重点专项训练：圆的对称性（含解析）-数学九年级上册苏科版

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重点专项训练：圆的对称性-数学九年级上册苏科版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的半径为，弦，，则和的距离是（ ）
A． B． C．或 D．
2．杭温高铁的开通，进一步完善了区域铁路网布局，便利沿线人民群众出行，带动旅游资源开发，有力地服务长三角一体化高质量发展．如图是其中一个隧道的横截面示意图，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，若是弦的中点，经过圆心交优弧于点，且，则的半径为（　）
A． B． C． D．
3．已知为的直径，弦于点E，，，则的直径为（　　）
A．8 B．10 C．16 D．20
4．如图，弦垂直于的直径，垂足为H，且，则的长是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．6
5．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，桨轮船的轮子半径为，则轮子的浸水深度为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，圆弧形石拱桥的桥顶到水面的距离为 ，桥拱半径OC为 ，则水面宽AB为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．的半径是13，弦，，则与的距离是 ．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则弧所对的圆心角度数为 ．
9．如图，在中，弦，O到的距离，则的半径为 ．
10．如图，是的直径，点、在上，且，垂足为．若，，则 ．

11．如图，的半径为3，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长是 ．
12．如图，是的直径，弦于点E，若，连结，则的长为 ．
13．传统的七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的，嘉琪同学用边长为的正方形纸板做出如图1所示的七巧板，拼接成小鱼图案（外轮廓是轴对称图形）并把图案放到圆中，如图2所示，三点在圆上，圆的半径是 ．
14．圆底烧瓶是化学实验中常用的反应容器．图1是一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），图2是它的侧面示意图．若烧瓶中液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为 ；
三、解答题
15．如图，有一座石拱桥的桥拱是以为圆心，为半径的一段圆弧．请你用个尺规作图画出弧的中点．（保留作图痕迹，不写作法）
16．如图， 为的直径，弦于E，已知，，求的直径
17．如图，已知扇形．
(1)请用尺规作图，在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接，若，求的面积．
18．如图1，在中，直径垂直弦于点G，，连接交于点F．
(1)若，，求的长；
(2)连接，如图2，若，求的度数．
19．已知，，，都是上的点，请仅用无刻度的直尺完成画图．
(1)在图中，是的直径，平行四边形的顶点在上，画出弧的中点；
(2)在图中，是的直径，平行四边形的顶点，分别在，上，画出弧的中点．
20．如图，内接于，，请仅用无刻度直尺，分别在下列图中画出的角平分线．（保留画图痕迹）
(1)如图1，点是弧的中点；
(2)如图2，点是弦的中点．
《重点专项训练：圆的对称性-数学九年级上册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C A D C A B
1．C
【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，因为位置不明确，所以分在圆心的同一侧和圆心两侧两种情况讨论．
【详解】解：①在圆心的同侧，如图①，连接，过O作的垂线交于E、F，
根据垂径定理得
在中，，，
由勾股定理得，
在中，，，则，
所以，和的距离；
②在圆心的异侧，如图②，连接，过O作的垂线交于E、F，
根据垂径定理得
在中，，，
由勾股定理得，
在中，，，则，
所以，和的距离；
综上，和的距离是或．
故选：C．
2．A
【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理的运用，掌握垂径定理是关键，根据题意设圆的半径为，则，，，由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
设此圆的半径为，则，
∵是弦的中点，经过圆心，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
即，
解得：，
即的半径长为．
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
如图所示，连接，则，由垂径定理可得，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，则，
∵弦于点，，，
∴，
∴在中，，
∴的直径为20．
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查的是垂径定理的应用、勾股定理等知识点，掌握垂直于弦的直径平分这条弦且平分弦是解题的关键．
如图：连接，根据圆的性质、垂径定理求出，再根据勾股定理以及线段的和差求解即可．
【详解】解：如图：连接，
∵是的直径，，
∴，，
在中，，
∴．
故选：C．
5．A
【分析】利用垂径定理，勾股定理求出OD，即可由求解．
本题考查垂径定理，勾股定理，熟知 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，
，
故选：A
6．B
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理．
连接，根据题意，得出，，再根据勾股定理，得出的长，再根据垂径定理，即可得出的长．
【详解】解：连接，
∵桥拱半径为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
7．17或7
【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理等知识点，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
作于E，于F，利用勾股定理求出相关线段的长度，然后分两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：如图，作于E，于F，连，
则，
∵，
∴三点共线，
在中，，
在中，，
当圆心O在弦与之间时，与的距离；
当圆心O在弦与的外部时，与的距离．
所以与的距离是17或7．
故答案为：17或7．
8．90°/90度
【分析】本题考查了网络圆弧．熟练掌握垂径定理的推论：线段垂直平分线性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，是求解的关键．作弦和的垂直平分线交于点O，根据线段垂直平分线性质和勾股定理，得，，根据勾股定理的逆定理，得．
【详解】解：如图所示，连接，作弦和的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴弧所对的圆心角度数为．
故答案为：．
9．2
【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，由垂径定理可得，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∴的半径为2，
故答案为：2．
10．6
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
连接，设，则，求得 ，根据垂径定理得，进而在中根据勾股定理进行求解即可．
【详解】解：连接，设，则，

∴
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵在中，，
∴，
解得（不合题意，舍去），
∴．
故答案为：6．
11．
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质．过点O作于H，连接，则，利用勾股定理求出，则由垂径定理可得．
【详解】解：如图所示，过点O作于H，连接，
∴
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．5
【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．先利用垂径定理得出的长，设的半径为r，则，在中，利用勾股定理求出r的值，据此得出结论．
【详解】解： 是的直径，弦于点E，，
，
设的半径为r，则，
在中，，即，
解得，
故答案为：5
13．
【分析】本题考查利用轴对称设计图案，七巧板，正方形的性质，确定圆的条件，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．如图，延长交于，设圆心，连接，先求出七巧板各个图形的边长，进而可求出的长，由小鱼图案外轮廓是轴对称图形，得到垂直平分，得到圆心在上，，再在中利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：如图，延长交于，设圆心，连接，
∵边长为的正方形纸板做出如图1所示的七巧板，
∴大等腰直角三角形的直角边长为，中等腰直角三角形的直角边长为，小等腰直角三角形的直角边长为，小正方形的边长为，平行四边形的边长为和，
∴是平行四边形的短边和中等腰直角三角形的斜边组成，即，
∵小鱼图案外轮廓是轴对称图形，
∴垂直平分，
∴圆心在上，，
由题意可得，
设，则，
∵中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴圆的半径是，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由垂径定理得到，设的半径为，则，，在中，根据勾股定理有，代入即可解答．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
设的半径为，则，
∴，
∵在中，，
即，
解得：，
∴的半径为．
故答案为：．
15．图见解析
【分析】本题考查垂径定理，尺规作图—作垂线，根据垂径定理，得到弧的中点在线段的中垂线上，故作线段的中垂线，中垂线与圆弧的交点即为所求．
【详解】解：如图，点即为所求；
16．的直径为26
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，根据垂径定理得到，设的半径为，则，利用勾股定理求出，即可得到直径的长．
【详解】证明：∵为的直径，，
，
设的半径为，
则，
在中，，
，
解得：，
∴的半径为13，
∴的直径为26．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是掌握作角平分线的方法．
（1）作的角平分线交于，则，即知，即为符合条件的点．
（2）过点作于点，证明是等边三角形，根据勾股定理求得，再根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于两点，再以两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接该点与点交于，
即：作的角平分线交于，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
即：该点即为所求．
（2）解：如图，过点作于点，
∵
∴
又∵
∴是等边三角形，
又∵，
∴
∴
∴的面积为
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考出了圆的垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）如图1：连接，由垂径定理的推理可得，再结合已知条件可得，设，则．然后在运用勾股定理求解即可．
（2）如图2，连接交于点H，由（1）知，则，易证可得，即，进而得到，最后由三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质可得即可解答．
【详解】（1）解：如图1：连接，
直径弦，
．
，
，
，
．
设，则．
在中，，即，解得，
∴．
（2）解：如图2，连接交于点H，
由（1）知，
．
，，
，
，
，
，
．
19．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了无刻度直尺画图，菱形的判定与性质，垂径定理推论，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）连接对角线，然后延长交于点，则点即为所求；
（）连接交于点，连接，然后延长交于点，则点即为所求．
【详解】（1）解：如图，连接对角线，然后延长交于点，
理由：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
∴平分，
∴，
∴点即为所求；
（2）解：如图，连接交于点，连接，然后延长交于点，
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵为半径，
∴，
∴，
∴点即为所求．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图基本作图，角平分线的定义，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
（1）如图1中，作射线即可；
（2）如图2中，连接交射线于点，延长交于点，连接，延长交于点，连接延长交于点，作射线即可．
【详解】（1）解：如图1中，射线即为所求；
∵点是弧的中点
∴
∴射线是的角平分线．
（2）如图2中，射线即为所求．
∵
∴是的中线，是交点，即是的重心
∴是的中线，
∴是的中点，
∴
∴
∴
∴射线是的角平分线．
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