4 二元一次方程与一次函数
第1课时 二元一次方程的解与一次函数的关系
@基础分点训练
知识点1 二元一次方程与一次函数
1.以方程2x－y＝－2的解为坐标的点组成的图象是（ ）
A B C D
2.直线l是以二元一次方程8x－4y＝5的解为坐标所构成的直线，则该直线不经过的象限是（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知点（2，4）在一次函数y＝ax＋b的图象上，则方程ax－y＝－b的一个解为 .
知识点2 二元一次方程组与一次函数
4.如图，函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
5.已知方程组的解为则直线y＝－x＋2与直线y＝2x－7的交点在平面直角坐标系中位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.直线y＝2x－1和直线y＝2x－3的位置关系为 .由此可知，方程组 的解的情况为 .
7.如图，一次函数y＝kx＋b与y＝x＋2的图象相交于点P（m，4），则方程组的解是 .
8.在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4如图所示.
（1）画出一次函数y＝2x－5 的图象；
（2）利用图象解方程组
@中档提分训练
9.若以二元一次方程x＋2y－b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线y＝－x＋b－1上，则b＝（ ）
A. B.2 C.－1 D.1
10.若关于x，y的方程组无解，则直线y＝－（k＋3）x－k不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
11.下表分别是一次函数y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2图象上一部分点的坐标：
x … －1 0 1 2 …
y＝k1x＋b1 … －1 1 3 5 …
y＝k2x＋b2 … 5 4 3 2 …
则方程组的解为 .
12.如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝－x－1与直线y＝－2x＋2相交于点P，并分别与x轴相交于点A，B.
（1）求交点P的坐标；
（2）求△PAB的面积.
@拓展素养训练
13.【阅读理解问题】阅读下列材料，并完成任务.
以方程x－y＝－2的解为坐标的所有点构成一次函数x－y＝－2的图象.我们知道，二元一次方程x－y＝－2有无数个解，我们把每一个解用有序数对（x，y）表示，就可以描出无数个以方程x－y＝－2的解为坐标的点，这无数个点组成一条直线，反过来，这条直线上任意一点的坐标是方程x－y＝－2的解.
任务一：
（1）如图1，在平面直角坐标系中，点M是一次函数x－y＝－2的图象上一点，点M的坐标为（－3.5，－1.5），则 方程x－y＝－2的解；（填“是”或“不是”）
（2）①在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－0.5，1.5），则点P 一次函数x－y＝－2的图象上；（填“在”或“不在”）
②点Q的坐标为（1，2），则点Q 一次函数x－y＝－2的图象上；（填“在”或“不在”）
任务二：（3）如图2，在平面直角坐标系中，一次函数x－y＝－2与一次函数3x－y＝0的图象交于点N（1，3），则二元一次方程组的解为 ；
任务三：（4）上述用图形的方法得出二元一次方程组的解的过程，主要体现的数学思想是 .（填出下列选项的字母代号即可）
A.转化思想 B.数形结合思想
C.方程思想
第2课时 用二元一次方程组确定一次函数表达式
@基础分点训练
知识点1 用待定系数法确定一次函数表达式
1.已知一次函数的图象过点（2，0）和点（1，－1），则这个函数的表达式为（ ）
A.y＝x－2 B.y＝x＋2
C.y＝－x－2 D.y＝－x＋2
2.已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m等于（ ）
x －1 2 5
y 5 －1 m
A.－7 B.－8 C.0 D.3
3.已知y是关于x的一次函数，且当x＝1时，y＝－4；当x＝2时，y＝－6，则y关于x的函数表达式是 .
4.如图，直线y＝x＋1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为点A'.设经过点A'和y轴上的点B（0，2）的直线的表达式为y＝kx＋b.
（1）求点A'的坐标；
（2）确定直线A'B的表达式.
知识点2 借助一次函数表达式解决实际问题
5.某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系.若22码鞋子的长度为16 cm；44码鞋子的长度为27 cm，则38码鞋子的长度为（ ）
A.23 cm B.24 cm C.25 cm D.26 cm
6.某种藤类植物四个阶段的平均长度y（cm）与生长时间x（天）的函数关系图象如图所示.当藤蔓长度大约在115 cm时，植物进入浆果生长期，此时植物的生长时间是（ ）
A.90天 B. 95天 C.140天 D.143天
7.某地出租车计费方法如图所示，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象解答：
（1）该地出租车的起步价是 元；
（2）当x＞2时，求y与x之间的函数表达式；
（3）若某乘客有一次乘出租车的里程为18 km，则这位乘客需付出租车车费多少元？
@中档提分训练
8.如图，在平面直角坐标系中放置三个长为2，宽为1的长方形.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点 A，B，则k＝ ，b＝ .
第8题图
9.【跨学科·物理】如图，一束光线从点A（－2，5）出发，经过y轴上的点B（0，1）反射后经过点C（m，n），则2m－n的值是 .
第9题图
10.某学校体育队开展跑步训练，体育老师将队员分成男、女两组.两组队员从同一地点同向先后出发，女子组跑了80 m时，男子组恰好跑了50 m.此后两组队员开始匀速跑，直到终点.已知男子组匀速跑的速度为4.5 m/s.男、女两组队员跑步的路程y（m）与匀速跑的时间x（s）的图象如图所示.
（1）此次跑步训练的全程是 m；
（2）求男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程.
@拓展素养训练
11.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx＋n（m≠0）的图象与x轴交于点A（－3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝2x的图象交于点C（3，6）.
（1）求一次函数y＝mx＋n的表达式；
（2）点P在x轴上，当PB＋PC最小时，求点P的坐标.4 二元一次方程与一次函数
第1课时 二元一次方程的解与一次函数的关系
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知识点1 二元一次方程与一次函数
1.以方程2x－y＝－2的解为坐标的点组成的图象是（ C ）
A B C D
2.直线l是以二元一次方程8x－4y＝5的解为坐标所构成的直线，则该直线不经过的象限是（ B ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知点（2，4）在一次函数y＝ax＋b的图象上，则方程ax－y＝－b的一个解为 .
知识点2 二元一次方程组与一次函数
4.如图，函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是（ A ）
A. B. C. D.
5.已知方程组的解为则直线y＝－x＋2与直线y＝2x－7的交点在平面直角坐标系中位于（ D ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.直线y＝2x－1和直线y＝2x－3的位置关系为 平行 .由此可知，方程组 的解的情况为 无解 .
7.如图，一次函数y＝kx＋b与y＝x＋2的图象相交于点P（m，4），则方程组的解是 .
8.在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4如图所示.
（1）画出一次函数y＝2x－5 的图象；
（2）利用图象解方程组
解：（1）如图所示.
（2）由图象知，直线y＝－x＋4与直线y＝2x－5的交点坐标为（3，1），所以方程组的解为
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9.若以二元一次方程x＋2y－b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线y＝－x＋b－1上，则b＝（ B ）
A. B.2 C.－1 D.1
10.若关于x，y的方程组无解，则直线y＝－（k＋3）x－k不经过（ C ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
11.下表分别是一次函数y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2图象上一部分点的坐标：
x … －1 0 1 2 …
y＝k1x＋b1 … －1 1 3 5 …
y＝k2x＋b2 … 5 4 3 2 …
则方程组的解为 .
12.如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝－x－1与直线y＝－2x＋2相交于点P，并分别与x轴相交于点A，B.
（1）求交点P的坐标；
（2）求△PAB的面积.
解：（1）联立
解得
所以点P的坐标是（2，－2）.
（2）在y＝－x－1中，
令y＝0，则－x－1＝0，解得x＝－2.
所以A（－2，0）.
在y＝－2x＋2中，
令y＝0，则－2x＋2＝0，解得x＝1.
所以B（1，0）.所以AB＝3.
所以S△PAB＝AB·｜yP｜＝×3×2＝3.
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13.【阅读理解问题】阅读下列材料，并完成任务.
以方程x－y＝－2的解为坐标的所有点构成一次函数x－y＝－2的图象.我们知道，二元一次方程x－y＝－2有无数个解，我们把每一个解用有序数对（x，y）表示，就可以描出无数个以方程x－y＝－2的解为坐标的点，这无数个点组成一条直线，反过来，这条直线上任意一点的坐标是方程x－y＝－2的解.
任务一：
（1）如图1，在平面直角坐标系中，点M是一次函数x－y＝－2的图象上一点，点M的坐标为（－3.5，－1.5），则 是 方程x－y＝－2的解；（填“是”或“不是”）
（2）①在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－0.5，1.5），则点P 在 一次函数x－y＝－2的图象上；（填“在”或“不在”）
②点Q的坐标为（1，2），则点Q 不在 一次函数x－y＝－2的图象上；（填“在”或“不在”）
任务二：（3）如图2，在平面直角坐标系中，一次函数x－y＝－2与一次函数3x－y＝0的图象交于点N（1，3），则二元一次方程组的解为 ；
任务三：（4）上述用图形的方法得出二元一次方程组的解的过程，主要体现的数学思想是 B .（填出下列选项的字母代号即可）
A.转化思想 B.数形结合思想
C.方程思想
第2课时 用二元一次方程组确定一次函数表达式
@基础分点训练
知识点1 用待定系数法确定一次函数表达式
1.已知一次函数的图象过点（2，0）和点（1，－1），则这个函数的表达式为（ A ）
A.y＝x－2 B.y＝x＋2
C.y＝－x－2 D.y＝－x＋2
2.已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m等于（ A ）
x －1 2 5
y 5 －1 m
A.－7 B.－8 C.0 D.3
3.已知y是关于x的一次函数，且当x＝1时，y＝－4；当x＝2时，y＝－6，则y关于x的函数表达式是 y＝－2x－2 .
4.如图，直线y＝x＋1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为点A'.设经过点A'和y轴上的点B（0，2）的直线的表达式为y＝kx＋b.
（1）求点A'的坐标；
（2）确定直线A'B的表达式.
解：（1）在y＝x＋1中，令y＝0，则x＋1＝0，解得x＝－2.
所以A（－2，0）.
因为点A关于y轴的对称点为点A'，
所以A'（2，0）.
（2）因为A'（2，0），B（0，2），
所以 解得
所以直线A'B的表达式为y＝－x＋2.
知识点2 借助一次函数表达式解决实际问题
5.某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系.若22码鞋子的长度为16 cm；44码鞋子的长度为27 cm，则38码鞋子的长度为（ B ）
A.23 cm B.24 cm C.25 cm D.26 cm
6.某种藤类植物四个阶段的平均长度y（cm）与生长时间x（天）的函数关系图象如图所示.当藤蔓长度大约在115 cm时，植物进入浆果生长期，此时植物的生长时间是（ B ）
A.90天 B. 95天 C.140天 D.143天
7.某地出租车计费方法如图所示，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象解答：
（1）该地出租车的起步价是 7 元；
（2）当x＞2时，求y与x之间的函数表达式；
（3）若某乘客有一次乘出租车的里程为18 km，则这位乘客需付出租车车费多少元？
解：（2）当x＞2时，设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b，
所以解得
所以y＝1.5x＋4（x＞2）.
（3）将x＝18代入y＝1.5x＋4，
得y＝1.5×18＋4＝31.
答：这位乘客需付出租车车费31元.
@中档提分训练
8.如图，在平面直角坐标系中放置三个长为2，宽为1的长方形.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点 A，B，则k＝ ，b＝ .
第8题图
9.【跨学科·物理】如图，一束光线从点A（－2，5）出发，经过y轴上的点B（0，1）反射后经过点C（m，n），则2m－n的值是 －1 .
第9题图
10.某学校体育队开展跑步训练，体育老师将队员分成男、女两组.两组队员从同一地点同向先后出发，女子组跑了80 m时，男子组恰好跑了50 m.此后两组队员开始匀速跑，直到终点.已知男子组匀速跑的速度为4.5 m/s.男、女两组队员跑步的路程y（m）与匀速跑的时间x（s）的图象如图所示.
（1）此次跑步训练的全程是 500 m；
（2）求男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程.
解：（1）100×4.5＋50＝500（m）.
（2）女子组的速度为（500－80）÷120＝3.5（m/s），则男子组队员跑步的路程y＝4.5x＋50，女子组队员跑步的路程y＝3.5x＋80.
联立解得
所以500－185＝315（m）.
答：男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程为315 m.
@拓展素养训练
11.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx＋n（m≠0）的图象与x轴交于点A（－3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝2x的图象交于点C（3，6）.
（1）求一次函数y＝mx＋n的表达式；
（2）点P在x轴上，当PB＋PC最小时，求点P的坐标.
解：（1）由题意，得
解得
所以一次函数的表达式为y＝x＋3.
（2）作点B关于x轴的对称点B'，连接CB'交x轴于点P，连接BP，此时PB＋PC的值最小.
把x＝0代入y＝x＋3，得y＝3，
即B（0，3），
所以B'（0，－3）.
设直线CB'的表达式为y＝kx＋b.
将点B'，C代入，得解得
所以直线CB'的表达式为y＝3x－3.
将y＝0代入y＝3x－3，得x＝1.
故点P的坐标是（1，0）.
