湖北省武汉市重点中学5G联合体2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年度下学期武汉市重点中学5G联合体期末考试高一数学
考试时间：2025年6月26日 试卷满分：150分
单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知复数是纯虚数且，则的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．-1
2.如图，在直角梯形中，,则直角梯形的直观图的面积为（ ）
A．8 B．
C．1 D．
3.2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，15，14，13，则这组数据的下四分位数为（ ）
A．40 B．30 C．15 D．14.5
4.小明同学早餐时吃了一个包子和一根烤肠，我们可以将小明同学的烤肠看作是一个由一平面将一圆柱截取一部分所得，其数据如图所示，则小明同学早餐时吃的烤肠体积为（ ）
A． B． C． D．
5.空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法错误的是（ ）
A．
B． C．
D．
6.某人在静水中的速度为，河水自东向西的流速为，此人朝正北方向游去，那么他的实际前进方向与水流方向的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7.如图,已知二面角大小为60°，，，
,则的长度为（ ）
A． B．
C． D．或
8.中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一．”即：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．现有一外接球的表面积为的“刍童”如图所示，记为四棱台，其上、下底面均为正方形，且，则该“刍童”的体积为（ ）
A．56或 B．56 C．112 D．112或
多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
为推广消防安全进校园，在某学校对全校2000名学
生进行有奖答题活动，满分100分，完成答题后，工作
人员从中随机抽取一个容量为N的样本，并根据成绩绘
制了频率分布直方图（如图所示），已知样本中
的人数为10人，则以下说法正确的是（ ）
B．
C．全校学生答题的平均成绩约为70.5
D．估计全校答题成绩在60分以上的约有75人
10.已知平面直角坐标系中三个点，则下列说法正确的是（ ）
A．若四边形为平行四边形，则
B． 以为圆心，作一个半径为1的圆，点为该圆上的任意一点， ,若
C．
D.
11.如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，上的动点，过点作正方体截面，且，点在截面（正方体内包括边界）内运动，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若为线段上一动点，则异面直线所成角的取值范围为
C．若，则
D．截面截正方体所得截面面积的为
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
在三角形中，角，若满足的三角形有且仅有一个，则边的取值范围为________
在三棱锥中，，夹角为60°，则线段的长为______
已知正方体的棱长为4，在以为球心，为半径的两个球在正方体内（包括正方体的表面）的公共部分所构成的几何体中，被平行于平面的平面所截得的截面面积的最大值为_________
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（13分）（1）在复数范围内解方程.
（2）计算.
（15分）在一个歌唱比赛中，由五名专业人士和五名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分，在选手甲表演完后，五名专业人士组打分分别为48,52,49,55,51，五名观众代表组打分分别为70,66,75,68,56.
专业人士组打分的平均分及方差分别为多少？
甲选手的最终得分由专业组和观众组的10人所打分数决定，那么甲选手的最终得分的平均分及方差分别为多少？
（15分）在三角形中，已知分别是
边上的点，且，相交于.
求实数的值.
求的余弦值.
（17分）在锐角中，角，且
，.
求角的大小.
求周长的取值范围.
求面积的取值范围.
（17分）如图，在三棱柱中，平面平面,,
.
证明：.
求的长.
求直线所成角的余弦值.
高一数学参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C D B C A B A ABC ABD ACD
填空题
13. 14.
解答题
15.
……………………………………………………… 1分
……………………………………………………………………… 2分
………………………………………………… 3分
………………………………………………………5分
所以方程的解为………………………………………………………… 6分
…………………………………………… 7分
由（1）可知……………………………………………………………… 8分
……………………………………………………………9分
…………………………………………………11分
可得……………………………………………………… 12分
所以………………………………………………13分
16.
专业人士组打分平均分=………………………………2分
专业人士组打分方差=… 4分
………………………………………………5分
专业人士组打分的平均分及方差分别为51和6……………………………………………6分
观众代表组打分平均分=…………………………… 8分
观众代表组打分方差=…10分
……………………………………… 11分
甲选手最终得分平均分=…………………………………………………… 12分
甲选手最终得分方差=……………………………… 13分
=86.6………………………………………………………………… 14分
甲选手的最终得分的平均分及方差分别为59和86.6…………………………………… 15分
17.
（1）由，得………………………………1分
所以……………………………………………………2分
由，得……………………………………………………3分
… 4分
所以………………………………………………………………… 6分
解得…………………………………………………………………………………… 7分
（2）因为
所以…………………………………………………8分
由，得……………………………………9分
所以……………………10分
由（1）可知………………………………………………………… 11分
所以……………12分
…………………………………… 14分
所以………………… 15分
18.
由得………………………………………………… 1分
由因为得
所以………………………………………………… 2分
即
又因为………………………………………………………………… 3分
所以……………………………………………………………………………… 4分
又因为……………………………………………………………………………5分
所以……………………………………………………………………………………6分
在锐角中，，
根据正弦定理可得
所以,……………………………………………………… 7分
由得
周长… 8分
………………………………………………………… 9分
因为，所以………………………………………… 10分
即，……………………………………………11分
所以
周长的取值范围……………………………………………………… 12分
由（2）可知,
所以……………………………… 13分
……………… 14分
由得………………………………………………………15分
则…………………………………………………………………… 16分
所以
面积的取值范围……………………………………………………… 17分
19.
证明：在三棱柱中，为平行四边形
因为
所以为菱形………………………………………………………………… 1分
…………………………………………………………………………………2分
又因为
…………………………………………………………………………………3分
……………………………………4分
…………………………………………………………………………5分
（2）
如图，取………………………………………………………… 6分
在中,
所以
为等腰三角形
………………………………………………………………………………… 7分
又因为平面平面,
所以平面平面
,
……………………………………………………………………………… 8分
由（1）可知
………………………………………………………………………………… 9分
………………………………10分
………………………………………… 11分
（3）过点
…………………………………………… 12分
………………………………………………… 13分
…………………………………………………………………14分
即
……………………………………………………………………………15分
……………………………………………………………16分
所成角的余弦值为………………………………………………17分