第七章命题与证明 综合评价
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1.下列语句中，属于定义的是（ D ）
A.对顶角相等
B.三角形的内角和等于180°
C.同角或等角的余角相等
D.三条边都相等的三角形叫作等边三角形
2.下列命题是真命题的是（ C ）
A.互补的两个角是邻补角
B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.对顶角相等
D.两条直线被第三条直线所截，内错角相等
3.关于“两点之间线段最短”有下列说法：①是命题；②是假命题；③是真命题；④是公理.其中，说法正确的有（ B ）
A.①③ B.①③④ C.③④ D.①②④
4.如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3的度数为（ C ）
第4题图
A.50° B.55° C.60° D.65°
5.如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数是（ C ）
第5题图
A.65° B.60° C.55° D.75°
6.能说明命题“对于任何实数a，｜a｜＞－a”是假命题的一个反例可以是（ A ）
A.a＝－2 B.a＝ C.a＝1 D.a＝2
7.如图，下列条件中，不能判断直线AD∥BC的是（ A ）
第7题图
A.∠1＝∠3 B.∠3＝∠E
C.∠2＝∠B D.∠BCD＋∠D＝180°
8.如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°36'，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（ B ）
第8题图
A.75°36' B.75°12'
C.74°36' D.74°12'
9.如图，将含30°角的直角三角尺ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，已知∠A＝30°，∠1＝40°，则∠2的度数为（ D ）
第9题图
A.55° B.60° C.65° D.70°
10.如图，已知AB∥CD，则图中∠P和∠A，∠C的关系为（ B ）
第10题图
A.∠C＝∠P－∠A B.∠P＝∠C－∠A
C.∠P＝∠A＋∠C D.∠C＝∠A－∠P
11.小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E＝90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠1＋∠2等于（ C ）
第11题图
A.150° B.180° C.210° D.270°
12.如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF∥BC，EC⊥CF，∠EFC＝∠ACF，则下列结论：①AD⊥EF；②CE平分∠ACB；③∠FEC＝∠ACE；④AB∥CF.其中正确的结论个数是（ C ）
第12题图
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题（每小题4分，共16分）
13.请举反例说明命题“对于任意实数x，x2＋5x＋5的值总是正数”是假命题，你举的反例是x＝ －2（答案不唯一） .（写出一个x的值即可）
14.在我们的生活中处处有数学的身影，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“ 三角形的三个内角和等于180° ”.
第14题图
15.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的.如图，若∠3＋∠4＝120°，则∠2－∠1＝ 60 度.
第15题图
16.如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠D＝45°.若三角板ABC不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板DCE，则当∠ACD＝ 60°或120° 时，CE∥AB.
第16题图
三、解答题（本大题共9个小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）命题：直角三角形的两锐角互余.
（1）将此命题写成“如果……，那么……”的形式： 如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 ；
（2）请判断此命题的真假.若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程.
解：（2）此命题是真命题.
已知：△ABC中，∠B＝90°.求证：∠A＋∠C＝90°.
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠C＝180°－∠B，
∵∠B＝90°，
∴∠A＋∠C＝180°－90°＝90°.
18.（10分）如图，点B，E分别在AC，DF上，连接BD，CE，AF，AF分别交BD，CE于点M，N，若∠1＝∠2，∠C＝∠D，证明：∠A＝∠F.
证明：∵∠1＝∠DMF，∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DMF，
∴BD∥CE，
∴∠C＝∠DBA，
∵∠C＝∠D，
∴∠D＝∠DBA，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F.
19.（10分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1＝72°，求∠2的度数.
解：∵AB∥CD，∠1＝72°，
∴∠BEF＝180°－∠1＝180°－72°＝108°，
∠2＝∠BEG.
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠BEF＝×108°＝54°.
∴∠2＝54°.
20.（10分）如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3＝∠C.求证：∠1＝∠2.
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF.∴∠2＝∠4.
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠C＝90°.
又∵∠3＝∠C，
∴∠1＝∠4，∴∠1＝∠2.
21.（10分）真假命题的思考
一天，老师在黑板上写了下列三个命题：
①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②如果a2＝b2，那么a＝b；
③如果∠α和∠β的两边所在的直线分别平行，那么∠α＝∠β.
小明和小丽对话如下：
小明：“命题①是真命题，好像可以证明.”
小丽：“命题①是假命题，好像少了一些条件.”
（1）①结合小明和小丽的对话，谈谈你的观点.如果你认为①是真命题，请证明；如果你认为它是假命题，请增加一个适当的条件，使之成为真命题；
（2）请在命题②③中选一个，如果你认为是真命题，请证明；如果你认为它是假命题，请举出一个反例.
解：（1）①是假命题，增加“在同一平面内”这个条件，即可为真命题.
（2）②是假命题，反例：当a＝1，b＝－1时，a2＝b2，但a≠b.
③是假命题，反例：如图，∠α和∠β的两边所在直线分别平行，∠α＋∠β＝180°，但∠α≠∠β.
22.（10分）如图，AB∥CD，∠DCE＝118°，∠AEF＝∠CEF，EF与GF相交于点F，∠BGF＝132°.求∠F的大小.
解：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠DCE＝118°，∠BEC＝180°－118°＝62°.
∵∠AEF＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠AEC＝×118°＝59°，
∴∠GEF＝∠CEF＋∠BEC＝59°＋62°＝121°.
∵∠BGF＝132°，
∴∠F＝∠BGF－∠GEF＝132°－121°＝11°.
23.（12分）如图，DE⊥AC，∠AGF＝∠ABC，∠1＝35°，∠2＝145°.
（1）试判断BF与AC的位置关系，并证明；
（2）若BF平分∠ABC，求∠A的度数.
解：（1）BF⊥AC.
证明：∵∠AGF＝∠ABC，∴FG∥BC.∴∠1＝∠3.
∵∠1＝35°，∴∠3＝35°.
∵∠2＝145°，∴∠3＋∠2＝180°.∴BF∥DE.
∵DE⊥AC，∴ BF⊥AC.
（2）∵BF平分∠ABC，∴∠3＝∠ABF＝35°.∴∠ABC＝ 70°.
∵DE∥BF，∴∠CDE＝∠3＝35°.
∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°.∴∠C＝180°－90°－35°＝ 55°.
∴∠A＝180°－70°－55°＝55°.
24.（12分）如图，已知直线AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，点E，F在CD上，且满足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF.
（1）求证：AD∥BC；
（2）求∠DBE的度数；
（3）若平行移动AD，在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使∠BEC＝∠ADB？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由.
（1）证明：∵AB∥CD，∴∠A＋∠ADC＝180°.
又∵∠A＝∠C，∴∠ADC＋∠C＝180°.
∴AD∥BC.
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝180°－∠C＝80°.
∵∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF，
∴∠DBE＝∠ABF＋∠CBF＝∠ABC＝40°.
（3）解：存在.
设∠ABD＝∠DBF＝∠BDC＝x°.
∵AB∥CD，由（2）知，∠DBE＝40°，
∴∠BEC＝∠ABE＝x°＋40°.
∵∠ADC＝180°－∠A＝80°，
∴∠ADB＝∠ADC－∠BDC＝80°－x°.
若∠BEC＝∠ADB，则x＋40＝80－x，
解得x＝20，则∠BEC＝∠ADB＝x°＋40°＝60°.
因此，在平行移动AD的过程中，存在这种情况，使∠BEC＝∠ADB，且∠BEC＝∠ADB＝60°.
25.（14分）问题情景：如图1，已知AB∥CD.
（1）【观察猜想】若∠AEP＝50°，∠CFP＝40°，求∠P的度数；
（2）【探究问题】在图1中探究，∠EPF，∠CFP与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由；
（3）【拓展延伸】若将图1变为图2，题设的条件不变，此时∠EPF，∠PFD与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由.
解：（1）如图1，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠QPE＝∠AEP＝50°，∠QPF＝∠CFP＝40°，
∴∠EPF＝∠QPE＋∠QPF＝90°.
（2）∠EPF＝∠AEP＋∠CFP，理由如下：
如图1，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF＝∠CFP，
∴∠EPF＝∠QPE＋∠QPF＝∠AEP＋∠CFP.
（3）∠EPF＋∠AEP＋∠PFD＝180°，理由如下：
如图，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF＋∠PFD＝180°，
∵∠QPF＝∠EPF＋∠QPE，
∴∠QPF＝∠EPF＋∠AEP，
∴∠EPF＋∠AEP＋∠PFD＝180°.第七章命题与证明 综合评价
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1.下列语句中，属于定义的是（ ）
A.对顶角相等
B.三角形的内角和等于180°
C.同角或等角的余角相等
D.三条边都相等的三角形叫作等边三角形
2.下列命题是真命题的是（ ）
A.互补的两个角是邻补角
B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.对顶角相等
D.两条直线被第三条直线所截，内错角相等
3.关于“两点之间线段最短”有下列说法：①是命题；②是假命题；③是真命题；④是公理.其中，说法正确的有（ ）
A.①③ B.①③④ C.③④ D.①②④
4.如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3的度数为（ ）
第4题图
A.50° B.55° C.60° D.65°
5.如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数是（ ）
第5题图
A.65° B.60° C.55° D.75°
6.能说明命题“对于任何实数a，｜a｜＞－a”是假命题的一个反例可以是（ ）
A.a＝－2 B.a＝ C.a＝1 D.a＝2
7.如图，下列条件中，不能判断直线AD∥BC的是（ ）
第7题图
A.∠1＝∠3 B.∠3＝∠E
C.∠2＝∠B D.∠BCD＋∠D＝180°
8.如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°36'，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（ ）
第8题图
A.75°36' B.75°12'
C.74°36' D.74°12'
9.如图，将含30°角的直角三角尺ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，已知∠A＝30°，∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
第9题图
A.55° B.60° C.65° D.70°
10.如图，已知AB∥CD，则图中∠P和∠A，∠C的关系为（ ）
第10题图
A.∠C＝∠P－∠A B.∠P＝∠C－∠A
C.∠P＝∠A＋∠C D.∠C＝∠A－∠P
11.小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E＝90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠1＋∠2等于（ ）
第11题图
A.150° B.180° C.210° D.270°
12.如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF∥BC，EC⊥CF，∠EFC＝∠ACF，则下列结论：①AD⊥EF；②CE平分∠ACB；③∠FEC＝∠ACE；④AB∥CF.其中正确的结论个数是（ ）
第12题图
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题（每小题4分，共16分）
13.请举反例说明命题“对于任意实数x，x2＋5x＋5的值总是正数”是假命题，你举的反例是x＝.（写出一个x的值即可）
14.在我们的生活中处处有数学的身影，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“”.
第14题图
15.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的.如图，若∠3＋∠4＝120°，则∠2－∠1＝度.
第15题图
16.如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠D＝45°.若三角板ABC不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板DCE，则当∠ACD＝时，CE∥AB.
第16题图
三、解答题（本大题共9个小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）命题：直角三角形的两锐角互余.
（1）将此命题写成“如果……，那么……”的形式：；
（2）请判断此命题的真假.若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程.
18.（10分）如图，点B，E分别在AC，DF上，连接BD，CE，AF，AF分别交BD，CE于点M，N，若∠1＝∠2，∠C＝∠D，证明：∠A＝∠F.
19.（10分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1＝72°，求∠2的度数.
20.（10分）如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3＝∠C.求证：∠1＝∠2.
21.（10分）真假命题的思考
一天，老师在黑板上写了下列三个命题：
①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②如果a2＝b2，那么a＝b；
③如果∠α和∠β的两边所在的直线分别平行，那么∠α＝∠β.
小明和小丽对话如下：
小明：“命题①是真命题，好像可以证明.”
小丽：“命题①是假命题，好像少了一些条件.”
（1）①结合小明和小丽的对话，谈谈你的观点.如果你认为①是真命题，请证明；如果你认为它是假命题，请增加一个适当的条件，使之成为真命题；
（2）请在命题②③中选一个，如果你认为是真命题，请证明；如果你认为它是假命题，请举出一个反例.
22.（10分）如图，AB∥CD，∠DCE＝118°，∠AEF＝∠CEF，EF与GF相交于点F，∠BGF＝132°.求∠F的大小.
23.（12分）如图，DE⊥AC，∠AGF＝∠ABC，∠1＝35°，∠2＝145°.
（1）试判断BF与AC的位置关系，并证明；
（2）若BF平分∠ABC，求∠A的度数.
24.（12分）如图，已知直线AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，点E，F在CD上，且满足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF.
（1）求证：AD∥BC；
（2）求∠DBE的度数；
（3）若平行移动AD，在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使∠BEC＝∠ADB？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由.
25.（14分）问题情景：如图1，已知AB∥CD.
（1）【观察猜想】若∠AEP＝50°，∠CFP＝40°，求∠P的度数；
（2）【探究问题】在图1中探究，∠EPF，∠CFP与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由；
（3）【拓展延伸】若将图1变为图2，题设的条件不变，此时∠EPF，∠PFD与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由.
