1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理
@基础分点训练
知识点1 认识勾股定理
1.在一个直角三角形中，如果一条直角边长是1，另一条直角边长是2，那么斜边长的平方是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
2.下列说法正确的是（ ）
A.若a，b，c是△ABC的三边长，则a2＋b2＝c2
B.若a，b，c是Rt△ABC的三边长，则a2＋b2＝c2
C.若a，b，c是Rt△ABC的三边长，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2
D.若a，b，c是Rt△ABC的三边长，∠A＝90°，则c2＋b2＝a2
3.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.
（1）若a＝3，b＝4，则c＝ ；
（2）若a＝40，b＝9，则c＝ ；
（3）若a＝6，c＝10，则b＝ ；
（4）若c＝25，b＝15，则a＝ .
知识点2 勾股定理的简单应用
4.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ）
第4题图
A.10 B.136 C.64 D.不能确定
5.如图，做一个长28 cm、宽21 cm的长方形木框，需在相对角的顶点间钉一根木条用来加固，则木条的长度最短为 cm.
第5题图
@中档提分训练
6.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DBC＝90°， AD＝3， AB＝4， BC＝12，则CD的长为（ ）
第6题图
A.5 B.13 C.17 D.18
7.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4.若S1＝48，S2＋S3＝135，则S4＝（ ）
第7题图
A.183 B.87 C.119 D.81
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，CD⊥AB于点D.
（1）求BC的长；
（2）求CD的长.
第2课时 勾股定理的验证及简单应用
@基础分点训练
知识点1 验证勾股定理
1.用4个如图1所示的形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图2所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理.
（1）图2中大正方形的边长为 ，里面小正方形的边长为 ；
（2）大正方形面积可以表示为 ，也可以表示为 ；
（3）对比这两种表示方法，可得出 整理，得 .
知识点2 勾股定理的简单应用
2.如图，阴影部分的面积是（ ）
第2题图
A.9 cm2 B.24 cm2 C.45 cm2 D.51 cm2
3.如图，一棵大树在离地面5 m高的B处断裂，断裂后树顶A与树底C的距离为12 m，则大树断裂之前的高度为（ ）
第3题图
A.17 m B.18 m C.21 m D.24 m
4.如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行 m.
5.如图，在离水面高度为8 m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17 m，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10 m，那么船向岸边移动了 m.
6.【真实问题情境】（教材例题变式）某市规定：小汽车在该市城市街道上行驶，速度不得超过60 km/h.如图，一辆小汽车在该市一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30 m的C处，过了2 s后到达B处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为 50 m，请问这辆小汽车超速了吗？为什么？若超速，则超速了多少？
@中档提分训练
7.如图，在高为3 m，斜坡长为5 m的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少为（ ）
第7题图
A.5 m B.6 m C.7 m D.8 m
8.如图，将一根20 cm长的细木棒放入长、宽、高分别为4 cm，3 cm和12 cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒子外面的部分最短为 cm.
第8题图
9.某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图1.如图2，已知云梯最多只能伸长到15 m（即AB＝CD＝15 m），消防车高3 m（即OE＝3 m）.救人时云梯伸长至最长，在完成从12 m（即BE＝12 m）高的B处救人后，还要从15 m（即DE＝15 m）高的D处救人.求这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC.（AC⊥DE于点O）
@拓展素养训练
10.用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的大正方形，中间也是一个正方形.它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c.
（1）结合图1，试说明：a2＋b2＝c2；
（2）如图2，将这四个全等的直角三角形无缝隙、无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH.若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积；
（3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3＝18，则S2＝ .1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理
@基础分点训练
知识点1 认识勾股定理
1.在一个直角三角形中，如果一条直角边长是1，另一条直角边长是2，那么斜边长的平方是（ D ）
A.2 B.3 C.4 D.5
2.下列说法正确的是（ D ）
A.若a，b，c是△ABC的三边长，则a2＋b2＝c2
B.若a，b，c是Rt△ABC的三边长，则a2＋b2＝c2
C.若a，b，c是Rt△ABC的三边长，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2
D.若a，b，c是Rt△ABC的三边长，∠A＝90°，则c2＋b2＝a2
3.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.
（1）若a＝3，b＝4，则c＝ 5 ；
（2）若a＝40，b＝9，则c＝ 41 ；
（3）若a＝6，c＝10，则b＝ 8 ；
（4）若c＝25，b＝15，则a＝ 20 .
知识点2 勾股定理的简单应用
4.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ C ）
第4题图
A.10 B.136 C.64 D.不能确定
5.如图，做一个长28 cm、宽21 cm的长方形木框，需在相对角的顶点间钉一根木条用来加固，则木条的长度最短为 35 cm.
第5题图
@中档提分训练
6.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DBC＝90°， AD＝3， AB＝4， BC＝12，则CD的长为（ B ）
第6题图
A.5 B.13 C.17 D.18
7.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4.若S1＝48，S2＋S3＝135，则S4＝（ B ）
第7题图
A.183 B.87 C.119 D.81
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，CD⊥AB于点D.
（1）求BC的长；
（2）求CD的长.
解：（1）因为∠ACB＝90°，
AC＝16，AB＝20，
由勾股定理，得
BC2＋AC2＝AB2，
所以BC＝12.
（2）由三角形面积公式，得
S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
即×16×12＝×CD×20，
所以CD＝9.6.
第2课时 勾股定理的验证及简单应用
@基础分点训练
知识点1 验证勾股定理
1.用4个如图1所示的形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图2所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理.
（1）图2中大正方形的边长为 a＋b ，里面小正方形的边长为 c ；
（2）大正方形面积可以表示为 （a＋b）2 ，也可以表示为 4×ab＋c2 ；
（3）对比这两种表示方法，可得出 （a＋b）2＝4×ab＋c2 整理，得 a2＋b2＝c2 .
知识点2 勾股定理的简单应用
2.如图，阴影部分的面积是（ C ）
第2题图
A.9 cm2 B.24 cm2 C.45 cm2 D.51 cm2
3.如图，一棵大树在离地面5 m高的B处断裂，断裂后树顶A与树底C的距离为12 m，则大树断裂之前的高度为（ B ）
第3题图
A.17 m B.18 m C.21 m D.24 m
4.如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行 10 m.
5.如图，在离水面高度为8 m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17 m，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10 m，那么船向岸边移动了 9 m.
6.【真实问题情境】（教材例题变式）某市规定：小汽车在该市城市街道上行驶，速度不得超过60 km/h.如图，一辆小汽车在该市一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30 m的C处，过了2 s后到达B处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为 50 m，请问这辆小汽车超速了吗？为什么？若超速，则超速了多少？
解：根据题意，得AC＝30 m，AB＝50 m，∠C＝90°.
在Rt△ACB中，
根据勾股定理，得
BC2＝AB2－AC2＝502－302＝402.
所以BC＝40 m.
所以小汽车行驶的速度为
＝20（m/s）＝72（km/h）.
72－60＝12（km/h）.
答：这辆小汽车超速了，超速了12 km/h.
@中档提分训练
7.如图，在高为3 m，斜坡长为5 m的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少为（ C ）
第7题图
A.5 m B.6 m C.7 m D.8 m
8.如图，将一根20 cm长的细木棒放入长、宽、高分别为4 cm，3 cm和12 cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒子外面的部分最短为 7 cm.
第8题图
9.某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图1.如图2，已知云梯最多只能伸长到15 m（即AB＝CD＝15 m），消防车高3 m（即OE＝3 m）.救人时云梯伸长至最长，在完成从12 m（即BE＝12 m）高的B处救人后，还要从15 m（即DE＝15 m）高的D处救人.求这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC.（AC⊥DE于点O）
解：在Rt△ABO中，因为∠AOB＝90°，AB＝15 m，OB＝12－3＝9（m），
所以AO2＝AB2－OB2＝152－92＝144，
所以OA＝12 m.
在Rt△COD中，因为∠COD＝90°，CD＝15 m，
OD＝15－3＝12（m），
所以OC2＝CD2－OD2＝152－122＝81，
所以OC＝9 m.
所以AC＝OA－OC＝12－9＝3（m）.
因此，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为3 m.
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10.用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的大正方形，中间也是一个正方形.它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c.
（1）结合图1，试说明：a2＋b2＝c2；
（2）如图2，将这四个全等的直角三角形无缝隙、无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH.若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积；
（3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3＝18，则S2＝ 6 .
解：（1）S小正方形＝（b－a）2＝b2－2ab＋a2，
S小正方形＝c2－4×ab＝c2－2ab，
即b2－2ab＋a2＝c2－2ab.
所以a2＋b2＝c2.
（2）由题意，得AB＋BC＝24÷4＝6.
设BC＝x，则AB＝6－x.
在Rt△AOB中，OB＝OH＝3，OA＝3＋x，
OB2＋OA2＝AB2，
即32＋（3＋x）2＝（6－x）2，解得x＝1.
因此S＝×3×（3＋1）×4＝24.
