3 二元一次方程组的应用
第1课时 和差倍分问题
@基础分点训练
知识点 应用二元一次方程组解决和差倍分问题
1.【数学文化】《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其中记载了一个有趣的问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（古代1斤＝16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少两？”现用列方程组求解，设未知数后，小明列出一个方程为5x＋6y＝16，则另一个方程应为（ C ）
A.6x＝5y B.4y＋x＝5x＋y
C.4x＋y＝5y＋x D.6x＋5y＝16
2.买钢笔和铅笔共30支，其中钢笔的数量比铅笔数量的2倍少3支.若设买钢笔x支，铅笔y支，根据题意，可得方程组为（ D ）
A. B.
C. D.
3.某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（2）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（2）班得分比为2∶1；乙同学说：（1）班得分比（2）班得分多38分.若设（1）班得x分，（2）班得y分，根据题意所列的方程组应为（ D ）
A. B. C. D.
4.【数学文化】中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何？”设每匹马价值x两，每头牛价值y两，根据题意可列方程组为 .
5.（徐州中考）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚.问兽、鸟各有多少？
根据译文，解决下列问题：
（1）设兽有x只，鸟有y只，可列方程组为 ；
（2）兽、鸟各有多少？
解：原方程组可化为
由②，得y＝23－2x. ③
将③代入①，得3x＋2（23－2x）＝38，
解得x＝8.将x＝8代入③，得y＝7.
答：兽有8只，鸟有7只.
6.阅读与人文滋养内心.某校开展阅读经典活动，小明3天阅读的总页数比小颖5天阅读的总页数少6页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读页数的2倍少10页，求小明、小颖平均每天各阅读多少页.
解：设小明、小颖平均每天分别阅读x页、y页.
由题意，得解得
答：小明平均每天阅读8页，小颖平均每天阅读6页.
@中档提分训练
7.7年前，母亲的年龄是儿子的5倍；5年后，母亲的年龄是儿子的2倍.求母子现在的年龄.设母亲今年x岁，儿子今年y岁，列出的二元一次方程组是（ A ）
A. B.
C. D.
8.老牛和小马各驮几个包裹一同赶路，老牛驮的包裹数比小马驮的包裹数多2个，若从小马驮的包裹中拿下1个包裹给老牛，则老牛驮的包裹数是小马驮的包裹数的2倍.问老牛和小马各驮了几个包裹？小南准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是x－y＝2，则符合题意的另一个方程为（ D ）
A.x＋1＝2y B.2（x－1）＝y＋1
C.2（x＋1）＝y－1 D.x＋1＝2（y－1）
9.某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶.购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1 560元.
（1）求大、小两种垃圾桶的单价；
（2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？
解：（1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元.
依题意，得 解得
答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元.
（2）180×8＋60×24＝2 880（元）.
答：该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需2 880元.
@拓展素养训练
10.已知用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨.现有货物19吨，计划同时租用A型车a辆、B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物.根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运送多少吨？
（2）请列出所有可能的租车方案；
（3）若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金110元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.
解：（1）设1辆A型车装满货物一次可运送x吨，1辆B型车装满货物一次可运送y吨.
根据题意，得解得
答：1辆A型车装满货物一次可运送2吨，1辆B型车装满货物一次可运送3吨.
（2）根据题意，得2a＋3b＝19.
所以a＝.
又因为a，b均为整数.
所以或或
所以共有3种租车方案：方案1：租用A型车8辆、B型车1辆；方案2：租用A型车5辆、B型车3辆；方案3：租用A型车2辆、B型车5辆.
（3）方案1所需租车费为90×8＋110×1＝830（元），
方案2所需租车费为90×5＋110×3＝780（元），
方案3所需租车费为90×2＋110×5＝730（元）.
因为830＞780＞730.
所以租用A型车2辆、B型车5辆最省钱，最少租车费为 730元.
第2课时 增收节支问题
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知识点1 应用二元一次方程组解决百分率问题
1.某工厂去年的总利润为200万元，今年的总收入比去年增加了20％，总支出比去年减少了10％，今年的总利润为780万元.小明列出二元一次方程组 描述这一情境中的等量关系，则方程组中的x，y表示的未知量分别为（ C ）
A.今年的总收入为x万元，总支出为y万元
B.今年的总支出为x万元，总收入为y万元
C.去年的总收入为x万元，总支出为y万元
D.去年的总支出为x万元，总收入为y万元
2.某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10％，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5％，已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，调价前果汁饮料每瓶 4 元.
3.（安徽中考）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10％，乙地降价5元.已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元.求调整前甲、乙两地该商品的销售单价.
解：设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元.由题意，
得解得
答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单价为50元.
知识点2 应用二元一次方程组解决图表信息问题
4.（教材例题变式）医院用甲、乙两种食物为手术后的病人配制营养餐，两种食物中的蛋白质和铁质含量如下表：
食物 蛋白质含量 铁质含量
甲 0.8单位/克 1单位/克
乙 0.7单位/克 0.4单位/克
如果病人每餐需要190单位的蛋白质和180单位的铁质，那么每份营养餐中，甲、乙两种食物各需多少克？设甲种食物需x克，乙种食物需y克，则根据题意可列方程组为 .
5.某地区2023年的进出口总额为520亿元，2024年的进出口总额比2023年有所增加，其中进口额增加了25％，出口额增加了30％.（注：进出口总额＝进口额＋出口额）
（1）设2023年的进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：
年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元
2023 x y 520
2024 1.25x 1.3y 1.25x＋1.3y
（2）已知2024年的进出口总额比2023年增加了140亿元，求2024年的进口额和出口额分别是多少亿元.
解：（2）根据题意，得
解得
所以1.25×320＝400（亿元），
1.3×200＝260（亿元）.
答：2024年的进口额是400亿元，出口额是260亿元.
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6.某班的一个综合实践活动小组去甲、乙两个超市调查去年和今年“元旦”期间的销售情况.下面是调查后小明与其他两位同学的对话：
小明说：“去年两个超市的销售额共为150万元，今年两个超市的销售额共为170万元.”
小亮说：“甲超市今年的销售额比去年增加10％.”
小颖说：“乙超市今年的销售额比去年增加20％.”
根据他们的对话，得出今年甲超市的销售额为（ D ）
A.100万元 B.50万元 C.60万元 D.110万元
7.用甲、乙两种原料配制营养液，已知这两种原料的维生素C含量及价格如下表所示：
原料种类 甲 乙
维生素C的含量/（单位·kg－1） 600 100
原料价格/（元·kg－1） 8 4
现要配制一种含5 000单位维生素C的营养液，且买原料的费用为72元，则应买甲种原料 8 kg，乙种原料 2 kg.
8.某水果店前后两次购进和售卖某种水果，第一次购进100 kg水果，第二次购进200 kg水果，两次购进的单价不同，并且每次售卖时销售的单价都比该次购进的单价提高了50％.由于水果易坏，从购进到全部售完会有部分损耗.第一次购进的水果有10％的损耗，第二次购进的水果有20％的损耗.已知两次购进的总价之和为1 600元，两次销售共获利500元，那么两次购进的单价各是多少元？
解：设第一次购进水果的单价为x元，第二次购进水果的单价为y元，则第一次购进水果的售价为（1＋50％）x＝1.5x（元），第二次购进水果的售价为（1＋50％）y＝1.5y（元）.由题意，得
解得
答：第一次购进水果的单价为12元/kg，第二次购进水果的单价为2元/kg.
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9.【数据分析】某商家今年3月份两次同时购进了甲、乙两种不同单价的糖果，第一次购买甲种糖果的数量比乙种糖果的数量多50％，第二次购买甲种糖果的数量比第一次购买甲种糖果的数量少60％，结果第二次购买糖果的总数量虽然比第一次购买糖果的总数量多20％，但第二次购买甲、乙糖果的总费用却比第一次购买甲、乙糖果的总费用少10％.求乙种糖果的单价与甲种糖果单价的百分比.（甲、乙两种糖果的单价不变）
解：设第一次购买乙种糖果的数量为x个，
则第一次购买甲种糖果的数量为
（1＋50％）x＝x（个），
第二次购买甲种糖果的数量为
x·（1－60％）＝x（个），
第二次购买糖果的总数量为
（x＋x）·（1＋20％）＝3x（个），
则第二次购买乙种糖果的数量为
3x－x＝x（个）.
设甲种糖果单价为a元，乙种糖果单价为b元.
根据题意，得
（a·x＋bx）（1－10％）＝a·x＋b·x.
化简，得a＝2b.
即＝＝50％.
答：乙种糖果的单价与甲种糖果单价的百分比为50％.
第3课时 图形与行程问题
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知识点1 应用二元一次方程组解决几何图形问题
1.如图，宽为50 cm的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ A ）
第1题图
A.400 cm2 B.500 cm2 C.600 cm2 D.300 cm2
2.如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60 cm的大长方形，则每个小长方形的周长是（ D ）
第2题图
A.60 cm B.80 cm C.100 cm D.120 cm
3.如图是由7个形状、大小都相同的小长方形和一块正方形无缝隙拼合而成，则图中阴影部分的面积为 36 .
4.在长为10 m，宽为8 m的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，则小长方形花圃的长和宽分别为多少米？
解：设小长方形花圃的长为x m，宽为y m.根据题意，得 解得
答：小长方形花圃的长为4 m，宽为2 m.
知识点2 应用二元一次方程组解决行程问题
5.某船顺流航行48 km用了3 h，逆流航行32 km用了4 h.设船在静水中的速度为x km/h，水流的速度为y km/h，则根据题意列方程组为（ C ）
A. B.
C. D.
6.甲、乙二人分别从相距20 km的A，B两地出发，相向而行.如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是x km/h，乙的速度是y km/h，则根据题意列方程组是 .
7.小魏和小梁从A，B两地同时出发，小魏骑自行车，小梁步行，沿同条路线相向匀速而行，出发2 h两人相遇.相遇时小魏比小梁多行24 km，相遇后0.5 h小魏到达B地.两人的速度分别是多少？
解：设小魏的速度为x km/h，小梁的速度为y km/h.由题意，得
解得
答：小魏的速度为16 km/h，小梁的速度为4 km/h.
@中档提分训练
8.从甲地到乙地有一段长x km的上坡与一段长y km的平路.若保持上坡每小时走3 km，平路每小时走4 km，下坡每小时走5 km，则从甲地到乙地需54 min，从乙地到甲地需42 min.由题意可列方程组为（ C ）
A. B.
C. D.
9.如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（ D ）
A.34 cm2 B.43 cm2 C.50 cm2 D.54 cm2
10.已知一座铁路桥长1 000 m，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到车身完全通过桥共用60 s，而整列火车完全在桥上的时间是40 s，则火车的长度为 200 m，火车的速度为 20 m/s.
11.在数据收集时发现，从教室到食堂需要先走楼梯下楼，再走一段平地.假定人在平路上行走速度始终是60 m/min，下楼梯的时候速度始终是20 m/min，上楼梯的时候速度始终是10 m/min.则从教室到食堂需要4 min，从食堂回来教室需要6 min，请问楼梯有多少m，平地有多少m？
解：设楼梯有x m，平地有y m.
依题意，得解得
答：楼梯有40 m，平地有120 m.
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12.在400 m的环形跑道上，甲、乙两人从同一起点同时出发做匀速运动.若反向而行，40 s后两人第一次相遇；若同向而行，200 s后甲第一次追上乙.
（1）你能求出甲、乙两人的速度吗？
（2）若甲、乙同向而行时，丙也在跑道上匀速前行，且与甲、乙的方向一致，丙出发后20 s甲追上丙，出发后100 s乙追上丙.请问丙出发时，在甲、乙前方多少m的位置？丙的速度是多少？
解：（1）设甲的速度为x m/s，乙的速度为y m/s.
根据题意，得
解得
答：甲的速度为6 m/s，乙的速度为4 m/s.
（2）设丙在甲、乙前方a m的位置，丙的速度是m m/s.
根据题意，得
解得
答：丙在甲、乙前方50 m的位置，丙的速度是3.5 m/s.3 二元一次方程组的应用
第1课时 和差倍分问题
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知识点 应用二元一次方程组解决和差倍分问题
1.【数学文化】《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其中记载了一个有趣的问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（古代1斤＝16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少两？”现用列方程组求解，设未知数后，小明列出一个方程为5x＋6y＝16，则另一个方程应为（ ）
A.6x＝5y B.4y＋x＝5x＋y
C.4x＋y＝5y＋x D.6x＋5y＝16
2.买钢笔和铅笔共30支，其中钢笔的数量比铅笔数量的2倍少3支.若设买钢笔x支，铅笔y支，根据题意，可得方程组为（ ）
A. B.
C. D.
3.某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（2）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（2）班得分比为2∶1；乙同学说：（1）班得分比（2）班得分多38分.若设（1）班得x分，（2）班得y分，根据题意所列的方程组应为（ ）
A. B. C. D.
4.【数学文化】中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何？”设每匹马价值x两，每头牛价值y两，根据题意可列方程组为 .
5.（徐州中考）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚.问兽、鸟各有多少？
根据译文，解决下列问题：
（1）设兽有x只，鸟有y只，可列方程组为 ；
（2）兽、鸟各有多少？
6.阅读与人文滋养内心.某校开展阅读经典活动，小明3天阅读的总页数比小颖5天阅读的总页数少6页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读页数的2倍少10页，求小明、小颖平均每天各阅读多少页.
@中档提分训练
7.7年前，母亲的年龄是儿子的5倍；5年后，母亲的年龄是儿子的2倍.求母子现在的年龄.设母亲今年x岁，儿子今年y岁，列出的二元一次方程组是（ ）
A. B.
C. D.
8.老牛和小马各驮几个包裹一同赶路，老牛驮的包裹数比小马驮的包裹数多2个，若从小马驮的包裹中拿下1个包裹给老牛，则老牛驮的包裹数是小马驮的包裹数的2倍.问老牛和小马各驮了几个包裹？小南准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是x－y＝2，则符合题意的另一个方程为（ ）
A.x＋1＝2y B.2（x－1）＝y＋1
C.2（x＋1）＝y－1 D.x＋1＝2（y－1）
9.某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶.购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1 560元.
（1）求大、小两种垃圾桶的单价；
（2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？
@拓展素养训练
10.已知用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨.现有货物19吨，计划同时租用A型车a辆、B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物.根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运送多少吨？
（2）请列出所有可能的租车方案；
（3）若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金110元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.
第2课时 增收节支问题
@基础分点训练
知识点1 应用二元一次方程组解决百分率问题
1.某工厂去年的总利润为200万元，今年的总收入比去年增加了20％，总支出比去年减少了10％，今年的总利润为780万元.小明列出二元一次方程组 描述这一情境中的等量关系，则方程组中的x，y表示的未知量分别为（ ）
A.今年的总收入为x万元，总支出为y万元
B.今年的总支出为x万元，总收入为y万元
C.去年的总收入为x万元，总支出为y万元
D.去年的总支出为x万元，总收入为y万元
2.某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10％，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5％，已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，调价前果汁饮料每瓶 元.
3.（安徽中考）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10％，乙地降价5元.已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元.求调整前甲、乙两地该商品的销售单价.
知识点2 应用二元一次方程组解决图表信息问题
4.（教材例题变式）医院用甲、乙两种食物为手术后的病人配制营养餐，两种食物中的蛋白质和铁质含量如下表：
食物 蛋白质含量 铁质含量
甲 0.8单位/克 1单位/克
乙 0.7单位/克 0.4单位/克
如果病人每餐需要190单位的蛋白质和180单位的铁质，那么每份营养餐中，甲、乙两种食物各需多少克？设甲种食物需x克，乙种食物需y克，则根据题意可列方程组为 .
5.某地区2023年的进出口总额为520亿元，2024年的进出口总额比2023年有所增加，其中进口额增加了25％，出口额增加了30％.（注：进出口总额＝进口额＋出口额）
（1）设2023年的进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：
年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元
2023 x y 520
2024 1.25x 1.3y
（2）已知2024年的进出口总额比2023年增加了140亿元，求2024年的进口额和出口额分别是多少亿元.
@中档提分训练
6.某班的一个综合实践活动小组去甲、乙两个超市调查去年和今年“元旦”期间的销售情况.下面是调查后小明与其他两位同学的对话：
小明说：“去年两个超市的销售额共为150万元，今年两个超市的销售额共为170万元.”
小亮说：“甲超市今年的销售额比去年增加10％.”
小颖说：“乙超市今年的销售额比去年增加20％.”
根据他们的对话，得出今年甲超市的销售额为（ ）
A.100万元 B.50万元 C.60万元 D.110万元
7.用甲、乙两种原料配制营养液，已知这两种原料的维生素C含量及价格如下表所示：
原料种类 甲 乙
维生素C的含量/（单位·kg－1） 600 100
原料价格/（元·kg－1） 8 4
现要配制一种含5 000单位维生素C的营养液，且买原料的费用为72元，则应买甲种原料 kg，乙种原料 kg.
8.某水果店前后两次购进和售卖某种水果，第一次购进100 kg水果，第二次购进200 kg水果，两次购进的单价不同，并且每次售卖时销售的单价都比该次购进的单价提高了50％.由于水果易坏，从购进到全部售完会有部分损耗.第一次购进的水果有10％的损耗，第二次购进的水果有20％的损耗.已知两次购进的总价之和为1 600元，两次销售共获利500元，那么两次购进的单价各是多少元？
@拓展素养训练
9.【数据分析】某商家今年3月份两次同时购进了甲、乙两种不同单价的糖果，第一次购买甲种糖果的数量比乙种糖果的数量多50％，第二次购买甲种糖果的数量比第一次购买甲种糖果的数量少60％，结果第二次购买糖果的总数量虽然比第一次购买糖果的总数量多20％，但第二次购买甲、乙糖果的总费用却比第一次购买甲、乙糖果的总费用少10％.求乙种糖果的单价与甲种糖果单价的百分比.（甲、乙两种糖果的单价不变）
