2 认识一次函数
第1课时 均匀变化现象
@基础分点训练
知识点 数据均匀变化
1.如图是将一个小长方体铁块固定在一个大长方体容器的底部的截面图，现均匀地向这个容器中注水，最后把容器注满，在注水的过程中大长方体水面的高度h随时间t变化的函数图象大致是（ ）
2.一根高18 cm的蜡烛点燃后剩余的高度h（cm）与燃烧时间t（h）（0≤t≤6）的关系如表，已知平均每小时蜡烛燃掉3厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（cm）与燃烧时间t（h）（0≤t≤6）之间的关系式是（ ）
燃烧时间t（h） 0 1 2 3 4
剩余的高度h（cm） 18 15 12 9 6
A.h＝18－t B.h＝18＋t
C.h＝18－3t D.h＝18＋3t
3.食用油沸点的温度远高于水的沸点温度（100 ℃），小明为了用刻度不超过100 ℃的温度计测量出某种食用油沸点的温度，在锅中倒入一些这种食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔10 s测量一次锅中油温，测量得到的数据如下表：
时间t/s 0 10 20 30 40
油温y/℃ 10 30 50 70 90
请写出y与t的函数关系式： .
@中档提分训练
4.一次实验中，时间t（单位：min）和温度T（单位：℃）的部分数据如下：
时间/min 0 … 10 15 … 18
温度/℃ 5 … 45 65 … 77
假设温度随时间的变化是均匀的，则实验进行9 min时的温度是（ ）
A.40 ℃ B.41 ℃ C.44 ℃ D.38.5 ℃
5.某油箱有60 L油，油从管道中均匀流出一小时即可流完，则油箱中所剩的油Q（L）与流出的时间t（min）之间的函数关系式为 ，自变量t的取值范围是 .
6.【跨学科·物理】在一定限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）有如下关系（假设都在弹性限度内）：
所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 6
弹簧长度y/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15
（1）由表格可知，弹簧原长为 cm，所挂物体每增加1 kg，弹簧伸长 cm；
（2）请写出弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（3）当所挂物体质量为10 kg时，弹簧长度是多少？
（4）当弹簧长度为20 cm时，求所挂物体的质量.
第2课时 一次函数与正比例函数
@基础分点训练
知识点1 一次函数与正比例函数的概念
1.下列函数中，y一定是x的一次函数的是（ ）
A.y＝ B.y＝－3x＋1 C.y＝ax D.y＝x2＋1
2.下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A.y＝－8x B.y＝ C.y＝8x2 D.y＝8x－4
3.函数、一次函数和正比例函数之间的包含关系是（ ）
4.对于函数y＝（k－3）x＋k＋3，当k 时，它是关于x的正比例函数；当k 时，它是关于x的一次函数.
知识点2 根据条件列一次函数关系式
5.已知一个函数的函数值y与自变量x的几组对应值如下表，则y与x之间的关系式可以是（ ）
x … －1 0 1 2 …
y … －2 0 2 4 …
A.y＝2x B.y＝x－1 C.y＝ D.y＝x2
6.汽车油箱中有汽油30 L.如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶路程x（km）的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km.当0≤x≤300 时，y与x之间的关系式是（ ）
A.y＝0.1x B.y＝－0.1x＋30
C.y＝ D.y＝－0.1x2＋30x
7.在登山过程中，海拔每升高1 km，气温下降6 ℃.已知某登山大本营所在位置的气温是2 ℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x km时，所在位置的气温是y ℃，那么y与x之间的关系式是 .
8.（教材例题变式）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）匀速行驶的汽车的速度是80 km/h，汽车行驶时间x（h）与行驶路程y（km）之间的关系；
（2）某村耕地面积为106平方米，该村人均占有耕地面积y（平方米）与人数x （人）之间的关系；
（3）地面气温为28 ℃，如果海拔每升高1 km，气温下降5 ℃，气温x（℃）与海拔y（km）之间的关系.
@中档提分训练
9.某校开展了主题为“生活中的一次函数”的项目学习，同学们找到了许多生活中的函数.下面实例中，变量之间的关系不是一次函数的是（ ）
A.家庭用水的价格为2.5元/m3，每月的水费支出与用水量之间的关系
B.百米赛跑中，时间与速度之间的关系
C.相同规格的A4纸整齐叠放，纸的厚度与纸的张数之间的关系
D.普通钟表指针转动的角度与所用时间之间的关系
10.规定：[k，b]是一次函数y＝kx＋b（k，b为实数，k≠0）的“特征数”，若“特征数”是[4，－m]的一次函数是正比例函数，则点（2－m，2＋m）所在的象限是（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
11.下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成.
通过观察可以发现：第4个图形中，火柴棒有 根，第n个图形中，火柴棒有 根.若用y表示某个图形中火柴棒的根数，x表示该图形中正方形的个数，则y与x的函数关系式是 ，y是x的 函数.
12.若函数y＝（m－1）＋3是关于x的一次函数，则m的值为 .
[变式]已知y＝（k－1）x＋k2－1，若y是x的正比例函数，则k的值为 .
13.已知y＋1与x－1成正比例关系，当x＝3时，y＝－5，请求出y关于x的函数表达式，并求出当y＝5时，x的值.
@拓展素养训练
14.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点 D.设∠A＝x°，∠CBD＝y°.
（1）求y与x之间的关系式；
（2）这个函数是一次函数吗？若是，请指出k，b的值，并写出x的取值范围；若不是，请说明理由.
第3课时 分档计费问题
@基础分点训练
知识点 分档计费
1.为鼓励居民节约用水，某自来水公司采取分段计费，每月每户用水不超过10 t，每吨2.2元；超过10 t的部分，每吨加收1.3元，小明家4月份用水15 t，应交水费（ ）
A.38.5元 B.39.5元
C.39元 D.40元
2.某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法收取电费（单位：元）：居民每月用电不超过100度时，按每度0.60元计费，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过部分按每度1.50元计费，若12月份张老师家用电量为a度（a＞100），那么张老师应缴纳电费（ ）
A.60＋1.50（a－100） B.60＋1.50a C.0.60a D.1.10a
3.下表中有两种移动电话计费方式，当主叫时间为750 min时，两种方式的计费相等，则表格中x的值为（ ）
月使用费 （元） 主叫限定 时间（min） 主叫超时费 （元/min） 被叫
方式一 30 400 x 免费
方式二 45 600 0.25 免费
A.0.10 B.0.15 C.0.20 D.0.25
4.为了节约水资源，自来水公司按分段收费标准收费，如图所示反映的是每月收取水费y（元）与用水量x（t）之间的函数关系，当每月用水量为14 t时，水费是 元.
5.某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5 kg，则种子价格为20元/kg；若一次购买超过5 kg，则超过5 kg部分的种子价格打八折.设一次购买量为x kg，付款金额为y元.
（1）求y与x之间的关系式；
（2）某农户一次购买玉米种子30 kg，需付款 元.
@中档提分训练
6.滴滴快车是一种便捷的出行工具，某地滴滴快车晚高峰时段行程超过3公里的计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费
单价 2.5元/公里 0.4元/min
注：车费＝里程费＋时长费，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算.
在晚高峰时段，小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里和10公里，如果两人下车时所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（ ）
A.15 min B.20 min C.25 min D.30 min
7.某停车场24小时营业，其收费方式如表所示，已知小聪爸爸某日10：00进场停车，停了x小时后离场，x为整数.若小聪爸爸离场时间介于当日的20：00～24：00之间，则他此次停车的费用为 元.
停车时段 收费方式
08：00～20：00 20元/h 该时段最多收100元
20：00～次日08：00 5元/h 该时段最多收30元
若进场与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费
8.某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方式按月计算每户家庭的电费.月用电量不超过200 kW·h时，按0.55元/（kW·h）计费；月用电量超过200 kW·h时，其中的200 kW·h仍按0.55元/（kW·h）计费，超过部分按0.70元/（kW·h）计费.设某户家庭月用电量为x kW·h时，应交电费y元.
（1）分别求出用电量不超过200 kW·h和超过200 kW·h时，y与x之间的关系式；
（2）小明家5月份交电费117元，则小明家5月份用电量为多少？
@拓展素养训练
9.【数据分析】（德州中考）下表中给出A，B，C三种手机通话的收费方式.
收费方式 月通话费/元 包时通话时间/h 超时费/（元/min）
30 25 0.1
B 50 50 0.1
C 100 不限时
（1）设月通话时间为x h，则方式A，B，C的收费金额y1，y2，y3都是x的函数，请分别求出这三个函数的表达式；
（2）填空：若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为 ；
若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为 ；
若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为 ；
（3）小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话时间.2 认识一次函数
第1课时 均匀变化现象
@基础分点训练
知识点 数据均匀变化
1.如图是将一个小长方体铁块固定在一个大长方体容器的底部的截面图，现均匀地向这个容器中注水，最后把容器注满，在注水的过程中大长方体水面的高度h随时间t变化的函数图象大致是（ B ）
2.一根高18 cm的蜡烛点燃后剩余的高度h（cm）与燃烧时间t（h）（0≤t≤6）的关系如表，已知平均每小时蜡烛燃掉3厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（cm）与燃烧时间t（h）（0≤t≤6）之间的关系式是（ C ）
燃烧时间t（h） 0 1 2 3 4
剩余的高度h（cm） 18 15 12 9 6
A.h＝18－t B.h＝18＋t
C.h＝18－3t D.h＝18＋3t
3.食用油沸点的温度远高于水的沸点温度（100 ℃），小明为了用刻度不超过100 ℃的温度计测量出某种食用油沸点的温度，在锅中倒入一些这种食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔10 s测量一次锅中油温，测量得到的数据如下表：
时间t/s 0 10 20 30 40
油温y/℃ 10 30 50 70 90
请写出y与t的函数关系式： y＝2t＋10 .
@中档提分训练
4.一次实验中，时间t（单位：min）和温度T（单位：℃）的部分数据如下：
时间/min 0 … 10 15 … 18
温度/℃ 5 … 45 65 … 77
假设温度随时间的变化是均匀的，则实验进行9 min时的温度是（ B ）
A.40 ℃ B.41 ℃ C.44 ℃ D.38.5 ℃
5.某油箱有60 L油，油从管道中均匀流出一小时即可流完，则油箱中所剩的油Q（L）与流出的时间t（min）之间的函数关系式为 Q＝60－t ，自变量t的取值范围是 0≤t≤60 .
6.【跨学科·物理】在一定限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）有如下关系（假设都在弹性限度内）：
所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 6
弹簧长度y/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15
（1）由表格可知，弹簧原长为 12 cm，所挂物体每增加1 kg，弹簧伸长 0.5 cm；
（2）请写出弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
解：（2）y＝0.5x＋12.
（3）当所挂物体质量为10 kg时，弹簧长度是多少？
解：（3）当x＝10时，
y＝0.5x＋12＝0.5×10＋12＝17.
答：当所挂物体质量为10 kg时，弹簧长度为17 cm.
（4）当弹簧长度为20 cm时，求所挂物体的质量.
解：（4）当y＝20时，则20＝0.5x＋12，解得x＝16.
答：当弹簧长度为20 cm时，所挂物体的质量为16 kg.
第2课时 一次函数与正比例函数
@基础分点训练
知识点1 一次函数与正比例函数的概念
1.下列函数中，y一定是x的一次函数的是（ B ）
A.y＝ B.y＝－3x＋1 C.y＝ax D.y＝x2＋1
2.下列函数中，是正比例函数的是（ A ）
A.y＝－8x B.y＝ C.y＝8x2 D.y＝8x－4
3.函数、一次函数和正比例函数之间的包含关系是（ A ）
4.对于函数y＝（k－3）x＋k＋3，当k ＝－3 时，它是关于x的正比例函数；当k ≠3 时，它是关于x的一次函数.
知识点2 根据条件列一次函数关系式
5.已知一个函数的函数值y与自变量x的几组对应值如下表，则y与x之间的关系式可以是（ A ）
x … －1 0 1 2 …
y … －2 0 2 4 …
A.y＝2x B.y＝x－1 C.y＝ D.y＝x2
6.汽车油箱中有汽油30 L.如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶路程x（km）的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km.当0≤x≤300 时，y与x之间的关系式是（ B ）
A.y＝0.1x B.y＝－0.1x＋30
C.y＝ D.y＝－0.1x2＋30x
7.在登山过程中，海拔每升高1 km，气温下降6 ℃.已知某登山大本营所在位置的气温是2 ℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x km时，所在位置的气温是y ℃，那么y与x之间的关系式是 y＝－6x＋2 .
8.（教材例题变式）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）匀速行驶的汽车的速度是80 km/h，汽车行驶时间x（h）与行驶路程y（km）之间的关系；
（2）某村耕地面积为106平方米，该村人均占有耕地面积y（平方米）与人数x （人）之间的关系；
（3）地面气温为28 ℃，如果海拔每升高1 km，气温下降5 ℃，气温x（℃）与海拔y（km）之间的关系.
解：（1）根据题意，得y＝80x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数.
（2）根据题意，得y＝，y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数.
（3）根据题意，得28－5y＝x，即y＝－x＋，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
@中档提分训练
9.某校开展了主题为“生活中的一次函数”的项目学习，同学们找到了许多生活中的函数.下面实例中，变量之间的关系不是一次函数的是（ B ）
A.家庭用水的价格为2.5元/m3，每月的水费支出与用水量之间的关系
B.百米赛跑中，时间与速度之间的关系
C.相同规格的A4纸整齐叠放，纸的厚度与纸的张数之间的关系
D.普通钟表指针转动的角度与所用时间之间的关系
10.规定：[k，b]是一次函数y＝kx＋b（k，b为实数，k≠0）的“特征数”，若“特征数”是[4，－m]的一次函数是正比例函数，则点（2－m，2＋m）所在的象限是（ A ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
11.下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成.
通过观察可以发现：第4个图形中，火柴棒有 13 根，第n个图形中，火柴棒有 （3n＋1） 根.若用y表示某个图形中火柴棒的根数，x表示该图形中正方形的个数，则y与x的函数关系式是 y＝3x＋1 ，y是x的 一次 函数.
12.若函数y＝（m－1）＋3是关于x的一次函数，则m的值为 －1 .
[变式]已知y＝（k－1）x＋k2－1，若y是x的正比例函数，则k的值为 －1 .
13.已知y＋1与x－1成正比例关系，当x＝3时，y＝－5，请求出y关于x的函数表达式，并求出当y＝5时，x的值.
解：根据题意，设y＋1＝k（x－1）（k≠0）.
将x＝3，y＝－5代入y＋1＝k（x－1），得
－5＋1＝k（3－1）.解得k＝－2.
所以y＋1＝－2（x－1），即y＝－2x＋1.
将y＝5代入y＝－2x＋1，得5＝－2x＋1.
解得x＝－2.
@拓展素养训练
14.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点 D.设∠A＝x°，∠CBD＝y°.
（1）求y与x之间的关系式；
（2）这个函数是一次函数吗？若是，请指出k，b的值，并写出x的取值范围；若不是，请说明理由.
解：（1）因为AB＝AC，
所以∠ABC＝∠C.
所以∠ABC＝（180°－∠A）.
又因为BD平分∠ABC，
所以∠CBD＝∠ABC＝（180°－∠A）.
所以y＝（180－x）＝－x＋45.
所以y与x之间的关系式为y＝－x＋45.
（2）这个函数是一次函数，k＝－，b＝45，x的取值范围是0＜x＜180.
第3课时 分档计费问题
@基础分点训练
知识点 分档计费
1.为鼓励居民节约用水，某自来水公司采取分段计费，每月每户用水不超过10 t，每吨2.2元；超过10 t的部分，每吨加收1.3元，小明家4月份用水15 t，应交水费（ B ）
A.38.5元 B.39.5元
C.39元 D.40元
2.某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法收取电费（单位：元）：居民每月用电不超过100度时，按每度0.60元计费，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过部分按每度1.50元计费，若12月份张老师家用电量为a度（a＞100），那么张老师应缴纳电费（ A ）
A.60＋1.50（a－100） B.60＋1.50a C.0.60a D.1.10a
3.下表中有两种移动电话计费方式，当主叫时间为750 min时，两种方式的计费相等，则表格中x的值为（ B ）
月使用费 （元） 主叫限定 时间（min） 主叫超时费 （元/min） 被叫
方式一 30 400 x 免费
方式二 45 600 0.25 免费
A.0.10 B.0.15 C.0.20 D.0.25
4.为了节约水资源，自来水公司按分段收费标准收费，如图所示反映的是每月收取水费y（元）与用水量x（t）之间的函数关系，当每月用水量为14 t时，水费是 36 元.
5.某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5 kg，则种子价格为20元/kg；若一次购买超过5 kg，则超过5 kg部分的种子价格打八折.设一次购买量为x kg，付款金额为y元.
（1）求y与x之间的关系式；
解：（1）当0≤x≤5时，y＝20x；
当x＞5时，
y＝20×0.8（x－5）＋20×5＝16x＋20.
（2）某农户一次购买玉米种子30 kg，需付款 500 元.
@中档提分训练
6.滴滴快车是一种便捷的出行工具，某地滴滴快车晚高峰时段行程超过3公里的计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费
单价 2.5元/公里 0.4元/min
注：车费＝里程费＋时长费，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算.
在晚高峰时段，小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里和10公里，如果两人下车时所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（ C ）
A.15 min B.20 min C.25 min D.30 min
7.某停车场24小时营业，其收费方式如表所示，已知小聪爸爸某日10：00进场停车，停了x小时后离场，x为整数.若小聪爸爸离场时间介于当日的20：00～24：00之间，则他此次停车的费用为 （5x＋50） 元.
停车时段 收费方式
08：00～20：00 20元/h 该时段最多收100元
20：00～次日08：00 5元/h 该时段最多收30元
若进场与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费
8.某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方式按月计算每户家庭的电费.月用电量不超过200 kW·h时，按0.55元/（kW·h）计费；月用电量超过200 kW·h时，其中的200 kW·h仍按0.55元/（kW·h）计费，超过部分按0.70元/（kW·h）计费.设某户家庭月用电量为x kW·h时，应交电费y元.
（1）分别求出用电量不超过200 kW·h和超过200 kW·h时，y与x之间的关系式；
（2）小明家5月份交电费117元，则小明家5月份用电量为多少？
解：（1）当用电量不超过200 kW·h时，y与x之间的关系式是y＝0.55x；
当用电量超过200 kW·h时，y与x之间的关系式是y＝0.55×200＋0.7（x－200），
即y＝0.7x－30.
（2）因为0.55×200＝110（元），110＜117，
所以小明家5月份的用电量超过200 kW·h.
将y＝117代入y＝0.7x－30，得x＝210.
答：小明家5月份用电量为210 kW·h.
@拓展素养训练
9.【数据分析】（德州中考）下表中给出A，B，C三种手机通话的收费方式.
收费方式 月通话费/元 包时通话时间/h 超时费/（元/min）
30 25 0.1
B 50 50 0.1
C 100 不限时
（1）设月通话时间为x h，则方式A，B，C的收费金额y1，y2，y3都是x的函数，请分别求出这三个函数的表达式；
解：（1）0.1元/min＝6元/h，
根据题意，得
y1＝
y2＝
y3＝100（x≥0）.
（2）填空：若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为 0≤x＜ ；
若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为 ＜x＜ ；
若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为 x＞ ；
（3）小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话时间.
解：（3）因为y3＝100≠80，所以小王、小张均不选择方式C.
当y1＝80时，6x－120＝80，解得x＝；
当y2＝80时，6x－250＝80，解得x＝55.
又因为小王比小张通话时间长，且55＞，
所以小王该月的通话时间为55小时.
