§12．3． 角的平分线的性质（一）
教学目标
（一）教学知识点
角平分线的画法、角平分线的性质1．
（二）能力训练要求
1．掌握角平分线的性质1 2．会用尺规作一个已知角的平分线．
（三）情感与价值观要求
在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．
教学重点
利用尺规作已知角的平分线．角平分线的性质1．
教学难点
角的平分线的性质1
教学过程
一．提出问题，创设情境
问题：图中哪条线段的长可以表示点P到直线l的距离 ？
导入新课，明确学习目标
如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮忙设计一个作角的平分线的操作方案吗？
二．合作交流 探究新知
探究1
想一想：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？
教师活动：
播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC的方法．
学生活动： 观看多媒体课件，讨论操作原理．
[生1]要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．
[生2]∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．
[生3]我们看看条件够不够．
所以△ABC≌△ADC（SSS）．
所以∠CAD=∠CAB．
即射线AC就是∠DAB的平分线．
[生4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的．
试一试：老师再提出问题：
通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．
（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）
讨论结果展示：
作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．
（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．
（3）作射线OC，射线OC即为所求．
（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．
点拨：
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？
2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）
学生讨论结果总结：
1．去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．
2．若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．
3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．
4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．
探究2：
做一做1
[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？
[生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．
[师]你的叙述太精彩了．这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题．
做一做2
角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．
操作：
1．折出如图所示的折痕PD、PE．
2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．
画一画：
按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？
拿出两名同学的画图，请大家评一评，以达明确概念的目的．
[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求．
[生甲]噢，对，我知道了．
[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象．
教师提出问题：你能叙述所画图形的性质吗？生回答后，教师进一步引导:观察操作得到的结论有时并不可靠，你能否用推理的方法验证你的结论呢？
证一证：引导学生证明角平分线的性质 1，分清题设、结论，将文字变成符号并加以证明（一生板演）
说一说: 引导学生结合图形从文字和符号的角度分别叙述
问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？
[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．
问题2：（出示）
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．
学生通过讨论作出下列概括：
∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE．
于是我们得角的平分线的性质：
在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
三、用一用:
1、已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,
垂足分别是E,F.求证:EB=FC.
2、见课件
巩固所学 及时点拨
四．作业：必做题:P51 2、4
课件13张PPT。角平分线的性质一新 授 课如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，CB=CD,将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是角的平分线。你能说明它的道理吗？ABCDE12根据SSS, 可知两个三角形全等∴∠1=∠2从上面的探究你能得出作一个角的角平分线的方法吗？回顾与思考 已知：∠AOB求作：∠AOB的平分线作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M,交OB于N;（2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C.(3)作射线OC.射线OC即为所求。你能说明其中的道理吗？AMOBNC做P19页的练习，并回答问题。探究与发现 1、你能用折叠的办法折出一个角的平分线吗？2、再折出一个直角三角形，（使角平分线为斜边，OA与OB为直角边）观察后两次折出的两条折痕，你能得出什么结论？后两次折出的两条折痕的长度相等。AOBC将∠AOB对折AOBP探究与发现 3、操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB, 点D、E为垂足，测量PD、PE的长. 将三次数据填入下表：观察测量结果，猜想 线段PD与PE的大小关系
写出结论：____________PD=PE探究与发现 已知：如图，OP是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E, 求证：PD=PE 定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 证明: ∵∠1=∠2 , OP=OP
∠PDO=∠PEO=90°
∴⊿PDO≌⊿PEO (AAS)
∴PD=PE (全等三角形的对应边相等) C12该定理的题设和结论分别是什么？探究与发现 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。角平分线的性质:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理应用所具备的条件：定理的作用：应用定理的书写格式：∴PD = PE∵OP是∠AOB的平分线证明线段相等。 PD⊥OA PE⊥OB理解与应用 例:已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC. 老师期望:做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去. BAEDCF理解与应用 1 . 如图, DE⊥AB, DF⊥BC, 垂足分 别是E, F, DE =DF, ∠EDB= 60°, 则 ∠EBF= 度，BE= 。60BF2.如图, △ABC中, ∠C=90°, DE⊥AB, ∠1=∠2, 且AC=6cm, 那么 线段BE是∠ABC的 ，AE+DE= .C角平分线6cm巩固与提高 3.如图所示,在△ABC中,∠C=90°，AD是∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且CD：DB=1：2，则点D 到AB的距离为_________。 A BDC5巩固与提高 1.角的平分线的尺规作图。2.角平分线的性质定理:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 今天这节课，同学们学到了什么？收获与感悟选做题:如图，有三条交错的货运铁路，要在三条铁路的交叉区域修建一个货运仓库，要求仓库到三条铁路的距离相等，请同学们找到这个仓库的位置？必做题:P51 2、4作业谢谢！再见！角平分线（1）练习
班级 姓名
1． 已知：△ABC中，∠B=90°， ∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为 .
2．角平分线上的点到__________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在___________．
3．∠AOB的平分线上一点M ，M到 OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________.
4．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_____cm.
如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF______FG，CE________CF.
7．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，则△DEB的周长为（ ）
A、4㎝ B、6㎝ C、10㎝ D、不能确定
8．如图，已知OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠AOB=90°，∠EOD=70°，求∠BOC的度数.
如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，求证：D到AB、AC的距离相等.
