有10本语文书，2本数学书，从中任意抽取3本，为必然事件的是 ( )
A．3本都是语文书 B．至少有一本是数学书
C．3本都是数学书 D．至少有一本是语文书
3．甲、乙两人独立地破译一份密码，设事件A＝“甲成功破译”，事件B＝“乙成功破译”，则表示“密码被成功破译”的事件为( )
A．A∪B B．A∩B
C.∪ D.∩
4．把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件“甲得红卡”与事件“乙得红卡”是( )
A．不可能事件 B．必然事件
C．对立事件 D．互斥且不对立事件
5．(多选)某人在打靶中，连续射击3次，至多有一次中靶的互斥不对立事件是( )
A．至少有一次中靶 B．三次都中靶
C．恰有两次中靶 D．至少两次中靶
6．一个射手进行一次射击，事件A：命中的环数大于8；事件B：命中的环数大于5；事件C：命中的环数小于4；事件D：命中的环数小于6.环数为非负实数，试判断以上四个事件A，B，C，D中为互斥事件的有__________．
7．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M＝{(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)}，则事件M的含义是________________________________________．
8．向上抛掷一枚骰子，设事件A＝{点数为2或4}，事件B＝{点数为2或6}，事件C＝{点数为偶数}，则事件C与A，B的运算关系是______________．
9．(8分)设A，B，C表示三个随机事件，试用A，B，C的关系和运算分别表示下列事件：
(1)三个事件中至多有两个发生；
(2)三个事件中至少有两个发生；
(3)三个事件恰有两个发生．
10．(10分)掷一枚骰子，下列事件：A＝“出现奇数点”，B＝“出现偶数点”，C＝“点数小于3”，D＝“点数大于2”，E＝“点数是3的倍数”．
求：(1)A∩B，BC；
(2)A∪B，B＋C；
(3)记为事件H的对立事件，求，C，∪C，＋.
B级——重点培优
11．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是( )
A．A D B．B∩D＝
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
12．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ai＝“向上的点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6，B＝“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是( )
A.1 B B．A2＋B＝Ω
C．A3与B互斥 D．A4与对立
13.如图所示的电路中，用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝________.(用B，C，D间的运算关系式表示)
14．(12分)某班要进行一次辩论比赛，现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组，每组3人．观察甲组的人员组成情况，记事件Ak＝“甲组有k名女生”．
(1)事件A1含有多少个样本点？
(2)若事件B＝“甲组至少有一名女生”，则事件B与事件Ak有怎样的运算关系？
(3)事件A2与事件2∪A0是什么关系？
15．(12分)在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}．
请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
课时跟踪检测(四十七)
1．选B B是必然事件，其余都是随机事件．
2．选D 从10本语文书，2本数学书中任意抽取3本的结果有：3本语文书，2本语文书和1本数学书，1本语文书和2本数学书，共3种，故选D.
3．选A “密码被成功破译”是指甲、乙两人至少有一个成功破译密码，而事件A∪B指的就是至少有一人破译密码，故选A.
4．选D 红、黄、蓝3张卡片分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件“甲得红卡”与“乙得红卡”不可能同时发生，但事件“甲得红卡”不发生时，事件“乙得红卡”有可能发生，有可能不发生，所以事件“甲得红卡”与“乙得红卡”是互斥但不对立事件，故选D.
5．选BC 射击3次中靶的次数可能是0,1,2,3，至多1次中靶，即中靶次数为0或1，它的互斥事件为：三次都中靶，恰有两次中靶，至少两次中靶，它的对立事件为至少两次中靶，故选B、C.
6．解析：由题意易得互斥事件的有A与C，A与D，B与C.
答案：A与C，A与D，B与C
7．解析：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M＝{(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)}，归纳可知，事件M的含义是：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，向上点数之和为8的事件．
答案：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，向上点数之和为8
8．C＝A∪B
9．解：(1)三个事件中至多有两个发生，即三个事件不能同时发生，所以三个事件中至多有两个发生表示为.
(2)三个事件中至少有两个发生，即两个事件发生且另一个事件不发生或者三个事件同时发生，所以三个事件中至少有两个发生表示为(A∩B∩)∪(A∩∩C)∪(∩B∩C)∪(A∩B∩C)．
(3)三个事件恰有两个发生，即两个事件发生且另一个事件不发生，所以三个事件恰有两个发生表示为(A∩B∩)∪(A∩∩C)∪(∩B∩C)．
10．解：∵A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2}，D＝{3,4,5,6}，E＝{3,6}，∴＝{2,4,6}，＝{1,3,5}，＝{1,2}，＝{1,2,4,5}．
(1)A∩B＝ ，BC＝{2}．
(2)A∪B＝{1,2,3,4,5,6}，B＋C＝{1,2,4,6}．
(3)＝{1,2}，C＝BC＝{2}，∪C＝A∪C＝{1,2,3,5}，＋＝{1,2,4,5}．
11．选D 事件C “恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中；事件D“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中飞机，两枚炮弹都击中飞机．∵B∪D中包含该试验的所有样本点，而A∪B中不包含“恰好有一枚炮弹击中飞机”这一事件，∴A∪B≠B∪D.
12．选C 对于A，1＝{2,3,4,5,6}，B＝{2,4,6}，∴1 B，故A错误；对于B，A2＋B＝{2}∪{2,4,6)＝{2,4,6}≠Ω，故B错误；对于C，A3与B不能同时发生，是互斥事件，故C正确；对于D，A4＝{4}，＝{1,3,5}，A4与是互斥且不对立事件，故D错误．故选C.
13．(BC)∪(BD)或B∩(C∪D)
14．解：(1)用1,2,3,4表示4名男生，用a，b表示2名女生，因为事件A1＝“甲组有1名女生”，所以A1＝{(1,2，a)，(1,2，b)，(1,3，a)，(1,3，b)，(1,4，a)，(1,4，b)，(2,3，a)，(2,3，b)，(2,4，a)，(2,4，b)，(3,4，a)，(3,4，b)}，共含12个样本点．
(2)事件B＝“甲组至少有一名女生”，其含义是甲组有一名女生或甲组有两名女生，所以B＝A1∪A2.
(3)因为事件A2与A0∪A1是对立事件，所以2＝A0∪A1，所以2∪A0＝A0∪A1，所以事件A2与事件2∪A0是对立事件．
15．解：(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1 D3，C2 D3，C3 D3，C4 D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4＋C5＋C6(或D2＝C4∪C5∪C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.
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