2 平面直角坐标系
第1课时 平面直角坐标系的有关概念
@基础分点训练
知识点1 平面直角坐标系的有关概念
1.在平面直角坐标系中，与有序实数对一一对应的是（ ）
A.x轴上所有的点
B.y轴上所有的点
C.平面直角坐标系内所有的点
D.x轴和y轴上所有的点
2.如图，“笑脸”图形所在的象限是（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
知识点2 由点的位置写出对应点的坐标
3.点A，B，C，D在平面直角坐标系的位置如图所示，分别写出点A，B，C，D的坐标.
知识点3 由坐标描出对应点的位置
4.在如图所示的平面直角坐标系中，把以下各点描出来，并顺次连接点A，B，C，D，E，F，A.
A（0，－4），B（3，－5），C（6，0），D（0，－1），
E（－6，0），F（－3，－5）.
@中档提分训练
5.点P（3，－4）到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 ，到原点的距离是 .
6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（－1，1），C（－1，－2），D（1，－2），一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AB→BC→CD→DA方向匀速循环前行，当机器人前行了2 025秒时，其所在位置的点的坐标为 .
7.如图是一只鸭子的图案，每个小方格的边长均为1，请探究下列问题：
（1）以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标；
（2）试计算图案覆盖的面积.
第2课时 平面直角坐标系中点的坐标特征
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知识点1 各象限内点的坐标特征
1.若点P（a，2）在第二象限，则a的值可以是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.－2
2.若点M（a，b）在第四象限，则点N（－a，－b）所在的象限是（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.对于点P（a，b）：
若点P在第一象限，则a 0，b 0；
若点P在第二象限，则a 0，b 0；
若点P在第三象限，则a 0，b 0；
若点P在第四象限，则a 0，b 0.
知识点2 坐标轴上的点的坐标特征
4.在平面直角坐标系中，下列各点在y轴正半轴上的点是（ ）
A.（2，0） B.（0，3） C.（－2，0） D.（0，－3）
5.在平面直角坐标系中，点A（a＋2，a－1）在y轴上，则点A的坐标为（ ）
A.（－3，0） B.（0，－3） C.（3，0） D.（0，3）
6.已知平面直角坐标系中有一点M（m－1，2m＋3）.
（1）若点M在x轴上，求点M的坐标；
（2）当M的横坐标为－2时，求点M的坐标.
知识点3 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征
7.若点B的坐标为（3，－4），直线AB平行于x轴，则点A的坐标可能为（ ）
A.（3，－2） B.（2，4）
C.（－3，2） D.（－3，－4）
8.若点A的坐标为（a－2，2a＋7），点B的坐标为（1，5），直线AB∥y轴，则a的值是（ ）
A.1 B.3 C.－1 D.5
9.已知点A（1，2），B（x，y），AB∥x轴，且点B到y轴距离为3，则点B的坐标是 .
10.（教材例题变式）如图，每个小正方形的边长均为1.
（1）写出多边形ABCDEF的各个顶点A，B，C，D，E，F的坐标；
（2）点C与点E的坐标有什么关系？
（3）直线CE与两坐标轴有怎样的位置关系？
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11.如图，老师在黑板上建立平面直角坐标系，并把课本放在如图所示的位置，则一定没有被课本遮住的点是（ ）
第11题图
A.（1，3） B.（3，1）
C.（－1，－1） D.（－1，2）
12.如图的坐标平面上有原点O与A，B，C，D四点.若有一条直线l通过点（－3，4）且与y轴垂直，则该直线l会通过（ ）
第12题图
A.A点 B.B点 C.C点 D.D点
13.若点A（x，y）满足x＋y＜0，xy＞0，则点A在第 象限.
14.已知点A（a－1，b＋2），B（3，4），C（－1，－2）在同一平面直角坐标系内，且AB所在的直线平行于x轴，AC所在的直线平行于y轴，则a＋b＝ .
15.已知点P（3a＋2，a＋6）.
（1）若点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥x轴，求点P的坐标；
（2）若点P到x轴和y轴的距离相等，求点P的坐标.
@拓展素养训练
16.【应用意识】已知当m，n都是实数，且满足2m＝8＋n时，就称点P（m－1，）为“爱心点”.
（1）判断点A（5，3），B（4，8）中哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点M（a，2a－1）是“爱心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由.
第3课时 建立适当的平面直角坐标系描述点的坐标
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知识点1 建立合适的平面直角坐标系求已知点的坐标
1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则应以点 为原点， 为x轴， 为y轴，建立平面直角坐标系较简明，此时A，B，C三点的坐标依次为 .
2.【开放性问题】如图，网格中每个小正方形的边长都是1，依次回答下列问题：
（1）任选一点作为原点，建立平面直角坐标系；
（2）写出点A，B，C，D，E的坐标.
3.如图，正方形ABCD的边长为6.
（1）如果以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，那么y轴是哪条直线？
（2）在（1）的基础上，写出正方形的顶点A，B，C，D的坐标.
知识点2 由已知点的坐标求其他点的坐标
4.如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（－1，－2），“马”位于点（2，－2），则“兵”位于点（ ）
第4题图
A.（－1，1） B.（－2，1） C.（1，－2） D.（－3，1）
5.（贵州中考）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是（－2，7），则龙洞堡机场的坐标是 .
第5题图
6.有一张图纸被污染了，上面只有如图所示的两个标志点A（－2，1），B（－3，－4）可识别.请根据以上信息解答下列问题：
（1）在图中画出平面直角坐标系，并标出主要建筑C（3，2）的位置；
（2）标志点A与主要建筑C的图上距离为多少？
@中档提分训练
7.（教材习题变式）如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（－3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是（ ）
第7题图
A.（2，－3） B.（2，3）
C.（3，2） D.（3，－2）
8.如图，在长方形ABCD中，A，C两点的坐标分别为（－5，1），（0，4），则点的D坐标是 .
第8题图
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，直线AB∥x轴，且A，B两点到y轴的距离相等.
（1）若A（1，3），写出点B的坐标并在平面直角坐标系中标出A，B两点；
（2）若A（a，b），连接AO，AB，BO，设△AOB的面积为a2，求点B的坐标.（用含a的代数式表示）
@拓展素养训练
10.五子连珠棋和象棋，围棋一样，深受广大棋友的喜爱，其规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向（横向，竖向或者是斜着的方向）上连成五子者为胜，如图是两个五子棋爱好者甲和乙的对弈图，甲执黑子先行，乙执白子后走.若白①的位置是（0，3），白②的位置是（3，1）.
（1）请根据题意，画出平面直角坐标系xOy；
（2）若甲的下一步落子可以在某个方向上连成四子，请写出符合题意的其中两个落子处的坐标.2 平面直角坐标系
第1课时 平面直角坐标系的有关概念
@基础分点训练
知识点1 平面直角坐标系的有关概念
1.在平面直角坐标系中，与有序实数对一一对应的是（ C ）
A.x轴上所有的点
B.y轴上所有的点
C.平面直角坐标系内所有的点
D.x轴和y轴上所有的点
2.如图，“笑脸”图形所在的象限是（ B ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
知识点2 由点的位置写出对应点的坐标
3.点A，B，C，D在平面直角坐标系的位置如图所示，分别写出点A，B，C，D的坐标.
解：A（3，2），
B（－3，4），
C（－4，－3），
D（3，－3）.
知识点3 由坐标描出对应点的位置
4.在如图所示的平面直角坐标系中，把以下各点描出来，并顺次连接点A，B，C，D，E，F，A.
A（0，－4），B（3，－5），C（6，0），D（0，－1），
E（－6，0），F（－3，－5）.
解：如图所示.
@中档提分训练
5.点P（3，－4）到x轴的距离是 4 ，到y轴的距离是 3 ，到原点的距离是 5 .
6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（－1，1），C（－1，－2），D（1，－2），一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AB→BC→CD→DA方向匀速循环前行，当机器人前行了2 025秒时，其所在位置的点的坐标为 （－1，－2） .
7.如图是一只鸭子的图案，每个小方格的边长均为1，请探究下列问题：
（1）以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标；
（2）试计算图案覆盖的面积.
解：（1）由图可得
O（0，0），A（－1，0），
B（0，1），C（1，1），
D（1，－1），E（5，1），
F（4，－2），G（1，－2）.
（2）图案覆盖的面积S＝6×3－×1×1－×（1＋2）×2－×1×3－×2×4＝9.
第2课时 平面直角坐标系中点的坐标特征
@基础分点训练
知识点1 各象限内点的坐标特征
1.若点P（a，2）在第二象限，则a的值可以是（ D ）
A.0 B.1 C.2 D.－2
2.若点M（a，b）在第四象限，则点N（－a，－b）所在的象限是（ B ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.对于点P（a，b）：
若点P在第一象限，则a ＞ 0，b ＞ 0；
若点P在第二象限，则a ＜ 0，b ＞ 0；
若点P在第三象限，则a ＜ 0，b ＜ 0；
若点P在第四象限，则a ＞ 0，b ＜ 0.
知识点2 坐标轴上的点的坐标特征
4.在平面直角坐标系中，下列各点在y轴正半轴上的点是（ B ）
A.（2，0） B.（0，3） C.（－2，0） D.（0，－3）
5.在平面直角坐标系中，点A（a＋2，a－1）在y轴上，则点A的坐标为（ B ）
A.（－3，0） B.（0，－3） C.（3，0） D.（0，3）
6.已知平面直角坐标系中有一点M（m－1，2m＋3）.
（1）若点M在x轴上，求点M的坐标；
解：（1）若点M在x轴上，则2m＋3＝0，
解得m＝－，则m－1＝－－1＝－.
故点M的坐标为（－，0）.
（2）当M的横坐标为－2时，求点M的坐标.
解：（2）由题意，得m－1＝－2，解得m＝－1，
则2m＋3＝2×（－1）＋3＝1.
故点M的坐标为（－2，1）.
知识点3 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征
7.若点B的坐标为（3，－4），直线AB平行于x轴，则点A的坐标可能为（ D ）
A.（3，－2） B.（2，4）
C.（－3，2） D.（－3，－4）
8.若点A的坐标为（a－2，2a＋7），点B的坐标为（1，5），直线AB∥y轴，则a的值是（ B ）
A.1 B.3 C.－1 D.5
9.已知点A（1，2），B（x，y），AB∥x轴，且点B到y轴距离为3，则点B的坐标是 （3，2）或（－3，2） .
10.（教材例题变式）如图，每个小正方形的边长均为1.
（1）写出多边形ABCDEF的各个顶点A，B，C，D，E，F的坐标；
解：（1）A（－4，0），B（－2，3），C（2，3），D（3，0），E（2，－3），F（0，－3）.
（2）点C与点E的坐标有什么关系？
解：（2）点C（2，3）与点E（2，－3）的横坐标相同，纵坐标互为相反数.
（3）直线CE与两坐标轴有怎样的位置关系？
解：（3）观察图形可知，直线CE⊥x轴，CE∥y轴.
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11.如图，老师在黑板上建立平面直角坐标系，并把课本放在如图所示的位置，则一定没有被课本遮住的点是（ C ）
第11题图
A.（1，3） B.（3，1）
C.（－1，－1） D.（－1，2）
12.如图的坐标平面上有原点O与A，B，C，D四点.若有一条直线l通过点（－3，4）且与y轴垂直，则该直线l会通过（ D ）
第12题图
A.A点 B.B点 C.C点 D.D点
13.若点A（x，y）满足x＋y＜0，xy＞0，则点A在第 三 象限.
14.已知点A（a－1，b＋2），B（3，4），C（－1，－2）在同一平面直角坐标系内，且AB所在的直线平行于x轴，AC所在的直线平行于y轴，则a＋b＝ 2 .
15.已知点P（3a＋2，a＋6）.
（1）若点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥x轴，求点P的坐标；
解：（1）因为点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥x轴，
所以a＋6＝5.解得a＝－1.
故3a＋2＝－1，则P（－1，5）.
（2）若点P到x轴和y轴的距离相等，求点P的坐标.
解：（2）因为点P到x轴和y轴的距离相等，
所以3a＋2＝a＋6或3a＋2＋a＋6＝0.
解得a＝2或a＝－2.
当a＝2时，3a＋2＝8，a＋6＝8，则P（8，8）；
当a＝－2时，3a＋2＝－4，a＋6＝4，则P（－4，4）.
综上所述，点P的坐标为（8，8）或（－4，4）.
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16.【应用意识】已知当m，n都是实数，且满足2m＝8＋n时，就称点P（m－1，）为“爱心点”.
（1）判断点A（5，3），B（4，8）中哪个点为“爱心点”，并说明理由；
解：（1）点A（5，3）是“爱心点”.理由如下：
当A（5，3）时，m－1＝5，＝3，
解得m＝6，n＝4，
则2m＝12，8＋n＝12，所以2m＝8＋n，
所以点A（5，3）是“爱心点”；
当B（4，8）时，m－1＝4，＝8，
解得m＝5，n＝14，
所以2m＝10，8＋n＝22，所以2m≠8＋n，
所以点B不是“爱心点”.
（2）若点M（a，2a－1）是“爱心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由.
解：（2）点M在第三象限.理由如下：
因为点M（a，2a－1）是“爱心点”，
所以m－1＝a，＝2a－1，
所以m＝a＋1，n＝4a－4，代入2m＝8＋n，得
2a＋2＝8＋4a－4，
所以a＝－1，2a－1＝－3，
所以M（－1，－3），即点M在第三象限.
第3课时 建立适当的平面直角坐标系描述点的坐标
@基础分点训练
知识点1 建立合适的平面直角坐标系求已知点的坐标
1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则应以点 C 为原点， BC所在直线 为x轴， AC所在直线 为y轴，建立平面直角坐标系较简明，此时A，B，C三点的坐标依次为 （0，3），（4，0），（0，0） .
2.【开放性问题】如图，网格中每个小正方形的边长都是1，依次回答下列问题：
（1）任选一点作为原点，建立平面直角坐标系；
（2）写出点A，B，C，D，E的坐标.
解：（1）如图所示.
（2）A（0，2），B（1，0），C（3，0），D（4，2），E（3，3）.（答案不唯一）
3.如图，正方形ABCD的边长为6.
（1）如果以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，那么y轴是哪条直线？
（2）在（1）的基础上，写出正方形的顶点A，B，C，D的坐标.
解：（1）y轴是AD所在直线.
（2）A（0，0），B（6，0），C（6，6），D（0，6）.
知识点2 由已知点的坐标求其他点的坐标
4.如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（－1，－2），“马”位于点（2，－2），则“兵”位于点（ D ）
第4题图
A.（－1，1） B.（－2，1） C.（1，－2） D.（－3，1）
5.（贵州中考）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是（－2，7），则龙洞堡机场的坐标是 （9，－4） .
第5题图
6.有一张图纸被污染了，上面只有如图所示的两个标志点A（－2，1），B（－3，－4）可识别.请根据以上信息解答下列问题：
（1）在图中画出平面直角坐标系，并标出主要建筑C（3，2）的位置；
（2）标志点A与主要建筑C的图上距离为多少？
解：（1）如图所示.
（2）由勾股定理，得
AC＝＝.
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7.（教材习题变式）如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（－3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是（ C ）
第7题图
A.（2，－3） B.（2，3）
C.（3，2） D.（3，－2）
8.如图，在长方形ABCD中，A，C两点的坐标分别为（－5，1），（0，4），则点的D坐标是 （－5，4） .
第8题图
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，直线AB∥x轴，且A，B两点到y轴的距离相等.
（1）若A（1，3），写出点B的坐标并在平面直角坐标系中标出A，B两点；
解：（1）B（－1，3），A，B两点的位置如图所示.
（2）若A（a，b），连接AO，AB，BO，设△AOB的面积为a2，求点B的坐标.（用含a的代数式表示）
解：（2）如图：
设AB交y轴于点P.
由题可知AB⊥y轴，且AP＝BP.
因为A（a，b）在第一象限，所以a＞0，且b＞0.
所以AP＝a，OP＝b.所以AB＝2a.
所以S△AOB＝AB·OP＝ab.
又因为S△AOB＝a2，所以ab＝a2，所以a＝b，
所以A（a，a）.
所以B（－a，a）.
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10.五子连珠棋和象棋，围棋一样，深受广大棋友的喜爱，其规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向（横向，竖向或者是斜着的方向）上连成五子者为胜，如图是两个五子棋爱好者甲和乙的对弈图，甲执黑子先行，乙执白子后走.若白①的位置是（0，3），白②的位置是（3，1）.
（1）请根据题意，画出平面直角坐标系xOy；
（2）若甲的下一步落子可以在某个方向上连成四子，请写出符合题意的其中两个落子处的坐标.
解：（1）如图所示.
（2）若甲的下一步落子可以在某个方向上连成四子，则符合题意的落子处的坐标可以为（6，2）或（5，4）或（4，4）.
故答案为：（5，4）或（4，4）（答案不唯一）.
