2．1 古典概型的概率计算公式 (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.结合具体实例，理解古典概型.
2.能计算古典概型中简单随机事件的概率.
1．随机事件的概率
对于一个随机事件A，我们通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1)来表示该事件发生的________的大小，这个数就称为随机事件A的概率．
2．古典概型
(1)古典概型的定义
一般地，若试验E具有如下特征：
①有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数______，即样本空间Ω为______________；
②等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性______．
则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型．
(2)古典概型的概率计算公式
如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为P(A)＝_____________＝______.
|微|点|助|解|
(1)概率度量了随机事件发生的可能性的大小，是对随机事件统计规律性的数量刻画．
(2)若试验不是古典概型，则不能用古典概型的概率公式计算某事件发生的概率．
(3)计算古典概型概率的关键是求样本点总数n和所求事件包含的样本点个数m.
(4)由于观察的角度不同，样本点的个数可能也不同，因此样本点总个数和事件A包含的样本点个数的计算必须站在同一角度上，否则会引起混淆并导致错误．
基础落实训练
1．(多选)下列关于古典概型的说法正确的是( )
A．样本空间的样本点只有有限个
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点发生的可能性相等
D．若样本点的总数为n，随机事件A包含k个样本点，则P(A)＝
2．某学校食堂推出两款优惠套餐，甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐的概率为________．
题型(一) 古典概型的判断
[例1] (多选)以下试验不是古典概型的是( )
A．从6名同学中，选出4名参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性大小
B．同时掷两枚骰子，点数和为7的概率
C．近三天中有一天降雪的概率
D．3个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
听课记录：
|思|维|建|模|
判断一个试验是古典概型的依据及步骤
(1)判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．
(2)判断一个试验是古典概型的步骤
①明确试验及其结果．
②判断所有结果(样本点)是否有限．
③判断有限个结果是否等可能出现，这需要有日常生活的经验．另外，题目中“完全相同”“任取”等是表示等可能的语言．
[针对训练]
1．下列概率模型中，是古典概型的个数为( )
①从集合{x∈R|1≤x≤10}中任取一个数，求取到4的概率；②从集合{x∈Z|1≤x≤10}中任取一个数，求取到4的概率；③从装有2个白球和3个红球的盒子中任取2个球(除颜色外其他均相同)，求取到一白一红的概率；④向上抛掷一枚质地不均匀的硬币，求出现正面向上的概率．
A．1 B．2
C．3 D．4
题型(二) 简单的古典概型概率的计算问题
[例2] 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为( )
A. B.
C. D.
听课记录：
[例3] 甲、乙两位同学假期从A，B两处景点中任选一处游览，那么甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是( )
A. B.
C. D.
听课记录：
|思|维|建|模| 古典概型的概率求解步骤
[针对训练]
2．(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、 高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( )
A. B.
C. D.
3．有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1,2,3,4.同时抛掷两个玩具，则朝下的面的数字之积是3的倍数的概率为( )
A. B.
C. D.
题型(三) 较复杂的古典概型概率的计算问题
[例4] 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层随机抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设事件A为“编号为A3和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
听课记录：
|思|维|建|模|
在古典概型的概率计算公式中，要求试验的所有可能结果(即样本点总数)是等可能发生的，且要研究的事件是由若干个样本点组成的，在写出每个试验的所有样本点后，最好检验一下各样本点是否等可能发生．
[针对训练]
4．某影院为回馈顾客，拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免，规定每人在装有4个白球、2个红球(这6个球除颜色外完全相同)的抽奖箱中一次性抽取2个球．已知抽出1个白球减20元，抽出1个红球减40元．
(1)求某顾客所获得的减免金额为40元的概率；
(2)求某顾客所获得的减免金额不低于60元的概率．
古典概型的概率计算公式
课前预知教材
1．可能性 2.(1)有限 有限样本空间
相等 (2)
[基础落实训练] 1.ACD 2.
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 选C A选项，从6名同学中，选出4名参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性相等，满足有限性和等可能性，是古典概型；B选项中，同时掷两枚骰子，点数和为7的事件是随机事件，满足有限性和等可能性，是古典概型；C选项中，不满足等可能性，不是古典概型；D选项中，3个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率，满足有限性和等可能性，是古典概型．
[针对训练]
1．选B ①不是古典概型．因为从区间[1,10]内任取一个数，虽满足等可能性，但由于区间内有无数个对象可取，所以它不具备“有限性”这个条件．
②是古典概型．因为试验结果只有10个，并且每个数被抽到的可能性相等，所以它不仅具备“有限性”，而且还具备“等可能性”．
③是古典概型．道理同②.
④不是古典概型．虽然试验的结果只有2种，但是这枚硬币的质地不均匀，故它不具备“等可能性”．
[题型(二)]
[例2] 选C 记2名男生分别为a，b，记3名女生分别为A，B，C，从中任选2名学生去参加活动，所有的样本点有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC，共10种，其中，事件“恰好选中2名女生”所包含的样本点有AB，AC，BC，共3种，故所求概率为P＝.
[例3] 选D 甲、乙两位同学假期从A，B两处景点中任选一处游览，有(甲A，乙A)，(甲A，乙B)，(甲B，乙B)，(甲B，乙A)，共4种情况，其中甲、乙两位同学恰好选取同一处景点有(甲A，乙A)，(甲B，乙B)，共2种情况，所以甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是＝.
[针对训练]
2．选D 记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P＝＝，故选D.
3．选D 根据题意，同时抛掷两个玩具，朝下的面写有的数字有16种情况，分别为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，朝下的面的数字之积是3的倍数的结果有7种，分别为(1,3)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，则数字之积是3的倍数的概率为P＝.
[题型(三)]
[例4] 解：(1)由题意，甲、乙、丙三个乒乓球协会共有运动员27＋9＋18＝54人．
∵抽取比例为＝，∴从这三个协会中抽取的运动员的人数分别为3,1,2.
(2)①由题意，从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．
②编号为A3和A6的两名运动员中至少有1人被抽到所有可能结果为(A1，A3)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A6)，(A5，A6)，共9种．
∴事件A发生的概率为＝.
[针对训练]
4．解：(1)设4个白球分别为a，b，c，d,2个红球分别为e，f.从抽奖箱中一次性抽取2个球，样本空间Ω＝{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}，共有15个样本点．记事件A表示“某顾客所获得的减免金额为40元”，则A＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，共有6个样本点．所以顾客所获得的减免金额为40元的概率为P(A)＝＝.
(2)记事件B表示“顾客所获得的减免金额不低于60元”，则B＝{ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，ef}，共有9个样本点．所以顾客所获得的减免金额不低于60元的概率P(B)＝＝.
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2.1
古典概型的概率计算公式
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.结合具体实例,理解古典概型.
2.能计算古典概型中简单随机事件的概率.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.随机事件的概率
对于一个随机事件A,我们通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1)来表示该事件发生的_________的大小,这个数就称为随机事件A的概率.
可能性
2.古典概型
(1)古典概型的定义
一般地,若试验E具有如下特征:
①有限性:试验E的样本空间Ω的样本点总数______,即样本空间Ω为_____________;
②等可能性:每次试验中,样本空间Ω的各个样本点出现的可能性_______.
则称这样的试验模型为古典概率模型,简称古典概型.
有限
有限样本空间
相等
(2)古典概型的概率计算公式
如果样本空间Ω包含的样本点总数为n,随机事件A包含的样本点个数为
m,那么事件A发生的概率为P(A)=_____________________=_____.
|微|点|助|解|
(1)概率度量了随机事件发生的可能性的大小,是对随机事件统计规律性的数量刻画.
(2)若试验不是古典概型,则不能用古典概型的概率公式计算某事件发生的概率.
(3)计算古典概型概率的关键是求样本点总数n和所求事件包含的样本点个数m.
(4)由于观察的角度不同,样本点的个数可能也不同,因此样本点总个数和事件A包含的样本点个数的计算必须站在同一角度上,否则会引起混淆并导致错误.
基础落实训练
1.(多选)下列关于古典概型的说法正确的是( )
A.样本空间的样本点只有有限个
B.每个事件出现的可能性相等
C.每个样本点发生的可能性相等
D.若样本点的总数为n,随机事件A包含k个样本点,则P(A)=
√
√
√
2.某学校食堂推出两款优惠套餐,甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐的概率为 .
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 古典概型的判断
[例1] (多选)以下试验不是古典概型的是 ( )
A.从6名同学中,选出4名参加学校文艺汇演,每个人被选中的可能性大小
B.同时掷两枚骰子,点数和为7的概率
C.近三天中有一天降雪的概率
D.3个人站成一排,其中甲、乙相邻的概率
√
解析:A选项,从6名同学中,选出4名参加学校文艺汇演,每个人被选中的可能性相等,满足有限性和等可能性,是古典概型;B选项中,同时掷两枚骰子,点数和为7的事件是随机事件,满足有限性和等可能性,是古典概型;C选项中,不满足等可能性,不是古典概型;D选项中,3个人站成一排,其中甲、乙相邻的概率,满足有限性和等可能性,是古典概型.
|思|维|建|模|
判断一个试验是古典概型的依据及步骤
(1)判断随机试验是否为古典概型,关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性,二者缺一不可.
(2)判断一个试验是古典概型的步骤
①明确试验及其结果.
②判断所有结果(样本点)是否有限.
③判断有限个结果是否等可能出现,这需要有日常生活的经验.另外,题目中“完全相同”“任取”等是表示等可能的语言.
针对训练
1.下列概率模型中,是古典概型的个数为 ( )
①从集合{x∈R|1≤x≤10}中任取一个数,求取到4的概率;
②从集合{x∈Z|1≤x≤10}中任取一个数,求取到4的概率;
③从装有2个白球和3个红球的盒子中任取2个球(除颜色外其他均相同),求取到一白一红的概率;
④向上抛掷一枚质地不均匀的硬币,求出现正面向上的概率.
A.1 B.2 C.3 D.4
√
解析:①不是古典概型.因为从区间[1,10]内任取一个数,虽满足等可能性,但由于区间内有无数个对象可取,所以它不具备“有限性”这个条件.
②是古典概型.因为试验结果只有10个,并且每个数被抽到的可能性相等,所以它不仅具备“有限性”,而且还具备“等可能性”.
③是古典概型.道理同②.
④不是古典概型.虽然试验的结果只有2种,但是这枚硬币的质地不均匀,故它不具备“等可能性”.
[例2] 某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 ( )
A. B.
C. D.
题型(二) 简单的古典概型概率的计算问题
√
解析:记2名男生分别为a,b,记3名女生分别为A,B,C,从中任选2名学生去参加活动,所有的样本点有ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,BC,共10种,其中,事件“恰好选中2名女生”所包含的样本点有AB,AC,BC,共3种,故所求概率为P=.
[例3] 甲、乙两位同学假期从A,B两处景点中任选一处游览,那么甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是 ( )
A. B.
C. D.
√
解析:甲、乙两位同学假期从A,B两处景点中任选一处游览,有(甲A,乙A),
(甲A,乙B),(甲B,乙B),(甲B,乙A),共4种情况,其中甲、乙两位同学恰好选取同一处景点有(甲A,乙A),(甲B,乙B),共2种情况,所以甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是=.
|思|维|建|模| 古典概型的概率求解步骤
2.(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生,其中高一、 高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为 ( )
A. B.
C. D.
针对训练
√
解析:记高一年级2名学生分别为a1,a2,高二年级2名学生分别为b1,b2,则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有(a1,a2),(a1,b1),
(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(b1,b2),共6个,其中这2名学生来自不同年级的基本事件有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),共4个,所以这2名学生来自不同年级的概率P==,故选D.
3.有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具,每个玩具的各面上分别写有数字1,2,3,4.同时抛掷两个玩具,则朝下的面的数字之积是3的倍数的概率为 ( )
A. B.
C. D.
√
解析:根据题意,同时抛掷两个玩具,朝下的面写有的数字有16种情况,分别为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),
(4,3),(4,4),朝下的面的数字之积是3的倍数的结果有7种,分别为(1,3),(2,3),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),则数字之积是3的倍数的概率为P=.
题型(三) 较复杂的古典概型概率的计算问题
[例4] 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层随机抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.
(1)求从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;
解:由题意,甲、乙、丙三个乒乓球协会共有运动员27+9+18=54人.
∵抽取比例为=,∴从这三个协会中抽取的运动员的人数分别为3,1,2.
(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6,现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.
①用所给编号列出所有可能的结果;
②设事件A为“编号为A3和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.
解: ①由题意,从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛所有可能结果为(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),
(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共15种.
②编号为A3和A6的两名运动员中至少有1人被抽到所有可能结果为(A1,A3),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A6),(A5,A6),共9种.
∴事件A发生的概率为=.
|思|维|建|模|
在古典概型的概率计算公式中,要求试验的所有可能结果(即样本点总数)是等可能发生的,且要研究的事件是由若干个样本点组成的,在写出每个试验的所有样本点后,最好检验一下各样本点是否等可能发生.
针对训练
4.某影院为回馈顾客,拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免,规定每人在装有4个白球、2个红球(这6个球除颜色外完全相同)的抽奖箱中一次性抽取2个球.已知抽出1个白球减20元,抽出1个红球减40元.
(1)求某顾客所获得的减免金额为40元的概率;
解:设4个白球分别为a,b,c,d,2个红球分别为e,f.从抽奖箱中一次性抽取2个球,样本空间Ω={ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef},共有15个样本点.记事件A表示“某顾客所获得的减免金额为40元”,则A={ab,ac,ad,bc,bd,cd},共有6个样本点.所以顾客所获得的减免金额为40元的概率为P(A)==.
(2)求某顾客所获得的减免金额不低于60元的概率.
解:记事件B表示“顾客所获得的减免金额不低于60元”,则B={ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,ef},共有9个样本点.所以顾客所获得的减免金额不低于60元的概率P(B)==.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.袋中装有6个白球,5个黄球,4个红球,从中任取一球,则取到白球的概率为( )
A. B. C. D.
解析:从袋中任取一球,有15种取法,其中取到白球的取法有6种,则所求概率为P==.
√
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2.从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛,则甲、乙都当选的概率为 ( )
A. B.
C. D.
√
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解析:从五个人中选取三人,则试验的样本空间Ω={ (甲,乙,丙),(甲,乙,丁),
(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),
(丙,丁,戊)},共10个样本点,而甲、乙都当选的样本点有3个,故所求的概率为.
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3.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是 ( )
A. B.
C. D.
√
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解析:设所取的数中b>a为事件A,如果把选出的数a,b写成一个数对(a,b)的形式,则试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),
(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)},共15个样本点,事件A包含的样本点有(1,2),(1,3),(2,3),共3个,故所求概率为P(A)==.
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4.设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为 ( )
A. B.
C. D.
√
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解析:根据题意作出图形,如图所示,在O,A,B,C,D中任取3点,有10种可能情况,分别为(OAB),(OAC),(OAD),(OBC),(OBD),(OCD),(ABC),(ABD),(ACD),
(BCD),其中取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2种可能情况,所以在O,A,B,
C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为=,故选A.
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5.(多选)在5件产品中有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,则 ( )
A.恰有1件一等品的概率为 B.恰有2件一等品的概率为
C.至多有1件一等品的概率为 D.至多有1件一等品的概率为
√
√
√
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解析:将3件一等品编号为1,2,3,将2件二等品编号为4,5,从中任取2件有10种取法:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).其中恰有1件一等品的取法有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),共6种,故恰有1件一等品的概率为P1==;恰有2件一等品的取法有(1,2),(1,3),(2,3),共3种,故恰有2件一等品的概率为P2=,则其对立事件是“至多有1件一等品”,概率为P3=1-P2=1-=.
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6.如图,地上有3个不同的桶,每次取一个桶,直到取完,则最后一个取到B的概率是 .
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解析:由题图可知,B桶不可能第一个被取到,
故画树状图表示所有可能的取法(如图).
共有3种等可能的结果,其中最后一个取到B的结果有2种,
所以最后一个取到B的概率为.
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2
7.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.已知从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是,则n的值为 .
解析:由题意可知=,解得n=2.
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8.为落实中央“坚持五育并举,全面发展素质教育,强化体育锻炼”的精神,某学校制订了“生活、科技、体育、艺术、劳动”五类课程,其中体育课程开设了“篮球、足球、排球、乒乓球、羽毛球”五门课程供学生选修.甲、乙两名同学各从体育课程中选择一门课程,则两人选择课程相同的概率是 .
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9.(8分)袋中有大小相同的5个白球,3个黑球和3个红球,每球有一个区别于其他球的编号,从中摸出一个球.
(1)有多少种不同的摸法 如果把每个球的编号看作是一个样本点概率模型,该模型是不是古典概型
解:由于共有11个球,且每个球有不同的编号,故共有11种不同的摸法.又因为所有球大小相同,因此每个球被摸中的可能性相等,故以球的编号为样本点的概率模型为古典概型.
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(2)若按球的颜色为样本点,有多少个样本点 以这些样本点建立概率模型,该模型是不是古典概型
解:由于11个球共有3种颜色,因此共有3个样本点,分别记为A:“摸到白球”,B:“摸到黑球”,C:“摸到红球”.
因为所有球大小相同,所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为.
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因为白球有5个,所以一次摸球摸中白球的可能性为.
同理可知,一次摸球摸中黑球、红球的可能性均为.
显然这三个样本点出现的可能性不相等,
所以以颜色为样本点的概率模型不是古典概型.
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10.(10分)某校有5名同学准备去某敬老院参加献爱心活动,其中来自甲班的3名同学用A,B,C表示,来自乙班的2名同学用D,E表示,现从这5名同学中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
(1)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
解:从这5名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为(A,B),(A,C),
(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10种.
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(2)设M为事件“抽取的2名同学来自同一班”,求事件M发生的概率.
解:抽取的2名同学来自同一班的所有可能结果为(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),共4种,所以P(M)==.
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B级——重点培优
11.将数据1,3,5,7,9 这五个数中随机删去两个数,则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为( )
A. B.
C. D.
√
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解析:从5个数中随机删去两个数有(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(3,5),(3,7),(3,9),
(5,7),(5,9),(7,9),共10种方法,要使剩下数据的平均数大于5,删去的两个数可以是(1,3),(1,5),(1,7),(3,5),共有4种,所以剩下数据的平均数大于5的概率为P==,故选C.
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12.随机掷两枚质地均匀的骰子,它们“向上的点数之和不超过5”的概率记为p1,“向上的点数之和为奇数”的概率记为p2,“向上的点数之积为偶数”的概率记为p3,则 ( )
A.p1
C.p1√
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解析:把随机掷两枚骰子的所有可能结果列表如下:
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
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共有36种等可能的结果,
其中“向上的点数之和不超过5”的有10种情况,
“向上的点数之和为奇数”的有18种情况,
“向上的点数之积为偶数”的有27种情况,
所以“向上的点数之和不超过5”的概率p1==,
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“向上的点数之和为奇数”的概率p2==,
“向上的点数之积为偶数”的概率p3==,
因为<<,
所以p11
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13.设m,n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,则在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2+mx+n=0有实根的概率为 .
解析:先后两次出现的点数中有5的情况有(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共11种,其中使方程x2+mx+n=0有实根,即Δ=m2-4n≥0的情况有(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共7种.故所求事件的概率为P=.
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14.(12分)某学校有初级教师21人,中级教师14人,高级教师7人,现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查.
(1)求应从初级教师、中级教师、高级老师中分别抽取的人数;
解:由分层随机抽样知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为3,2,1.
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(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析,求抽取的2名教师均为初级教师的概率.
解:在分层随机抽样抽取的6名教师中,3名初级教师分别记为A1,A2,A3,2名中级教师分别记为A4,A5,高级教师记为A6,则从中抽取2名教师的样本空间为Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),
(A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6)},
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即样本点的总数为15.抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B)的样本点为(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3个.
所以所求概率P(B)==.
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15.(12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
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①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;
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解:用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则样本空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是4×4=16,所以样本点总数n=16.
记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的样本点个数共5个,即A={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)},所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为.
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(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
解:小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.理由如下:
记“xy≥8”为事件B,“3,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.课时跟踪检测(四十八) 古典概型的概率计算公式
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为( )
A. B.
C. D.
2．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为( )
A. B.
C. D.
3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是( )
A. B.
C. D.
4．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )
A. B.
C. D.
5．(多选)在5件产品中有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则( )
A．恰有1件一等品的概率为
B．恰有2件一等品的概率为
C．至多有1件一等品的概率为
D．至多有1件一等品的概率为
6．如图，地上有3个不同的桶，每次取一个桶，直到取完，则最后一个取到B的概率是__________．
7．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，则n的值为________．
8．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某学校制订了“生活、科技、体育、艺术、劳动”五类课程，其中体育课程开设了“篮球、足球、排球、乒乓球、羽毛球”五门课程供学生选修．甲、乙两名同学各从体育课程中选择一门课程，则两人选择课程相同的概率是________．
9．(8分)袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个样本点概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为样本点，有多少个样本点？以这些样本点建立概率模型，该模型是不是古典概型？
10．(10分)某校有5名同学准备去某敬老院参加献爱心活动，其中来自甲班的3名同学用A，B，C表示，来自乙班的2名同学用D，E表示，现从这5名同学中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
(1)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
(2)设M为事件“抽取的2名同学来自同一班”，求事件M发生的概率．
B级——重点培优
11．将数据1,3,5,7,9 这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为( )
A. B.
C. D.
12．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们“向上的点数之和不超过5”的概率记为p1，“向上的点数之和为奇数”的概率记为p2，“向上的点数之积为偶数”的概率记为p3，则( )
A．p1C．p113．设m，n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋mx＋n＝0有实根的概率为________．
14．(12分)某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．
(1)求应从初级教师、中级教师、高级老师中分别抽取的人数；
(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率．
15.(12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
课时跟踪检测(四十八)
1．选A 从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝＝.
2．选C 从五个人中选取三人，则试验的样本空间Ω＝{ (甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，共10个样本点，而甲、乙都当选的样本点有3个，故所求的概率为.
3．选D 设所取的数中b>a为事件A，如果把选出的数a，b写成一个数对(a，b)的形式，则试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共15个样本点，事件A包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，故所求概率为P(A)＝＝.
4.选A 根据题意作出图形，如图所示，在O，A，B，C，D中任取3点，有10种可能情况，分别为(OAB)，(OAC)，(OAD)，(OBC)，(OBD)，(OCD)，(ABC)，(ABD)，(ACD)，(BCD)，其中取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2种可能情况，所以在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为＝，故选A.
5．选ABD 将3件一等品编号为1,2,3，将2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰有1件一等品的取法有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，共6种，故恰有1件一等品的概率为P1＝＝；恰有2件一等品的取法有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种，故恰有2件一等品的概率为P2＝，则其对立事件是“至多有1件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－＝.
6．解析：由题图可知，B桶不可能第一个被取到，
故画树状图表示所有可能的取法(如图)．
共有3种等可能的结果，其中最后一个取到B的结果有2种，
所以最后一个取到B的概率为.
答案：
7．解析：由题意可知＝，解得n＝2.
答案：2
8．解析：体育课程开设了“篮球、足球、排球、乒乓球、羽毛球”五门课程供学生选修，
甲、乙两名同学各从中选择一门课程，样本点总数为n＝5×5＝25，两人选择课程相同的包含的样本点数为m＝5，所以两人选择课程相同的概率P＝＝＝.
答案：
9．解：(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为样本点的概率模型为古典概型．
(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个样本点，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”．
因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为.
因为白球有5个，所以一次摸球摸中白球的可能性为.
同理可知，一次摸球摸中黑球、红球的可能性均为.
显然这三个样本点出现的可能性不相等，
所以以颜色为样本点的概率模型不是古典概型．
10．解：(1)从这5名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．
(2)抽取的2名同学来自同一班的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，共4种，所以P(M)＝＝.
11．选C 从5个数中随机删去两个数有(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,7)，(5,9)，(7,9)，共10种方法，要使剩下数据的平均数大于5，删去的两个数可以是(1,3)，(1,5)，(1,7)，(3,5)，共有4种，所以剩下数据的平均数大于5的概率为P＝＝，故选C.
12．选A 把随机掷两枚骰子的所有可能结果列表如下：
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
共有36种等可能的结果，其中“向上的点数之和不超过5”的有10种情况，
“向上的点数之和为奇数”的有18种情况，
“向上的点数之积为偶数”的有27种情况，
所以“向上的点数之和不超过5”的概率p1＝＝，“向上的点数之和为奇数”的概率p2＝＝，“向上的点数之积为偶数”的概率p3＝＝，因为<<，
所以p113．解析：先后两次出现的点数中有5的情况有(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种，其中使方程x2＋mx＋n＝0有实根，即Δ＝m2－4n≥0的情况有(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种．故所求事件的概率为P＝.
答案：
14．解：(1)由分层随机抽样知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为3,2,1.
(2)在分层随机抽样抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为A1，A2，A3,2名中级教师分别记为A4，A5，高级教师记为A6，则从中抽取2名教师的样本空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，即样本点的总数为15.抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B)的样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个．
所以所求概率P(B)＝＝.
15．解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以样本点总数n＝16.
(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点个数共5个，即A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)}，所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．理由如下：
记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C，则事件B包含的样本点共6个，即B＝{(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，所以P(B)＝＝；事件C包含的样本点个数共5个，即C＝{(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，所以P(C)＝.因为＞，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
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