2 平方根与立方根
第1课时 算术平方根
@基础分点训练
知识点1 算术平方根的概念
1.（攀枝花中考）2的算术平方根是（ ）
A.2 B.±2 C. D.±
2.“的算术平方根是”的数学表达式是（ ）
A.±＝± B.＝± C.＝ D.±＝
3.的算术平方根是 .
4.求下列各数的算术平方根：
（1）64；
（2）0.25；
（3）.
知识点2 算术平方根的应用
5.如果一个圆的面积是81π，那么这个圆的半径是（ ）
A.81 B.9π C.9π D.9
6.（教材随堂练习变式）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，则BC＝ .
7.俗话说，登高望远.从理论上说，当人站在距地面h km的高处时，能看到的最远距离约为d＝112× km.某人在距地面0.09 km的观光厅可看到的最远距离为多少？
@中档提分训练
8.若一个数的算术平方根是它本身，则这个数是（ ）
A.－1，0或1 B.1 C.－1或1 D.0或1
9.有一个数值转换器，程序如图所示.当输入的数x为81时，输出的数y为（ ）
A.9 B.3 C. D.±
10.169的算术平方根是12a＋2，则a＝ .
11.如表所示，a的小数点的位置移动和它的算术平方根的小数点的位置移动符合一定的规律.若＝180，且＝1.8，则a的值为 .
a … 0.000 001 0.01 1 100 10 000 1 000 000 …
… 0.001 0.1 1 10 100 1 000 …
12.已知＝3，＝4，求a－b的值.
第2课时 平方根
@基础分点训练
知识点1 平方根的概念与开平方运算
1.“81的平方根是±9”的数学表达式是（ ）
A.＝9 B.＝±9
C.±＝±9 D.±＝9
2.平方根等于本身的数是 .
3.若m2＝9，则m＝ .
4.（教材例题变式）求下列各数的平方根：
（1）1；
（2）0.025 6；
（3）；
（4）1；
（5）（－4）2；
（6）.
知识点2 与（）2的性质
5.下列四个等式：①＝4；②（－）2＝16；③－（）2＝－4；④＝－4.其中正确的有 .（填序号）
6.求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）（）2.
@中档提分训练
7.若a2＝4，b2＝9，且ab＞0，则a－b＝（ ）
A.±5 B.±1 C.5 D.－1
8.下列判断正确的是（ ）
A.若＝，则a＝b
B.若｜a｜＝（）2，则a＝b
C.若a＞b，则a2＞b2
D.若（）2＝（）2，则a＝b
9.已知｜b－4｜＋（a－1）2＝0，则的平方根是 .
10.若一个正数的两个平方根分别是5－a和2a－1，则这个正数是 .
11.（教材习题变式）求满足下列各式的未知数x：
（1）12x2＝36；
（2）16（x－3）2＝25.
12.【数据分析】（1）已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的平方根是±4，求a＋2b的平方根；
（2）若2a－4与3a＋1是同一个正数的平方根，求a的值.
第3课时 立方根
@基础分点训练
知识点1 立方根的概念与开立方运算
1.－8的立方根为（ ）
A.－2 B.2 C.±2 D.±4
2.（易错题）下列说法中，不正确的是（ ）
A.正数的立方根是正数
B.－0.001的立方根是－0.1
C.负数和0都有立方根
D.±7是343的立方根
3.若4a＋17的算术平方根是7，则a的立方根是 .
4.求下列各数的立方根：
（1）－512；
（2）0.008；
（3）－.
知识点2 与（）3的性质
5.芳芳在练习本上做的下列四道题中，正确的是（ ）
A.＝1 B.＝
C.＝－10 D.－＝－3
6.（教材随堂练习变式）求下列各式的值：
（1）＝ ；
（2）（）3＝ ；
（3）＝ ；
（4）（）3＝ .
@中档提分训练
7.（易错题）（济宁中考）下列计算正确的是（ ）
A.＝－3 B.＝
C.＝±6 D.－＝－0.6
8.8是a的一个平方根，则＝ .
9.正数a的两个平方根是2b－1和b＋4，则a＋b的立方根为 .
10.一个正方体的体积是125 cm3，现将它锯成8块同样大小的正方体，则每个小正方体的棱长为 cm.
11.对于结论“当a＋b＝0时，a3＋b3＝0也成立”.若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出结论“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”.
（1）举一个具体的例子进行验证；
（2）若和互为相反数，且x－3的平方根是它本身，求x＋y的立方根.
第4课时 估算 用计算器开方
@基础分点训练
知识点1 估算一个无理数的近似值
1.【一题多变】估计的值在（ ）
A.3和4之间 B.4和5之间
C.5和6之间 D.6和7之间
[变式1]估计－2的值在（ ）
A.4到5之间 B.3到4之间
C.2到3之间 D.1到2之间
[变式2]满足－＜x＜的整数x的个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
2.【开放性问题】请写出一个小于的正整数： .
知识点2 用估算法比较数的大小
3.下列各数中，比3大比4小的无理数是（ ）
A.3.14 B. C. D.
4.（教材习题变式）通过估算，比较下面各组数的大小（填“＞”“＜”或“＝”）：
（1） 2； （2） 2；
（3） 1； （4） 1.
知识点3 用计算器进行开方运算
5.（教材习题变式）利用计算器求下列各式的值（结果精确到0.01）：
（1）≈ ；
（2）≈ ；
（3）－3.142≈ .
6.（教材习题变式）利用计算器，比较下列各组数的大小（填“＞”“＜”或“＝”）：
（1） ；
（2）－ 0；
（3）＋ .
@中档提分训练
7.若a＝，b＝，c＝2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A.b＜c＜a B.b＜a＜c C.a＜c＜b D.a＜b＜c
8.满足条件＜x＜的整数x的值是 .
9.若利用计算器求得≈2.573，≈8.136，则根据此值估计6 619的算术平方根是 .
10.阅读下面材料，然后回答问题：
因为＜＜，即2＜＜3，
所以1＜－1＜2.
所以－1的整数部分为 1.
所以－1的小数部分为（－1）－1＝－2.
（1）填空：＋2的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式（－a）＋（b＋4）的值.2 平方根与立方根
第1课时 算术平方根
@基础分点训练
知识点1 算术平方根的概念
1.（攀枝花中考）2的算术平方根是（ C ）
A.2 B.±2 C. D.±
2.“的算术平方根是”的数学表达式是（ C ）
A.±＝± B.＝± C.＝ D.±＝
3.的算术平方根是 .
4.求下列各数的算术平方根：
（1）64；
解：（1）因为82＝64，所以64的算术平方根是8，
即＝8.
（2）0.25；
解：（2）因为0.52＝0.25，所以0.25的算术平方根是0.5，
即＝0.5.
（3）.
解：（3）因为（）2＝，所以的算术平方根是，
即＝.
知识点2 算术平方根的应用
5.如果一个圆的面积是81π，那么这个圆的半径是（ D ）
A.81 B.9π C.9π D.9
6.（教材随堂练习变式）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，则BC＝ .
7.俗话说，登高望远.从理论上说，当人站在距地面h km的高处时，能看到的最远距离约为d＝112× km.某人在距地面0.09 km的观光厅可看到的最远距离为多少？
解：将h＝0.09代入公式d＝112×，得
d＝112×0.3＝33.6（km），
所以该人在距地面0.09 km的观光厅可看到的最远距离为33.6 km.
@中档提分训练
8.若一个数的算术平方根是它本身，则这个数是（ D ）
A.－1，0或1 B.1 C.－1或1 D.0或1
9.有一个数值转换器，程序如图所示.当输入的数x为81时，输出的数y为（ C ）
A.9 B.3 C. D.±
10.169的算术平方根是12a＋2，则a＝ .
11.如表所示，a的小数点的位置移动和它的算术平方根的小数点的位置移动符合一定的规律.若＝180，且＝1.8，则a的值为 32 400 .
a … 0.000 001 0.01 1 100 10 000 1 000 000 …
… 0.001 0.1 1 10 100 1 000 …
12.已知＝3，＝4，求a－b的值.
解：因为＝3，所以a＝9.
因为＝4，所以4a－2b＝16.
把a＝9代入，得36－2b＝16，解得b＝10.
所以a－b＝9－10＝－1.
第2课时 平方根
@基础分点训练
知识点1 平方根的概念与开平方运算
1.“81的平方根是±9”的数学表达式是（ C ）
A.＝9 B.＝±9
C.±＝±9 D.±＝9
2.平方根等于本身的数是 0 .
3.若m2＝9，则m＝ ±3 .
4.（教材例题变式）求下列各数的平方根：
（1）1；
（2）0.025 6；
（3）；
（4）1；
（5）（－4）2；
（6）.
解：（1）因为（±1）2＝1，
所以1的平方根是±1，即±＝±1.
（2）因为（±0.16）2＝0.025 6，
所以0.025 6的平方根是±0.16，
即±＝±0.16.
（3）因为（±）2＝，
所以的平方根是±，即±＝±.
（4）因为1＝，（±）2＝，
所以1的平方根为±，即±＝±.
（5）因为（±4）2＝（－4）2，所以（－4）2的平方根是±4，即±＝±4.
（6）因为（±3）2＝9＝，所以的平方根是±3.
知识点2 与（）2的性质
5.下列四个等式：①＝4；②（－）2＝16；③－（）2＝－4；④＝－4.其中正确的有 ①③ .（填序号）
6.求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）（）2.
解：（1）3 （2） （3）0.01
@中档提分训练
7.若a2＝4，b2＝9，且ab＞0，则a－b＝（ B ）
A.±5 B.±1 C.5 D.－1
8.下列判断正确的是（ D ）
A.若＝，则a＝b
B.若｜a｜＝（）2，则a＝b
C.若a＞b，则a2＞b2
D.若（）2＝（）2，则a＝b
9.已知｜b－4｜＋（a－1）2＝0，则的平方根是 ± .
10.若一个正数的两个平方根分别是5－a和2a－1，则这个正数是 81 .
11.（教材习题变式）求满足下列各式的未知数x：
（1）12x2＝36；
（2）16（x－3）2＝25.
解：（1）由12x2＝36，得x2＝3，所以x＝±.
（2）由16（x－3）2＝25，得（x－3）2＝，
即x－3＝±，所以x＝或.
12.【数据分析】（1）已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的平方根是±4，求a＋2b的平方根；
解：（1）由题意，得2a－1＝9，3a＋b－1＝16，
所以a＝5，b＝2.所以a＋2b＝5＋4＝9.
因此a＋2b的平方根为±3.
（2）若2a－4与3a＋1是同一个正数的平方根，求a的值.
解：（2）因为2a－4与3a＋1是同一个正数的平方根，
所以2a－4＋3a＋1＝0或2a－4＝3a＋1，
解得a＝或－5.
第3课时 立方根
@基础分点训练
知识点1 立方根的概念与开立方运算
1.－8的立方根为（ A ）
A.－2 B.2 C.±2 D.±4
2.（易错题）下列说法中，不正确的是（ D ）
A.正数的立方根是正数
B.－0.001的立方根是－0.1
C.负数和0都有立方根
D.±7是343的立方根
3.若4a＋17的算术平方根是7，则a的立方根是 2 .
4.求下列各数的立方根：
（1）－512；
（2）0.008；
（3）－.
解：（1）因为（－8）3＝－512，
所以－512的立方根是－8，即＝－8.
（2）因为（0.2）3＝0.008，
所以0.008的立方根是0.2，即＝0.2.
（3）因为（－）3＝－，
所以－的立方根是－，即＝－.
知识点2 与（）3的性质
5.芳芳在练习本上做的下列四道题中，正确的是（ C ）
A.＝1 B.＝
C.＝－10 D.－＝－3
6.（教材随堂练习变式）求下列各式的值：
（1）＝ 5 ；
（2）（）3＝ 0.027 ；
（3）＝ －2 ；
（4）（）3＝ a .
@中档提分训练
7.（易错题）（济宁中考）下列计算正确的是（ D ）
A.＝－3 B.＝
C.＝±6 D.－＝－0.6
8.8是a的一个平方根，则＝ 4 .
9.正数a的两个平方根是2b－1和b＋4，则a＋b的立方根为 2 .
10.一个正方体的体积是125 cm3，现将它锯成8块同样大小的正方体，则每个小正方体的棱长为 cm.
11.对于结论“当a＋b＝0时，a3＋b3＝0也成立”.若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出结论“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”.
（1）举一个具体的例子进行验证；
（2）若和互为相反数，且x－3的平方根是它本身，求x＋y的立方根.
解：（1）例如：＋＝2＋（－2）＝0，
则（）3＋（）3＝8＋（－8）＝0，
即8和－8互为相反数.（答案不唯一）
（2）因为和互为相反数，
所以＋＝0.
所以7－y＋2y－5＝0，解得y＝－2.
因为x－3的平方根是它本身，
所以x－3＝0，解得x＝3.
所以x＋y＝3＋（－2）＝1.
所以x＋y的立方根是1.
第4课时 估算 用计算器开方
@基础分点训练
知识点1 估算一个无理数的近似值
1.【一题多变】估计的值在（ C ）
A.3和4之间 B.4和5之间
C.5和6之间 D.6和7之间
[变式1]估计－2的值在（ C ）
A.4到5之间 B.3到4之间
C.2到3之间 D.1到2之间
[变式2]满足－＜x＜的整数x的个数为（ C ）
A.2 B.3 C.4 D.5
2.【开放性问题】请写出一个小于的正整数： 2（答案不唯一） .
知识点2 用估算法比较数的大小
3.下列各数中，比3大比4小的无理数是（ B ）
A.3.14 B. C. D.
4.（教材习题变式）通过估算，比较下面各组数的大小（填“＞”“＜”或“＝”）：
（1） ＜ 2； （2） ＞ 2；
（3） ＜ 1； （4） ＜ 1.
知识点3 用计算器进行开方运算
5.（教材习题变式）利用计算器求下列各式的值（结果精确到0.01）：
（1）≈ 44.98 ；
（2）≈ 15.63 ；
（3）－3.142≈ －2.56 .
6.（教材习题变式）利用计算器，比较下列各组数的大小（填“＞”“＜”或“＝”）：
（1） ＜ ；
（2）－ ＞ 0；
（3）＋ ＜ .
@中档提分训练
7.若a＝，b＝，c＝2，则a，b，c的大小关系为（ C ）
A.b＜c＜a B.b＜a＜c C.a＜c＜b D.a＜b＜c
8.满足条件＜x＜的整数x的值是 3，4 .
9.若利用计算器求得≈2.573，≈8.136，则根据此值估计6 619的算术平方根是 81.36 .
10.阅读下面材料，然后回答问题：
因为＜＜，即2＜＜3，
所以1＜－1＜2.
所以－1的整数部分为 1.
所以－1的小数部分为（－1）－1＝－2.
（1）填空：＋2的整数部分是 4 ，小数部分是 －2 ；
（2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式（－a）＋（b＋4）的值.
解：（2）因为＜＜，所以4＜＜5.
所以的整数部分是4，小数部分是－4.
所以a＝4，b＝－4.
所以（－a）＋（b＋4）＝－4＋（－4＋4）＝－4＋.
