第一章 勾股定理 本章知识总结
@考点巩固
考点1 勾股定理
1.【数学文化】如图所示是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（ ）
第1题图
A.128 B.64 C.32 D.144
2.（教材习题变式）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的面积分别是5，7，3，5，则最大的正方形E的面积是 .
第2题图
3.【新情境·神舟二十号】2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟二十号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射任务取得圆满成功.运载火箭的发射架被焊接成许多直角三角形结构，若其中一个直角三角形的两条边长分别为3，5，则该直角三角形的第三条边边长的平方为 .
4.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，已知BD＝10，AD＋AC＝15且BC＝5，求AB的长.
考点2 直角三角形的判定
5.下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A.∠A＝∠B＋∠C
B.a∶b∶c＝5∶12∶13
C.a2＝（b＋c）（b－c）
D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
6.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则∠DAE－∠BAC的度数为 .
7.如图，在△ABC中，D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2－CE2＝BC2.
（1）试说明：△BCE是直角三角形；
（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长.
考点3 勾股数
8.（易错题）下列是勾股数的有（ ）
①5，3，4；②1.2，0.5，1.3；③40，41，9；④13，14，15；⑤11，60，61.
A.5组 B.4组 C.3组 D.2组
9.如果正整数a，b，c满足等式a2＋b2＝c2，那么正整数a，b，c叫作勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成右表，观察表中每列数的规律，可知x＋y的值为 .
考点4 勾股定理的实际应用
10.如图，一棵大树在离地面6 m，10 m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部12 m处，则大树折断前的高度是（ ）
第10题图
A.14 m B.16 m C.18 m D.20 m
11.如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 cm.（杯壁厚度不计）
第11题图
12.如图，一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处.若M，N两点相距100海里，则∠NOF的度数为 .
13.如图，铁路AB两旁有两城分别在点C，D处，为推动经济发展，他们都要求在距自己城市最近的点A，B处建立火车站，与铁道部门协商后在与点C，D距离相等的点E处修建了一个火车站.如果AC＝10 km，BD＝30 km，AB＝50 km，求AE的长.
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14.【分类讨论】在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长.第一章 勾股定理 本章知识总结
@考点巩固
考点1 勾股定理
1.【数学文化】如图所示是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（ A ）
第1题图
A.128 B.64 C.32 D.144
2.（教材习题变式）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的面积分别是5，7，3，5，则最大的正方形E的面积是 20 .
第2题图
3.【新情境·神舟二十号】2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟二十号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射任务取得圆满成功.运载火箭的发射架被焊接成许多直角三角形结构，若其中一个直角三角形的两条边长分别为3，5，则该直角三角形的第三条边边长的平方为 16或34 .
4.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，已知BD＝10，AD＋AC＝15且BC＝5，求AB的长.
解：设AD＝x，
则AC＝15－x，AB＝x＋10.
在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，
所以AB2＋BC2＝AC2，
即（x＋10）2＋52＝（15－x）2，解得x＝2.
故AB＝x＋10＝2＋10＝12.
考点2 直角三角形的判定
5.下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ D ）
A.∠A＝∠B＋∠C
B.a∶b∶c＝5∶12∶13
C.a2＝（b＋c）（b－c）
D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
6.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则∠DAE－∠BAC的度数为 45° .
7.如图，在△ABC中，D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2－CE2＝BC2.
（1）试说明：△BCE是直角三角形；
解：（1）连接BE.
因为点D是AB的中点，
所以AD＝BD.
因为DE⊥AB，
所以∠EDA＝∠EDB＝90°，
又因为ED＝ED，
所以△ADE≌△BDE（SAS）.
所以AE＝BE.
又因为AE2－CE2＝BC2，
所以BE2－CE2＝BC2，即BE2＝CE2＋BC2，
因此△BCE是直角三角形.
（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长.
解：（2）在Rt△BDE中，
BE2＝DE2＋BD2＝62＋82＝100，
所以BE＝10.
所以AE＝BE＝10.
设CE＝x，则AC＝10＋x，而AB＝2BD＝16.
在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝162－（10＋x）2.
在Rt△BCE中，BC2＝EB2－EC2＝102－x2.
所以162－（10＋x）2＝102－x2，
解得x＝2.8，即CE＝2.8.
考点3 勾股数
8.（易错题）下列是勾股数的有（ C ）
①5，3，4；②1.2，0.5，1.3；③40，41，9；④13，14，15；⑤11，60，61.
A.5组 B.4组 C.3组 D.2组
9.如果正整数a，b，c满足等式a2＋b2＝c2，那么正整数a，b，c叫作勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成右表，观察表中每列数的规律，可知x＋y的值为 79 .
考点4 勾股定理的实际应用
10.如图，一棵大树在离地面6 m，10 m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部12 m处，则大树折断前的高度是（ D ）
第10题图
A.14 m B.16 m C.18 m D.20 m
11.如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 10 cm.（杯壁厚度不计）
第11题图
12.如图，一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处.若M，N两点相距100海里，则∠NOF的度数为 70° .
13.如图，铁路AB两旁有两城分别在点C，D处，为推动经济发展，他们都要求在距自己城市最近的点A，B处建立火车站，与铁道部门协商后在与点C，D距离相等的点E处修建了一个火车站.如果AC＝10 km，BD＝30 km，AB＝50 km，求AE的长.
解：由题意，得△ACE和△BDE都是直角三角形，并且CE＝DE.
设AE＝x km，
则BE＝（50－x）km.
由勾股定理，得
AC2＋AE2＝CE2，BE2＋BD2＝DE2.
因为CE＝DE，所以AC2＋AE2＝BE2＋BD2.
即102＋x2＝（50－x）2＋302，解得x＝33.
故AE的长为33 km.
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14.【分类讨论】在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长.
解：当高AD在△ABC内部时，如图1.
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，
所以BD＝16.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得
CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，
所以CD＝9.
故BC＝BD＋CD＝25，
此时△ABC的周长为25＋20＋15＝60.
当高AD在△ABC外部时，如图2.
同理可得BD＝16，CD＝9.
所以BC＝BD－CD＝7，
此时△ABC的周长为7＋20＋15＝42.
综上所述，△ABC的周长为42或60.
