板块综合 概率与统计的综合问题(阶段小结课—习题讲评式教学)
[建构知识体系]
[融通学科素养]
1．浸润的核心素养
在概率与统计中作为高中数学课程中的一个重要内容板块承载着考查学生数据分析、数学建模、逻辑推理和数学运算素养以及阅读理解能力．
2．渗透的数学思想
(1)在统计图表的应用及概率问题中利用树形图求样本点的总数和事件A包含的样本点数考察数形结合思想．
(2)在互斥事件的概率加法公式、对立事件的概率公式、相互独立事件的概率、统计图表中样本数字特征的求解中，运用方程思想解题的关键就是抓住等量关系，列出方程(组)或函数式求解．
(3)在解决概率的相关问题时，常常会用到转化与化归的思想方法．
题型(一) 概率与统计图表交汇
[例1] (2023·新课标Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布．以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；
(2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)．当c∈[95,105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95,105]的最小值．
听课记录：
|思|维|建|模|
破解概率与统计图表综合问题的3步骤
[针对训练]
1．下面是某市某年2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与空气质量等级对应表．某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差，第二天返回(往返共两天)．
空气质量指数 空气质量等级
小于或等于100 优良
大于100且小于或等于150 轻度污染
大于150且小于或等于200 中度污染
大于200且小于或等于300 重度污染
大于300 严重污染
(1)观察空气质量指数趋势图，你认为从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(只写出结论，不要求证明)
(2)求此人到达当日空气质量优良的概率；
(3)求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率．
题型(二) 概率与样本数字特征交汇
[例2] 某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如图所示．
(1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1 000名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数；
(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60,70)的概率；
(3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70,80)，[80,90)，[90,100]三组中，其中a，b，c∈N，当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值．(结论不要求证明)
听课记录：
|思|维|建|模|
本题主要考查概率与数字特征，涉及平均数、中位数，分层随机抽样，古典概型的概率计算等知识．解决此类问题的关键是正确理解图表中各个量的意义，牢记相关定义和公式，在利用频率分布直方图求平均值时，不要与求中位数、众数混淆．
[针对训练]
2．某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸10 000刀(1刀＝100张)，该公司按照某种质量指标x给宣纸确定等级如表所示：
x的范围 (44,48]∪(52,56] (48,52] [0,44]∪(56,60]
质量等级 副牌 正牌 废品
在该公司所生产的宣纸中随机抽取了一刀进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌
宣纸的利润为15元，副牌宣纸利润为8元，废品的利润为－20元．
(1)试估计该公司的年利润；
(2)市场上有一种售价为100万元的机器可以改进宣纸的生产工艺，但这种机器的使用寿命为一年，只能提高宣纸的质量，不能增加宣纸的年产量；据调查这种机器生产的宣纸的质量指标x如表所示：
x的范围 (－2，＋2) (－6，＋6)
频率 0.682 7 0.954 5
其中为质量指标x的平均值，但是由于人们对传统手工工艺的认可，改进后的正牌和副牌宣纸的利润都将下降3元/张，请问该公司是否购买这种机器？请你为公司提出合理建议，并说明理由．(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)
题型(三) 概率统计中的决策性问题
[例3] 某村为提高村民收益，种植了一批蜜柚，现为了更好地销售，从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，测得其质量(单位：克)均分布在区间[1 500,3 000]内，并绘制了如图所示的频率分布直方图：
(1)按分层随机抽样的方法从质量落在区间[1 750，2 000)，[2 000,2 250)的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量均小于2 000克的概率；
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的蜜柚树上大约还有5 000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：
A．所有蜜柚均以40元/千克收购；
B．低于2 250克的蜜柚以60元/个的价格收购，高于或等于2 250克的蜜柚以80元/个的价格收购．
请你通过计算为该村选择收益最好的方案．
听课记录：
[针对训练]
3．某中学的高二(1)班有男同学45名、女同学15名，老师按照分层随机抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．
(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
(2)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选1名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
(3)实验结束后，第一次做实验的同学得到实验数据为68,70,71,72,74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．
板块综合 概率与统计的综合问题
[题型(一)]
[例1] 解：(1)由题图知(100－95)×0.002＝1%＞0.5%，所以95＜c＜100.
设X为患病者的该指标，
则p(c)＝P(X≤c)＝(c－95)×0.002＝0.5%，解得c＝97.5.
设Y为未患病者的该指标，
则q(c)＝P(Y＞c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%.
(2)当95≤c≤100时，
p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19，q(c)＝(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01，
所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝－0.008c＋0.82；
当100＜c≤105时，
p(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＝0.012c－1.19，
q(c)＝(105－c)×0.002＝－0.002c＋0.21，
所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝0.01c－0.98.
综上所述，f(c)＝
由一次函数的单调性知，函数f(c)在[95,100]上单调递减，在(100,105]上单调递增，
作出f(c)在区间[95,105]上的大致图象(略)，可得f(c)在区间[95,105]的最小值f(c)min＝f(100)＝－0.008×100＋0.82＝0.02.
[针对训练]
1．解：(1)通过观察空气质量指数趋势图可知，
从2月5日开始连续三天的空气质量指数波动最大，所以从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
(2)通过观察空气质量指数趋势图可知，前13天，有6天空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为.
(3)通过观察空气质量指数趋势图可知，此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的情况有8次，所以此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率为.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)由折线图得样本中体育成绩大于或等于70分的学生有14＋3＋13＝30人，所以该校高一年级学生中“体育良好”的学生大约为1 000×＝750人．
(2)成绩在[60,70)有2名学生，设为1,2，[80,90)有3名学生，设为A，B，C，故抽取2名学生，有(1,2)，(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10种情况，其中至少有1人体育成绩在[60,70)的情况有(1,2)，(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，共7种情况，故在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60,70)的概率为.
(3)由题意知，要想数据a，b，c的方差s2最小，则a，b，c三个数据的差的绝对值越小越好，故a＝79，c＝90，
则甲、乙、丙三人的体育成绩平均值为＝，故方差s2＝
＝[(68－b)2＋(2b－169)2＋(101－b)2]
＝(6b2－1 014b＋43 386)，
对称轴为b＝－＝84.5，
故当b＝84或b＝85时，s2取得最小值，
a，b，c的值为79,84,90或79,85,90.
[针对训练]
2．解：(1)由频率分布直方图得，一刀宣纸有正牌100×0.1×4＝40张，有副牌100×0.05×4×2＝40张，有废品100×0.025×4×2＝20张，
∴该公司一刀宣纸的利润的估计值为40×15＋40×8－20×20＝520元，
∴估计该公司的年利润为520万元．
(2)由频率分布直方图得，
＝42×0.025×4＋46×0.05×4＋50×0.1×4＋54×0.05×4＋58×0.025×4＝50.
∴－2＝48，＋2＝52，－6＝44，＋6＝56，
则这种机器生产的宣纸的质量指标x如表所示：
x的范围 (48,52) (44,56)
频率 0.682 7 0.954 5
∴一刀宣纸中有正牌的张数估计为100×0.682 7＝68.27，
废品的张数估计为100×(1－0.954 5)＝4.55，
副牌的张数为100×(0.954 5－0.682 7)＝27.18，
∴一刀宣纸的利润为68.27×(15－3)＋27.18×(8－3)－4.55×20＝864.14元，
∴公司改进后该公司的利润为
864．14－100＝764.14万元．
∵764.14>520，
∴建议该公司购买这种机器．
[题型(三)]
[例3] 解：(1)由题图可得蜜柚质量在区间[1 750，2 000)和[2 000,2 250)的比为2∶3，
所以应分别在质量为[1 750,2 000)，[2 000，2 250)的蜜柚中抽取2个和3个．
记抽取的质量在区间[1 750,2 000)的蜜柚分别为A1，A2，质量在区间[2 000,2 250)的蜜柚分别为B1，B2，B3，
则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有10种：
A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3，
其中质量均小于2 000克的仅有A1A2这1种情况，所以所求概率为.
(2)方案A好，
理由：由题中频率分布直方图可知，
蜜柚质量在区间[1 500,1 750)的频率为250×0.000 4＝0.1，
同理，蜜柚质量在区间
[1 750,2 000)，[2 000,2 250)，[2 250，2 500)，[2 500，2 750)，[2 750,3 000]
的频率依次为0.1,0.15,0.4,0.2,0.05，
若按方案A收购：由题意知各区间的蜜柚个数依次为500,500,750,2 000,1 000,250，
于是总收益为
×40÷1 000=457 500(元).
若按方案B收购：由题意知蜜柚质量低于2 250克的个数为(0.1＋0.1＋0.15)×5 000＝1 750，蜜柚质量高于或等于2 250克的个数为5 000－1 750＝3 250，
所以总收益为1 750×60＋3 250×80＝365 000(元)．
因为365 000<457 500,
所以方案A的收益比方案B的收益高，应该选择方案A.
[针对训练]
3．解：(1)某同学被抽到的概率为＝，课外兴趣小组中男同学的人数为45×＝3，课外兴趣小组中女同学的人数为15×＝1.
(2)把3名男同学和1名女同学记为a1，a2，a3，b，则选取两名同学的情况有
(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)，共12种，
其中恰有一名女同学的有6种情况，
所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为P＝＝.
(3)1＝×(68＋70＋71＋72＋74)＝71，
2＝×(69＋70＋70＋72＋74)＝71，
s＝×[(68－71)2＋(70－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(74－71)2]＝4，
s＝×[(69－71)2＋(70－71)2＋(70－71)2＋(72－71)2＋(74－71)2]＝3.2.
因为s>s，所以第二位同学的实验更稳定．
5 / 6(共76张PPT)
板块综合 概率与统计的综合问题
(阶段小结课—习题讲评式教学)
建构知识体系
融通学科素养
1.浸润的核心素养
在概率与统计中作为高中数学课程中的一个重要内容板块承载着考查学生数据分析、数学建模、逻辑推理和数学运算素养以及阅读理解能力.
2.渗透的数学思想
(1)在统计图表的应用及概率问题中利用树形图求样本点的总数和事件A包含的样本点数考察数形结合思想.
(2)在互斥事件的概率加法公式、对立事件的概率公式、相互独立事件的概率、统计图表中样本数字特征的求解中,运用方程思想解题的关键就是抓住等量关系,列出方程(组)或函数式求解.
(3)在解决概率的相关问题时,常常会用到转化与化归的思想方法.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 概率与统计图表交汇
题型(二) 概率与样本数字特征交汇
题型(三) 概率统计中的决策性问题
4
课时跟踪检测
题型(一) 概率与统计图表交汇
01
[例1] (2023·新课标Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性,此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);
解:由题图知(100-95)×0.002=1%>0.5%,所以95
设X为患病者的该指标,则p(c)=P(X≤c)=(c-95)×0.002=0.5%,
解得c=97.5.
设Y为未患病者的该指标,则q(c)=P(Y>c)=(100-97.5)×0.01+5×0.002=0.035=3.5%.
(2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值.
解:当95≤c≤100时,p(c)=(c-95)×0.002=0.002c-0.19,q(c)=(100-c)×0.01+
5×0.002=-0.01c+1.01,所以f(c)=p(c)+q(c)=-0.008c+0.82;
当100q(c)=(105-c)×0.002=-0.002c+0.21,
所以f(c)=p(c)+q(c)=0.01c-0.98.
综上所述,f(c)=
由一次函数的单调性知,函数f(c)在[95,100]上单调递减,在(100,105]上单调递增,
作出f(c)在区间[95,105]上的大致图象(略),可得f(c)在区间[95,105]的最小值f(c)min=f(100)=-0.008×100+0.82=0.02.
|思|维|建|模|
破解概率与统计图表综合问题的3步骤
1.下面是某市某年2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与空气质量等级对应表.某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差,第二天返回(往返共两天).
针对训练
空气质量指数 空气质量等级
小于或等于100 优良
大于100且小于或等于150 轻度污染
大于150且小于或等于200 中度污染
大于200且小于或等于300 重度污染
大于300 严重污染
(1)观察空气质量指数趋势图,你认为从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大 (只写出结论,不要求证明)
解:通过观察空气质量指数趋势图可知,
从2月5日开始连续三天的空气质量指数波动最大,所以从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
(2)求此人到达当日空气质量优良的概率;
解:通过观察空气质量指数趋势图可知,前13天,有6天空气质量优良,所以此人到达当日空气质量优良的概率为.
(3)求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率.
解:通过观察空气质量指数趋势图可知,此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的情况有8次,所以此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率为.
题型(二) 概率与样本数字特征交汇
02
[例2] 某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试,现从中随机抽取40名学生的测试成绩,整理数据并按分数段[40,50),[50,60),
[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]进行分组,假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图如图所示.
(1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有1 000名学生,试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数;
解:由折线图得样本中体育成绩大于或等于70分的学生有14+3+13=30人,所以该校高一年级学生中“体育良好”的学生大约为1 000×=750人.
(2)为分析学生平时的体育活动情况,现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人,求在抽取的2名学生中,至少有1人体育成绩在[60,70)的概率;
解:成绩在[60,70)有2名学生,设为1,2,[80,90)有3名学生,设为A,B,C,故抽取2名学生,有(1,2),(1,A),(1,B),(1,C),(2,A),(2,B),(2,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10种情况,其中至少有1人体育成绩在[60,70)的情况有(1,2),(1,A),(1,B),
(1,C),(2,A),(2,B),(2,C),共7种情况,故在抽取的2名学生中,至少有1人体育成绩在[60,70)的概率为.
(3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a,b,c,且分别在[70,80),[80,90),
[90,100]三组中,其中a,b,c∈N,当数据a,b,c的方差s2最小时,写出a,b,c的值.(结论不要求证明)
解:由题意知,要想数据a,b,c的方差s2最小,则a,b,c三个数据的差的绝对值越小越好,
故a=79,c=90,
则甲、乙、丙三人的体育成绩平均值为=,
故方差s2=
=[(68-b)2+(2b-169)2+(101-b)2]
=(6b2-1 014b+43 386),
对称轴为b=-=84.5,
故当b=84或b=85时,s2取得最小值,
a,b,c的值为79,84,90或79,85,90.
|思|维|建|模|
本题主要考查概率与数字特征,涉及平均数、中位数,分层随机抽样,古典概型的概率计算等知识.解决此类问题的关键是正确理解图表中各个量的意义,牢记相关定义和公式,在利用频率分布直方图求平均值时,不要与求中位数、众数混淆.
针对训练
2.某公司生产的宣纸为纯手工制作,年产宣纸10 000刀(1刀=100张),该公司按照某种质量指标x给宣纸确定等级如表所示:
x的范围 (44,48]∪(52,56] (48,52] [0,44]∪(56,60]
质量等级 副牌 正牌 废品
在该公司所生产的宣纸中随机抽取了一刀进行检验,得到频率分布直方图如图所示,已知每张正牌宣纸的利润为15元,副牌宣纸利润为8元,废品的利润为-20元.
(1)试估计该公司的年利润;
解:由频率分布直方图得,一刀宣纸有正牌100×0.1×4=40张,有副牌100×0.05×4×2=40张,有废品100×0.025×4×2=20张,
∴该公司一刀宣纸的利润的估计值为40×15+40×8-20×20=520元,
∴估计该公司的年利润为520万元.
(2)市场上有一种售价为100万元的机器可以改进宣纸的生产工艺,但这种机器的使用寿命为一年,只能提高宣纸的质量,不能增加宣纸的年产量;据调查这种机器生产的宣纸的质量指标x如表所示:
x的范围
频率 0.682 7 0.954 5
其中为质量指标x的平均值,但是由于人们对传统手工工艺的认可,改进后的正牌和副牌宣纸的利润都将下降3元/张,请问该公司是否购买这种机器 请你为公司提出合理建议,并说明理由.(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)
解:由频率分布直方图得,
=42×0.025×4+46×0.05×4+50×0.1×4+54×0.05×4+58×0.025×4=50.
∴-2=48,+2=52,-6=44,+6=56,
则这种机器生产的宣纸的质量指标x如表所示:
∴一刀宣纸中有正牌的张数估计为100×0.682 7=68.27,废品的张数估计为100×(1-0.954 5)=4.55,
副牌的张数为100×(0.954 5-0.682 7)=27.18,
x的范围 (48,52) (44,56)
频率 0.682 7 0.954 5
∴一刀宣纸的利润为68.27×(15-3)+27.18×(8-3)-4.55×20=864.14元,∴公司改进后该公司的利润为864.14-100=764.14万元.
∵764.14>520,∴建议该公司购买这种机器.
题型(三) 概率统计中的决策性问题
03
[例3] 某村为提高村民收益,种植了一批蜜柚,现为了更好地销售,从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重,测得其质量(单位:克)均分布在区间[1 500,3 000]内,并绘制了如图所示的频率分布直方图:
(1)按分层随机抽样的方法从质量落在区间[1 750,2 000),[2 000,2 250)的蜜柚中随机抽取5个,再从这5个蜜柚中随机抽取2个,求这2个蜜柚质量均小于2 000克的概率;
解:由题图可得蜜柚质量在区间[1 750,2 000)和[2 000,2 250)的比为2∶3,
所以应分别在质量为[1 750,2 000),[2 000,2 250)的蜜柚中抽取2个和3个.
记抽取的质量在区间[1 750,2 000)的蜜柚分别为A1,A2,质量在区间
[2 000,2 250)的蜜柚分别为B1,B2,B3,
则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有10种:
A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3,
其中质量均小于2 000克的仅有A1A2这1种情况,
所以所求概率为.
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该村的蜜柚树上大约还有5 000个蜜柚待出售,某电商提出两种收购方案:
A.所有蜜柚均以40元/千克收购;
B.低于2 250克的蜜柚以60元/个的价格收购,高于或等于2 250克的蜜柚以80元/个的价格收购.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
解:方案A好,
理由:由题中频率分布直方图可知,
蜜柚质量在区间[1 500,1 750)的频率为250×0.000 4=0.1,
同理,蜜柚质量在区间
[1 750,2 000),[2 000,2 250),[2 250,2 500),[2 500,2 750),[2 750,3 000]
的频率依次为0.1,0.15,0.4,0.2,0.05,
若按方案A收购:由题意知各区间的蜜柚个数依次为500,500,750,2 000,
1 000,250,
于是总收益为
若按方案B收购:由题意知蜜柚质量低于2 250克的个数为(0.1+0.1+0.15)
×5 000=1 750,
蜜柚质量高于或等于2 250克的个数为5 000-1 750=3 250,
所以总收益为1 750×60+3 250×80=365 000(元).
因为365 000<457 500,
所以方案A的收益比方案B的收益高,应该选择方案A.
针对训练
3.某中学的高二(1)班有男同学45名、女同学15名,老师按照分层随机抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组.
(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数;
解:某同学被抽到的概率为=,
课外兴趣小组中男同学的人数为45×=3,
课外兴趣小组中女同学的人数为15×=1.
(2)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是先从小组里选出1名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选1名同学做实验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率;
解:把3名男同学和1名女同学记为a1,a2,a3,b,
则选取两名同学的情况有(a1,a2),(a1,a3),(a1,b),(a2,a1),(a2,a3),(a2,b),(a3,a1),
(a3,a2),(a3,b),(b,a1),(b,a2),(b,a3),共12种,其中恰有一名女同学的有6种情况,
所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为P==.
(3)实验结束后,第一次做实验的同学得到实验数据为68,70,71,72,74,第二次做实验的同学得到的实验数据为69,70,70,72,74,请问哪位同学的实验更稳定 并说明理由.
解:=×(68+70+71+72+74)=71, =×(69+70+70+72+74)=71,
=×[(68-71)2+(70-71)2+(71-71)2+(72-71)2+(74-71)2]=4,
=×[(69-71)2+(70-71)2+(70-71)2+(72-71)2+(74-71)2]=3.2.
因为>,所以第二位同学的实验更稳定.
课时跟踪检测
04
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√
A级——达标评价
1.如图所示是根据某市3月1日至3月10日的
最低气温(单位:℃)的情况绘制的折线统计
图,由图可知这10天最低气温的80%分位
数是( )
A.-2 B.0 C.1 D.2
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解析:由折线图可知,这10天的最低气温按照从小到大的顺序排列为:-3,-2,-1,-1,0,0,1,2,2,2,因为共有10个数据,所以10×80%=8是整数,则这10天最低气温的80%分位数是=2.
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√
2.一个系统如图所示,A,B,C,D,E,F为6个部件,其正常工作的概率都是,且是否正常工作是相互独立的,当A,B都正常工作或C正常工作,或D正常工作,或E,F都正常工作时,系统就能正常工作,则系统正常工作的概率是( )
A. B.
C. D.
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解析:设“C正常工作”为事件G,“D正常工作”为事件H,则P(G)=
P(H)=,“A与B中至少有一个不正常工作”为事件T,“E与F中至少有一个不正常工作”为事件R,则P(T)=P(R)=1-×=,于是得系统不正常工作的事件为TR ,而T,R,,相互独立,所以系统正常工作的概率P=1-P(T)·P(R)·P()·()=.
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3.某工厂的机器上有一种易损元件,这种元件发生损坏时,需要及时维修.现有甲、乙两名工人同时从事这项工作,下表记录了某月1日到10日甲、乙两名工人分别维修这种元件的件数.
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日
甲 3 5 4 6 4 6 3 7 8 4
乙 4 7 4 5 5 4 5 5 4 7
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由于甲、乙的任务量大,拟增加工人,为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件,请利用上表数据估计最少需要增加工人的人数为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
√
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解析:设增加工人后有n名工人.因为甲、乙两名工人每天维修的元件的平均数为×[(3+5+4+6+4+6+3+7+8+4)+(4+7+4+5+5+4+5+5+4+7)]=10,所以这n名工人每人每天维修的元件的平均数为.令≤3,解得n≥,所以n的最小值为4.为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件,至少应增加2名工人.
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√
4.若A=a2+b2+c2+d2(a,b,c,d∈N),则称{a,b,c,d}为A的一组四平方和分解(该分解与a,b,c,d的顺序无关),SA=a+b+c+d为该分解因素和,例如2=12
+12+02+02,或2=12+02+12+02,称{1,1,0,0}和{1,0,1,0}是2的同一组四平方和分解,S2=2,则从36的四平方和分解中任取一组分解,则因素和为10的概率是 ( )
A. B.
C. D.
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解析:36=62+02+02+02=52+32+12+12=42+42+22+02=32+32+32+32,四种情形下,因素和分别为6,10,10,12,所以因素和为10的概率是=.
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5.甲、乙两人在5次体育测试中成绩见下表,其中●表示一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 .
甲 89 91 90 88 92
乙 83 87 9● 83 99
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解析:甲的平均成绩=×(89+91+90+88+92)=90.
设被污损的数字为x,
则有83+87+90+x+83+99=442+x,由×(442+x)<90,得x<8,
所以甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率P==.
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6.随着经济发展,江门市居住环境进一步改善,市民休闲活动的公园越来越多,其中,最新打造的网红公园有儿童公园、湖连潮头中央公园、下沙公园.某个节假日,甲、乙、丙、丁四组家庭到这个网红公园打卡,通过访问和意向筛查,最后将这四组家庭的意向汇总如下:
公园 儿童公园 湖连潮头中央公园 下沙公园
有意向的家族组 甲、乙、丙 甲、乙、丁 乙、丙、丁
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若每组家庭只能从已登记的选择意向中随机选取一项,且每个公园至多有两组家庭选择,则甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为 .
解析:①选儿童公园和湖连潮头中央公园时,有以下情况:甲丙、乙丁;乙丙、甲丁;
②选儿童公园和下沙公园时,有以下情况:甲乙、丙丁;甲丙、乙丁;
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③选湖连潮头中央公园和下沙公园时,有以下情况:甲乙、丙丁;甲丁、乙丙;
④选3个公园时,有以下几种情况:甲乙、丁、丙;甲丙、乙、丁;甲丙、丁、乙;乙丙、甲、丁;
丙、甲乙、丁;乙、甲丁、丙;丙、甲丁、乙;甲、乙丁、丙;
甲、丁、乙丙;丙、甲、乙丁;甲、乙、丙丁;乙、甲、丙丁.
共有18种选择,其中甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的4种,则甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为=.
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7.(10分)如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,据统计,通过两条路径所用的时间互不影响,所用时间落在各时间段内的频率如下表:
时间(分钟) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60
L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
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现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站.
(1)为了尽可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径
解:Ai表示事件“甲选择路径Li时,40分钟内赶到火车站”,Bi表示事件“乙选择路径Li时,50分钟内赶到火车站”,i=1,2.
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用频率估计相应的概率,则有:
P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5.
∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择路径L1.
P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9.
∵P(B2)>P(B1),∴乙应选择路径L2.
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(2)根据第(1)问中选择的路径,求甲、乙两人中恰有一人在允许的时间内能赶到火车站的概率.
解:用A,B分别表示针对(1)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,由(1)知P(A)=0.6,P(B)=0.9,又事件A,B相互独立,则甲、乙两人中恰有一人在允许的时间内能赶到火车站的概率为
P(B+A)=P()P(B)+P(A)P()=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42.
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8.(13分)某次高三年级模拟考试中,数学试卷有一道满分10分的选做题,学生可以从A,B两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试,为了了解该校学生解答该选做题的得分情况,为下一步教学作参考依据,计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本.现采用分层随机抽样的方法,按照学生选择A题目或B题目将成绩分为两层.已知该校高三学生有540人选做A题目,有360人选做B题目,选取的样本中,A题目的成绩平均数为5,方差为2,B题目的成绩平均数为5.5,方差为0.25.
(1)用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差;
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解:由题意,按照分层随机抽样的方法抽出的样本中,
A题目的成绩有6个,按分值降序分别记为x1,x2,…,x6,
B题目的成绩有4个,按分值降序分别记为y1,y2,y3,y4,
记样本的平均数为,样本的方差为s2,
由题意知=×[(x1+x2+…+x6)+(y1+y2+y3+y4)]==5.2,
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(2)本选做题阅卷分值都为整数,且选取的样本中,A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是5.5.从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查,求取到的两个成绩来自不同题目的概率.
解:由题意,样本中A题目的成绩大于样本平均值的成绩有3个,设为x1,x2,x3,
B题目的成绩大于样本平均值的成绩有2个,设为y1,y2.
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从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有10种取法,为(x1,x2),(x1,x3),(x2,x3),(x1,y1),(x1,y2),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2),(y1,y2),
其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有6种,为(x1,y1),(x1,y2),
(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2),
记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据,取到的两个成绩来自不同题目”为事件A,则P(A)==0.6.
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B级——重点培优
9.(多选)已知n是一个三位正整数,若n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如135,256,345等).现要从甲、乙两名同学中选出1人参加某市组织的数学竞赛,选取的规则如下:从由1,2,3,4,5组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数,若抽取的“三位递增数”是偶数,则甲参加数学竞赛;否则,乙参加数学竞赛.则下列说法正确的是( )
A.甲参赛的概率大 B.乙参赛的概率大
C.这种选取规则公平 D.这种选取规则不公平
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解析:由题意,知由1,2,3,4,5组成的“三位递增数”有123,124,125,134,
135,145,234,235,245,345,共10个.记“甲参加数学竞赛”为事件A,事件A包含的样本点有124,134,234,共3个,所以P(A)=.记“乙参加数学竞赛”为事件B,则事件B包含的样本点有123,125,135,145,235,245,345,共7个,所以P(B)=.因为P(A)1
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10.(多选)下列说法正确的是 ( )
A.甲、乙两人独立地解题,已知各人能解出的概率分别是0.5,0.25,则题被解出的概率是0.125
B.若A,B是互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B),P(AB)=0
C.某校200名教师的职称分布情况如下:高级占比20%,中级占比50%,初级占比30%,现从中抽取50名教师做样本,若采用分层随机抽样的方法,则高级教师应抽取10人
D.一位男生和两位女生随机排成一列,则两位女生相邻的概率是
√
√
√
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解析:对于A,∵他们各自解出的概率分别是0.5,0.25,则此题不能解出的概率为×=0.375,则此题能解出的概率为1-0.375
=0.625,故A错误;对于B,若A,B是互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B),
P(AB)=0,故B正确;对于C,高级教师应抽取50×20%=10人,故C正确;对于D,由列举法可知,两位女生相邻的概率是,故D正确.
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11.(15分)根据空气质量指数(AQI,为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:
AQI [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300]
级别 一级 二级 三级 四级 五级(A) 五级(B)
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现对某城市30天的空气质量进行监测,获得30个AQI数据(每个数据均不同),统计绘得频率分布直方图如图所示.
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(1)请由频率分布直方图来估计这30天AQI的平均数;
解:依题意,该城市这30天AQI的平均数为
(25×2+75×5+125×9+175×7+225×4+275×3)÷30=150.
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(2)若从获得的“一级”和“五级(B)”的数据中随机选取2个数据进行复查,求“一级”和“五级(B)”数据恰均被选中的概率;
解:一级有2个数据,记为P,Q,五级(B)有3个数据,记为C,D,E,从中选取两个有PQ,PC,PD,PE,QC,QD,QE,CD,CE,DE,共10种可能,一级和五级(B)数据恰均被选中有PC,PD,PE,QC,QD,QE,共6种可能.记“一级和五级(B)数据恰均被选中”为事件M,则P(M)==.
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(3)假如企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位:元)与AQI(记为ω)的关系式为S=若将频率视为概率,在本年内随机抽取一天,试估计这天的经济损失S不超过600元的概率.
解:设“在本月30天中随机抽取一天,该天经济损失不超出600元”为事件N,分两种情况:当0≤ω≤100时,S=0,此时概率为=;
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当100<ω≤300时,由S≤600,得100<ω≤250,
此时概率为==.
综上,由互斥事件的概率公式可得P(N)=+=.
所以估计这天的经济损失S不超过600元的概率为.课时跟踪检测(五十二) 概率与统计的综合问题
(满分80分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．如图所示是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的80%分位数是( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
2.一个系统如图所示，A，B，C，D，E，F为6个部件，其正常工作的概率都是，且是否正常工作是相互独立的，当A，B都正常工作或C正常工作，或D正常工作，或E，F都正常工作时，系统就能正常工作，则系统正常工作的概率是( )
A. B.
C. D.
3．某工厂的机器上有一种易损元件，这种元件发生损坏时，需要及时维修．现有甲、乙两名工人同时从事这项工作，下表记录了某月1日到10日甲、乙两名工人分别维修这种元件的件数.
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日
甲 3 5 4 6 4 6 3 7 8 4
乙 4 7 4 5 5 4 5 5 4 7
由于甲、乙的任务量大，拟增加工人，为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，请利用上表数据估计最少需要增加工人的人数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
4．若A＝a2＋b2＋c2＋d2(a，b，c，d∈N)，则称{a，b，c，d}为A的一组四平方和分解(该分解与a，b，c，d的顺序无关)，SA＝a＋b＋c＋d为该分解因素和，例如2＝12＋12＋02＋02，或2＝12＋02＋12＋02，称{1,1,0,0}和{1,0,1,0}是2的同一组四平方和分解，S2＝2，则从36的四平方和分解中任取一组分解，则因素和为10的概率是( )
A. B.
C. D.
5．甲、乙两人在5次体育测试中成绩见下表，其中●表示一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为__________.
甲 89 91 90 88 92
乙 83 87 9● 83 99
6.随着经济发展，江门市居住环境进一步改善，市民休闲活动的公园越来越多，其中，最新打造的网红公园有儿童公园、湖连潮头中央公园、下沙公园．某个节假日，甲、乙、丙、丁四组家庭到这个网红公园打卡，通过访问和意向筛查，最后将这四组家庭的意向汇总如下：
公园 儿童公园 湖连潮头中央公园 下沙公园
有意向的家族组 甲、乙、丙 甲、乙、丁 乙、丙、丁
若每组家庭只能从已登记的选择意向中随机选取一项，且每个公园至多有两组家庭选择，则甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为__________．
7．(10分)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．
(1)为了尽可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
(2)根据第(1)问中选择的路径，求甲、乙两人中恰有一人在允许的时间内能赶到火车站的概率．
8．(13分)某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，为下一步教学作参考依据，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本．现采用分层随机抽样的方法，按照学生选择A题目或B题目将成绩分为两层．已知该校高三学生有540人选做A题目，有360人选做B题目，选取的样本中，A题目的成绩平均数为5，方差为2，B题目的成绩平均数为5.5，方差为0.25.
(1)用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差；
(2)本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是5.5.从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率．
B级——重点培优
9．(多选)已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如135,256,345等)．现要从甲、乙两名同学中选出1人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1,2,3,4,5组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛．则下列说法正确的是( )
A．甲参赛的概率大 B．乙参赛的概率大
C．这种选取规则公平 D．这种选取规则不公平
10．(多选)下列说法正确的是( )
A．甲、乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5,0.25，则题被解出的概率是0.125
B．若A，B是互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P(AB)＝0
C．某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层随机抽样的方法，则高级教师应抽取10人
D．一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是
11．(15分)根据空气质量指数(AQI，为整数)的不同，可将空气质量分级如下表：
AQI [0，50] (50，100] (100，150] (150，200] (200，250] (250，300]
级别 一级 二级 三级 四级 五级(A) 五级(B)
现对某城市30天的空气质量进行监测，获得30个AQI数据(每个数据均不同)，统计绘得频率分布直方图如图所示．
(1)请由频率分布直方图来估计这30天AQI的平均数；
(2)若从获得的“一级”和“五级(B)”的数据中随机选取2个数据进行复查，求“一级”和“五级(B)”数据恰均被选中的概率；
(3)假如企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位：元)与AQI(记为ω)的关系式为S＝若将频率视为概率，在本年内随机抽取一天，试估计这天的经济损失S不超过600元的概率．
课时跟踪检测(五十二)
1．选D 由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的顺序排列为：－3，－2，－1，－1,0,0,1,2,2,2，因为共有10个数据，所以10×80%＝8是整数，则这10天最低气温的80%分位数是＝2.
2．选A 设“C正常工作”为事件G，“D正常工作”为事件H，则P(G)＝P(H)＝，“A与B中至少有一个不正常工作”为事件T，“E与F中至少有一个不正常工作”为事件R，则P(T)＝P(R)＝1－×＝，
于是得系统不正常工作的事件为TR ，而T，R，，相互独立，
所以系统正常工作的概率P＝1－P(T)·P(R)·P()·()＝.
3．选A 设增加工人后有n名工人．因为甲、乙两名工人每天维修的元件的平均数为×[(3＋5＋4＋6＋4＋6＋3＋7＋8＋4)＋(4＋7＋4＋5＋5＋4＋5＋5＋4＋7)]＝10，所以这n名工人每人每天维修的元件的平均数为.令≤3，解得n≥，所以n的最小值为4.为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，至少应增加2名工人．
4．选D 36＝62＋02＋02＋02＝52＋32＋12＋12＝42＋42＋22＋02＝32＋32＋32＋32，四种情形下，因素和分别为6,10,10,12，所以因素和为10的概率是＝.
5．解析：甲的平均成绩甲＝×(89＋91＋90＋88＋92)＝90.
设被污损的数字为x，
则有83＋87＋90＋x＋83＋99＝442＋x，由×(442＋x)<90，得x<8，
所以甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率P＝＝.
答案：
6．解析：①选儿童公园和湖连潮头中央公园时，有以下情况：甲丙、乙丁；乙丙、甲丁；
②选儿童公园和下沙公园时，有以下情况：甲乙、丙丁；甲丙、乙丁；
③选湖连潮头中央公园和下沙公园时，有以下情况：甲乙、丙丁；甲丁、乙丙；
④选3个公园时，有以下几种情况：甲乙、丁、丙；甲丙、乙、丁；甲丙、丁、乙；乙丙、甲、丁；
丙、甲乙、丁；乙、甲丁、丙；丙、甲丁、乙；甲、乙丁、丙；
甲、丁、乙丙；丙、甲、乙丁；甲、乙、丙丁；乙、甲、丙丁．
共有18种选择，其中甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的4种，则甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为＝.
答案：
7．解：(1)Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i＝1,2.
用频率估计相应的概率，则有：
P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5.
∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择路径L1.
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9.
∵P(B2)>P(B1)，∴乙应选择路径L2.
(2)用A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又事件A，B相互独立，则甲、乙两人中恰有一人在允许的时间内能赶到火车站的概率为
P(B＋A)＝P()P(B)＋P(A)P()＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42.
8．解：(1)由题意，按照分层随机抽样的方法抽出的样本中，
A题目的成绩有6个，按分值降序分别记为x1，x2，…，x6，B题目的成绩有4个，按分值降序分别记为y1，y2，y3，y4，
记样本的平均数为，样本的方差为s2，
由题意知
＝×[(x1＋x2＋…＋x6)＋(y1＋y2＋y3＋y4)]＝＝5.2，
(xi－5.2)2＝[(xi－5)－0.2]2＝[(xi－5)2－0.4(xi－5)＋0.04]，
(yi－5.2)2＝[(yi－5.5)＋0.3]2＝[(yi－5.5)2＋0.6(yi－5.5)＋0.09]，
所以s2＝×[(x1－5.2)2＋(x2－5.2)2＋…＋(x6－5.2)2＋(y1－5.2)2＋…＋(y4－5.2)2]＝×(2×6－0＋0.04×6＋0.25×4＋0＋0.09×4)＝＝1.36.
所以估计该校900名考生选做题得分的平均数为5.2，方差为1.36.
(2)由题意，样本中A题目的成绩大于样本平均值的成绩有3个，设为x1，x2，x3，
B题目的成绩大于样本平均值的成绩有2个，设为y1，y2.
从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有10种取法，为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，
其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有6种，为(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，
记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据，取到的两个成绩来自不同题目”为事件A，则P(A)＝＝0.6.
9．选BD 由题意，知由1,2,3,4,5组成的“三位递增数”有123,124,125,134,135,145,234,235,245,345，共10个．记“甲参加数学竞赛”为事件A，事件A包含的样本点有124,134,234，共3个，所以P(A)＝.记“乙参加数学竞赛”为事件B，则事件B包含的样本点有123,125,135,145,235,245,345，共7个，所以P(B)＝.因为P(A)10．选BCD 对于A，∵他们各自解出的概率分别是0.5,0.25，则此题不能解出的概率为×＝0.375，则此题能解出的概率为1－0.375＝0.625，故A错误；对于B，若A，B是互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P(AB)＝0，故B正确；对于C，高级教师应抽取50×20%＝10人，故C正确；对于D，由列举法可知，两位女生相邻的概率是，故D正确．
11．解：(1)依题意，该城市这30天AQI的平均数为(25×2＋75×5＋125×9＋175×7＋225×4＋275×3)÷30＝150.
(2)一级有2个数据，记为P，Q，五级(B)有3个数据，记为C，D，E，从中选取两个有PQ，PC，PD，PE，QC，QD，QE，CD，CE，DE，共10种可能，一级和五级(B)数据恰均被选中有PC，PD，PE，QC，QD，QE，共6种可能．记“一级和五级(B)数据恰均被选中”为事件M，则P(M)＝＝.
(3)设“在本月30天中随机抽取一天，该天经济损失不超出600元”为事件N，分两种情况：当0≤ω≤100时，S＝0，此时概率为＝；
当100<ω≤300时，由S≤600，得100<ω≤250，此时概率为＝＝.
综上，由互斥事件的概率公式可得P(N)＝＋＝.
所以估计这天的经济损失S不超过600元的概率为.
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