3升4经典奥数专题：优化问题-数学三年级下册人教版（含解析）

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3升4经典奥数专题：优化问题-数学三年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．如图是科技馆票价，三年级3位老师带40名学生去参观科技馆，怎样买票比较合算？
票价 成人：15元 学生：6元 团体（10人以上）：8元
2．星星夏令营组织46名同学去公园划船，每条大船租金50元，限乘游客8人；每条小船租金36元，限乘游客6人。怎样租船最划算？至少需要多少钱？
3．三（5）班32名同学乘坐游船，请设计一个你喜欢的租船方案，并算出租金要付多少元？
4．实验小学三（2）班54名学生在2位老师的带领下去公园游玩。你认为怎样买票最合算？说明你的理由。
5．三位教师带50名学生参观植物园，怎样买票最划算？
成人 10元/人
学生 6元/人
团体（10人及以上） 6元/人
6．某游乐场在店庆期间推出三种门票价格方案。6名老师带领50名学生去游玩，他们怎样购票最省钱？最少需要多少钱？
7．三（1）班共有4名老师和48名学生一起去仙桃沔阳小镇公园游玩。怎样买门票最划算？
票价 学生票：12元/人 成人票：25元/人 团体票：限10人以上 （包含10人）使用，15元/人
8．李老师和4位同年级老师一起带40名同学参观动物园，怎么买票划算？
成人票：12元/张 学生票：半价 团体票：7元/张 （10人及以上）
9．大运河文化长廊吸引了许多游客。某小学有4位老师带领34位同学坐船游赏，大船限乘6人，租金50元，小船限乘3人，租金30元。最少要花多少钱租船？
10．学校组织师生参观动物园，五位老师带了42名学生参加。怎样买票更划算？要花多少钱？
售票处 学生票：15元/人 成人票：30元/人 团体票：18元/人 （10人及以上）
11．把一批重16吨的山楂运到附近的罐头厂，有以下3种车型可选。若每辆车都装满，怎么租车最省钱？最少需要多少钱？
载质量/吨 2 4 6
每辆车租金/元 200 300 400
12．某水果批发市场需要运出13吨苹果，有两种卡车可以选择，一种小卡车每辆载重2吨每辆运费为140元，另一种大卡车每辆载重3吨每辆运费为200元。
（1）分别用大小两种卡来运各需要运费多少元？
（2）怎样安排车辆，用的运费最少？
13．7位老师带60名学生参观红色基地。怎样买票最划算？
票价 成人：10元/人 学生：6元/人 团体（10人及以上）：7元
14．王老师和24名同学去划船，小船限坐4人，每条7元；大船限坐5人，每条10元。如果每条船都坐满。
（1）可以怎样租船？
租船方案 大船（5人） 小船（4人） 可坐人数
（2）哪种租船方案最省钱？
15．学校组织46人去游乐园，其中有8名老师。票价如下：学生票28元/张，成人票60元/张；团体票40元/张（10人及以上）；最少要花多少钱买票？
16．学校组织学生去春游，请根据活动安排，解决问题。
（1）本次去春游由16位老师带着12个班的同学前往，平均每班40人。有10辆大客车，每辆客车有48个座位。车上的座位够坐吗？
（2）进入公园需要另外购票，购票方案如下图。由6位老师带领69名学生去公园游玩，怎样买票最省钱？最少需多少元？
学生票：10元/人 成人票：15元/人 团体票：（50人及以上）：11元/人
《3升4经典奥数专题：优化问题-数学三年级下册人教版》参考答案
1．3名老师和7名学生购买团体票，剩下的学生买学生票比较合算
【分析】方案一，3名老师购买成人票，3×15＝45元，求出3名老师购买成人票的钱数，40名学生购买学生票，40×6＝240元，求出40名学生购买学生票的钱数，再把3名老师购买成人票的钱数和40名学生购买学生票的钱数相加，求出3名老师购买成人票和40名学生购买学生票的钱数。方案二，购买团体票，用老师的人数加上学生的人数，求出老师和学生的总人数，再用老师和学生的总人数乘团体票的单价，求出购买团体票的钱数。方案三，3名老师和7名学生购买团体票，即8×（3＋7）＝80元，求出3名老师和7名学生购买团体票的钱数，剩下的学生买学生票，40－7＝33人，33×6＝198元，求出剩下的学生买学生票的钱数，再用3名老师和7名学生购买团体票的钱数加上剩下的学生买学生票的钱数，求出3名老师和7名学生购买团体票和剩下的学生买学生票的钱数，最后把三种方案所用的钱数进行比较，即可求出买票最少花费多少元。
【详解】方案一：
3×15＝45（元）
40×6＝240（元）
45＋240＝285（元）
方案二：
8×（3＋40）
＝8×43
＝344（元）
方案三：
8×（3＋7）
＝8×10
＝80（元）
6×（40－7）
＝6×33
＝198（元）
80＋198＝278（元）
278＜285＜344
答：3名老师和7名学生购买团体票，剩下的学生买学生票比较合算。
2．租2条大船和5条小船；280元
【分析】先分别计算出大船、小船平均每人的钱数，然后进行比较，看哪种船便宜，在设计方案时尽量租便宜的船，而且不留空位时费用最低。
【详解】50÷8＝6（元）……2（元）
36÷6＝6（元）
大船每人6元多，小船每人6元，租小船便宜些。
46÷6＝7（条）……4（人）
7＋1＝8（条）
此时的费用：36×8＝288（元）
6×5＋8×2
＝30＋16
＝46（人）
也可以租5条小船和2条大船，这时费用为：
36×5＋50×2
＝180＋100
＝280（元）
288＞280，租5条小船和2条大船更划算。
答：租5条小船和2条大船最划算，需要280元。
3．租5条大船，1条小船；350元
【分析】由题意可知：设计租船方案时，尽量租大船，用总人数除以大船限乘的人数，根据商和余数确定租船方案，一共需要的钱＝租大船的条数×每条大船的租金＋租小船的条数×每条小船的租金，据此计算。
【详解】32÷6＝5（条）……2（人）
租5条大船，剩下的2人租1条小船
5×60＋1×50
＝300＋50
＝350（元）
答：租5条大船，1条小船。租金350元。
4．买2张成人票，54张学生票
【分析】根据题意可知，买票的方式可以是成人买成人票，儿童买儿童票；或者都买团体票；或者部分买成团体票。分别计算出各自的总价后，进行比较即可。
【详解】买2张成人票，54张学生票：
12×2＋54×6
＝24＋324
＝348（元）
全买团体票：
（54＋2）×8
＝56×8
＝448（元）
买10张团体票，其余买学生票：
10×8＝80（元）
（54－8）×6
＝46×6
＝276（元）
276＋80＝356（元）
348＜356＜448
答：买2张成人票，54张学生票最划算。
5．
买53张团体票
【分析】可以分析不同的方案，看哪种购票最划算。方案一：可以分开购票，3位老师购买成人票，50名学生购买学生票；方案二：师生全部购买团体票，即购买53张团体票；方案三：组合购票，其中三位老师加7名学生购买团体票，余下的学生购买学生票。由于团体票和学生票价格相同，但成人票更贵，因此将老师和学生全部纳入团体票最划算。
【详解】方案一：买3张成人票和50张学生票
费用：3×10＋50×6
＝30＋300
＝330（元）
方案二：买53张团体票
费用：（3＋50）×6
＝53×6
＝318（元）
方案三：买10张团体票和43张学生票
费用：10×6＋43×6
＝60＋258
＝318（元）
318元＝318元＜330元，因此方案二和方案三费用相同且最省。选择操作更简便的方案二，即购买53张团体票。
答：购买53张团体票最划算。
6．6名老师和4名学生买团体票，其他46名学生买儿童票最省钱；
2340元；
【分析】根据题意，成人票每人80元，儿童票每人40元，团体票每人50元，那么尽可能的买儿童票是最省钱的，但是还有6名老师购买成人票或者团体票，即有三种方案。
方案一，6名老师购买成人票，6×80＝480元，求出6名老师购买成人票的钱数，50名学生购买儿童票，50×40＝2000元，求出50名学生购买儿童票的钱数，再把6名老师购买成人票的钱数和50名学生购买儿童票的钱数相加，求出6名老师购买成人票和50名学生购买儿童票的钱数。
方案二，购买团体票，用老师的人数加上学生的人数，求出老师和学生的总人数，再用老师和学生的总人数乘团体票的单价，求出购买团体票的钱数。
方案三，6名老师和4名学生购买团体票，即50×（6＋4）＝500元，求出6名老师和4名学生购买团体票的钱数，剩下的学生买儿童票，50－4＝46人，46×40＝1840元，求出剩下的学生买儿童票的钱数，再用6名老师和4名学生购买团体票的钱数加上剩下的学生买儿童票的钱数，求出6名老师和4名学生购买团体票和剩下的学生买儿童票的钱数。
最后把三种方案所用的钱数进行比较，即可求出买票最少花费多少元。
【详解】方案一：
6×80＝480（元）
40×50＝2000（元）
480＋2000＝2480（元）
方案二：
50＋6＝56（人）
56×50＝2800（元）
方案三：
6＋4＝10（人）
10×50＝500（元）
50－4＝46（人）
46×40＝1840（元）
500＋1840＝2340（元）
2340元＜2480元＜2800元，即第三种方案更省钱。
答：6名老师和4名学生买团体票，剩下46名学生买儿童票最省钱，最少需要2340元。
7．买10张团体票和42张学生票
【分析】方案一：可以让4名老师买成人票，48名学生买学生票；
方案二：也可以全体都买团体票，即买4＋48＝52（张）团体票；
方案三：观察票价可知：团体票价比成人票价便宜，但比学生票价贵，让所有学生买团体票不划算，因此，可以让6名学生和4名老师组成10人，购买团体票，剩下的学生买学生票；
计算时，分别用各种票价乘对应的人数，得到各种票的总钱数，再把各种票的总钱数相加；最后比较几种方案的结果，找到最划算的买票方案。据此解答。
【详解】方案一：买4张成人票和48张学生票
4×25＋48×12
＝100＋576
＝676（元）
方案二：所有人买团体票
4十48＝52（张）
52×15＝780（元）
方案三：
10－4＝6（人）
48－6＝42（人）
买10张团体票和42张学生票
10×15＋42×12
＝150＋504
＝654（元）
654＜676＜780
答：买10张团体票和42张学生票最划算。
8．
5位老师和5名学生买团体票，其余35名学生买学生票合算。
【分析】根据题意，总共有5位老师和40名学生，先用40加上5，求出总人数。需比较不同购票方案的总费用：方案一：为成人票和学生票分开购买；方案二：为全部购买团体票；方案三：为部分人组成团体票，其余买学生票。通过计算发现，将5位老师和5名学生组成10人团体票，剩余35名学生买学生票最划算。以此答题即可。
【详解】根据分析可知：
方案一（分开购票）：
12×5＝60（元）
（12÷2）×40
＝6×40
＝240（元）
60＋240＝300（元）
方案二（全部团体票）：
7×（5＋40）
＝7×45
＝315（元）
方案三（混合购票）：
5位老师和5名学生组成10人团体票：7×10＝70（元）
剩余35名学生买学生票：6×35＝210（元）
总费用：70＋210＝280（元）
比较三种方案：280元＜300元＜315元，因此方案三最划算。
答：5位老师和5名学生买团体票，其余35名学生买学生票合算。
9．
330元
【分析】根据题意，明确总人数为4位老师加34位同学，共38人。用50除以6，30除以3，分别计算出大船、小船的人均费用；优先租费用低的更划算；用总人数除以费用低的船的载人量，求船的条数；如果有余数，就合理安排其它船型；最后用船的条数乘租金，求出总费用；列式计算即可。
【详解】根据分析可知：
34＋4＝38（人）
50÷6＝8（元）2（元）
30÷3＝10（元）
8＜10
优先租大船更划算。
38÷6＝6（条）2（人）
租6条大船，1条小船。
6×50＋1×30
＝300＋30
＝330（元）
答：最少要花330元钱租船。
10．5个老师和5个学生购买团体票，剩下的学生购买学生票最省钱；735元
【分析】一共有三种购票方式，分情况讨论。方案一：老师购买成人票，学生购买学生票；方案二：全部购买团体票；方案三：5个老师和5个学生购买团体票，剩下的学生购买学生票；根据总价＝单价×数量，分别求出每种方案需要花的钱数，最后比价选择最便宜的即可。
【详解】方案一：老师购买成人票，学生购买学生票；
5×30＝150（元）
42×15＝630（元）
150＋630＝780（元）
方案二：全部购买团体票；
（5＋42）×18
＝47×18
＝846（元）
方案三：5个老师和5个学生购买团体票，剩下的学生购买学生票；
42－5＝37
10×18＝180（元）
37×15＝555（元）
180＋555＝735（元）
735＜780＜846
答：5个老师和5个学生购买团体票，剩下的学生购买学生票最省钱，要花735元钱。
11．用载重6吨的车2辆和载重4吨的车1辆最省钱；1100元
【分析】当需要0辆载重6吨的车时，剩余的让另外两种车来运，计算出所有的每辆车都装满的方案；当需要1辆载重6吨的车时，剩余的让另外两种车来运，计算出所有的每辆车都装满的方案；当需要2辆载重6吨的车时，剩余的让另外两种车来运，计算出所有的每辆车都装满的方案；最后计算出各种方案需要的总钱数，然后再比较，选择最便宜的即可。
【详解】4×4＝16（吨）
3×4＋2×2
＝12＋4
＝16（吨）
2×4＋4×2
＝8＋8
＝16（吨）
1×4＋6×2
＝4＋12
＝16（吨）
8×2＝16（吨）
1×6＋2×4＋1×2
＝6＋8＋2
＝14＋2
＝16（吨）
1×6＋1×4＋3×2
＝6＋4＋6
＝10＋6
＝16（吨）
1×6＋5×2
＝6＋10
＝16（吨）
2×6＋1×4
＝12＋4
＝16（吨）
2×6＋2×2
＝12＋4
＝16（吨）
方案一：300×4＝1200（元）
方案一：300×3＋200×2
＝900＋400
＝1300（元）
方案三：300×2＋200×4
＝600＋800
＝1400（元）
方案四：300×1＋200×6
＝300＋1200
＝1500（元）
方案五：200×8＝1600（元）
方案六：1×400＋300×2＋200×1
＝400＋600＋200
＝1000＋200
＝1200（元）
方案七：1×400＋300×1＋200×3
＝400＋300＋600
＝700＋600
＝1300（元）
方案八：1×400＋200×5
＝400＋1000
＝1400（元）
方案九：400×2＋300
＝800＋300
＝1100（元）
方案十：400×2＋200×2
＝800＋400
＝1200（元）
1100＜1200＜1300＜1400＜1500＜1600；
答：用载重6吨的车2辆和载重4吨的车1辆最省钱；最少需要1100元。
【点睛】此题符合题意的方案较多，需要先选定一种车型的辆数后，再分析需要另外两种车型的辆数，必须满足全部载满，列出所有方案后再计算花费的总钱数。
12．（1）只用小卡车需要980元；只有大卡车需要1000元；
（2）用3辆大卡车，2辆小卡车用的运费最少
【分析】（1）首先用总吨数÷每辆卡车载重的吨数分别计算出两种卡车各需要几辆，如果有余数，商加1即为需要的辆数，然后再用大卡车每辆的运费×需要大卡车的辆数，小卡车每辆的运费×需要小卡车的辆数，即可计算出各自需要的总钱数。
（2）首先用每辆车的运费÷载重的吨数计算出一吨的运费，然后再比较出两种卡车哪种更便宜，尽可能多的选择较便宜的，且每辆车都装满时运费最少。
【详解】（1）13÷2＝6（辆）……1（吨）
6＋1＝7（辆）
140×7＝980（元）
13÷3＝4（辆）……1（吨）
4＋1＝5（辆）
5×200＝1000（元）
答：只用小卡车来运需要980元，只用大卡车来运需要1000元。
（2）140÷2＝70（元）
200÷3＝66（元）……2（元）
70＞66……2，大卡车的运费便宜，所以尽可能多的选择大卡车。
13÷3＝4（辆）……1（吨）
此时需要4辆大卡车，剩余1吨用小卡车，但是此时有剩余；
4×200＋140×1
＝800＋140
＝940（元）
13－3×3
＝13－9
＝4（吨）
4÷2＝2（辆）
用3辆大卡车，2辆小卡车运，此时每辆车都装满；
3×200＋2×140
＝600＋280
＝880（元）
880＜940
答：用3辆大卡车，2辆小卡车用的运费最少。
13．买10张团体票和57张学生票。
【分析】方案一，7位老师购买成人票，7×10＝70元，求出7位老师购买成人票的钱数，60名学生购买学生票，60×6＝360元，求出60名学生购买学生票的钱数，再把7位老师购买成人票的钱数和60名学生购买学生票的钱数相加，求出7位老师购买成人票和60名学生购买学生票的钱数。方案二，购买团体票，用老师的人数加上学生的人数，求出老师和学生的总人数，再用老师和学生的总人数乘团体票的单价，求出购买团体票的钱数。方案三，7位老师和3名学生购买团体票，即7×（7＋3）＝70元，求出7位老师和3名学生购买团体票的钱数，剩下的学生买学生票，60－3＝57人，57×6＝342元，求出剩下的学生买学生票的钱数，再用7位老师和3名学生购买团体票的钱数加上剩下的学生买学生票的钱数，求出7位老师和3名学生购买团体票和剩下的学生买学生票的钱数，最后把三种方案所用的钱数进行比较，即可求出怎样买票最划算。
【详解】方案一：7位成人购买成人票，60名学生购买学生票，
7×10＝70（元）
60×6＝360（元）
70＋360＝430（元）
方案二：全部购买团体票
（7＋60）×7
＝67×7
＝469（元）
方案三：购买10张团体票，57名学生买学生票，
7×（7＋3）
＝7×10
＝70（元）
（60－3）×6
＝57×6
＝342（元）
70＋342＝412（元）
469元＞430元＞412元
答：买10张团体票和57张学生票最划算。
14．（1）租5条大船或租1条大船和5条小船；
（2）租1条大船和5条小船
【分析】两种船的载客人数分别为4人和5人，可以只租一种船，也可以同时租两种船，但要每次都坐满。用列表的方法把不同的租船方案一一列举出来，根据总价＝单价×数量，分别求出各个租船方案花费的钱数，再选择最优方案。
【详解】（1）1＋24＝25（人）
租船方案 大船（5人） 小船（4人） 可坐人数
1 5条 0条 25
2 4条 2条 28
3 3条 3条 27
4 2条 4条 26
5 1条 5条 25
6 0条 7条 28
答：每条船都坐满，可以租5条大船或者租1条大船和5条小船。
（2）5×10＝50（元）
5×7＋10
＝35＋10
＝45（元）
45＜50
答：租1条大船和5条小船最省钱，费用是45元。
15．
1408元
【分析】根据题意，买票的方案有三种，第一种方案是成人和学生分别购买各自的票；第二种方案是按团体票购买；第三张方案是购买部分团体票和学生票的组合；我们需要比较三种方案的票价，选择最低的票价方案。
【详解】学生人数：（人）
方案一：成人和学生分别购买各自的票；
（元）
方案二：按团体票购买；
（元）
方案三：8位老师和2位学生合起来购买团体票，剩下的36位学生购买学生票；
（人）
（元）
1408＜1544＜1840
答：8位老师和2位学生合起来购买团体票，剩下的36位学生购买学生票买票合算，最少要花1408元。
16．
（1）不够
（2）买6张成人票和69张学生票，最少需780元
【分析】（1）先计算总人数：学生人数为人，加上16位老师，总人数为496人。座位总数为个，比较总人数与座位数即可得出结论。
（2）总人数为人，若全部买团体票需元；若分开买，老师买成人票，学生买学生票，总费用为元；其他组合方式（如部分团体票＋学生票）费用更高，因此分开买最省钱。
【详解】（1） 总人数：
（人）
座位总数：（个）
答：车上的座位不够坐。
（2）总人数：（人）
方案一：全部买团体票费用：（元）
方案二：分开购票
成人票费用：（元）
学生票费用：（元）
总费用：（元）
其他组合方案（如50人团体票＋25人学生票）：
团体票费用：（元）
剩余学生票费用：（元）
总费用：（元）
答：买6张成人票和69张学生票最省钱，最少需780元。
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