1 认识证明
第1课时 为什么要证明
@基础分点训练
1.下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述中，正确的是（ ）
A.只需观察就可以得出
B.只需依靠经验获得
C.通过亲自实验得出
D.必须进行有根据的推理
2.下列推理正确的是 （填序号）.
①弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大5岁了，因为明年弟弟长大了1岁；
②如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
③全等三角形的对应角相等；
④∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多；
⑤因为对顶角必然相等，所以相等的角也必定是对顶角.
3.如图，比较线段a，b的长短，再用刻度尺量一下，看看你的观察结果是否正确.
@中档提分训练
4.某公园计划砌一个形状如图1所示的喷水池，后来有人建议改为图2的形状，且外圆直径相同，喷水池边缘的高度、宽度相同，你认为砌喷水池的边缘（ ）
A.图1需要的材料多
B.图2需要的材料多
C.图1、图2需要的材料一样多
D.无法确定
5.学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间/分 9 9 7 9 7 10 2
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 分钟.
6.在学习中，小明发现，当n＝1，2，3时，n2－6n的值都是负数.于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2－6n的值都是负数.小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由.
第2课时 定义与命题
@基础分点训练
知识点1 定义与命题的概念
1.下列语句属于定义的是（ ）
A.两点确定一条直线
B.线段是直线上的两点和两点间的部分
C.同角或等角的补角相等
D.内错角相等，两直线平行
2.下列句子是命题的是（ ）
A.画∠AOB＝45°
B.小于直角的角是锐角吗？
C.连接CD
D.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
知识点2 命题的结构
3.如果∠A＞∠B，∠B＞∠C，那么∠A＞∠C.这个命题的条件是 ，结论是 .
4.把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”的形式： .
知识点3 真、假命题
5.下列命题中，是真命题的是（ ）
A.同位角相等
B.a是多项式
C.数据6，3，10的中位数是3
D.第七次全国人口普查是全面调查
6.下列命题是假命题的有（ ）
①若a2＝b2，则a＝b；②一个角的余角大于这个角；③若a，b是有理数，则｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜；④如果∠A＝∠B，那么∠A与∠B是对顶角.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.判断下列命题是真命题，还是假命题，如果是假命题，举一个反例.
（1）若a2＞b2，则a＞b；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）一个角的余角小于这个角.
@中档提分训练
8.下列命题：①一个锐角与一个钝角的和等于平角；②互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；③若｜a－2｜＋｜b＋3｜＝0，则a＝2，b＝－3；④两条直线相交，有2对对顶角.其中是真命題的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.【开放性问题】举一个反例就可以说明一个命题是假命题.要说明命题“如果a是无理数，b是无理数，那么a与b之积仍是无理数”是假命题，可以举反例： .
10.下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再指出命题的条件和结论.
（1）同号两数的和一定不是负数；
（2）若x＝2，则10－5x＝0；
（3）在直线AB上任取一点P.
第3课时 定理与证明
@基础分点训练
知识点1 公理、定理
1.下面关于公理和定理的说法正确的是（ ）
A.公理是真命题，但定理不是
B.公理就是定理，定理也是公理
C.公理可作为证明其他定理的依据
D.公理和定理都应经过证明后才能使用
2.下列不是公理的是（ ）
A.对顶角相等
B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C.同位角相等，两直线平行
D.三边分别相等的两个三角形全等
3.“两点之间线段最短”是 .（填“定义”“公理”或“定理”）
知识点2 证明
4.在证明过程中可以作为推理依据的是（ ）
A.命题、定义、公理 B.定理、定义、公理
C.命题 D.真命题
5.如果a∥b，b∥c，那么a∥c.这个推理的依据是 .
6.填空：
如图，已知AB∥CD，∠A＝∠C，则可推得AD∥BC.理由如下：
∵AB∥CD（已知），
∴∠A＋∠ ＝180°（ ）.
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠C＋∠ ＝180°（ ）.
∴AD∥BC（ ）.
@中档提分训练
7.根据题意，把下列推理的依据写出来，并指出是公理还是定理.
（1）如图，若∠1＝∠2，则a∥b；
（2）在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，∠A＝∠A'，∠C＝∠C'，则△ABC≌△A'B'C'；
（3）如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
@拓展素养训练
8.【开放性问题】如图，在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一条直线上，有下面四个选项：①AD＝CB；②AE＝CF；③DF＝BE；④AD∥BC.
请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题，并写出证明过程.
条件： （填序号）.
结论： （填序号）.1 认识证明
第1课时 为什么要证明
@基础分点训练
1.下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述中，正确的是（ D ）
A.只需观察就可以得出
B.只需依靠经验获得
C.通过亲自实验得出
D.必须进行有根据的推理
2.下列推理正确的是 ②③ （填序号）.
①弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大5岁了，因为明年弟弟长大了1岁；
②如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
③全等三角形的对应角相等；
④∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多；
⑤因为对顶角必然相等，所以相等的角也必定是对顶角.
3.如图，比较线段a，b的长短，再用刻度尺量一下，看看你的观察结果是否正确.
解：（1）a＝b. （2）a＝b.
@中档提分训练
4.某公园计划砌一个形状如图1所示的喷水池，后来有人建议改为图2的形状，且外圆直径相同，喷水池边缘的高度、宽度相同，你认为砌喷水池的边缘（ C ）
A.图1需要的材料多
B.图2需要的材料多
C.图1、图2需要的材料一样多
D.无法确定
5.学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间/分 9 9 7 9 7 10 2
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 53 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 28 分钟.
6.在学习中，小明发现，当n＝1，2，3时，n2－6n的值都是负数.于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2－6n的值都是负数.小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由.
答：不正确.理由：当n＝7时，n2－6n＝7＞0.（合理即可）
第2课时 定义与命题
@基础分点训练
知识点1 定义与命题的概念
1.下列语句属于定义的是（ B ）
A.两点确定一条直线
B.线段是直线上的两点和两点间的部分
C.同角或等角的补角相等
D.内错角相等，两直线平行
2.下列句子是命题的是（ D ）
A.画∠AOB＝45°
B.小于直角的角是锐角吗？
C.连接CD
D.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
知识点2 命题的结构
3.如果∠A＞∠B，∠B＞∠C，那么∠A＞∠C.这个命题的条件是 ∠A＞∠B，∠B＞∠C ，结论是 ∠A＞∠C .
4.把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”的形式： 如果两个数互为相反数，那么这两个数之和等于0 .
知识点3 真、假命题
5.下列命题中，是真命题的是（ D ）
A.同位角相等
B.a是多项式
C.数据6，3，10的中位数是3
D.第七次全国人口普查是全面调查
6.下列命题是假命题的有（ D ）
①若a2＝b2，则a＝b；②一个角的余角大于这个角；③若a，b是有理数，则｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜；④如果∠A＝∠B，那么∠A与∠B是对顶角.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.判断下列命题是真命题，还是假命题，如果是假命题，举一个反例.
（1）若a2＞b2，则a＞b；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）一个角的余角小于这个角.
解：（1）假命题.反例：（－2）2＞12，但－2＜1.
（2）真命题.
（3）假命题.反例：30°角的余角是60°，而60°＞30°.
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8.下列命题：①一个锐角与一个钝角的和等于平角；②互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；③若｜a－2｜＋｜b＋3｜＝0，则a＝2，b＝－3；④两条直线相交，有2对对顶角.其中是真命題的有（ C ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.【开放性问题】举一个反例就可以说明一个命题是假命题.要说明命题“如果a是无理数，b是无理数，那么a与b之积仍是无理数”是假命题，可以举反例： a＝，b＝－（答案不唯一） .
10.下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再指出命题的条件和结论.
（1）同号两数的和一定不是负数；
（2）若x＝2，则10－5x＝0；
（3）在直线AB上任取一点P.
解：（1）是命题，改写：如果两个数同号，那么这两个数的和一定不是负数，条件是两个数同号，结论是这两个数的和一定不是负数.
（2）是命题，改写：如果x＝2，那么10－5x＝0.条件是x＝2，结论是10－5x＝0.
（3）不是命题.
第3课时 定理与证明
@基础分点训练
知识点1 公理、定理
1.下面关于公理和定理的说法正确的是（ C ）
A.公理是真命题，但定理不是
B.公理就是定理，定理也是公理
C.公理可作为证明其他定理的依据
D.公理和定理都应经过证明后才能使用
2.下列不是公理的是（ A ）
A.对顶角相等
B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C.同位角相等，两直线平行
D.三边分别相等的两个三角形全等
3.“两点之间线段最短”是 公理 .（填“定义”“公理”或“定理”）
知识点2 证明
4.在证明过程中可以作为推理依据的是（ B ）
A.命题、定义、公理 B.定理、定义、公理
C.命题 D.真命题
5.如果a∥b，b∥c，那么a∥c.这个推理的依据是 平行于同一条直线的两条直线平行 .
6.填空：
如图，已知AB∥CD，∠A＝∠C，则可推得AD∥BC.理由如下：
∵AB∥CD（已知），
∴∠A＋∠ D ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）.
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠C＋∠ D ＝180°（ 等量代换 ）.
∴AD∥BC（ 同旁内角互补，两直线平行 ）.
@中档提分训练
7.根据题意，把下列推理的依据写出来，并指出是公理还是定理.
（1）如图，若∠1＝∠2，则a∥b；
（2）在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，∠A＝∠A'，∠C＝∠C'，则△ABC≌△A'B'C'；
（3）如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
解：（1）内错角相等，两直线平行，是定理.
（2）两角分别相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等，是定理.
（3）等量代换，是公理.
@拓展素养训练
8.【开放性问题】如图，在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一条直线上，有下面四个选项：①AD＝CB；②AE＝CF；③DF＝BE；④AD∥BC.
请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题，并写出证明过程.
条件： ①②④ （填序号）.
结论： ③ （填序号）.
证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C.
∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.
在△AFD和△CEB中，
∴△AFD≌△CEB（SAS）.
∴DF＝BE.（条件：①②③，结论：④也可以，答案不唯一）
