2025年秋人教版七年级数学上册 5.2 解一元一次方程 课件(共100张PPT)

(共100张PPT)
5.2 解一元一次方程
第五章 一元一次方程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
解一元一次方程——合并同类项
解一元一次方程——移项
解一元一次方程——去括号
解一元一次方程——去分母
解一元一次方程的一般步骤
列方程解应用题
知识点
解一元一次方程——合并同类项
知1－讲
1
1. 合并同类项：解方程时，将等号同侧的含有未知数的项和常数项分别合并成一项的过程，叫作合并同类项.
2. 用合并同类项解一元一次方程的步骤



知1－讲
特别提醒
合并同类项的方法：系数(含符号)相加，相同字母及相同字母的指数不变. 简记为“系数相加，两同不变”.
知1－练
例 1
解下列一元一次方程：
解题秘方：利用合并同类项的法则，在方程左右两边同时合并同类项，然后将未知数的系数化为1 .
知1－练
(1)x－x=3 －5；
解：合并同类项，得x=-2 .
系数化为1，得x=-4 .
两边都乘2
知1－练
(2)－2x－7x＋8x=－15×2－6×3 .
解：合并同类项，得-x=-48 .
系数化为1，得x=48 .
两边都乘-1
知1－练
1-1.解下列方程：
(1)4x－3x=1；
(2)－x＋4x=6－1；
解：合并同类项，得x＝1.
合并同类项，得3x＝5.
系数化为1，得x＝.
知1－练
(3)－= －2；
(4)－2x＋0.5x=1.
知2－讲
知识点
解一元一次方程——移项
2
1. 移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项.
2. 移项的依据：移项的依据是等式的性质1，即在方程的两边加(或减)同一个适当的数或式子，结果仍相等.
3. 移项的目的：将含未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边，使方程更接近于x=a(a 为常数)的形式.


通常是左边.
知2－讲
4. 移项解一元一次方程的步骤
知2－讲
特别提醒
移项与加法交换律的区别：
移项是在等式中，把某些项从等号的一边移到另一边，移动的项要变号；而加法交换律是交换加数的位置，只改变排列的顺序，不改变符号.
知2－练
解下列方程：
解题秘方：利用移项解一元一次方程的步骤进行解答，注意移项要变号.
例 2
知2－练
(1)8－3x=x＋6；
解：移项，得3x-x=6 -8 .
合并同类项，得2x=-2 .
系数化为1，得x=-1 .
知2－练
(2)x－1=3＋x.
解：移项，得x- x=3 +1 .
合并同类项，得-x=4 .
系数化为1，得x=-4 .
知2－练
2-1.解下列方程：
(1)2x－3=x；
(2)5x－2=7x＋8；
解：移项，得2x－x＝3.
合并同类项，得x＝3.
移项，得5x－7x＝8＋2.
合并同类项，得－2x＝10.
系数化为1，得x＝－5.
知2－练
(3)3x＋4=2x＋1－3x；
知2－练
(4)－2x－=x＋.
知3－讲
知识点
解一元一次方程——去括号
3
1. 去括号的方法
把括号外的数或式子(带着符号)与括号内的每一项(带着符号)相乘，再把所得的积相加.
2. 去括号的一般顺序
一般是由内向外去括号，先去小括号，再去中括号，最后去大括号；也可以由外向内去括号，先去大括号，再去中括号，最后去小括号，此时，要注意把里面的括号看作一个整体.
先判断符号,再把绝对值相乘.
知3－讲
3. 去括号的依据
分配律：a(b+c)=ab+ac(其中，a，b，c 可以是一个数，也可以是单项式或多项式).
4. 去括号的目的
与移项、合并同类项、系数化为1 等变形相结合，最终将一
元一次方程转化为x=a(a 为常数)的形式.
知3－讲
特别提醒
解方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同. 括号前是负因数时，要注意乘积的符号.
知3－练
解方程：4x＋2(4x－3)=2－3(x＋1).
例 3
解题秘方：按“去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的步骤解方程.
解：去括号，得4 x＋8x－6 = 2－3 x－3 .
移项，得 4 x＋8x ＋ 3 x = 2－3 ＋ 6 .
合并同类项，得15x=5 .
系数化为1，得x= .
与原括号内各项符号相同.
与原括号内各项符号相反.
知3－练
3-1.解方程：(x＋3)－2(x－1)＝ 9－2x．
解：去括号，得x＋3－2x＋2＝9－2x.
移项，得x－2x＋2x＝9－3－2.
合并同类项，得x＝4.
知4－讲
知识点
解一元一次方程——去分母
4
1. 去分母的依据
根据等式的性质2，方程各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母，把方程中各项的系数化成整数.
2. 去分母的一般步骤
(1)确定各分母的最小公倍数；
(2)方程两边同乘这个最小公倍数，约去分母.




知4－讲
特别提醒
去分母时的注意事项：
1. 各项都要乘所有分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项.
2. 如果分子是一个多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号.
3. 分母含有小数的应先化小数为分数，再去分母.
知4－讲
解一元一次方程:＋4= －.
解题秘方：按“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的步骤解方程.
例 4
知4－练
解：去分母(方程两边乘6)，
得2(x＋5)＋24 =3(x＋3)－(5x－2).
去括号，得2x＋1 0 ＋2 4 =3x＋9－5x＋2 .
移项，得2x－3x＋5x=9＋2 －10 －24 .
合并同类项，得4x=－23 .
系数化为1，得x=－.
知4－练
4-1.解下列方程:
(1)=；
知4－练
(2)＋1=；
解：去分母，得x＋3＝2x＋1.
移项，得x－2x＝1－3.
合并同类项，得－x＝－2.
系数化为1，得x＝2.
知4－练
(3)－=－2；
解：去分母，得5(x＋2)－3(2x－3)＝－30.
去括号，得5x＋10－6x＋9＝－30.
移项、合并同类项，得－x＝－49.
系数化为1，得x＝49.
知4－练
(4)2－=.
解：去分母，得12－2(2x＋1)＝3(1＋x)．
去括号，得12－4x－2＝3＋3x.
移项，得－4x－3x＝3－12＋2.
合并同类项，得－7x＝－7.
系数化为1，得x＝1.
知5－讲
知识点
解一元一次方程的一般步骤
5
1. 解一元一次方程的步骤：包括去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 等. 通过这些步骤，可以使以x 为未知数的一元一次方程逐步转化为x=a(a为常数) 的形式.
知5－讲
2. 解一元一次方程的具体方法、变形依据、注意事项列表如下
变形名称 具体方法 变形依据 注意事项
去分母 在方程两边同乘各分母的最小公倍数，当分母是小数时，要先利用分数的基本性质把小数化为整数，再去分母 等式的性质2 (1)不要漏乘不含分母的项；(2)如果分子是多项式，去分母时应将分子作为一个整体加上括号
知5－讲
变形名称 具体方法 变形依据 注意事项
去括号 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号(也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号) 分配律、 去括号 法则 (1)不要漏乘括号里的任何一项；(2)不要弄错符号
移项 把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边 等式的性质1 (1)移项要变号；(2)不要丢项
知5－讲
变形名称 具体方法 变形依据 注意事项
合并同类项 未知数及其指数不变，系数相加，把方程化为ax=b(a ≠ 0)的形式 合并同类项法则 (1)不要丢项；
(2)未知数的系数不要弄错
系数化为1 在方程的两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x= (a ≠ 0) 等式的性质2 (1)不要将分子、分母的位置颠倒；
(2)如果未知数的系数是含有字母的式子，要保证式子的值不为0
知5－讲
特别解读
1. 去分母是为了简化运算，若不使用，则合并同类项时需进行分数运算．
2. 解一元一次方程的一般步骤不一定每步都用到，也不一定按照从上到下的顺序进行,要根据方程的特点选取适当的步骤进行求解
知5－练
解下列一元一次方程:
例 5
解题秘方：按照解一元一次方程的步骤解方程.
知5－练
(1)(1－2x)=(3x＋1)；
解：去分母，得7 (1 －2x)=6 ( 3x＋1).
去括号，得7 －14x=1 8x＋6 .
移项，得－14x－18x=6 －7.
合并同类项，得－32x=－1 .
系数化为1，得x= .
知5－练
(2)[ (x-)-8]=x；
解法一：去小括号，得(x- -8)= x.
去中括号，得x- -6 =x.移项，得x- x=6 + .
合并同类项，得-x= . 系数化为1，得x=- .
知5－练
解法二：去括号，得x- -6 =x.
移项，得x-x=+6 .
合并同类项，得-x= .
系数化为1，得x=- .
先去中括号，再去小括号.
知5－练
(3)－= x－.
解：根据分数的基本性质，得－= x－.
警示误区：
分数的基本性质与等式的性质不同：分数的基本性质是分数的分子与分母同时进行乘除变化，而等式的基本性质是在等式两边同时进行加减乘除变化.
知5－练
去分母，得3 x －(x －1)= 6 x －2 .
去括号，得3 x －x ＋ 1 = 6 x －2 .
移项，得3 x －x － 6 x = － 2 － 1 .
合并同类项，得－ 4 x = － 3 .
系数化为1 ，得x =.
去分母时，分子是多项式要加括号
知5－练
5-1.解下列方程：
(1)(1 －)=－x＋1；
知5－练
(2)[3x- (x+1)]-1=x；
知5－练
(3)－x=－1.
知6－讲
知识点
列方程解应用题
6
1. 总量和分量关系问题
相等关系：总量= 各部分量的和.
2. 盈与不足问题
相等关系：表示同一个量的两个不同的式子相等.


知6－讲
3. 行程问题
相等关系：路程= 时间×速度.
(1)相遇问题
甲的行程+ 乙的行程= 甲、乙出发点之间的距离；
若甲、乙同时出发，则甲用的时间= 乙用的时间.
知6－讲
(2)追及问题
快者走的路程- 慢者走的路程= 追及路程；
若同时出发，则快者追上慢者时，快者用的时间= 慢者用的时间.
知6－讲
(3)航行问题
顺流速度= 静水速度+ 水流速度；逆流速度= 静水速度-
水流速度.
顺风速度= 无风速度+ 风速；逆风速度= 无风速度- 风速.
往返于A，B 两地时，顺流(风)航程= 逆流(风)航程.
知6－讲
4. 列一元一次方程解决实际问题的基本步骤
(1)审：认真读题，反复审题，弄清问题中的已知量是什么，未知量是什么.
(2)找：找出各数量之间的相等关系.



知6－讲
(3)设：设出未知数，一般设题目里所求的未知数是x，特殊情况下也可设与所求量相关的另一个未知数为x.
(4)列：根据所设的未知数x 和题目中的已知条件，利用相等关系列出方程.
(5)解 ：解方程，求出未知数x 的值.
(6)验：检验所得的解是否正确，是否符合题意.
(7)答：写出答案.
直接设未知数.
间接设未知数.
知6－讲
特别提醒
1. 通常情况下，在列方程时题目所给的条件不能重复使用，也不能漏掉某一个.
2. 行程问题常常使用线段图来分析相关的数量关系，进而使用已知量、未知量的关系列方程.
知6－讲
特别提醒
解决总量和分量关系的问题时，一般是先设其中一部分量为x，再用含x 的式子表示出其他各部分量，然后根据相等关系列出方程. 常见的题型有数字问题、比例问题、长方形周长问题、工程问题、行程问题等.
解决盈与不足的问题时，同一个量可以用不同的形式表示，因而可以用两个不同的式子来表示同一个量(至多有一个未知数x)，由这两个式子相等可列出方程.
知6－讲
特别提醒
1. 设未知数列方程时，要注意单位的统一.
2. 对于实际问题中的方程的解，既要检验求出的值是否为方程的解，也要检验求出的值是否符合实际意义，对与现实生活不符的结果，要进行必要的取舍.
知6－练
例 6
利用方程解答下列问题：
(1)x 的3 倍与2 的和等于x 的2 倍与1 的差，求x 的值；
(2)整式2x＋3 与的值互为相反数，求x 的值.
解题秘方：根据文字表达的数量关系列方程.
解：根据题意，得3x＋2 =2x－1，解得x=－3 .
根据题意，得2x＋3 ＋=0，解得x ＝－3．
知6－练
6-1.[期中·泰州泰兴市]已知y1=x＋3，y2=2－x，当x=______时，y1比y2的2倍大5．
2
知6－练
[新趋势 跨学科综合]科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2 倍少4 mg，两片国槐树叶与三片银杏树叶一年的滞尘总量为164 mg．一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为多少毫克？
例 7
知6－练
解题秘方：用分量的和等于总量列出方程，解决问题.
解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x mg，
则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为(2x－4)mg.
根据题意，得2x＋3 (2x－4)=164 ，
解得x=22 . 此时，2x－4 =40 .
答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40 mg，
一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22 mg．
总量等于各部分量的和.
知6－练
7-1.果农将种植的脐橙打包运往市场销售，第一天打包了这批脐橙的，第二天打包了剩余脐橙的，最后还剩下180 kg没有完成打包，问这批脐橙共有多少千克？
知6－练
知6－练
例 8
在国庆节来临之际，七年级(1)班课外活动小组计划做一批中国结. 如果每人做6 个，那么比计划多做7 个；如果每人做5 个，那么比计划少做13 个. 该小组计划做多少个中国结？
解题秘方：不管是余还是缺，总量不变是列方程的关键.
知6－练
解：设该小组共有x 人.
根据题意，得6x－7=5x＋13 ，
解得x=20 . 所以6x－7=113 .
答：该小组计划做113 个中国结.
计划做的中国结个数不变.
知6－练
8-1 . [新考向 数学文化]《九章算术》中有“盈不足”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三. 问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5 钱，则差45 钱，每人出7钱，则差3 钱，求人数和羊价各是多少.请解答此题.
知6－练
解：设共有x人出资买羊．
由题意得5x＋45＝7x＋3，解得x＝21.
所以5x＋45＝5×21＋45＝150.
答：共有21人，羊价为150钱．
知6－练
一个三角形的三边长之比为2 ∶ 4 ∶ 5， 周长为22 cm，求该三角形中最长边的长.
例 9
解题秘方：未知的量若以比例的形式出现，则解决问题的关键是求出单位量，通过设单位量表示总量列方程.
知6－练
解： 依题意， 设该三角形的三边长分别为2x cm，4x cm，5x cm.
根据题意，得2x＋4x＋5x=2 2 ，
解得x=2 .
所以5x=1 0 .
答：该三角形中最长边的长是10 cm.
知6－练
9-1. [真实情境题 体育赛事]在巴黎举办的第33 届夏季奥运会上，中国体育代表团共获得91 枚奖牌，比上一届多了3枚. 其中金牌40 枚，与美国代表团并列排名世界第一位，银牌数与铜牌数的比是9∶8. 中国体育代表团在本届奥运会获得铜牌多少枚？
知6－练
解：设银牌数与铜牌数分别为9x枚、8x枚．
由题意得9x＋8x＋40＝91，解得x＝3.
所以8x＝8×3＝24.
答：中国体育代表团在本届奥运会获得铜牌24枚．
知6－练
例 10
一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的2 倍，
如果把个位上的数字与十位上的数字对调，得到的数比原数小36，求原来的两位数.
解题秘方：用各数位上的数字表示原数和新数，利用两个数之间的关系列方程.
知6－练
解：设原来的两位数中个位上的数字为x，则十位上的数字为2x.
根据题意，得10×2x＋x－36 =10x＋2x，
解得x=4 .所以2x=8.
答：原来的两位数是8 4 .
原两位数.
新两位数.
知6－练
10-1. [月考· 台州椒江区]一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位上与个位上的数字之和是这个两位数的，求这个两位数.
知6－练
A，B 两地相距300 km，一列快车从A 地开出，行驶速度是每小时60 km，一列慢车从B 地开出，行驶速度是每小时40 km.
例 11
解题秘方：(1)(2)属于相遇问题；(3)(4)属于追及问题，可借助线段图分析，找出相等关系并列出方程求解.
知6－练
(1)两车同时开出，相向而行，几小时后相遇？
解：设两车行驶x h 后相遇，如图5.2 -1 所示.
依题意得60x+40x=300 ，解得x=3 .
答：两车同时开出，相向而行，3 h 后相遇.
知6－练
(2)快车先开15 min，两车相向而行，快车开出几小时后两车相遇？
解：设快车开出y h后两车相遇，则慢车行驶了(y- )h，
如图5.2 -2 所示.
依题意得60y+40(y- )=300 ，解得y=3.1 .
答：快车开出3.1 h 后两车相遇.
知6－练
(3)两车同时同向开出，慢车在前，出发多长时间后快车追上慢车？
解：设两车出发z h 后快车追上慢车，如图5.2 -3 所示.
依题意得60 z=300 +40 z，解得z=15 .
答：两车出发15 h 后快车追上慢车.
知6－练
(4)慢车先开30 min，两车同向而行，慢车在前，快车出发多长时间后追上慢车？此时慢车行驶了多少千米？
解：设快车出发a h 后追上慢车，如图5.2 -4 所示.
知6－练
依题意得60a=300 +40×+40a，解得a=16 .
所以40×+40a=20 +40×16 =660 .
答：快车出发16 h 后追上慢车，
此时慢车行驶了660 km.
知6－练
11-1. 甲站和乙站相距1 500 km，一列慢车从甲站开出，速度为60 km/h，一列快车从乙站开出，速度为90 km/h.
知6－练
(1)若两车相向而行，慢车先开出30 min，则快车开出多少小时后两车相遇？
知6－练
(2)若两车同时开出，相背而行，则多少小时后两车相距1 800 km
解：设y h后两车相距1 800 km.如图②所示．
由题意，得60y＋90y＋1 500＝1 800，
解得y＝2. 答：2 h后两车相距1 800 km.
知6－练
(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，则多少小时后两车相距1 200 km(此时快车在慢车的后面)？
解：设z h后两车相距1 200 km.如图③所示．
由题意，得60z＋1 500－90z＝1 200，解得z＝10.
答：10 h后两车相距1 200 km(此时快车在慢车的后面)．
知6－练
例 12
甲、乙两人在环形跑道上跑步. 已知环形跑道一圈长
400 米，乙每秒跑6 米，甲每秒跑4 米.
知6－练
(1)若甲、乙两人在跑道上同地同时反向出发，则经过几秒两人首次相遇？
解：设经过x 秒两人首次相遇.
依题意，得4x+6x=4 00 ，解得x=40 .
答：经过40 秒两人首次相遇.
思路引导：
知6－练
(2)若甲、乙两人在跑道上同地同时同向出发，则经过几秒两人首次相遇？
解：设经过y 秒两人首次相遇.
依题意，得6y-4y=400 ，解得y=200 .
答：经过200 秒两人首次相遇.
思路引导：
知6－练
12-1.如图，某校校园内的跑道的周长为400 m，E 和F 分别是直道AC和BD的最中间位置．小明和小英在如图所示的跑道上练习跑步，已知小明、
小英两人分别从点E，F 两处同时
沿着箭头方向出发，小明的速度
是6 m/s，小英的速度是4 m/s．
知6－练
(1)多长时间后，两人首次相遇？
知6－练
(2)在第一次相遇后到第二次相遇前，经过多长时间两人在跑道上相距100 m ？
知6－练
一艘轮船在两个码头间航行，顺流需航行4 h，逆流
需航行5 h，如果水流速度为3 km/h，求两个码头间的距离.
解题秘方：分析题意，由水流速度= (顺流速度- 逆流
速度)或顺流路程= 逆流路程列方程求解即可.
例 13
知6－练
解：(方法一)设两个码头间的距离为s km，
则v 顺=km/h，v 逆=km/h.
根据题意，得3 =×(- )，解得s=120 .
答：两个码头间的距离为120 km.
知6－练
(方法二)设轮船在静水中的速度为x km/h，
则v 顺=(x+3)km/h，v 逆=(x-3)km/h.
根据题意，得4(x+3)=5(x-3)，解得x=27 .
则4(x+3)=4×(27 +3)=120 .
答：两个码头间的距离为120 km.
知6－练
方法点拨：顺流(风)逆流(风)问题常见的相等关系：
1 . 顺流(风)速度= 静水(无风)速度+ 水(风)速；
2 . 逆流(风)速度= 静水(无风)速度- 水(风)速；
3 . 顺流(风)路程= 逆流(风)路程.
知6－练
13-1. 一架飞机从A城市飞往B 城市顺风航行，用了2 h 50 min，从B城市返回A城市逆风航行，用了3 h．已知风的速度是24 km/h，求飞机在无风航行时的平均速度．
知6－练
知6－练
[母题教材P131习题T17]一列火车匀速行驶经过一座桥，火车完全通过桥共用了50s，整列火车在桥上的时间为 30 s，已知桥长1200 m，求火车的长度和速度.
解题秘方：理解“完全通过桥”和“整列火车在桥上”时火车的运动过程，根据火车行驶的速度不变列方程.
例 14
知6－练
解：设火车的长度为x m. 根据题干信息列表如下：
路程/m 速度/(m/s) 时间/s
完全通过桥 1200＋x 50
整列火车在桥上 1200－x 30
相等关系 完全通过桥的速度= 整列火车在桥上的速度.
知6－练
根据题意，得=，解得x=300.
所以火车的速度为=30(m/s).
答：火车的长度为300 m，速度为30 m/s.
知6－练
方法点拨：
1 . 对于过桥或隧道问题. 一般选取车头(尾)作为标准，分析行驶的路程.
2 . 以图5.2－5 中线段图能更好的体现路程关系：
知6－练
14-1.一列匀速行驶的火车，通过列车隧道.已知从
车头进入隧道入口到车尾离开隧道出口，通过104 m长的隧道需要8 s，通过300 m长的隧道需要15 s．
(1)求这列火车的长度；
知6－练
(2)若相邻车道上匀速相向行驶一列长度为312 m 的高铁，且火车与高铁从车头相遇到车尾相离一共经历了4s，则这列高铁的速度为多少？
解：这列火车的速度为(104＋120)÷8＝28(m/s)．
设这列高铁的速度为y m/s.
依题意得28×4＋4y＝120＋312，解得y＝80.
答：这列高铁的速度为80 m/s.
解一元一次方程
解一元一次方程
实际应用
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为1