2 平行线的证明
第1课时 平行线的判定
@基础分点训练
知识点 平行线的判定
1.如图，∠1＝120°，要使a∥b，则∠2的度数是（ ）
第1题图
A.120° B.100° C.80° D.60°
2.我们可以用如图所示的两个相同的三角板作出直线a∥b，其中的道理是（ ）
第2题图
A.同位角相等，两直线平行
B.内错角相等，两直线平行
C.同旁内角互补，两直线平行
D.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
3.如图，直线a，b被直线c所截，则能使直线a∥b 的条件是（ ）
第3题图
A.∠1＝∠2 B.∠2＝∠3
C.∠2＋∠3＝180° D.∠1＋∠2＝180°
4.如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
第4题图
A.∠2＝90° B.∠3＝90°
C.∠4＝90° D.∠5＝90°
5.【开放性问题】如图，E是BC延长线上一点，请添加一个你认为恰当的条件： ，使AD∥BC.
第5题图
6.小明和小颖在做三角形摆放游戏，他们将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，使CE位于∠ACB内部，三角板ABC的位置保持不变，改变三角板CDE的位置，则当∠ECB＝ 时，DE∥BC.
第6题图
7.阅读下面的解答过程，并填空.
如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F.求证：CE∥DF.
证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知），
∴∠DBC＝∠ ，
∠ECB＝∠ （角平分线的定义）.
又∵∠ABC＝∠ACB（已知），
∴∠ ＝∠ （等量代换）.
又∵∠DBF＝∠F（已知），
∴∠ ＝∠ （等量代换）.
∴CE∥DF（ .
8.如图，∠ABD＝∠D，BD平分∠ABC.求证：AD∥BC.
@中档提分训练
9.如图，对于下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠C＝∠5；④∠A＋∠ADC＝180°.其中一定能得到AD∥BC的是（ ）
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
10.如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A.如图1，展开后测得∠1＝∠2
B.如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C.如图3，测得∠1＝∠2
D.如图4，展开后测得∠1＋∠2＝180°
11.如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
第11题图
A.15° B.25° C.35° D.50°
12.一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，其中点B，D重合，若固定三角尺AOB，改变三角尺ACD的位置（其中点A位置始终不变），当∠BAD＝ 时，CD∥AB.
第12题图
13.如图，如果∠1＝60°，∠2＝120°，∠D＝60°，那么AB与CD平行吗？BC与DE呢？为什么？
@拓展素养训练
14.【逻辑推理】如图，已知∠ABC＝80°，∠BCD＝30°，∠CDE＝130°，试确定AB与DE的位置关系，并说明理由.
第2课时 平行线的性质
@基础分点训练
知识点1 平行线的性质
1.一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图所示的方式放置.若∠1＝20°，则∠2＝（ ）
第1题图
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABE.若∠1＝56°，则∠2的度数为（ ）
第2题图
A.56° B.68° C.78° D.72°
3.如图，已知直线a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝50°，则∠2＝ .
第3题图
4.如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80°，则∠D＝ .
第4题图
5.将下面的推理过程及依据补充完整：
如图，已知CD平分∠ACB，AC∥DE，CD∥EF.求证：EF平分∠DEB.
证明：∵CD平分∠ACB（已知），
∴ （ ）.
∵AC∥DE（已知），
∴∠1＝∠ （ ）.
∴∠2＝∠3（等量代换）.
∵ （已知），
∴∠3＝∠4（ ），
∠2＝∠5（ ）.
∴ （等量代换）.
∴EF平分∠DEB（角平分线的定义）.
知识点2 平行线的性质与判定的综合应用
6.如图，若∠A＋∠ABC＝180°，则下列结论正确的是（ ）
A.∠1＝∠2 B.∠2＝∠3
C.∠1＝∠3 D.∠2＝∠4
7.如图，点E，F分别在AB，CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A＋∠2＝90°.求证：AB∥CD.请填空：
证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（ ）.
∵∠1＝∠B（ ），
∴ （ ）.
∴∠AFB＝∠AOE（ ）.
∴∠AFB＝90°（ ）.
又∵∠AFC＋∠AFB＋∠2＝ （平角的定义），
∴∠AFC＋∠2＝ .
又∵∠A＋∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（ ）.
∴ （内错角相等，两直线平行）.
@中档提分训练
8.（东营中考）如图，直线a∥b，一个三角尺的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，若∠1＝40°，则∠2＝（ ）
第8题图
A.40° B.50° C.60° D.65°
9.如图，直线l∥AB，∠A＝2∠B.若∠1＝108°，则∠2的度数为（ ）
第9题图
A.36° B.46° C.72° D.82°
10.如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是（ ）
第10题图
A.120° B.125° C.130° D.135°
11.如图，在长方形纸带ABCD中，AB∥CD，将纸带沿EF折叠，点A，D分别落在点A'，D'处，若∠1＝62°，则∠2的大小是 .
第11题图
12.如图，CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°.
（1）求证：EF∥AB；
（2）若∠CEF＝70°，求∠ACB的度数.
@拓展素养训练
13.如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D.（推理时不需要写出每一步的理由）
（1）∠CBD的度数为 ；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB的大小关系是否发生变化？若不变，请找出它们的关系，并说明理由；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数.2 平行线的证明
第1课时 平行线的判定
@基础分点训练
知识点 平行线的判定
1.如图，∠1＝120°，要使a∥b，则∠2的度数是（ A ）
第1题图
A.120° B.100° C.80° D.60°
2.我们可以用如图所示的两个相同的三角板作出直线a∥b，其中的道理是（ B ）
第2题图
A.同位角相等，两直线平行
B.内错角相等，两直线平行
C.同旁内角互补，两直线平行
D.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
3.如图，直线a，b被直线c所截，则能使直线a∥b 的条件是（ C ）
第3题图
A.∠1＝∠2 B.∠2＝∠3
C.∠2＋∠3＝180° D.∠1＋∠2＝180°
4.如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ C ）
第4题图
A.∠2＝90° B.∠3＝90°
C.∠4＝90° D.∠5＝90°
5.【开放性问题】如图，E是BC延长线上一点，请添加一个你认为恰当的条件： ∠A＋∠B＝180°（答案不唯一） ，使AD∥BC.
第5题图
6.小明和小颖在做三角形摆放游戏，他们将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，使CE位于∠ACB内部，三角板ABC的位置保持不变，改变三角板CDE的位置，则当∠ECB＝ 30° 时，DE∥BC.
第6题图
7.阅读下面的解答过程，并填空.
如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F.求证：CE∥DF.
证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知），
∴∠DBC＝∠ ABC ，
∠ECB＝∠ ACB （角平分线的定义）.
又∵∠ABC＝∠ACB（已知），
∴∠ DBC ＝∠ ECB （等量代换）.
又∵∠DBF＝∠F（已知），
∴∠ ECB ＝∠ F （等量代换）.
∴CE∥DF（ 同位角相等，两直线平行） .
8.如图，∠ABD＝∠D，BD平分∠ABC.求证：AD∥BC.
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵∠ABD＝∠D，
∴∠CBD＝∠D.
∴AD∥BC.
@中档提分训练
9.如图，对于下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠C＝∠5；④∠A＋∠ADC＝180°.其中一定能得到AD∥BC的是（ B ）
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
10.如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ C ）
A.如图1，展开后测得∠1＝∠2
B.如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C.如图3，测得∠1＝∠2
D.如图4，展开后测得∠1＋∠2＝180°
11.如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ C ）
第11题图
A.15° B.25° C.35° D.50°
12.一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，其中点B，D重合，若固定三角尺AOB，改变三角尺ACD的位置（其中点A位置始终不变），当∠BAD＝ 30°或150° 时，CD∥AB.
第12题图
13.如图，如果∠1＝60°，∠2＝120°，∠D＝60°，那么AB与CD平行吗？BC与DE呢？为什么？
解：AB∥CD，BC∥DE.
理由如下：
∵∠1＝60°（已知），
∠ABC＝∠1（对顶角相等），
∴∠ABC＝60°（等量代换）.
又∵∠2＝120°（已知），
∴∠ABC＋∠2＝180°（等式的性质），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）.
∵∠2＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝60°（等式的性质）.
∵∠D＝60°（已知），
∴∠BCD＝∠D（等量代换），
∴BC∥DE（内错角相等，两直线平行）.
@拓展素养训练
14.【逻辑推理】如图，已知∠ABC＝80°，∠BCD＝30°，∠CDE＝130°，试确定AB与DE的位置关系，并说明理由.
解：AB∥DE.
理由如下：
过点C作FG∥AB，
则∠GCB＝∠ABC＝80°.
∵∠BCD＝30°，
∴∠DCG＝∠GCB－∠BCD＝80°－30°＝50°.
又∵∠CDE＝130°，
∴∠DCG＋∠CDE＝180°.
∴DE∥FG.
∴AB∥DE.
第2课时 平行线的性质
@基础分点训练
知识点1 平行线的性质
1.一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图所示的方式放置.若∠1＝20°，则∠2＝（ B ）
第1题图
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABE.若∠1＝56°，则∠2的度数为（ B ）
第2题图
A.56° B.68° C.78° D.72°
3.如图，已知直线a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝50°，则∠2＝ 40° .
第3题图
4.如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80°，则∠D＝ 100° .
第4题图
5.将下面的推理过程及依据补充完整：
如图，已知CD平分∠ACB，AC∥DE，CD∥EF.求证：EF平分∠DEB.
证明：∵CD平分∠ACB（已知），
∴ ∠1＝∠2 （ 角平分线的定义 ）.
∵AC∥DE（已知），
∴∠1＝∠ 3 （ 两直线平行，内错角相等 ）.
∴∠2＝∠3（等量代换）.
∵ CD∥EF （已知），
∴∠3＝∠4（ 两直线平行，内错角相等 ），
∠2＝∠5（ 两直线平行，同位角相等 ）.
∴ ∠4＝∠5 （等量代换）.
∴EF平分∠DEB（角平分线的定义）.
知识点2 平行线的性质与判定的综合应用
6.如图，若∠A＋∠ABC＝180°，则下列结论正确的是（ D ）
A.∠1＝∠2 B.∠2＝∠3
C.∠1＝∠3 D.∠2＝∠4
7.如图，点E，F分别在AB，CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A＋∠2＝90°.求证：AB∥CD.请填空：
证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（ 垂直的定义 ）.
∵∠1＝∠B（ 已知 ），
∴ CE∥BF （ 同位角相等，两直线平行 ）.
∴∠AFB＝∠AOE（ 两直线平行，同位角相等 ）.
∴∠AFB＝90°（ 等量代换 ）.
又∵∠AFC＋∠AFB＋∠2＝ 180° （平角的定义），
∴∠AFC＋∠2＝ 90° .
又∵∠A＋∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（ 同角的余角相等 ）.
∴ AB∥CD （内错角相等，两直线平行）.
@中档提分训练
8.（东营中考）如图，直线a∥b，一个三角尺的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，若∠1＝40°，则∠2＝（ B ）
第8题图
A.40° B.50° C.60° D.65°
9.如图，直线l∥AB，∠A＝2∠B.若∠1＝108°，则∠2的度数为（ A ）
第9题图
A.36° B.46° C.72° D.82°
10.如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是（ C ）
第10题图
A.120° B.125° C.130° D.135°
11.如图，在长方形纸带ABCD中，AB∥CD，将纸带沿EF折叠，点A，D分别落在点A'，D'处，若∠1＝62°，则∠2的大小是 56° .
第11题图
12.如图，CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°.
（1）求证：EF∥AB；
（2）若∠CEF＝70°，求∠ACB的度数.
（1）证明：∵CD∥AB，∠DCB＝70°，∴∠DCB＝∠ABC＝70°.
∵∠CBF＝20°，
∴∠ABF＝∠ABC－∠CBF＝50°.
∵∠EFB＝130°，
∴∠ABF＋∠EFB＝50°＋130°＝180°.
∴EF∥AB.
（2）解：∵EF∥AB，CD∥AB，∴EF∥CD.
∴∠CEF＋∠ECD＝180°.
∵∠CEF＝70°，∴∠ECD＝110°.
∵∠DCB＝70°，
∴∠ACB＝∠ECD－∠DCB＝40°.
@拓展素养训练
13.如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D.（推理时不需要写出每一步的理由）
（1）∠CBD的度数为 50° ；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB的大小关系是否发生变化？若不变，请找出它们的关系，并说明理由；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数.
解：（2）∠APB与∠ADB的大小关系不变，∠APB＝2∠ADB.
理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN.
∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN.
∴∠APB＝2∠ADB.
（3）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN.
∵∠ACB＝∠ABD，∴∠CBN＝∠ABD.
∴∠ABC＋∠CBD＝∠CBD＋∠DBN.
∴∠ABC＝∠DBN.
∵∠ABN＝100°，∠CBD＝50°，
∴∠ABC＋∠DBN＝50°.
∴∠ABC＝25°.
