4 事件的独立性 (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性的含义.
2.结合古典概型,利用独立性计算概率.
1．相互独立事件
相互独立事件 相关内容
定义 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率____________，这样的两个事件叫作相互独立事件
概率公式 两个相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB)＝__________
性质 若事件A与B相互独立，那么____与，与____，与也都相互独立
2．相互独立事件与互斥事件的关系
A，B关系 概率记法 A，B互斥 A，B相互独立
至少一个发生 P(A＋B) P(A)＋P(B) 1－P()P()
同时发生 P(AB) 0 P(A)P(B)
都不发生 P( ) 1－[P(A) ＋P(B)] P()P()
恰有一个发生 P(A＋B) P(A)＋P(B) P(A)P()＋P()P(B)
至多一个发生 P(B＋A＋ ) 1 1－P(A)P(B)
|微|点|助|解|
(1)事件A与B相互独立就是事件A的发生不影响事件B发生的概率，事件B的发生不影响事件A发生的概率．
(2)相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B)，就是说，两个相互独立事件同时发生的概率等于这两个事件发生的概率的积．
(3)由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件Ω，不可能事件 都与任意事件相互独立，这是因为必然事件Ω总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件 总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响．当然，它们也不影响其他事件是否发生．
基础落实训练
1．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是( )
A．事件A与B互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又相互独立
2．周老师上数学课时，给班里学生出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是( )
A．0.80 B．0.75
C．0.60 D．0.48
题型(一) 相互独立事件的判断
[例1] (多选)下列事件中，A，B是相互独立事件的是( )
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为3或4”
D．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
听课记录：
|思|维|建|模|
判断两个事件相互独立的方法
(1)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的乘积，则事件A，B为相互独立事件．这是用定量计算的方法进行判断．
(2)直接法：看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．这是从定性的角度进行判断．
[针对训练]
1．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字，投掷这枚骰子两次，A表示事件“第一次向上一面的数字是1”，B表示事件“第二次向上一面的数字是2”，C表示事件“两次向上一面的数字之和是7”，D表示事件“两次向上一面的数字之和是8”，则( )
A．C与D相互独立 B．A与D相互独立
C．B与D相互独立 D．A与C相互独立
题型(二) 相互独立事件的概率
[例2] 某大学的入学面试中有4道难度相当的题目，王宁答对每道题目的概率都是0.6，若每位面试者共有4次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第4次为止．用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么
(1)求王宁第3次答题通过面试的概率；
(2)求王宁最终通过面试的概率．
听课记录：
|思|维|建|模|
(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤
①首先确定各事件之间是相互独立的；
②确定这些事件可以同时发生；
③求出每个事件的概率，再求积．
(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件——各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．
[针对训练]
2．在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则在这三处都不停车的概率为( )
A. B.
C. D.
3．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，两班各自派出代表相互独立，则派出的恰好都是三好学生的概率是( )
A. B.
C. D.
题型(三) 相互独立事件的综合问题
[例3] 为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．经统计，成绩均在2米到12米之间，把获得的所有数据平均分成[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]五组，得到频率分布直方图如图所示．
(1)如果有4名学生的成绩在10米到12米之间，求参加“掷实心球”项目测试的人数；
(2)若测试数据与成绩之间的关系如下表：
测试数据(单位：米) (0,6) [6,8) [8,12]
成绩 不合格 及格 优秀
根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；
(3)在(2)的条件下，从该市初二年级男生中任意选取两人，假定两人的成绩是否优秀之间没有影响，求两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率．
听课记录：
|思|维|建|模|
相互独立事件的综合问题的解题策略
(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P()＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．
(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系：“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件)．
[针对训练]
4．女排世界杯比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局(第五局)采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲、乙两队进行排球比赛．
(1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局．接下来的每局比赛甲队获胜的概率为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；
(2)若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．在决胜局(第五局)中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢
1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权．求两队打了X(X≤4)个球后，甲队赢得整场比赛的概率．
事件的独立性
?课前预知教材
1．没有影响 P(A)P(B) A B
[基础落实训练] 1.C 2.B
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 选AC 把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故A中A，B事件是相互独立事件；B中A，B事件是不放回地摸球，显然不是相互独立事件；对于C，A事件为出现1,3,5点，B事件为出现3,4点，则P(A)＝，P(B)＝，又事件AB为出现3点，从而P(AB)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)，事件A，B相互独立；D中两事件是互斥事件，不是相互独立事件．
[针对训练]
1．选D 由题意知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝＝，P(D)＝，
P(CD)＝0≠P(C)P(D)，所以C与D不相互独立，P(AD)＝0≠P(A)P(D)，所以A与D不相互独立，P(BD)＝≠P(B)P(D)，所以B与D不相互独立，
P(AC)＝＝P(A)P(C)，所以A与C相互独立．
[题型(二)]
[例2] 解：(1)因为P(Y)＝0.6，
所以P(N)＝1－0.6＝0.4，
于是王宁第三次通过面试的概率为P(NNY)＝0.4×0.4×0.6＝0.096.
(2)王宁未通过面试的概率为P(NNNN)＝0.4×0.4×0.4×0.4＝0.025 6，
所以王宁最终通过面试的概率为1－P(NNNN)＝1－0.025 6＝0.974 4.
[针对训练]
2．选C 由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为××＝.
3．选C 设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，由题意知，P(A)＝，P(B)＝，因为两班各自派出代表是相互独立事件，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
[题型(三)]
[例3] 解：(1)由题意可知(0.2＋0.15＋0.075＋a＋0.025)×2＝1，解得a＝0.050.
所以＝40.
故此次参加“掷实心球”项目测试的人数为40.
(2)设“从该市初二年级男生中任意选取一人，‘掷实心球’成绩为优秀”为事件A.
由频率分布直方图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为(0.15＋0.05)×2＝0.4，
由频率分布估计概率得P(A)＝0.4.
(3)记事件Ai：第i名男生成绩优秀，其中i＝1,2.两人中恰有一人成绩优秀可以表示为A12＋A21，由(2)知，P(A1)＝P(A2)＝0.4，则P(1)＝P(2)＝0.6，
因为A1，2相互独立，A2，1相互独立，
所以P(A12)＝P(A1)P(2)＝0.24，P(A21)＝P(A2)P(1)＝0.24，
又因为A12，A21互斥，
所以P(A12＋A21)＝P(A12)＋P(A21)＝0.48.
所以两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.48.
[针对训练]
4．解：(1)依题意，甲队将以3∶1或3∶2的比分赢得比赛．
若甲队以3∶1的比分赢得比赛，则第4局甲赢，
若甲队以3∶2的比分赢得比赛，则第4局乙赢，第5局甲赢．
故甲队最后赢得整场比赛的概率为＋×＝.
(2)依题意，甲每次发球，甲队得分的概率为，接发球方得分的概率为.
甲接下来可以以16∶14或17∶15赢得比赛，此时X的取值为2或4.
当X＝2时，其赢球顺序为“甲甲”，对应发球顺序为“甲甲”，
P(X＝2)＝×＝；
当X＝4时，其赢球顺序为“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”，对应发球顺序为“甲甲乙甲”和“甲乙甲甲”，
P(X＝4)＝×××＋×××＝.
所以两队打了X(X≤4)个球后，甲队赢得整场比赛的概率为P(X)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.
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事件的独立性
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性的含义.
2.结合古典概型,利用独立性计算概率.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.相互独立事件
相互独立事件 相关内容
定义 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率_________,这样的两个事件叫作相互独立事件
概率公式 两个相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB)=_________
性质
没有影响
P(A)P(B)
A
B
2.相互独立事件与互斥事件的关系
A,B关系 概率记法 A,B互斥 A,B相互独立
至少一个发生 P(A+B) P(A)+P(B)
同时发生 P(AB) 0 P(A)P(B)
都不发生 1-[P(A)+P(B)]
恰有一个发生 P(A)+P(B)
至多一个发生 1 1-P(A)P(B)
|微|点|助|解|
(1)事件A与B相互独立就是事件A的发生不影响事件B发生的概率,事件B的发生不影响事件A发生的概率.
(2)相互独立事件同时发生的概率P(AB)=P(A)P(B),就是说,两个相互独立事件同时发生的概率等于这两个事件发生的概率的积.
(3)由两个事件相互独立的定义,容易验证必然事件Ω,不可能事件 都与任意事件相互独立,这是因为必然事件Ω总会发生,不会受任何事件是否发生的影响;同样,不可能事件 总不会发生,也不受任何事件是否发生的影响.当然,它们也不影响其他事件是否发生.
基础落实训练
1.若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是( )
A.事件A与B互斥 B.事件A与B对立
C.事件A与B相互独立 D.事件A与B既互斥又相互独立
解析:因为P()=,所以P(A)=.又P(B)=,P(AB)=,所以有P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立但不一定互斥.故选C.
√
2.周老师上数学课时,给班里学生出了两道选择题,她预估做对第一道题的概率为0.80,做对两道题的概率为0.60,则预估做对第二道题的概率是 ( )
A.0.80 B.0.75
C.0.60 D.0.48
解析:设“做对第一道题”为事件A,“做对第二道题”为事件B,则P(AB)=
P(A)P(B)=0.8×P(B)=0.6,故P(B)=0.75.故选B.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 相互独立事件的判断
[例1] (多选)下列事件中,A,B是相互独立事件的是 ( )
A.一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面”,B=“第二次为反面”
B.袋中有2个白球,2个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,
B=“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为3或4”
D.掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”
√
√
解析:把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后次序的影响,故A中A,B事件是相互独立事件;B中A,B事件是不放回地摸球,显然不是相互独立事件;对于C,A事件为出现1,3,5点,B事件为出现3,4点,则P(A)=,P(B)=,又事件AB为出现3点,从而P(AB)=,所以P(AB)=P(A)P(B),事件A,B相互独立;D中两事件是互斥事件,不是相互独立事件.
|思|维|建|模| 判断两个事件相互独立的方法
(1)定义法:如果事件A,B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的乘积,则事件A,B为相互独立事件.这是用定量计算的方法进行判断.
(2)直接法:看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响,没有影响就是相互独立事件,有影响就不是相互独立事件.这是从定性的角度进行判断.
针对训练
1.一枚质地均匀的正方体骰子,其六个面分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字,投掷这枚骰子两次,A表示事件“第一次向上一面的数字是1”,B表示事件“第二次向上一面的数字是2”,C表示事件“两次向上一面的数字之和是7”,D表示事件“两次向上一面的数字之和是8”,则 ( )
A.C与D相互独立 B.A与D相互独立
C.B与D相互独立 D.A与C相互独立
√
解析:由题意知P(A)=,P(B)=,P(C)==,P(D)=,
P(CD)=0≠P(C)P(D),所以C与D不相互独立,P(AD)=0≠P(A)P(D),所以A与D不相互独立,P(BD)=≠P(B)P(D) ,所以B与D不相互独立,
P(AC)==P(A)P(C),所以A与C相互独立.
[例2] 某大学的入学面试中有4道难度相当的题目,王宁答对每道题目的概率都是0.6,若每位面试者共有4次机会,一旦某次答对抽到的题目,则面试通过,否则就一直抽题到第4次为止.用Y表示答对题目,用N表示没有答对题目,假设对抽到的不同题目能否答对是独立的,那么
(1)求王宁第3次答题通过面试的概率;
解:因为P(Y)=0.6,所以P(N)=1-0.6=0.4,
于是王宁第三次通过面试的概率为P(NNY)=0.4×0.4×0.6=0.096.
题型(二) 相互独立事件的概率
(2)求王宁最终通过面试的概率.
解:王宁未通过面试的概率为P(NNNN)=0.4×0.4×0.4×0.4=0.025 6,
所以王宁最终通过面试的概率为1-P(NNNN)=1-0.025 6=0.974 4.
|思|维|建|模|
(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤
①首先确定各事件之间是相互独立的;
②确定这些事件可以同时发生;
③求出每个事件的概率,再求积.
(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件——各个事件是相互独立的,而且它们同时发生.
针对训练
2.在某道路的A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒,35秒,45秒,某辆车在这段道路上匀速行驶,则在这三处都不停车的概率为 ( )
A. B.
C. D.
√
解析:由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为××=.
3.甲、乙两班各有36名同学,甲班有9名三好学生,乙班有6名三好学生,两班各派1名同学参加演讲活动,两班各自派出代表相互独立,则派出的恰好都是三好学生的概率是 ( )
A. B.
C. D.
√
解析:设事件A,B分别为甲班、乙班派出的是三好学生,则事件AB为两班派出的都是三好学生,由题意知,P(A)=,P(B)=,因为两班各自派出代表是相互独立事件,所以P(AB)=P(A)P(B)=×=.
题型(三) 相互独立事件的综合问题
[例3] 为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况,从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.经统计,成绩均在2米到12米之间,把获得的所有数据平均分成[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]五组,得到频率分布直方图如图所示.
(1)如果有4名学生的成绩在10米到12米之间,求参加“掷实心球”项目测试的人数;
解:由题意可知(0.2+0.15+0.075+a+0.025)×2=1,解得a=0.050.
所以=40.
故此次参加“掷实心球”项目测试的人数为40.
(2)若测试数据与成绩之间的关系如下表:
根据此次测试成绩的结果,试估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀的概率;
测试数据(单位:米) (0,6) [6,8) [8,12]
成绩 不合格 及格 优秀
解:设“从该市初二年级男生中任意选取一人,‘掷实心球’成绩为优秀”为事件A.
由频率分布直方图可知,参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生,成绩优秀的频率为(0.15+0.05)×2=0.4,
由频率分布估计概率得P(A)=0.4.
(3)在(2)的条件下,从该市初二年级男生中任意选取两人,假定两人的成绩是否优秀之间没有影响,求两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率.
解:记事件Ai:第i名男生成绩优秀,其中i=1,2.两人中恰有一人成绩优秀可以表示为A1+A2,由(2)知,P(A1)=P(A2)=0.4,则P()=P()=0.6,
因为A1,相互独立,A2,相互独立,
所以P(A1)=P(A1)P()=0.24,P(A2)=P(A2)P()=0.24,
又因为A1,A2互斥,
所以P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.48.
所以两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.48.
|思|维|建|模|
相互独立事件的综合问题的解题策略
(1)正难则反.灵活应用对立事件的概率关系(P(A)+P()=1)简化问题,是求解概率问题最常用的方法.
(2)化繁为简.将复杂事件的概率转化为简单事件的概率,即寻找所求事件与已知事件之间的关系:“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件).
针对训练
4.女排世界杯比赛采用5局3胜制,前4局比赛采用25分制,每个队只有赢得至少25分,并同时超过对方2分时,才胜1局;在决胜局(第五局)采用15分制,每个队只有赢得至少15分,并领先对方2分为胜.在每局比赛中,发球方赢得此球后可得1分,并获得下一球的发球权,否则交换发球权,并且对方得1分.现有甲、乙两队进行排球比赛.
(1)若前三局比赛中甲已经赢两局,乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为,求甲队最后赢得整场比赛的概率;
解:依题意,甲队将以3∶1或3∶2的比分赢得比赛.
若甲队以3∶1的比分赢得比赛,则第4局甲赢,
若甲队以3∶2的比分赢得比赛,则第4局乙赢,第5局甲赢.
故甲队最后赢得整场比赛的概率为+×=.
(2)若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局(第五局)中,两队当前的得分为甲、乙各14分,且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为,乙发球时甲赢1分的概率为,得分者获得下一个球的发球权.求两队打了X(X≤4)个球后,甲队赢得整场比赛的概率.
解:依题意,甲每次发球,甲队得分的概率为,接发球方得分的概率为.
甲接下来可以以16∶14或17∶15赢得比赛,此时X的取值为2或4.
当X=2时,其赢球顺序为“甲甲”,对应发球顺序为“甲甲”,
P(X=2)=×=;
当X=4时,其赢球顺序为“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”,对应发球顺序为“甲甲乙甲”和“甲乙甲甲”,
P(X=4)=×××+×××=.
所以两队打了X(X≤4)个球后,甲队赢得整场比赛的概率为
P(X)=P(X=2)+P(X=4)=+=.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.抛掷一枚硬币出现正面或反面,记事件A表示“出现正面”,事件B表示“出现反面”,则( )
A.A与B相互独立 B.P(AB)=P(A)P(B)
C.A与不相互独立 D.P(AB)=
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解析:由题意得P(A)=,P(B)=,P(AB)=0,故A与B,A与均不相互独立,A、B、D不正确.故选C.
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2.出租车司机老王从饭店到火车站途中经过六个交通岗,已知各交通岗信号灯相互独立.假设老王在各交通岗遇到红灯的概率都是,则他遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为( )
A. B.
C. D.
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解析:因为司机老王在第一、二个交通岗未遇到红灯,在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独立的,且遇到红灯的概率都是,所以未遇到红灯的概率都是1-=,所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为××=.
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3.(多选)分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A是“第一枚为正面”,事件B是“第二枚为正面”,事件C是“两枚结果相同”,则下列事件具有相互独立性的是 ( )
A.A与B B.A与C
C.B与C D.都不具有独立性
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解析:由题意,可得P(A)=0.5,P(B)=0.5,P(C)=0.5,P(AB)=0.25,P(AC)=0.25,
P(BC)=0.25.可以验证P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C).所以根据事件相互独立的定义,事件A与B相互独立,事件A与C相互独立,事件B与C相互独立.
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4.4×100米接力赛是田径运动中的集体项目.一根小小的木棒,要四个人共同打造一个信念,一起拼搏,每次交接都是信任的传递.甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4×100米接力赛,教练组根据训练情况,安排了四人的交接棒组合,已知该组合三次交接棒失误的概率分别是p1,p2,p3,假设三次交接棒相互独立,则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是 ( )
A.p1p2p3 B.1-p1p2p3
C.(1-p1)(1-p2)(1-p3) D.1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)
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解析:∵三次交接棒失误的概率分别是p1,p2,p3,∴三次交接棒不失误的概率分别是1-p1,1-p2,1-p3,∵三次交接棒相互独立,∴此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是(1-p1)(1-p2)(1-p3).
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5.甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛,假设甲对乙每局获胜的概率都为,比赛采取三局两胜制(当一方获得两局胜利时,该方获胜,比赛结束),则甲获胜的概率为( )
A. B.
C. D.
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解析:分三类:
①甲直接获得前两局胜利,不进行第三局,此时甲获胜的概率为×=;
②甲输第一局,赢后两局,此时甲获胜的概率为××=;
③甲赢第一局和第三局,输第二局,此时甲获胜的概率为××=.
故甲获胜的概率为++=.
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6.上数学课时,有两道“多选一”的选择题,每题有四个选项,则两道题都选对的概率是 .
解析:由题意可知,每道题选对的概率为,所以两道题都选对的概率为×=.
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7.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为,则该队员每次罚球的命中率为 .
解析:设此队员每次罚球的命中率为p,则1-p2=,所以p=.
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8.某单位有两辆车参加某种事故保险,对在当年内发生此种事故的每辆车,单位均可获赔(每辆车最多只获一次赔偿).设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和,且各车是否发生事故相互独立,则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为 .(结果用最简分数表示)
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解析:因为这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和,且各车是否发生事故相互独立,所以一年内该单位在此种保险中获赔的概率P=1-×=.
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9.(8分)在同一时间内,甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.求:
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率;
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解:记“甲气象台预报天气准确”为事件A,“乙气象台预报天气准确”为事件B.
显然事件A,B相互独立,且P(A)=,P(B)=.
甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为P(AB)=P(A)P(B)=×=.
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(2)至少有一个气象台预报准确的概率.
解:至少有一个气象台预报准确的概率为P=1-P( )=1-P()P()=
1-×=.
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10.(10分)在某校运动会中,甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场),共赛三场,每场比赛胜者得3分,负者得0分,没有平局.在每一场比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙的概率为,乙胜丙的概率为.
(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率;
解:设甲队获第一名且丙队获第二名为事件A,则P(A)=××=.
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(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率.
解:甲队至少得3分有两种情况:两场只胜一场;两场都胜.设事件B为“甲两场只胜一场”,事件C为“甲两场都胜”,则事件“甲队至少得3分”为B+C,则P(B+C)=P(B)+P(C)=×+×+×=+=.
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B级——重点培优
11.某大学选拔新生补充进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团,据资料统计,新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立,2024年某新生入学,假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m,,n,已知三个社团他都能进入的概率为,至少进入一个社团的概率为,且m>n.则m+n=( )
A. B. C. D.
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解析:由题知三个社团都能进入的概率为,即m××n= m×n=,又因为至少进入一个社团的概率为,即一个社团都没能进入的概率为1-=,即(1-m)××(1-n)= 1-m-n+m×n=,整理得m+n=.
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12.一个人有n把钥匙,其中只有一把可以打开房门,他随意地进行试开,若试开过的钥匙放在一旁,则他第k次恰好打开房门的概率等于 .
解析:第k次恰好打开,则前k-1次没有打开,
∴第k次恰好打开房门的概率为××…××=.
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13.(13分)小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;
解:用A,B,C分别表示这三列火车正点到达的事件,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,
所以P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1.
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由已知,A,B,C之间相互独立,所以恰好有两列火车正点到达的概率为
P1=P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)·P()=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398.
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(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
解:三列火车至少有一列正点到达的概率为P2=1-P( )=1-P()P()
P()=1-0.2×0.3×0.1=0.994.
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14.(17分)国家执业医师资格考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”者,则执业医师资格考试“合格”,并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为,,,在实践技能考试中“合格”的概率依次为,,,所有考试是否合格互不影响.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试,谁获得执业医师证书的可能性最大
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解:记甲、乙、丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件A1,B1,C1,
在实践技能考试中合格依次为事件A2,B2,C2,则甲、乙、丙获得执业医师证书依次为A1A2,B1B2,C1C2,并且A1与A2,B1与B2,C1与C2相互独立,
则P(A1A2)=×=,P(B1B2)=×=,P(C1C2)=×=,由于>>,故乙获得执业医师证书的可能性最大.
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(2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后,求恰有两人获得执业医师证书的概率.
解:由于事件A1A2,B1B2,C1C2彼此相互独立,
则“恰有两人获得执业医师证书”即为事件(A1A2)(B1B2)()+(A1A2)()(C1C2)+()(B1B2)(C1C2),
概率为P=××+××+××=.课时跟踪检测(五十一) 事件的独立性
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．抛掷一枚硬币出现正面或反面，记事件A表示“出现正面”，事件B表示“出现反面”，则( )
A．A与B相互独立 B．P(AB)＝P(A)P(B)
C．A与不相互独立 D．P(AB)＝
2．出租车司机老王从饭店到火车站途中经过六个交通岗，已知各交通岗信号灯相互独立．假设老王在各交通岗遇到红灯的概率都是，则他遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为( )
A. B.
C. D.
3．(多选)分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是( )
A．A与B B．A与C
C．B与C D．都不具有独立性
4．4×100米接力赛是田径运动中的集体项目．一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递．甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4×100米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合，已知该组合三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，p3，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是( )
A．p1p2p3
B．1－p1p2p3
C．(1－p1)(1－p2)(1－p3)
D．1－(1－p1)(1－p2)(1－p3)
5．甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制(当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束)，则甲获胜的概率为( )
A. B.
C. D.
6．上数学课时，有两道“多选一”的选择题，每题有四个选项，则两道题都选对的概率是________．
7．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________．
8．某单位有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔(每辆车最多只获一次赔偿)．设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为________．(结果用最简分数表示)
9．(8分)在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.求：
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；
(2)至少有一个气象台预报准确的概率．
10．(10分)在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.
(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；
(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．
B级——重点培优
11．某大学选拔新生补充进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2024年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n.则m＋n＝( )
A. B.
C. D.
12．一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，则他第k次恰好打开房门的概率等于________．
13．(13分)小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
14．(17分)国家执业医师资格考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师资格考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为，，，在实践技能考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格互不影响．
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？
(2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率．
课时跟踪检测(五十一)
1．选C 由题意得P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝0，故A与B，A与均不相互独立，A、B、D不正确．故选C.
2．选B 因为司机老王在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独立的，且遇到红灯的概率都是，所以未遇到红灯的概率都是1－＝，所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为××＝.
3．选ABC 由题意，可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)．所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件A与C相互独立，事件B与C相互独立．
4．选C ∵三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，p3，∴三次交接棒不失误的概率分别是1－p1,1－p2,1－p3，∵三次交接棒相互独立，∴此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是(1－p1)(1－p2)(1－p3)．
5．选B 分三类：
①甲直接获得前两局胜利，不进行第三局，此时甲获胜的概率为×＝；
②甲输第一局，赢后两局，此时甲获胜的概率为××＝；
③甲赢第一局和第三局，输第二局，此时甲获胜的概率为××＝.
故甲获胜的概率为＋＋＝.
6．解析：由题意可知，每道题选对的概率为，所以两道题都选对的概率为×＝.
答案：
7．解析：设此队员每次罚球的命中率为p，则1－p2＝，所以p＝.
答案：
8．解析：因为这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，所以一年内该单位在此种保险中获赔的概率P＝1－×＝.
答案：
9．解：记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.
显然事件A，B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝.
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P＝1－P( )＝1－P()P()＝1－×＝.
10．解：(1)设甲队获第一名且丙队获第二名为事件A，则P(A)＝××＝.
(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事件B为“甲两场只胜一场”，事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B＋C，
则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝×＋×＋×＝＋＝.
11．选C 由题知三个社团都能进入的概率为，即m××n＝ m×n＝，又因为至少进入一个社团的概率为，即一个社团都没能进入的概率为1－＝，即(1－m)××(1－n)＝ 1－m－n＋m×n＝，整理得m＋n＝.
12．解析：第k次恰好打开，则前k－1次没有打开，
∴第k次恰好打开房门的概率为××…××＝.
答案：
13．解：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则
P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由已知，A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P( )＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
14．解：(1)记甲、乙、丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件A1，B1，C1，
在实践技能考试中合格依次为事件A2，B2，C2，则甲、乙、丙获得执业医师证书依次为A1A2，B1B2，C1C2，并且A1与A2，B1与B2，C1与C2相互独立，
则P(A1A2)＝×＝，P(B1B2)＝×＝，P(C1C2)＝×＝，
由于>>，故乙获得执业医师证书的可能性最大．
(2)由于事件A1A2，B1B2，C1C2彼此相互独立，
则“恰有两人获得执业医师证书”即为事件(A1A2)(B1B2)()＋(A1A2)()(C1C2)＋()(B1B2)(C1C2)，
概率为P＝××＋××＋××＝.
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