第13章三角形单元训练（含解析）-数学八年级上册人教版（2024）

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第13章三角形课时训练-数学八年级上册人教版（2024）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性
2．如图所示，小华测得一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，则该圆规不可能画出圆的半径为（ ）

A． B． C． D．
3．如图，在中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图， 在中， D， E分别是的中点． 若的面积是1，则的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（ ）
A．1 B．2 C．6 D．9
7．已知，，点是上一点，要求用尺规在边上确定一点，使得．小明同学的作法如图所示，其说明直线是垂线的推理过程中，没有用到的依据是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．等量代换
C．两个锐角互余的三角形是直角三角形
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
8．如图所示，一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
10．如图，在中，，于点，于点，则下列各角中，与一定相等的是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是 °．
12．已知三角形三边长分别为2，9，，则的取值范围 ．
13．木兰溪大桥全长，由我国著名桥梁专家、莆籍院士林元培设计，以莆田特色的“壶山兰水”为主题，将莆田人文景观与自然环境结合，体现了莆田地域文化和时代特征．如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，运用的数学原理是三角形的
14．如图，在中，的平分线与的平分线交于点，与的外角的平分线交于点，则 ．
15．如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点.若，，则的长为_____．
16．如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ．
17．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，则的周长为 ．
18．如图，在矩形中，，，点是边上的动点，点是点关于直线的对称点，连接，则的最小值是 ．
三、解答题
19．如图，在中，直角顶点在直线上，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、求证：．
20．如图，在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，，求证：．
21．共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，已知与平行，求的度数．
22．如图，在中，平分交于点D． ，，求的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：在中，
（ ）,
又∵，（已知），
．
平分（已知），
（角平分线定义）．
是的外角（已知），
+ （ ）,
．
23．如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
(1)若，则的度数是 度；
(2)若，的周长是．
①求的长度；
②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值．
《第13章三角形课时训练-数学八年级上册人教版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C C B B D C B B
1．D
【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形具有稳定性作答即可．
【详解】解：吸管一端顶住瓶壁，可以构造一个三角形，
∴这其中用到的数学原理是三角形具有稳定性．
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：由一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，不妨设，，如图所示：

那么，即．
由题意可知，圆规两脚间的距离就是所画圆的半径．
故选：A．
3．C
【分析】本题考查了直角三角形的定义，垂线的定义，平行线的性质，根据得、是直角三角形，再根据，得，即可得、是直角三角形，进而可得结论．
【详解】解：∵，
∴是直角三角形，，
∵于点，
∴、是直角三角形，
∵，，
∴，
∴、是直角三角形，
综上，直角三角形有、、、、，一共5个，
故选：C．
4．C
【分析】本题考查邻补角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
先根据邻补角性质求得，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
5．B
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形中线平分三角形面积，据此可求出的面积，进而可得的面积．
【详解】解：∵E为的中点，
∴，
∵D为的中点，
∴，
故选；B．
6．B
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．根据三角形的三边关系可得第三边长，再解可得第三边的范围，然后可得答案．
【详解】解：设第三边长为，由题意得：
，
解得：．
故选：B．
7．D
【分析】本题主要考查了等角的作图，涉及了直角三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形的性质与判定是解题的关键．
根据直角三角形的性质与判定推出，作图即可．
【详解】解：∵，
∴（直角三角形的两个锐角互余），
若，
∴（等量代换），
∴，（两个锐角互余的三角形是直角三角形），
∴，
故选：D．
8．C
【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理得到，求出，再根据平行线的性质得到结论即可．
【详解】解：如图，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，
，
，
摩擦力的方向与斜面平行，
，
．
故选：C．
9．B
【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是是解题关键．根据折叠得出，，再由三角形内角和和平角定义求出．根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得由此即可得答案．
【详解】解：由折叠可知：，，
∴，．
∴，
又∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
10．B
【分析】本题主要考查垂直的定义，角的和差，熟练掌握垂直的定义是解题的关键．根据，即可得到结论．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选B．
11．55
【分析】本题主要考查了平行线的性质，由三角尺可知，由平角可求，再根据平行线的性质可知．
【详解】解：如图：
由的三角尺可知，
∴．
由平行线的性质可知．
故答案为：55．
12．
【分析】根据三角形存在的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，解答即可．
本题考查了三角形的存在，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键．
【详解】解：∵三角形三边长分别为2，9，，
∴，
故答案为：．
13．稳定性
【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．
根据三角形的稳定性求解即可．
【详解】由题意可知运用的数学原理是三角形的稳定性；
故答案为：稳定性．
14．160
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和以及外角性质，先由三角形内角和得再结合角平分线的性质得，即，因为平分平分，则，即可作答．
【详解】在中，，
平分平分，
，
则，
平分平分，
，
，
故答案为：160．
15．6
【分析】先得到是的垂直平分线，则，结合等腰三角形的性质求出，再运用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，
由题意得，是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
设，
则由勾股定理得：，
∴，
∴，
在，由勾股定理得：，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．根据题意可用判定，即可得，根据三角形的外角即可得．
【详解】解：在和中，
，
，
，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系；利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．本题分两种情况讨论：①腰是底的2倍；②底是腰的2倍，再利用三角形三边关系（三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）进行检验即可得到答案．
【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：
①当腰是底的2倍时，底边为，
∵，
∴可以构成三角形；
②当底是腰的2倍时，底边为，
∵，
∴不能构成三角形．
∴的周长=
故答案为：．
18．2
【分析】本题主要考查了动点最值问题，解题过程涉及到轴对称性质、三角形三边关系、矩形性质、勾股定理等知识点，解决问题的关键是根据三角形的三边关系确定的取值范围．连接，，首先结合矩形的性质以及勾股定理解得的长度，再根据对称性得到，在中根据三角形三边关系可得，所以当三点共线时，最短，然后求解即可．
【详解】解：连接，，如图所示，
∵四边形为矩形，，，
∴，，
∴，
∵点和关于对称，
∴，
在中根据三角形三边关系可得，
∴当三点共线时，最短，
∴．
故答案为：2．
19．见解析
【分析】本题主要考查了余角的性质，直角三角形两锐角互余：根据，可得，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用同角的余角相等即可求证．
【详解】证明：，
，
，
，
，
．
20．证明见解析
【分析】本题考查了垂直的定义，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键．
由，则，再通过等角的余角相等得出．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．
【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形内角和定理，由题意可得，进而根据平行线的性质和三角形内角和定理解答即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵都与地面平行，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与平行，
∴．
22．，三角形的内角和等于，， ，，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
【分析】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质．根据三角形内角和定理求出，由角平分线定义得，由三角形外角的性质可得结论．
【详解】解：在中，
∵（ 三角形的内角和等于），
又∵（已知），
∴ ．
∵平分（已知），
∴（角平分线定义）．
又∵是的外角（已知），
∴（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴．
23．(1)
(2)①；②
【分析】（）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可求解；
（）①根据线段垂直平分线的性质可得，然后求出的周长，再代入数据进行计算即可得解；②当点与重合时，周长的值最小，据此解答即可求解；
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：①∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
∵，的周长是，
∴；
②当点与重合时，周长的值最小，
理由：∵，，
∴与重合时，，此时最小，
∴周长的最小值．
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