1 平均数与方差
第1课时 众数、平均数
@基础分点训练
知识点1 众数
1.菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项，每四年颁发一次，相当于数学界的诺贝尔奖，数据37，33，29，32，35，32是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁），则这组数据的众数是（ B ）
A.29岁 B.32岁 C.33岁 D.35岁
2.某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查，15名同学的作业时长统计如下表，则这组数据的众数是 70 分钟.
作业时长（单位：分钟） 50 60 70 80 90
人数（单位：人） 1 4 6 2 2
3.某鞋店在一周内销售了30双鞋，各种尺码的销售量如图：
尺码（cm） 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销量（双） 3 4 5 11 3 3 1
该鞋店下一周进鞋最多的尺码应是 23.5 cm.
知识点2 平均数
4.某4S店今年1～5月新能源汽车的销量（辆数）分别如下：25，33，36，31，40，这组数据的平均数是（ B ）
A.34 B.33 C.32.5 D.31
5.一组数据4，5，6，a，b的平均数为5，则a，b的平均数为（ B ）
A.4 B.5 C.8 D.10
6.某中学举行歌咏比赛，以班为单位参赛，评委组的各位评委给九（3）班的演唱打分情况（满分：100分）为：89，92，92，95，95，96，97.从中去掉一个最高分和一个最低分，余下的分数的平均数是最后得分，则该班的最后得分为 94 分.
@中档提分训练
7.夏季我们不能单独去陌生的水域游泳，巡逻队测量了某水域4个不同地方的水深情况（如图），下列图中虚线位置能表示该水域平均深度的是（ C ）
A. B. C. D.
8.已知一组数据为1，3，5，x，6，这组数据的平均数是4，则众数是 5 .
9.已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数＝4.
（1）数据x1＋1，x2＋1，x3＋1，…，xn＋1的平均数为 5 ；
（2）数据2x1，2x2，2x3，…，2xn的平均数为 8 ；
（3）猜想：数据ax1＋b，ax2＋b，ax3＋b，…，axn＋b的平均数是 4a＋b ；
（4）应用：若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn）在直线y＝－2x＋3上，则数据y1，y2，y3，…，yn的平均数是 －5 .
第2课时 加权平均数的应用
@基础分点训练
知识点 加权平均数的应用
1.为鼓励市民珍惜每一滴水，某居委会表扬了100户节约用水的家庭，他们8月份节约用水的情况如下表：
每户节水量/t 1 1.2 1.5
节水户数/户 52 30 18
那么，8月份这100户家庭平均节约用水的吨数为（精确到0.01 t）（ A ）
A.1.15 t B.1.20 t C.1.05 t D.1.23 t
2.射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员的平均成绩是 8.5 环.
3.【数据分析】某食品商店将甲、乙、丙3种糖果按照5∶4∶1的比例配置成一种什锦糖果.已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为16元/kg，20元/kg，27元/kg.若将这种什锦糖果的单价定为这三种糖果单价的算术平均数，你认为合理吗？如果合理，请说明理由；如果不合理，请求出该什锦糖果合理的单价.
解：这样定价不合理，理由如下：
算术平均数为＝21（元/kg）；
因为算术平均数是按三种糖果质量相同计算的，而配成这种什锦糖果的三种糖果质量比为5∶4∶1，
所以将这种什锦糖果的单价定为这三种糖果单价的算术平均数不合理.
加权平均数为＝18.7（元/kg）.
因此，该什锦糖果合理的单价应为18.7元/kg.
@中档提分训练
4.小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工，公司承诺：正常上班的工资为200元/天，不能正常上班（如下雨）的工资为80元/天.若某月（30天）正常上班的天数占80％，则当月小刘的日平均工资为（ C ）
A.140元 B.160元 C.176元 D.182元
5.某班级学生期末综合评定从德、智、体、美、劳五方面按2∶3∶2∶2∶1确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末综合得分为 9 分.
6.某校进行广播操比赛，比赛打分包括以下几项：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐.其中甲、乙两个班级的各项成绩如表：
项目 甲班的成绩/分 乙班的成绩/分
服装统一 95 90
进退场有序 90 85
动作规范 85 b
动作整齐 90 95
平均分 a 90
（1）表中a的值为 90 ，b的值为 90 ；
（2）你认为上面四项中，哪一项最重要？请你按照自己的想法设计一个评分方案.按照你的方案，哪个班的广播操比赛成绩较高？
解：（2）我认为动作规范最重要，服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐四项得分按10％，10％，50％，30％的权重比例，
甲班的广播操比赛成绩为95×10％＋90×10％＋85×50％＋90×30％＝88（分），
乙班的广播操比赛成绩为90×10％＋85×10％＋90×50％＋95×30％＝91（分）.
因为88＜91，所以按照此方案，乙班的广播操比赛成绩较高.（答案不唯一）
第3课时 方差、标准差
@基础分点训练
知识点1 方差、标准差
1.在方差的计算公式s2＝[（x1－20）2＋（x2－20）2＋…＋（x10－20）2]中，数10和20分别表示的意义是（ C ）
A.数据的个数和数据的方差
B.数据的平均数和数据的个数
C.数据的个数和数据的平均数
D.数据的方差和数据的平均数
2.已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是（ D ）
A.9 B.3 C. D.
3.一组数据5，7，8，9，11的方差为s，另一组数据6，7，8，9，10的方差为s，那么（ C ）
A.s＝s B.s＜s C.s＞s D.无法确定
4.在投飞镖游戏环节中，5名同学的投掷成绩（单位：环）分别是：7，8，7，10，8，则这组数据的方差是 1.2 .
知识点2 方差的应用
5.现有甲、乙两个合唱队，队员的平均身高都是170cm，方差分别是和，并且＞，则两队队员的身高比较整齐的是（ B ）
A.甲队 B.乙队 C.一样整齐 D.不能确定
6.甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差s2如下表所示：
运动员 甲 乙 丙 丁
9 8 9 9
s2 1.2 0.4 1.8 0.4
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ D ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
7.质检员为了比较甲、乙两台机床的性能，从加工的六角螺母中各抽取10件测量其内径（规定标准：40 mm），并将得到的数据绘制成如下两幅统计图.由统计图可知，甲、乙两台机床中性能比较稳定的是 机床乙 .
8.甘肃省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
甲 10 8 9 8 10 9
乙 10 10 10 9 8
（1）求甲的平均成绩的环数；
（2）已知乙的平均成绩是9环，试计算其第二次测试成绩的环数；
（3）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由.
解：（1）＝×（10＋8＋9＋8＋10＋9）＝9（环）.
答：甲的平均成绩是9环.
（2）9×6－10－10－10－9－8＝7（环）.
答：乙第二次测试成绩的环数为7环.
（3）＝×[（10－9）2×2＋（8－9）2×2＋（9－9）2×2]＝；
＝×[（10－9）2×3＋（7－9）2＋（8－9）2＋（9－9）2]＝，
＜，甲的成绩较稳定，
因此推荐甲参加全国比赛更合适.
@中档提分训练
9.在对一组样本数据进行分析时，某同学列出了方差的计算公式：
s2＝，
并由公式得出以下信息：①样本数据的个数是4；②样本数据的众数是3；③样本数据的平均数是3.5；④样本数据的方差是0.5.那么上述信息中正确的是 ①②④ （填序号）.
10.小强每天坚持做引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数如下表：
星期 日 一 二 三 四 五 六
个数 11 12 13 12
其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据的唯一众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是 .
11.若数据x1，x2，…，xn的平均数为4，方差为3，则数据3x1＋1，3x2＋1，…，3xn＋1的平均数为 13 ，方差为 27 .
12.现在要从甲、乙两名学生中选择一名学生去参加比赛，因为甲、乙两人的5次测试总成绩相同，所以根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表进行分析.
次序 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲成绩 90 70 80 100 60
乙成绩 70 90 90 a 70
请解答下列问题：
（1）a＝ 80 ，＝ 80 ；
（2）请在图中画出表示乙成绩变化情况的折线；
解：（2）如图所示.
（3）求出；
解：（3）＝×[（70－80）2＋（90－80）2＋（90－80）2＋（80－80）2＋（70－80）2]＝80.
（4）已知＝200，根据数据可看出 乙 将被选中参加比赛.
13.某学校九年级有2 000名学生，在体育中考前从中随机抽取部分学生进行了一次模拟体测，并根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次抽取到的学生人数为 50 ，扇形统计图中m的值为 28 ；
（2）若进行模拟时，五位同学一组，已知第一组同学成绩的方差为2，平均数为11，第二组中五位同学的成绩分别为：9，10，12，12，12，那么一组和二组中哪个组的成绩更稳定？
（3）根据样本数据，估计该学校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有多少人？
解：（1）本次抽取到的学生人数为：4÷8％＝50（人），
m％＝×100％＝28％，所以m＝28.
故答案为：50，28.
（2）第二组中五位同学成绩的平均数：
＝11，
方差：×[（9－11）2＋（10－11）2＋3×（12－11）2＝1.6，
因为1.6＜2，所以第二组的成绩更稳定；
（3）2 000×（28％＋32％）＝1200（人），
答：估计该学校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有1200人.1 平均数与方差
第1课时 众数、平均数
@基础分点训练
知识点1 众数
1.菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项，每四年颁发一次，相当于数学界的诺贝尔奖，数据37，33，29，32，35，32是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁），则这组数据的众数是（ ）
A.29岁 B.32岁 C.33岁 D.35岁
2.某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查，15名同学的作业时长统计如下表，则这组数据的众数是 分钟.
作业时长（单位：分钟） 50 60 70 80 90
人数（单位：人） 1 4 6 2 2
3.某鞋店在一周内销售了30双鞋，各种尺码的销售量如图：
尺码（cm） 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销量（双） 3 4 5 11 3 3 1
该鞋店下一周进鞋最多的尺码应是 cm.
知识点2 平均数
4.某4S店今年1～5月新能源汽车的销量（辆数）分别如下：25，33，36，31，40，这组数据的平均数是（ ）
A.34 B.33 C.32.5 D.31
5.一组数据4，5，6，a，b的平均数为5，则a，b的平均数为（ ）
A.4 B.5 C.8 D.10
6.某中学举行歌咏比赛，以班为单位参赛，评委组的各位评委给九（3）班的演唱打分情况（满分：100分）为：89，92，92，95，95，96，97.从中去掉一个最高分和一个最低分，余下的分数的平均数是最后得分，则该班的最后得分为 分.
@中档提分训练
7.夏季我们不能单独去陌生的水域游泳，巡逻队测量了某水域4个不同地方的水深情况（如图），下列图中虚线位置能表示该水域平均深度的是（ ）
A. B. C. D.
8.已知一组数据为1，3，5，x，6，这组数据的平均数是4，则众数是 .
9.已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数＝4.
（1）数据x1＋1，x2＋1，x3＋1，…，xn＋1的平均数为 ；
（2）数据2x1，2x2，2x3，…，2xn的平均数为 ；
（3）猜想：数据ax1＋b，ax2＋b，ax3＋b，…，axn＋b的平均数是 ；
（4）应用：若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn）在直线y＝－2x＋3上，则数据y1，y2，y3，…，yn的平均数是 .
第2课时 加权平均数的应用
@基础分点训练
知识点 加权平均数的应用
1.为鼓励市民珍惜每一滴水，某居委会表扬了100户节约用水的家庭，他们8月份节约用水的情况如下表：
每户节水量/t 1 1.2 1.5
节水户数/户 52 30 18
那么，8月份这100户家庭平均节约用水的吨数为（精确到0.01 t）（ ）
A.1.15 t B.1.20 t C.1.05 t D.1.23 t
2.射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员的平均成绩是 环.
3.【数据分析】某食品商店将甲、乙、丙3种糖果按照5∶4∶1的比例配置成一种什锦糖果.已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为16元/kg，20元/kg，27元/kg.若将这种什锦糖果的单价定为这三种糖果单价的算术平均数，你认为合理吗？如果合理，请说明理由；如果不合理，请求出该什锦糖果合理的单价.
@中档提分训练
小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工，公司承诺：正常上班的工资为200元/天，不能正常上班（如下雨）的工资为80元/天.若某月（30天）正常上班的天数占80％，则当月小刘的日平均工资为（ ）
A.140元 B.160元 C.176元 D.182元
5.某班级学生期末综合评定从德、智、体、美、劳五方面按2∶3∶2∶2∶1确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末综合得分为 分.
6.某校进行广播操比赛，比赛打分包括以下几项：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐.其中甲、乙两个班级的各项成绩如表：
项目 甲班的成绩/分 乙班的成绩/分
服装统一 95 90
进退场有序 90 85
动作规范 85 b
动作整齐 90 95
平均分 a 90
（1）表中a的值为 ，b的值为 ；
（2）你认为上面四项中，哪一项最重要？请你按照自己的想法设计一个评分方案.按照你的方案，哪个班的广播操比赛成绩较高？
第3课时 方差、标准差
@基础分点训练
知识点1 方差、标准差
1.在方差的计算公式s2＝[（x1－20）2＋（x2－20）2＋…＋（x10－20）2]中，数10和20分别表示的意义是（ ）
A.数据的个数和数据的方差
B.数据的平均数和数据的个数
C.数据的个数和数据的平均数
D.数据的方差和数据的平均数
2.已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是（ ）
A.9 B.3 C. D.
3.一组数据5，7，8，9，11的方差为s，另一组数据6，7，8，9，10的方差为s，那么（ ）
A.s＝s B.s＜s C.s＞s D.无法确定
4.在投飞镖游戏环节中，5名同学的投掷成绩（单位：环）分别是：7，8，7，10，8，则这组数据的方差是 .
知识点2 方差的应用
5.现有甲、乙两个合唱队，队员的平均身高都是170cm，方差分别是和，并且＞，则两队队员的身高比较整齐的是（ ）
A.甲队 B.乙队 C.一样整齐 D.不能确定
6.甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差s2如下表所示：
运动员 甲 乙 丙 丁
9 8 9 9
s2 1.2 0.4 1.8 0.4
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
7.质检员为了比较甲、乙两台机床的性能，从加工的六角螺母中各抽取10件测量其内径（规定标准：40 mm），并将得到的数据绘制成如下两幅统计图.由统计图可知，甲、乙两台机床中性能比较稳定的是 .
8.甘肃省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
甲 10 8 9 8 10 9
乙 10 10 10 9 8
（1）求甲的平均成绩的环数；
（2）已知乙的平均成绩是9环，试计算其第二次测试成绩的环数；
（3）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由.
@中档提分训练
9.在对一组样本数据进行分析时，某同学列出了方差的计算公式：
s2＝，
并由公式得出以下信息：①样本数据的个数是4；②样本数据的众数是3；③样本数据的平均数是3.5；④样本数据的方差是0.5.那么上述信息中正确的是 （填序号）.
10.小强每天坚持做引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数如下表：
星期 日 一 二 三 四 五 六
个数 11 12 13 12
其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据的唯一众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是 .
11.若数据x1，x2，…，xn的平均数为4，方差为3，则数据3x1＋1，3x2＋1，…，3xn＋1的平均数为 ，方差为 .
12.现在要从甲、乙两名学生中选择一名学生去参加比赛，因为甲、乙两人的5次测试总成绩相同，所以根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表进行分析.
次序 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲成绩 90 70 80 100 60
乙成绩 70 90 90 a 70
请解答下列问题：
（1）a＝ ，＝ ；
（2）请在图中画出表示乙成绩变化情况的折线；
（3）求出；
（4）已知＝200，根据数据可看出 将被选中参加比赛.
13.某学校九年级有2 000名学生，在体育中考前从中随机抽取部分学生进行了一次模拟体测，并根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次抽取到的学生人数为 ，扇形统计图中m的值为 ；
（2）若进行模拟时，五位同学一组，已知第一组同学成绩的方差为2，平均数为11，第二组中五位同学的成绩分别为：9，10，12，12，12，那么一组和二组中哪个组的成绩更稳定？
（3）根据样本数据，估计该学校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有多少人？
