4 一次函数的应用
第1课时 借助一次函数表达式解决一些简单问题
@基础分点训练
知识点1 确定一次函数表达式
1.如图，一次函数的图象经过A，B两点，则这个函数的表达式为 y＝5x－2 ，点P（－1，7） 不在 该一次函数的图象上（填“在”或“不在”）
2.如图，已知B中的实数与A中的实数之间的对应关系是某个一次函数.
（1）若用y表示B中的实数，用x表示A中的实数，求y与x之间的函数表达式；
（2）求m＋n的值.
解：（1）设一次函数的表达式为y＝kx＋b.
根据题意，得－3＝b，①
9＝－3k＋b.②
将①代入②，得k＝－4.
所以y与x之间的函数表达式为y＝－4x－3.
（2）在y＝－4x－3中，
当x＝－1时，n＝－4×（－1）－3＝1；
当y＝5时，－4m－3＝5，解得m＝－2.
所以m＋n＝－2＋1＝－1.
知识点2 借助一次函数表达式解决简单问题
3.随着海拔的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，即含氧量y（g/m3）与大气压强x（kPa）成正比例函数关系.当x＝36时，y＝108.
（1）含氧量y（g/m3）与大气压强x（kPa）之间的关系式是 y＝3x ；
（2）当大气压强是29 kPa时，含氧量是 87 g/m3.
4.在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（cm）是燃烧时间x（h）的一次函数.蜡烛点燃前的高度为30 cm，燃烧3 h后，蜡烛剩余部分的高度为12 cm.
（1）蜡烛燃烧时，y（cm）与x（h）之间的关系式是 y＝－6x＋30 ；
（2）蜡烛从点燃到燃尽所用的时间是 5 h.
@中档提分训练
5.一次函数y＝kx＋b的图象经过点A（2，3），每当x增加1个单位长度时，y增加3个单位长度，则此函数的表达式是 y＝3x－3 .
6.【数学文化】杆秤是我国传统的计重工具，如图，秤钩上所挂物体的质量不同，使得秤砣到秤纽的水平距离不同.称重时，秤钩所挂物重为x（kg）时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为y（cm）.下表为若干次称重时所记录的一些数据，且y是x的一次函数.
x/kg 0 0.75 1.00 1.50 2.25 3.25
y/cm －2 1 2 4 7 11
注：秤杆上秤砣在秤纽左侧时，水平距离y（cm）为正、在右侧时为负.
（1）根据题意，完成上表；
（2）请求出y与x之间的关系式；
解：（2）设y与x之间的关系式为y＝kx＋b.
根据题意，得－2＝b，①
1＝0.75k＋b.②
将①代入②，得k＝4.
所以y与x之间的关系式为y＝4x－2.
（3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15 cm时，秤钩所挂物重是 4.25 kg.
第2课时 借助单个一次函数图象解决实际问题
@基础分点训练
知识点1 单个一次函数图象的应用
1.如图，一个条形测力计不挂重物时长5 cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比，弹簧总长y（cm）关于所挂物体质量x（kg）的函数图象如图所示，则图中a的值是（ C ）
A.15 B.18 C.20 D.33
2.由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，如图所示的是某水库蓄水量V（万立方米）与干旱时间t（天）之间的关系图，请你根据此图填空：
第2题图
（1）水库原蓄水量是 1 000 万立方米，干旱持续10天，蓄水量为 800 万立方米；
（2）若水库的蓄水量小于400万立方米时，将发出严重干旱警报.则持续干旱 30 天后，将发出严重干旱警报.按此规律，持续干旱 50 天时，水库的水将干涸.
3.如果生产某种产品的成本y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示，那么生产5吨这种产品所需的成本是 10 万元.
第3题图
4.节约用水是我们的美德，水龙头不拧紧会造成滴水.用可以显示水量的容器做如图1所示的试验，并根据试验数据绘制出如图2所示的容器内盛水量w（L）与滴水时间t（h）之间的函数关系图象，结合图象解答下列问题：
（1）求w与t之间的函数关系式；
解：（1）由图象可知，w与t之间是一次函数关系，
所以设w与t之间的函数关系式为w＝kt＋b.
由图象知，b＝0.3，图象经过点（1.5，0.9）.
所以1.5k＋0.3＝0.9，解得k＝0.4.
所以w与t之间的函数关系式为w＝0.4t＋0.3.
（2）计算在这种滴水状态下，经过一天（24 h），容器内的盛水量是 9.9 L.
知识点2 一次函数与一元一次方程
5.已知一次函数y＝2x＋n的图象如图所示，则方程2x＋n＝0的解可能是（ C ）
A.x＝1 B.x＝ C.x＝－ D.x＝－1
6.已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，利用图象解决下列问题.
（1）关于x的方程kx＋b＝0的解是 x＝2 .
（2）关于x的方程kx＋b＝2的解是 x＝1 .
（3）关于x的方程kx＋b＝4的解是 x＝0 .
@中档提分训练
7.某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（cm）与观察时间x（天）之间的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，射线CD平行于x轴）.根据图象，下列说法正确的是（ C ）
第7题图
A.从开始观察起，60天后该植物停止长高
B.直线AC的函数表达式为y＝2x＋6
C.观察第40天时，该植物的高度为14 cm
D.该植物最高为15 cm
8.如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的方程x＋b＝kx＋4的解是 x＝1 .
第8题图
9.小蕾家与外婆家相距270 km，她假期去看望外婆，返回时，恰好有一辆顺风车可以带小蕾到A服务区，于是，小蕾与爸爸约定，她先搭乘顺风车到A服务区，爸爸驾车到A服务区接小蕾回家.两人在A服务区见面后，休息了一会儿，然后小蕾乘坐爸爸的车以60 km/h的速度返回家中.在小蕾的整个行程中，小蕾与自己家的距离y（km）和时间x（h）之间的关系如图所示.
（1）求小蕾从外婆家到A服务区的过程中，y与x之间的函数关系式；
（2）小蕾从外婆家回到自己家共用了多长时间？
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，
根据题意，得270＝b，①
180＝k＋b.②
将①代入②，得k＝－90.
所以y＝－90x＋270（0≤x≤2）.
（2）把x＝2代入y＝－90x＋270，得y＝90.
从A服务区到家的时间为90÷60＝1.5（h）.
所以2.5＋1.5＝4（h）.
答：小蕾从外婆家回到自己家共用了4 h.
@拓展素养训练
10.【数据分析】如图1，某商场在一楼与二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯.甲、乙两人同时从二楼下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h（单位：m）与下行时间x（单位：s）之间具有函数关系h＝－x＋6，乙离一楼地面的高度y（单位：m）与下行时间x（单位：s）的函数关系如图2所示.
（1）求y关于x的函数表达式；
图1 图2
（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面.
图1 图2
解：（1）设y关于x的函数表达式是y＝kx＋b.
由图2，得b＝6，① 15k＋b＝3.②
将①代入②，得k＝－.
故y关于x的函数表达式是y＝－x＋6.
（2）当h＝0时，0＝－x＋6.解得x＝20；
当y＝0时，0＝－x＋6.解得x＝30.
20＜30，则甲先到达一楼地面.
第3课时 借助两个一次函数图象解决实际问题
@基础分点训练
知识点1 两个一次函数图象的应用
1.如图，射线l甲，l乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所行路程s（m）与时间t（min）的函数图象，则他们行进的速度关系是（ B ）
第1题图
A.甲、乙同速 B.甲比乙快 C.乙比甲快 D.无法确定
2.某天，一辆轿车和一辆货车都走高速公路沿相同的路线从甲地开往乙地，且所走过的路程y（km）与所用的时间x（h）之间的函数图象如图所示，下列描述错误的是（ B ）
第2题图
A.轿车比货车晚出发1 h
B.轿车和货车同时到达乙地
C.轿车用1.5 h追上了货车，此时离乙地还有150 km
D.甲、乙两地之间的路程是300 km
3.（吉林中考）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快，在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如图所示.
（1）加热前水温是 20 ℃ ；
（2）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数关系式；
（3）当甲壶中水温刚达到80 ℃时，乙壶中水温是 65 ℃ .
解：（2）设乙壶中水温y关于加热时间x的函数关系式为y＝kx＋b，根据题意，得
20＝b，① 80＝160k＋b.②
将①代入②，得k＝.
所以乙壶中水温y关于加热时间x的函数关系式为y＝x＋20.
知识点2 看图象做决策
4.某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案.
方案一：没有底薪，只付销售提成.
方案二：底薪加销售提成.
下图中的射线l1、射线l2分别表示该鲜花销售公司每月按方案一、方案二付给销售人员的工资y1（元）和y2（元）与其当月鲜花销售量x（kg）（x≥0）的函数关系.
（1）分别求y1，y2与x的函数表达式；
解：（1）设y1＝k1x，根据题意，得40k1＝1 200，
解得k1＝30.
所以y1＝30x（x≥0）.
设y2＝k2x＋b，
根据题意，得800＝b，① 1 200＝40k2＋b，②
将①代入②，得k2＝10.
所以y2＝10x＋800（x≥0）.
（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70 kg，但其3月份的工资超过2 000元，则该公司采用了方案 一 给这名销售人员付3月份的工资.
@中档提分训练
5.《九章算术》中记载：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺.问几何日相逢？大意是：有一道墙，高9尺（1尺＝10寸），上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸，地上种着瓠向上长，每天长1尺，问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇.如图是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度h（单位：尺）关于生长时间x（单位：天）的函数图象，则由图可知两图象交点P的横坐标是（ C ）
A.4 B.5 C.5 D.30
6.两架无人机A，B准备在120 m高空完成拍摄任务，无人机A从海拔10 m处以5 m/s的速度匀速上升，无人机B从海拔30 m处以m m/s的速度匀速上升.如果这两架无人机同时出发，经过10 s后都位于同一海拔高度n m.无人机海拔高度y（m）与时间x（s）的关系如图所示.
（1）填空：m＝ 3 ，n＝ 60 ；
（2）求无人机B在上升过程中，海拔高度y（m）与时间x（s）之间的函数关系式；
解：（2）由（1）知，无人机B的速度为3 m/s，
无人机B在上升过程中，海拔高度y（m）与时间x（s）之间的函数关系式是y＝3x＋30.
（3）当两架无人机都上升了20 s时，无人机A比无人机B高多少米？
解：（3）由题意，得无人机A的海拔高度y（m）与时间x（s）之间的函数关系式为y＝5x＋10.
当x＝20时，
（5×20＋10）－（3×20＋30）＝20（m）.
故此时无人机A比无人机B高20 m.
@拓展素养训练
7.如图，lA，lB分别表示A步行与B骑车在同一条路上行驶的路程s（km）与时间t（h）之间的关系.
（1）B出发时与A相距 10 km；
（2）B走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是 1 h；
（3）B出发后 3 h与A相遇；
（4）求A行走的路程s与时间t之间的函数关系式；
解：（4）设A行走的路程s与时间t之间的函数关系式为s＝kt＋b（k≠0），由图象可知，b＝10.将（3，22.5）代入s＝kt＋10，得22.5＝3k＋10，解得k＝.
所以A行走的路程s与时间t之间的函数关系式为s＝t＋10.
（5）若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，则 h与A相遇，相遇点与B的出发点相距 km.在图中表示出这个相遇点C.
解：（5）相遇点C的位置如图所示.4 一次函数的应用
第1课时 借助一次函数表达式解决一些简单问题
@基础分点训练
知识点1 确定一次函数表达式
1.如图，一次函数的图象经过A，B两点，则这个函数的表达式为 ，点P（－1，7） 该一次函数的图象上（填“在”或“不在”）
2.如图，已知B中的实数与A中的实数之间的对应关系是某个一次函数.
（1）若用y表示B中的实数，用x表示A中的实数，求y与x之间的函数表达式；
（2）求m＋n的值.
知识点2 借助一次函数表达式解决简单问题
3.随着海拔的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，即含氧量y（g/m3）与大气压强x（kPa）成正比例函数关系.当x＝36时，y＝108.
（1）含氧量y（g/m3）与大气压强x（kPa）之间的关系式是 ；
（2）当大气压强是29 kPa时，含氧量是 g/m3.
4.在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（cm）是燃烧时间x（h）的一次函数.蜡烛点燃前的高度为30 cm，燃烧3 h后，蜡烛剩余部分的高度为12 cm.
（1）蜡烛燃烧时，y（cm）与x（h）之间的关系式是 ；
（2）蜡烛从点燃到燃尽所用的时间是 h.
@中档提分训练
5.一次函数y＝kx＋b的图象经过点A（2，3），每当x增加1个单位长度时，y增加3个单位长度，则此函数的表达式是 .
6.【数学文化】杆秤是我国传统的计重工具，如图，秤钩上所挂物体的质量不同，使得秤砣到秤纽的水平距离不同.称重时，秤钩所挂物重为x（kg）时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为y（cm）.下表为若干次称重时所记录的一些数据，且y是x的一次函数.
x/kg 0 0.75 1.00 2.25 3.25
y/cm －2 1 2 4 7
注：秤杆上秤砣在秤纽左侧时，水平距离y（cm）为正、在右侧时为负.
（1）根据题意，完成上表；
（2）请求出y与x之间的关系式；
（3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15 cm时，秤钩所挂物重是 kg.
第2课时 借助单个一次函数图象解决实际问题
@基础分点训练
知识点1 单个一次函数图象的应用
1.如图，一个条形测力计不挂重物时长5 cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比，弹簧总长y（cm）关于所挂物体质量x（kg）的函数图象如图所示，则图中a的值是（ ）
A.15 B.18 C.20 D.33
2.由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，如图所示的是某水库蓄水量V（万立方米）与干旱时间t（天）之间的关系图，请你根据此图填空：
第2题图
（1）水库原蓄水量是 万立方米，干旱持续10天，蓄水量为 万立方米；
（2）若水库的蓄水量小于400万立方米时，将发出严重干旱警报.则持续干旱 天后，将发出严重干旱警报.按此规律，持续干旱 天时，水库的水将干涸.
3.如果生产某种产品的成本y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示，那么生产5吨这种产品所需的成本是 万元.
第3题图
4.节约用水是我们的美德，水龙头不拧紧会造成滴水.用可以显示水量的容器做如图1所示的试验，并根据试验数据绘制出如图2所示的容器内盛水量w（L）与滴水时间t（h）之间的函数关系图象，结合图象解答下列问题：
（1）求w与t之间的函数关系式；
（2）计算在这种滴水状态下，经过一天（24 h），容器内的盛水量是 L.
知识点2 一次函数与一元一次方程
5.已知一次函数y＝2x＋n的图象如图所示，则方程2x＋n＝0的解可能是（ ）
A.x＝1 B.x＝ C.x＝－ D.x＝－1
6.已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，利用图象解决下列问题.
（1）关于x的方程kx＋b＝0的解是 .
（2）关于x的方程kx＋b＝2的解是 .
（3）关于x的方程kx＋b＝4的解是 .
@中档提分训练
7.某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（cm）与观察时间x（天）之间的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，射线CD平行于x轴）.根据图象，下列说法正确的是（ ）
第7题图
A.从开始观察起，60天后该植物停止长高
B.直线AC的函数表达式为y＝2x＋6
C.观察第40天时，该植物的高度为14 cm
D.该植物最高为15 cm
8.如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的方程x＋b＝kx＋4的解是 .
第8题图
9.小蕾家与外婆家相距270 km，她假期去看望外婆，返回时，恰好有一辆顺风车可以带小蕾到A服务区，于是，小蕾与爸爸约定，她先搭乘顺风车到A服务区，爸爸驾车到A服务区接小蕾回家.两人在A服务区见面后，休息了一会儿，然后小蕾乘坐爸爸的车以60 km/h的速度返回家中.在小蕾的整个行程中，小蕾与自己家的距离y（km）和时间x（h）之间的关系如图所示.
（1）求小蕾从外婆家到A服务区的过程中，y与x之间的函数关系式；
（2）小蕾从外婆家回到自己家共用了多长时间？
@拓展素养训练
10.【数据分析】如图1，某商场在一楼与二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯.甲、乙两人同时从二楼下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h（单位：m）与下行时间x（单位：s）之间具有函数关系h＝－x＋6，乙离一楼地面的高度y（单位：m）与下行时间x（单位：s）的函数关系如图2所示.
（1）求y关于x的函数表达式；
图1 图2
（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面.
图1 图2
第3课时 借助两个一次函数图象解决实际问题
@基础分点训练
知识点1 两个一次函数图象的应用
1.如图，射线l甲，l乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所行路程s（m）与时间t（min）的函数图象，则他们行进的速度关系是（ ）
第1题图
A.甲、乙同速 B.甲比乙快 C.乙比甲快 D.无法确定
2.某天，一辆轿车和一辆货车都走高速公路沿相同的路线从甲地开往乙地，且所走过的路程y（km）与所用的时间x（h）之间的函数图象如图所示，下列描述错误的是（ ）
第2题图
A.轿车比货车晚出发1 h
B.轿车和货车同时到达乙地
C.轿车用1.5 h追上了货车，此时离乙地还有150 km
D.甲、乙两地之间的路程是300 km
3.（吉林中考）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快，在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如图所示.
（1）加热前水温是 ；
（2）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数关系式；
（3）当甲壶中水温刚达到80 ℃时，乙壶中水温是 .
知识点2 看图象做决策
4.某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案.
方案一：没有底薪，只付销售提成.
方案二：底薪加销售提成.
下图中的射线l1、射线l2分别表示该鲜花销售公司每月按方案一、方案二付给销售人员的工资y1（元）和y2（元）与其当月鲜花销售量x（kg）（x≥0）的函数关系.
（1）分别求y1，y2与x的函数表达式；
（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70 kg，但其3月份的工资超过2 000元，则该公司采用了方案 给这名销售人员付3月份的工资.
@中档提分训练
5.《九章算术》中记载：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺.问几何日相逢？大意是：有一道墙，高9尺（1尺＝10寸），上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸，地上种着瓠向上长，每天长1尺，问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇.如图是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度h（单位：尺）关于生长时间x（单位：天）的函数图象，则由图可知两图象交点P的横坐标是（ ）
A.4 B.5 C.5 D.30
6.两架无人机A，B准备在120 m高空完成拍摄任务，无人机A从海拔10 m处以5 m/s的速度匀速上升，无人机B从海拔30 m处以m m/s的速度匀速上升.如果这两架无人机同时出发，经过10 s后都位于同一海拔高度n m.无人机海拔高度y（m）与时间x（s）的关系如图所示.
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）求无人机B在上升过程中，海拔高度y（m）与时间x（s）之间的函数关系式；
（3）当两架无人机都上升了20 s时，无人机A比无人机B高多少米？
@拓展素养训练
7.如图，lA，lB分别表示A步行与B骑车在同一条路上行驶的路程s（km）与时间t（h）之间的关系.
（1）B出发时与A相距 km；
（2）B走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是 h；
（3）B出发后 h与A相遇；
（4）求A行走的路程s与时间t之间的函数关系式；
（5）若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，则 h与A相遇，相遇点与B的出发点相距 km.在图中表示出这个相遇点C.
