第一章 勾股定理 综合评价
一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1.下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A.3，4，7 B.7，24，25
C.，， D.3，－4，5
2.下列几组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A.2，3，4 B.3，4，5
C.6，8，10 D.9，12，15
3.已知甲从点A往东走了4 km，乙从点A往南走了3 km，这时甲、乙两人相距（ ）
A.1 km B.4 km C.5 km D.7 km
4.如图，一根12 m高的电线杆两侧各用13 m的铁丝固定，使其垂直于地面，两个固定点A，B之间的距离是（ ）
第4题图
A.15 m B.9 m C.18 m D.10 m
5.如图，在网格中，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（ ）
第5题图
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.以上答案都不对
6.在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，则AB2＋AC2＋BC2的值为（ ）
A.8 B.4 C.6 D.无法计算
7.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列说法错误的是（ ）
A.如果∠C－∠B＝∠A，那么△ABC是直角三角形
B.如果c2＝b2－a2，那么△ABC是直角三角形，且∠C＝90°
C.如果（c＋a）（c－a）＝b2，那么△ABC是直角三角形
D.如果∠A∶∠B∶∠C＝5∶2∶3，那么△ABC是直角三角形
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝16，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为（ ）
第8题图
A.16 B.32 C.160 D.256
9.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（ ）
第9题图
A.12 m B.13 m C.16 m D.17 m
10.如图，一支长为15cm的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的长、宽、高依次为4cm，3cm，12cm，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（ ）
第10题图
A.2cm≤x≤5cm B.2cm≤x≤3cm
C.4cm≤x≤5cm D.9cm≤x≤12cm
11.如图，一个圆桶的底面直径为16 cm，高为18 cm.一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（ ）
第11题图
A.20 cm B.30 cm C.40 cm D.50 cm
12.如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则S2 025的值为（ ）
第12题图
A.（）2 025 B.（）2 024 C.（）2 023 D.（）2 022
二、填空题（每小题4分，共16分）
13.已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长的平方为 .
14.某楼梯的侧面示意图如图所示，其中AB＝10 m，BC＝6 m，∠C＝90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 m.
第14题图
15.三国时期吴国赵爽创制了“勾股圆方图”（如图）证明了勾股定理.在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形EFGH组成的.若小正方形的边长是1，每个直角三角形的较短直角边长是3，则大正方形ABCD的面积是 .
第15题图
16.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边BC，AB上一个动点，连接DE，将点B沿直线DE折叠，点B的对应点为F，若AC＝3，BC＝4，当点F落在AC的三等分点上时，BD的长为 .
第16题图
三、解答题（本大题共9个小题，共98分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤）
17.（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.
（1）已知a＝7 cm，b＝24 cm，求c；
（2）已知c＝15 cm，a＝9 cm，求b.
18.（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9，求AB的长.
19.（10分）如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16.
（1）试说明：BD⊥AC；
（2）若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值.
20.（10分）如图，圆柱形玻璃容器的高为18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.
21.（10分）如图，为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在AB所在的直线上建一个图书阅览室E，本社区有两所学校，分别在点C和点D处.已知CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AB＝25 km，AC＝15 km，DB＝10 km.阅览室E应建在距点A多少千米处，才能使它到两所学校的距离相等？
22.（10分）根据道路交通管理条例的规定，在某段笔直的公路l上行驶的车辆限速60 km/h.已知测速点M到测速区间的端点A，B的距离分别为50 m、34 m，M距公路l的距离（即MN的长）为30 m.现测得一辆汽车从A到B所用的时间为5 s，通过计算判断此车是否超速.
23.（12分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，将边AD，DC分别沿直线DE，DF折叠，此时点A，C恰好都落在点P处，且AE＝2，求：
（1）EF的长；
（2）△BEF的面积.
24.（12分）如图，某风景区的沿湖公路AB＝3 km，BC＝4 km，CD＝12 km，AD＝13 km，其中AB⊥BC，图中阴影是草地，其余是水面.
（1）A，C两点之间的距离是 km；
（2）求点A到CD的距离；
（3）如果游客乘游艇从点C出发，行进的速度为11 km/h，那么到达对岸AD最少要用多少小时？
25.（14分）（1）【阅读理解】美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形.如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；
（2）【问题解决】如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积；
（3）【拓展延伸】如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3＝42，求S2的值.第一章 勾股定理 综合评价
一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1.下列各组数中，是勾股数的是（ B ）
A.3，4，7 B.7，24，25
C.，， D.3，－4，5
2.下列几组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ A ）
A.2，3，4 B.3，4，5
C.6，8，10 D.9，12，15
3.已知甲从点A往东走了4 km，乙从点A往南走了3 km，这时甲、乙两人相距（ C ）
A.1 km B.4 km C.5 km D.7 km
4.如图，一根12 m高的电线杆两侧各用13 m的铁丝固定，使其垂直于地面，两个固定点A，B之间的距离是（ D ）
第4题图
A.15 m B.9 m C.18 m D.10 m
5.如图，在网格中，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（ A ）
第5题图
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.以上答案都不对
6.在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，则AB2＋AC2＋BC2的值为（ A ）
A.8 B.4 C.6 D.无法计算
7.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列说法错误的是（ B ）
A.如果∠C－∠B＝∠A，那么△ABC是直角三角形
B.如果c2＝b2－a2，那么△ABC是直角三角形，且∠C＝90°
C.如果（c＋a）（c－a）＝b2，那么△ABC是直角三角形
D.如果∠A∶∠B∶∠C＝5∶2∶3，那么△ABC是直角三角形
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝16，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为（ D ）
第8题图
A.16 B.32 C.160 D.256
9.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（ D ）
第9题图
A.12 m B.13 m C.16 m D.17 m
10.如图，一支长为15cm的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的长、宽、高依次为4cm，3cm，12cm，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（ B ）
第10题图
A.2cm≤x≤5cm B.2cm≤x≤3cm
C.4cm≤x≤5cm D.9cm≤x≤12cm
11.如图，一个圆桶的底面直径为16 cm，高为18 cm.一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（ B ）
第11题图
A.20 cm B.30 cm C.40 cm D.50 cm
12.如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则S2 025的值为（ D ）
第12题图
A.（）2 025 B.（）2 024 C.（）2 023 D.（）2 022
二、填空题（每小题4分，共16分）
13.已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长的平方为 28或100 .
14.某楼梯的侧面示意图如图所示，其中AB＝10 m，BC＝6 m，∠C＝90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 14 m.
第14题图
15.三国时期吴国赵爽创制了“勾股圆方图”（如图）证明了勾股定理.在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形EFGH组成的.若小正方形的边长是1，每个直角三角形的较短直角边长是3，则大正方形ABCD的面积是 25 .
第15题图
16.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边BC，AB上一个动点，连接DE，将点B沿直线DE折叠，点B的对应点为F，若AC＝3，BC＝4，当点F落在AC的三等分点上时，BD的长为 或 .
第16题图
三、解答题（本大题共9个小题，共98分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤）
17.（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.
（1）已知a＝7 cm，b＝24 cm，求c；
（2）已知c＝15 cm，a＝9 cm，求b.
解：（1）由勾股定理，得a2＋b2＝c2.
所以72＋242＝c2.
即c2＝49＋576＝625.
因此c＝25 cm.
（2）由勾股定理，得a2＋b2＝c2.
所以92＋b2＝152.
即b2＝152－92＝225－81＝144.
因此b＝12 cm.
18.（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9，求AB的长.
解：因为CD⊥AB，
所以∠CDA＝∠CDB＝90°.
在Rt△BCD中，
CD2＝BC2－DB2＝152－92＝144.
在Rt△ACD中，
AD2＝AC2－CD2＝202－144＝256.
所以AD＝16.
因此AB＝AD＋DB＝16＋9＝25.
19.（10分）如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16.
（1）试说明：BD⊥AC；
（2）若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值.
解：（1）因为AC＝21，AD＝16，所以CD＝AC－AD＝5.
因为BD2＋CD2＝122＋52＝169＝BC2，所以∠BDC＝90°，
因此BD⊥AC.
（2）当DE⊥AB时，DE最短.
因为AB2＝AD2＋BD2＝162＋122＝400，所以AB＝20.
因为S△ADB＝AD·DB＝AB·DE，
所以DE＝＝.
因此线段DE的最小值为.
20.（10分）如图，圆柱形玻璃容器的高为18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.
解：如图，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段SF就是蜘蛛走的最短路线，
因为∠SNF＝90°，FN＝18－1－1＝16（cm），SN＝×60＝30（cm），
所以SF2＝SN2＋FN2＝302＋162＝1 156，所以SF＝34 cm，
所以蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm.
21.（10分）如图，为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在AB所在的直线上建一个图书阅览室E，本社区有两所学校，分别在点C和点D处.已知CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AB＝25 km，AC＝15 km，DB＝10 km.阅览室E应建在距点A多少千米处，才能使它到两所学校的距离相等？
解：设AE＝x km，则BE＝（25－x）km.
在Rt△ACE中，由勾股定理，得CE2＝AE2＋AC2＝x2＋152.
在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE2＝（25－x）2＋102.
因为CE＝DE，所以CE2＝DE2，即x2＋152＝（25－x）2＋102，
解得x＝10.
即阅览室E应建在距点A 10 km处，才能使它到两所学校的距离相等.
22.（10分）根据道路交通管理条例的规定，在某段笔直的公路l上行驶的车辆限速60 km/h.已知测速点M到测速区间的端点A，B的距离分别为50 m、34 m，M距公路l的距离（即MN的长）为30 m.现测得一辆汽车从A到B所用的时间为5 s，通过计算判断此车是否超速.
解：在Rt△AMN中，由勾股定理，得
AN2＝AM2－MN2＝502－302＝402，所以AN＝40 m.
在Rt△MNB中，由勾股定理，得
BN2＝BM2－MN2＝342－302＝162，
所以BN＝16 m.则AB＝AN＋NB＝40＋16＝56（m）.
所以汽车从A到B的平均速度为56÷5＝11.2（m/s）.
11.2 m/s＝40.32 km/h＜60 km/h.
因此，此车没有超速.
23.（12分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，将边AD，DC分别沿直线DE，DF折叠，此时点A，C恰好都落在点P处，且AE＝2，求：
（1）EF的长；
（2）△BEF的面积.
解：（1）因为四边形ABCD为正方形，
所以DA＝AB＝BC＝DC＝6，
∠B＝∠A＝∠C＝90°.
由折叠的性质，知∠DPE＝∠A＝90°，∠DPF＝∠C＝90°，
PD＝DA＝6，PE＝AE＝2，FC＝FP.
设FC＝x，则FP＝x，FB＝6－x.
因为∠DPF＋∠DPE＝90°＋90°＝180°，
所以点F，P，E在同一条直线上.
所以在Rt△EBF中，由勾股定理，得EF2＝BE2＋FB2，
即（x＋2）2＝（6－2）2＋（6－x）2，解得x＝3，即FP＝FC＝3.
所以EF＝PE＋FP＝2＋3＝5.
（2）因为FC＝3，BC＝6，所以FB＝3.
因为AB＝6，AE＝2，所以BE＝4，
所以S△BEF＝BE·FB＝×4×3＝6.
24.（12分）如图，某风景区的沿湖公路AB＝3 km，BC＝4 km，CD＝12 km，AD＝13 km，其中AB⊥BC，图中阴影是草地，其余是水面.
（1）A，C两点之间的距离是 5 km；
（2）求点A到CD的距离；
（3）如果游客乘游艇从点C出发，行进的速度为11 km/h，那么到达对岸AD最少要用多少小时？
解：（2）连接AC.
因为CD＝12 km，AD＝13 km，
由（1）知，AC＝5 km，
所以AC2＋CD2＝52＋122＝132＝AD2.
所以△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°.
因此点A到CD的距离是AC＝5 km.
（3）作CE⊥AD交AD于点E，则
AC·CD＝AD·CE，即×5×12＝×13CE，解得CE＝km.
÷11＝×＝（h）.
因此，到达对岸AD最少要用 h.
25.（14分）（1）【阅读理解】美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形.如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；
（2）【问题解决】如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积；
（3）【拓展延伸】如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3＝42，求S2的值.
解：（1）由图1可得，大正方形的面积为c2，
大正方形的面积为4×ab＋（a－b）2，
所以4×ab＋（a－b）2＝c2，
化简，得a2＋b2＝c2.
（2）24÷4＝6，
设AC＝x，则CD＝6－x.
由勾股定理，得OD2＋OC2＝CD2，
即（x＋3）2＋32＝（6－x）2，解得x＝1，
所以该图案的面积为×（3＋1）×3×4＝24.
故该飞镖状图案的面积为24.
（3）设八个全等的直角三角形的面积均为a，则
S2＝S1－4a，S2＝S3＋4a，
两式相加，得2S2＝S1＋S3.
又因为S1＋S2＋S3＝42，
所以3S2＝42，
故S2＝14.
