【章节考点培优】1.2.1有理数的概念-2025-2026学年七年级上册数学人教版（2024）（含答案解析）

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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优人教版（2024）
第一章 有理数 1.2.1 有理数的概念
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在﹣4， ，0，3.14159，﹣5.2，2中正有理数的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法中，正确的是（　　）
A．所有的有理数都能用数轴上的点表示
B．有理数分为正数和负数
C．两数相加，和一定大于任何一个加数
D．符号不同的两个数互为相反数
3．在，，，，11中，负分数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．关于0，下列几种说法不正确的是（　　）
A．0既不是正数，也不是负数 B．0的相反数是0
C．0的绝对值是0 D．0是最小的数
5．下列各数，0，，，，，，中，负数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．下列说法其中正确的有（　　）
⑴最小的正整数是1，最大的负整数是﹣1
⑵相反数等于它本身的数只有0，倒数等于它本身的数是±1
⑶绝对值等于它本身的数是非负数，绝对值等于它的相反数的数是非正数
⑷绝对值相等的两个数一定相等，绝对值不相等的两个数一定不相等.
A．（1），（2），（3） B．（2），（3），（4）
C．（1），（3），（4） D．（1），（2），（3），（4）
7．在 ，3.14，0，|﹣13|，0.313 113 1113…，﹣（﹣0.1）六个数中分数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．设a为最小的正整数，b为最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则 的值为（　　）
A．0 B．2 C． D．2或
9．最小的素数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
10．下列说法中错误的是（　　）
A．0既不是正数，也不是负数
B．0是自然数，也是整数，也是有理数
C．若仓库运进货物5t记作+5t，那么运出货物5t记作-5t
D．一个有理数不是正数，那它一定是负数
二、填空题
11．，0，，，，，106，，中，负分数有　 　个．
12．数轴上与原点距离小于 的整数点有　 　个.
13．a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的数，则a﹣b+c＝　 　 ．
14．下列各数： 3 ， ， ，1.414， ，3.12122， ，3.161661666…（每两个1之间依次多1个6）中，无理数有　 　个，有理数有　 　个，负数有　 　个，整数有　 　个．
15．x的2倍与4的和是非负数，用不等式可以表示为　 　．
16．设三个互不相等的有理数，既可表示为1、a+b、a的形式，又可表示为4、、b的形式，则（b-a）3的值为 　 　．
三、计算题
17．已知实数m，n满足，求的平方根．
四、解答题
18．请把下列各数填入相应的集合中：1，－5， ， ，－20%．
负数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
正整数集合：{ …}．
19．已知 是绝对值等于3的负数， 是最小的正整数， 的倒数的相反数是 ，求： ．
20．将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：
（1）在A处的数是正数还是负数？
（2）负数排在A、B、C、D中的什么位置？
（3）第2023个数是正数还是负数？排在对应于A、B、C、D中的什么位置？
21．将下列各数中的负数、分数和负整数填入对应集合内∶
负数集合：{___________________________________}；
分数集合：{___________________________________}；
整数集合：{___________________________________}；
22．一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果a≤b≤c≤d，那么我们把这个四位正整数叫做“进步数”，例如四位正整数1234：因为1<2<3<4，所以1234是“进步数”.
（1）写出四位正整数中的最大的“进步数”与最小的“进步数”.
（2）已知一个四位正整数m是“进步数”，m的千位、个位上的数字分别是1，8，且m能被9整除，求这个四位正整数m.
23．把下列各数填入相应的数集中：
+1、-5％、200、-3、6.8、0、－、0.12003407、1、-43.555、77％、-3
（1）非负数集合：______________________（2）负有理数集合：________________________
（3）正整数集合：______________________（4）负分数集合：___________________________
参考答案及试题解析
1．C
【解答】解： 小数点后的 是无限循环的，
则在这些数中，正有理数为 ，共3个，
故答案为：C.
【分析】利用有理数的分类，可得到正有理数的个数。
2．A
3．B
【解答】解：由题意可得：
负分数有，，共2个，
故答案为：B
【分析】根据负数即分数的定义即可求出答案.
4．D
【解答】解：A、0既不是正数，也不是负数，是正确的．
B、0的相反数是0，根据相反数的概念，是正确的．
C、0的绝对值是0，是正确的．
D、0不是最小的数，故该不符合题意的．
故答案为：D．
【分析】（1）由0的意义可知，0既不是正数，也不是负数；
（2）由相反数的意义可得0的相反数是0；
（3）根据绝对值的性质可得0的绝对值是0；
（4）没有最小的数。
5．B
6．A
【解答】解：（1）最小的正整数是1，最大的负整数是﹣1符合题意；（2）相反数等于它本身的数只有0，倒数等于它本身的数是±1符合题意；（3）绝对值等于它本身的数是非负数，绝对值等于它的相反数的数是非正数符合题意；（4）绝对值相等的两个数不一定相等，故不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据有理数的分类，相反数和绝对值的意义对各选项进行分析可得解.
7．B
【解答】解：在 ，3.14，0，|﹣13|，0.313 113 1113…，﹣（﹣0.1）六个数中分数有3.14，﹣（﹣0.1），有2个．
故选：B．
【分析】根据分数的定义即可得出答案．
8．A
【解答】解：根据题意知a＝1，b＝ 1，c＝0，
则a＋b c＝1 1＋0＝0.
故答案为：A.
【分析】根据数轴上的点所表示的数，原点右边的点表示正数，点离原点越远，所表示的数就越大；原点左边的点表示负数，点离原点越远表示的数越小，再结合整数的概念即可得出a、b的值，进而根据数轴上的点离开原点的距离就是该点所表示的数的绝对值可得出c，从而可求出a+b-c的值.
9．B
10．D
【解答】解：A、0既不是正数，也不是负数，正确，故A不符合题意；
B、0是自然数，也是整数，也是有理数，正确，故B不符合题意；
C、若仓库运进货物5t记作+5t，那么运出货物5t记作-5t，正确，故C不符合题意；
D、一个有理数不是正数，那它一定是负数，错误，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用正数、负数和0统称为有理数，可对A、B、D作出判断；若仓库运进货物记为正，则运出货物记为负，可对C作出判断.
11．4
12．7
【解答】 ，
则数轴上与原点距离小于 的整数点有 ，共7个，
故答案为：7.
【分析】利用数轴可得到数轴上与原点距离小于 的整数，由此可得到整数点的个数。
13．2
【解答】解：∵a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的数，
∴a=1，b=-1，c=0，
∴a﹣b+c＝1+1-0=2
故答案为：2
【分析】由a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的数，可得a=1，b=-1，c=0，然后代入计算即得.
14．3；5；4；2
【解答】解：根据无理数、有理数、负数和整数的定义，无理数有：3 ， ，3.161661666…；有理数有： ， ，1.414，3.12122， ；负数有： ， ， ， ；整数有： ， .
故答案为：3；5；4；2.
【分析】无理数是无限不循环小数和开方开不尽的数，不能写作两整数之比；有理数是整数和分数.
15．
【解答】解：x的2倍与4的和是非负数可以用不等式表示为，
故答案为：．
【分析】用x乘以2，然后再加上4，再根据非负数的定义：大于等于0的数，据此即可建立不等式
16．0或-8
【解答】解：∵三个互不相等的有理数，既表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为4、 、b的形式，
∴这两个数组的数分别对应相等．
∴a+b与a中有一个是4， 与b中有一个是1，
若 ＝1，a＝b，则a+b＝4，
则a＝b＝2，
则（b-a）3＝（2-2）3＝0；
若b＝1，a＝4或a+b＝4，
则a＝4时，a+b＝4+1＝5， ＝4（不合题意舍去）；
a+b＝4时，a＝4-1＝3， ＝3（不合题意舍去）；
则（b-a）3＝（1-3）3＝-8．
故（b-a）3的值为0或-8．
故答案为：0或-8．
【分析】 三个互不相等的有理数，既表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为4、 、b的形式，这两个数组的数分别对应相等，a+b与a中有一个是4， 与b中有一个是1，再分情况讨论判断出a、b的值即可代入求解.
17．解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴的平方根是．
【解析】【分析】非负数的性质得到，，即可求出m和n的值，进而求出的值，再对16开平方运算即可解答．
18．负数集合：{－5，－20%，…}
分数集合：{ ， ，－20%，…}
正整数集合：{1，…}
【解析】【分析】根据分数，负数，正整数的定义一一判断即可。
19．解：∵ 是绝对值等于3的负数， 是最小的正整数， 的倒数的相反数是 ，
∴a=-3，b=1，c= ，
=
将a=-3，b=1，c= 代入原式＝ ．
【解析】【分析】根据题意求出a、b、c的值，然后将原式化简后代入计算．
20．（1）正数
（2）B和D的位置
（3）负数，D的位置．
21．解：负数集合：，
分数集合：，
整数集合：
【解答】解：负数集合：，
分数集合：，
整数集合：
【分析】利用负数、分数和整数的定义逐个分析判断即可.
22．（1）9 999，1 111
（2）解：根据题意a≤b≤c≤d，且四位“进步数”m的千位、个位上的数字分别是1、8，
∴这个“进步数”m如下：
①当b＝1时，c取1≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1118，1128，1138，1148，1158，1168，1178，1188；
其中，只有1188是9的倍数；
②当b＝2时，c取2≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1228，1238，1248，1258，1268，1278，1288；
其中，只有1278是9的倍数；
③当b＝3时，c取3≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1338，1348，1358，1368，1378，1388；
其中，只有1368是9的倍数；
④当b＝4时，c取4≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1448，1458，1468，1478，1488；
其中，只有1458是9的倍数；
⑤当b＝5时，c取5≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1558，1568，1578，1588；
其中，没有9的倍数；
⑥当b＝6时，c取6≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1668，1678，1688；
其中，没有9的倍数；
⑦当b＝7时，c取7≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1778，1788；
其中，没有9的倍数；
⑧当b＝8时，c＝8，这个进步数可能是1888；
不是9的倍数；
∴这个四位正整数m是1188或1278或1368或1458
【解答】解：（1）根据题意a≤b≤c≤d，
∴四位正整数中，最大的“进步数”是9999，最小的“进步数”是1111，
故答案为：9999；1111；
【分析】（1）根据“进步数”的概念分析最大数和最小数；
（2）根据“进步数”的概念和千位、个位上的数字分别是1、8，且m能被9整除，分情况分析求解．
23．（1）+1、200、6.8、0、0.12003407、1、77％；
（2）-5％、-3、－、-43.555、-3；
（3）200、1；
（4）-5％、－、-43.555、-3.
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